新教材2021-2022学年人教A版选择性必修第二册 - 第一课时 等差数列的概念及通项公式 学案

解析：(1)由题意，得a1＋6× ＝8，解得a1＝10.
(2)依题意可得
解得d＝－ .
(3)依题意应有 即
解得 <d≤ .
答案：(1)10(2)－ (3) <d≤
1．(多选)下列命题中正确的是()
A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)
解：法一： ＝ (n>1，n∈N*)，
∴an－1(1－2an)＝an(2an－1＋1)(n>1，n∈N*)，
即an－1＝an(4an－1＋1)(n>1，n∈N*)，
∴an＝ (n>1，n∈N*)，
∴ ＝ ＝4＋ (n>1，n∈N*)，
∴ － ＝4(n>1，n∈N*)， ＝5，
∴数列 是等差数列且公差为4，首项为5.
[跟踪训练]
若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg2n(n∈N*)，求证：数列{an}为等差数列．
证明：因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，
所以an＋1＝10＋(n＋1)lg2.
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg2]－(10＋nlg2)＝lg2(n∈N*)．
所以数列{an}为等差数列．
等差数列的定义及应用
[例1](链接教科书第15页练习1题)(1)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，n∈N*，且a3＝3，则a1＝________；
(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)，bn＝ (n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列，并求出首项和公差．
(1)[解析]因为an＋1－an＝2，n∈N*，
(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列{an}是等差数列．
[跟踪训练]
在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－ ，a7＝8，则a1＝________；
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________；
(3)a1＝ ，公差d>0，且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d的取值范围是________．
逻辑推理、数学运算
3.体会等差数列与一元一次函数的关系
数学抽象
第一课时等差数列的概念及通项公式
观察下列现实生活中的数列：
(1)我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029,2041，2053，2065，2077，…；
(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；
(3)设首项为a1，公差为d，则
解得 故an＝2＋5(n－1)＝5n－3.
[答案](1)C(2)C(3)an＝5n－3
等差数列通项公式的四个主要应用
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量；
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项；
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所需求的项；
解析：设等差数列{an}的公差为d，
因为a2＋a6＝16＝2(a1＋3d)，
所以a1＋3d＝8，
则a9＋a3－a8＝a1＋3d＝8.
答案：8
A．an＝2n－2(n∈N*)
B．an＝2n＋4(n∈N*)
C．an＝－2n＋12(n∈N*)
D．an＝－2n＋10(n∈N*)
解析：选D由a2·a4＝12，a2＋a4＝8，且d<0，解得a2＝6，a4＝2，所以d＝ ＝ ＝－2，则an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)＝－2n＋10.故选D.
5．若等差数列{an}满足a2＋a6＝16，则a9＋a3－a8＝________．
D．数列{2n＋1}是等差数列
解析：选BCDA中的公差为－2，A错误；B、C、D均正确．
2．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为()
A．49B．50
C．51D．52
解析：选D∵an＋1－an＝ ，
∴数列{an}是首项为2，公差为 的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)× ＝2＋ ，
法二：当n>1，n∈N*时， ＝ ⇔ ＝ ⇔ －2＝2＋ ⇔ － ＝4，且 ＝5.
∴ 是等差数列，且公差为4，首项为5.
定义法判定数列{an}是等差数列的步骤
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
(2)因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1.
[答案](1)A(2)C
(3)[证明]因为 ， ， 成等差数列，
所以 ＝ ＋ ，化简得2ac＝b(a＋c)，
又 ＋ ＝
＝ ＝
＝ ＝ ＝2· ，
2．设2a＝3，2b＝x，2c＝12，且a，b，c成等差数列，则x的值为()
A．6B．－6
C．±6D.
解析：选A∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.∵2a＋c＝2a·2c＝3×12＝36，22b＝(2b)2＝x2，2a＋c＝22b，∴x2＝36，∴x＝±6.又∵x＝2b>0，∴x＝6.
3．一个三角形的三个内角A，B，C成等差数列，则tan(A＋C)＝________．
知识点一等差数列的定义如果一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差通常用字母d表示
4．2等差数列
4．2.1等差数列的概念
新课程标准解读
核心素养
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义
数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题
(3)在等差数列{an}中，若a3＝12，a6＝27，则其通项公式为________．
[解析](1)根据题意，数列{an}是首项为2，公差为4的等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝4n－2，若an＝2022，则有4n－2＝2022，解得n＝506.
(2)首项a1＝40，公差d＝－3，所以an＝40－3(n－1)＝43－3n.令an＝43－3n<0，解得n> .因为n∈N*，所以n≥15，即第一个负数项是第15项．
∴a101＝2＋ ＝52.
3．若等差数列{an}的公差d＝2，a8∶a7＝7∶8，则a1＝()
A．－15B．－28
C．15D．28
解析：选B设a8＝7k，a7＝8k，a8－a7＝7k－8k＝－k＝2，则k＝－2.
即a7＝－16，故a1＝a7－6d＝－16－12＝－28，故选B.
4．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是()
(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻；
(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
知识点二等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b．
(3)2021年4月中，每个星期日的日期为4，11，18，25.
[问题]以上数列有什么共同的特点？
知识点一等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示．
对等差数列概念的再理解
(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；
答案：11
等差数列的通项公式及应用
[例3](链接教科书第14例1，15页例2)(1)已知数列{an}是首项为2，公差为4的等差数列，若an＝2022，则n＝()
A．504B．505
C．506D．507
(2)在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是()
A．第13项B．第14项
C．第15项D．第16项
解析：∵A，B，C成等差数列，
∴A＋C＝2B，∵A＋B＋C＝π，∴B＝ ，
∴A＋C＝ ，∴tan(A＋C)＝－ .
答案：－
知识点三等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
递推公式
通项公式
an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)
等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？
所以 ， ， 成等差数列．
a，b，c成等差数列的条件是b＝ (或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判断或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
[跟踪训练]
1．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值是()
A．0B．log25
A．1，4B．－1，－4
C．4，1D．－4，－1
解析：选Bn＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
2．等差数列{an}中，a1＝ ，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于()
A．50B．49
C．48D．47
解析：选A由题得2a1＋5d＝4，将a1＝ 代入得，d＝ ，则an＝ ＋ (n－1)．令an＝33，得n＝50，故选A.