2019中考数学《线段与角》专题复习考点讲解(含答案)

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中考数学复习考点知识归类讲解26 二次函数中的有关线段、角的问题

中考数学复习考点知识归类讲解专题26 二次函数中的有关线段、角的问题知识对接考点一、与线段有关的问题类型一:已知共线的线段关系-----------------转化为A字型或8字型类型二: 已知不共线的两条线段关系---------利用三角函数解决问题类型三:等腰+直角-----------构造中点直角三角形类型四:利用已知线段构造可解的三角形-考点二、与角有关的问题类型一:与已知直线成定角问题类型二:倍角问题(倍角与半角之间的转化)类型三:转化为基本图形类型四:2∠A+3∠B=180°---------转化为等腰的问题专项训练一、单选题1．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线1122y x=+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A ．a ≤﹣2B ．a ＜98 C ．1≤a ＜98或a ≤﹣2 D ．﹣2≤a ＜982．抛物线()230y ax ax b a =++<，设该抛物线与x 轴的交点为()5,0A -和B ，与y 轴的交点为C ，若ACO CBO ∆∆∽，则tan CAB ∠的值为（）A B C D 3．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿A→B→C 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 作EF⊥AE 交CD 于点F ，设点E 运动路程为x ，CF ＝y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF ＝14时，点E 的运动路程为114或72或92，则下列判断正确的是( )A ．①②都对B ．①②都错C ．①对②错D ．①错②对4．抛物线2y x bx c =++（其中b ，c 是常数）过点A (2，6)，且物线的对称轴与线段21y x =-()13x ≤≤有交点，则c 的值不可能是（）A ．5B ．7C ．10D ．145．如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，在线段AB 上取一点C ，过C 作CD y ⊥轴于D ，CE x ⊥轴于E ，连结DE ，当DE 最短时，点C 的坐标为（）A ．32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3458,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3648,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,06．已知A 、B 两点的坐标分别为()3,4-、()0,2-，线段AB 上有一动点(),M m n ，过点M 作x 轴的平行线交抛物线2(1)2y a x =-+于()11,P x y 、()22,Q x y 两点．若12x m x <≤，则a 的取值范围为（）A ．342a -≤<- B ．342a -≤≤- C ．302a -≤< D ．302a -<< 7．如图①，在矩形ABCD 中，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．在运动过程中线段BP 的长度为x ，线段CQ 的长为y ，y 与x 之间的函数关系如图②所示．则AB 的长为（）A ．2.25B ．3C ．4D ．68．若直线y ＝n 截抛物线y ＝x 2+bx +c 所得线段AB ＝4，且该抛物线与x 轴只有一个交点，则n 的值为（）A ．﹣1B ．2C ．25D ．49．抛物线2y x bx c =++（其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段21y x =-（13x ≤<）有交点，则c 的值不可能是（）A ．5B ．7C ．10D ．1410．如图，C 是线段AB 上一动点，△ACD ，△CBE 都是等边三角形，M ，N 分别是CD ，BE 的中点，若AB ＝4，则线段MN 的最小值为（）A B C D 二、填空题11．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，点D 在边AC 上运动（与点A 、C 不重合），以D 为圆心，DA 长为半径的D 与AB 相交于点E ，线段BE 的中垂线交BC 于点F ，则DF 长的最小值等于______．12．已知抛物线265y x x =-+-的顶点为P ，对称轴l 与x 轴交于点A ，N 是PA 的中点．M (),m n 在抛物线上，M 关于直线l 的对称点为B ，M 关于点N 的对称点为C ．当13m ≤≤时，线段BC 的长随m 的增大而发生的变化是：______．（“变化”是指增减情况及相应m 的取值范围）13．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()4,2．若抛物线23()2y x h k =--+（h 、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为_________．14．已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若点M在y 轴上，且满足∠BCO＋∠BMO＝∠ACO，则M点的坐标为_______．15．若抛物线y＝x2﹣2x与x轴分别交于A、B两点，则线段AB的长为_____．三、解答题16．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线在第四象限上的一个点，连接AD、AC、CD，CD交x轴于E．（1）求这个抛物线的解析式；（2）当S△DAE=14S△ACD时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得△PAD中的一个角等于2∠BAD?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线2y ax bx c=++经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当BCD ∆的面积为3时，求点D 的坐标；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE ∆中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax ax a =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的对称轴及线段AB 的长．（2）若点C 的坐标为()0,3-，点P 在抛物线上，连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠，将直线BC 上下平移，平移后的直线与抛物线交于1B ，1C 两点（1C 在1B 的左侧），若以点1B ，1C ，P 为顶点三角形是直角三角形，求平移后的直线解析式．（3）若0a >，且在抛物线上存在点N ，使得90ANB ∠=︒，直接写出a 的取值范围．19．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0C ，与y 轴交于点B ．（1）求地物线的解析式．（2）如图2，点P 为拋物线第四象限上一点，AP 交y 轴于Q ，设点P 的横坐标为t ，求线段BQ 的长d 与t 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．20．如图，已知抛物线y =ax 2+2x +c 与y 轴交于点A （0，6），与x 轴交于点B （6，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；（2）点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，是否存在以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 从A 点出发沿线段AB 上方的抛物线向终点B 移动时，点P 到直线AB 的距离为d ，求d 的最大时点P 的坐标．21．已知二次函数()214ay ax a x =+-+．（1）若二次函数图象的对称轴为直线1x =，求a 的值；（2）当2x ≥时，y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围；（3）已知()1,0A -，()2,0B ，若二次函数的图象与线段AB 只有一个交点，求a 的取值范围．22．已知函数y＝1ax2﹣2x+2a﹣1（a为常数）．（1）当函数图象与y轴交于点（0，1）时，①求a的值．②直线y＝m与函数图象交于A、B两点，当AB＝3 时，求m的值．（2）当a＞0，x≥2 时，函数图象上的最低点到直线y＝a距离为 1，求a的取值范围．（3）函数图象与直线x＝2a交于点P，把点P向左平移 4 个单位得到点Q，以PQ为直角边作等腰直角三角形RPQ，点R与抛物线顶点始终在PQ两侧，线段QR与函数图象交于点G，1tan3GPR∠=时，直接写出a的值．23．若抛物线223y ax ax=++对应方程2230ax ax++=的一个根为6x=-．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若抛物线与x轴的一个交点是A（左交点），与y轴交于点C，点P是线段OA 上一动点，过点P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设CPQ的面积为S，求S的最大值及取得最大值时点P的坐标；（3）若点B是抛物线与x轴的另一个交点，点D，M在线段AB上，点N在线段AC上，,DCB CDB CD∠=∠是MN的垂直平分线，求点M的坐标．。

中考数学总复习考点：线段、角、相交线、平行线

中考数学总复习考点：线段、角、相交线、平行线2019中考数学总复习考点：线段、角、相交线、平行线?一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两方无限延伸”。

二、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。

三、射线：1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。

2．射线的特征：“向一方无限延伸，它有一个端点。

”四、线段：1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。

2、线段的性质（公理）：所有连接两点的线中，线段最短。

五、线段的中点：1、定义如图1一1中，点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段图1－1AC的中点。

∴点B为AC的中点或∵AB＝∴点B为AC的中点，或∵AC＝2AB，∴点B为AC的中点反之也成立∵点B为AC的中点，∴AB＝BC2、同角或等角的余角相等。

3、同角或等角的补角相等。

十一、相交线1、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线。

它们的交点叫做斜足。

2、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。

3、垂线：当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

4、垂线的性质（l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。

（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。

简单说：垂线段最短。

十二、距离1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离。

2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。

说明：点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的。

十三、平行线1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

中考数学复习考点知识归类讲解14 反比例函数中线段、角的问题

中考数学复习考点知识归类讲解专题14 反比例函数中线段、角的问题知识对接考点一、反比例函数中线段、角的问题 1、反比例函数xky =（k 为常数，0≠k ）的图像是双曲线，当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大.2、反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k 的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.专项训练一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,2，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连接AC ．点P 在线段AC 上，且AP PC =，函数()0ky x x =>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是（）A．02k<≤B．13k≤≤C．24k≤≤D．834k≤≤2．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE BC⊥于E点，交BD于M点，反比例函数0)y x=>的图象经过线段DC的中点N，若4BD=，则ME的长为（）A．53ME=B．43=MEC．1ME=D．23 ME=3．如图，直线1l与反比例函数3(0)y xx=>的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线2l过原点O和点C．若直线2l上存在点(,)P m n，满足APB ADB∠=∠，则m n+的值为（）A ．3B ．3或32C ．33D ．34．如图，已知(),0P m ，()0,Q n （0m >，0n >），反比例函数my x=的图象与线段PQ 交于C ，D 两点，若POC COD DOQ S S S ==△△△，则n =（）A ．92B ．4C ．3D ．325．下列图形：①国旗上的五角星，②有一个角为60°的等腰三角形，③一个半径为π的圆，④两条对角线互相垂直平分的四边形，⑤函数y ＝1x的图象，其中既是轴对称又是中心对称的图形有（） A ．有1个B ．有2个C ．有3个D ．有4个6．面积为2的直角三角形一直角边长为x ，另一直角边长为y ，则y 与x 的变化规律用图象大致表示为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在平面直角坐标系中，BCD △的边BC 在x 轴上，边BC 的中点与坐标原点O 重合，线段DC 与y 轴的交点记为F ，2CF DF =，反比例函数()0ky k x=<经过点D ，若4BDF S =△，则k 的值为（）A ．-6B ．-3C ．-8D ．-48．如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA ⊥x 轴于点A ，反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过线段AB 的中点C ，点C 关于直线y ＝x 的对称点C ′的坐标为(1，n )，若△OAB 的面积为3，则n 的值为（）A ．13B ．1C ．2D ．39．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数k y x=的图像与线段AB 相交于点C ，且点C 是线段AB 的中点，若点C 坐标为()3n ,，OAB 的面积为3，则点C 的坐标是（）A ．()3,2B ．33,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()3,1D ．13,2⎛⎫⎪⎝⎭10．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()3,2，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2=AP PC ．函数()0ky x x =>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是（）A ．02k <≤B ．233k ≤≤C ．232k ≤≤D ．834k ≤≤二、填空题11两边的夹角叫做幸运角．如图，ABC 是幸运三角形，BC 为幸运边，B 为幸运角，()3,0A ，点B ，C 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上，点C 在点B 的上方，且点B 当ABC 是直角三角形且90B ∠=︒时，则k 的值为_______．12．如图，定义：若双曲线()0k y k x=>与它的其中一条对称轴y ＝x 相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为双曲线()0k y k x=>的对径．若双曲线()0k y k x=>的对径是8，则k =______．13．如图，双曲线(0)k y x x=<经过R t △ABC 的两个顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，AB //x 轴，连接OA ，将R t △ABC 沿AC 翻折后得到△AB ′C ，点B ′刚好落在线段OA 上，连接OC ，OC 恰好平分OA 与x 轴负半轴的夹角，若R t △ABC 的面积为3，则k 的值为______． 14．如图，已知点A 是反比例函数3y x=-(0x <)的图像上的一个动点，连接OA ，若将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ，则点B 所在反比例图像的函数关系式是____．15．如图，直线AB 与反比例函数ky x=()0k >的图象交于点A 、B ，与x 轴交于点F ，AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，点E 是线段AB 的中点，连结CE 、DE ，已知AEC 的面积是AED 面积的2倍，且1DEF S k=△，则k 的值是______．三、解答题16．如图1，点P 为MON ∠的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，如果APB ∠绕点P 旋转时始终满足2OA OB OP ⋅=，我们就把APB ∠叫做MON ∠的智慧角．（1）如图2，已知90MON ∠=︒，点P 为MON ∠的平分线上一点，以点P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，且135APB ∠=︒．求证：APB ∠是MON ∠的智慧角；（2）如图1，已知MON α∠=，若APB ∠是MON ∠的智慧角，求APB ∠的度数（用含α的式子表示）；（3）如图3，C 是反比例函数4y x=()0x >图象上的一个动点，过点C 的直线CD 分别交x 轴和y 轴于点A ，B 两点，且满足2BC CA =，请求出AOB ∠的智慧角APB ∠的顶点P 的坐标．∴ACH ABO ≌△△()AAS ．17两边的夹角叫做智慧角．（1）已知Rt ABC 为智慧三角形，且Rt ABC 的一边长为，则该智慧三角形的面积为_________；（2）如图①，在ABC 中，105C ∠=︒，30B ∠=︒，求证：ABC 是智慧三角形；（3）如图②，ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，B 为智慧角，30A （，），点BC 、在函数kyx=（0x >）的图象上，点C 在点B 的上方，且点B ，当ABC 是直角三角形时，求k 的值．18．如图，正比例函数y kx =与反比例函数6y x=的图象有一个交点(2,),A m AB x ⊥轴于点B ，平移直线y kx =，使其经过点B ，得到直线l ．（1）求直线l 的函数表达式；（2）如果直线l 与反比例函数6y x=相交于点C ，作CD x ⊥轴于点D ．求证：点B 是线段OD 的黄金分割点．19．如图，已知反比例函数1k y x=与一次函数2y ax b =+交于点()4,1A -和点(),4B m -．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求线段AB 的长；（3）直接写出当12y y >时x 的取值范围．20．如图①，直线(0)y x x =>上有一点)M m ，反比例函数ky x=（k 为常数0k ≠，0x >）的图象经过点M ，作90AMB ∠=︒，且角两边分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）求四边形AOBM 的面积；（3）如图②，点(3,)P n 是反比例函数(0)ky x x =>图象上的一点，点F 在直线(y x x =>上，点E 在x 轴上，且90,EPF PE PF ∠=︒=．请求出点E 的坐标．21两边的夹角叫做智慧角．（1）在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠A 为智慧角，则∠B 的度数为；（2）如图①，在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝30°，求证：△ABC 是智慧三角形；（3）如图②，△ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，∠B 为智慧角，A （3，0），点B ，C 在函数y ＝kx（x ＞0）的图像上，点C 在点B 的上方，且点B ．当△ABC 是直角三角形时，求k 的值．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x +3与函数y ＝k x（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ．（1）求k 的值；（2）过动点P （0，n ）（n ＞0）作平行于x 轴的直线，交函数y ＝kx（x ＞0）的图象于点C ，交直线y ＝x +3于点D ． ①当n ＝2时，求线段CD 的长；②若CD ≥OB ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．23．如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点()3,4E ．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线12y x b=-+过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连,OF OE，探究AOF∠与EOC∠的数量关系并证明（提示：OE．11 / 11。

2019精选教育中考数学考前辅导点、线、角.doc

2019中考数学考前辅导点、线、角2019中考数学是历年拉分科目，很多学生与自己心仪的高中失之交臂，主要原因就是数学失手。

下文为大家准备了2019中考数学考前辅导。

一、线
1、直线
2、射线
3、线段
二、角
1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

2.角的平分线
3、角的度量：度量角的大小，可用度作为度量单位。

把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。

1度=60分;1分=60秒。

4. 角的分类：(1)锐角 (2)直角 (3)钝角 (4)平角 (5)周角
5. 相关的角：
(1)对顶角 (2)互为补角 (3)互为余角
6、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。

注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。

7、角的性质
(1)对顶角相等 (2)同角或等角的余角相等 (3)同角或等角的补角相等。

这就是我们为大家准备的2019中考数学考前辅导的内容，希望符合大家的实际需要。

2019河北中考《4.1线段、角、相交线和平行线》教材知识梳理

第四章图形的初步认识与三角形、四边形第一节线段、角、相交线和平行线平行线性质求角度(3次)1．(2019河北8题3分)如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝( C )A．120°B．130°C．140°D．150°(第1题图)(第2题图)2．(2019河北15题2分)如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是( B )A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤3．(2019河北2题2分)如图，∠1＋∠2等于( B )A．60° B．90°C．110° D．180°4．(2019河北保定十七中一模)如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB.若∠COB＝35°，则∠AOD等于( C )A．35° B．70° C．110° D．145°(第4题图)(第5题图)5．(2019河北石家庄四十三中一模)如图，三条直线相交于点O.若OC⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于( B )A．30° B．34° C．45° D．56°6．(2019张家口模拟)如图，直线a，b及木条c在同一平面上，将木条c绕点O旋转到与直线a平行，其最小旋转角为( B )A．100° B．90° C．80° D．70°(第6题图)(第7题图)7．(2019唐山路北区一模)如图，直线l1∥l2，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1＋∠2等于( A )A．30° B．35° C．36° D．40°8．(2019河北石家庄四十三中一模)如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝110°，则∠2等于( B )A．65° B．70° C．75° D．80°(第8题图)(第9题图)9．(2019河北19题3分)在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝__95__°.10．(2019河北石家庄四十中一模)一副三角板如图所示放置，则∠AOB＝__105__°.11．(2019河北石家庄二十八中二模)已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中真命题的是__①②④__.(填写所有真命题的序号)12．(2019河北唐山友谊中学一模)如图，AF，BD，CE，AC，DF均是直线，∠EQF＝∠APB，∠C＝∠D.求证：∠A＝∠F.证明：∵∠APB＝∠DPF，∠APB＝∠EQF，∴∠DPF＝∠EQF.∴DB∥EC.∴∠FEC＝∠D.又∵∠C＝∠D，∴∠FEC＝∠C.∴DF∥AC.∴∠A＝∠F.,中考考点清单)线段与直线1．线段(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线．(2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．(3)线段的和与差：如图(1)，已知两条线段a 和b ，且a>b ，在直线l 上画线段AB ＝a ，BC ＝b ，则线段AC 就是线段a 与b 的和，即AC ＝__a ＋b__．如图(2)，在直线l 上画线段AB ＝a ，在AB 上画线段AD ＝b ，则线段DB 就是线段a 与b 的差，即DB ＝a －b.(4)线段的中点：如图(3)，线段AB 上的一点M ，把线段AB 分成两条线段AM 与MB.如果AM ＝MB ，那么点M 就叫做线段AB 的中点，此时有__AM__＝MB ＝12AB ，AB ＝2AM ＝2MB.2．直线(1)定义：沿线段向两方无限延伸所形成的图形．(2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．角及角平分线3．角的分类 (1)分类(2)周角、平角、直角之间的关系和度数 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″，1′＝(160)°，1″＝(160)′.4．角平分线的概念及性质(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线． (2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．警示：到角两边距离相等的点在角平分线上． 5．余角、补角、邻补角(1)余角：A.如果两个角的和为__90°__，那么这两个角互为余角； B ．同角(等角)的余角相等．(2)补角：A.如果两个角的和为__180°__，那么这两个角互为补角； B ．同角(等角)的补角相等．(3)邻补角：A.两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角；B ．互为邻补角的两个角的和为180°.相交线三线八角(如图)6．同位角有：∠1与__∠5__，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7. 7．内错角有：∠2与__∠8__，∠3与∠5. 8．同旁内角有：∠3与∠8，∠2与__∠5__．9．对顶角：∠1与∠3为对顶角，∠2与__∠4__为对顶角，∠5与∠7为对顶角，∠6与__∠8__为分类锐角直角钝角平角周角度数0°<α<90°α＝90°90°<α ＜180°α＝180°α＝360°对顶角．垂线及其性质10．定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．11．基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．12．性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．13．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段长度．14．线段垂直平分线：(1)定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离__相等__．(2)逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．平行线的判定及性质15．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．16．两条平行线之间的距离处处相等．17．性质：(1)两直线平行，同位角相等，即∠1＝__∠2__.(2)两直线平行，内错角相等，即∠2＝__∠3__．(3)两直线平行，同旁内角互补，即∠3＋__∠4__＝180°.18．判定：(1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．(2)同位角相等，两直线平行．(3)内错角相等，两直线平行．(4)同旁内角互补，两直线平行．(5)平行于同一条直线的两条直线平行．命题与定理19．命题：判断一件事情的句子叫做命题，命题由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．20．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题．21．假命题：题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．22．定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，推理过程叫做证明．【方法技巧】利用平行线性质求角度：先观察要求角与已知角的位置关系，再选择合理的角度进行等量代换，因此需要熟练掌握平行线的性质．另外在解题中要注意平角、直角及三角形内角和、三角形内外角关系等知识的运用．,中考重难点突破)补角、余角的计算【例1】(2019湘西中考)一个角的度数是40°，那么它的余角的补角度数是( )A．130°B．140°C．50°D．90°【解析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．依此求出度数．【学生解答】A1．(2019保定博野模拟)将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有( C )A．4个 B．3个C．2个 D．1个(第1题图)(第2题图)2．(2019河北沧州八中二模)将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)．使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为__15°__．平行线的性质与判定【例2】(2019白银中考)如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1＝34°，则∠DCE的度数为( )A．34° B．54°C．66° D．56°【学生解答】D【点拨】此题主要运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等(或两直线平行，同旁内角互补)来解．3．(2019盐城中考)如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，则∠2＝__70__°.(第3题图)(第4题图)4．(2019承德二中二模)如图，AB∥CD，∠1＝62°，FG平分∠EFD，则∠2＝__31__°.5．(2019河北石家庄二十八中一模)如图，AB∥CD，∠1＝130°，则∠2＝__50°__．,中考备考方略)1．(2019长沙中考)下列各图中，∠1和∠2互为余角的是( B ),A) ,B) ,C) ,D)2．(2019福州中考)如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是( B )A．同位角 B．内错角C．同旁内角 D．对顶角3．(2019孝感中考)如图，直线a，b被c所截，若a∥b，∠1＝110°，则∠2等于( A )A．70° B．75° C．80° D．85°(第3题图)(第4题图)4．(2019陕西中考)如图，AB∥CD，AE平分∠C AB交CD于点E，若∠C＝50°，则∠AED＝( B ) A．65° B．115° C．125° D．130°5．(2019龙岩中考)下列命题是假命题的是( A )A．若|a|＝|b|，则a＝bB．两直线平行，同位角相等C．对顶角相等D．若b2－4ac>0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根6．(2019邢台金华中学模拟)直线a，b，c，d的位置如图所示，如果∠1＝58°，∠2＝58°，∠3＝70°，那么∠4等于( C )A．58° B．70°C．110° D．116°(第6题图)(第7题图)7．(2019廊坊二模)如图直尺EF压在三角板上，∠BAC＝30°，则∠CME＋∠BNF是( B )A．180° B．150°C．135° D．不能确定8．(2019保定二模)如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B、点C，连接AC，BC，若∠ABC＝54°，则∠1的大小为( B )A．70° B．72° C．74° D．76°(第8题图)(第9题图)9．(2019邯郸十一中模拟)如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC(∠A＝60°)按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为( C )A．105° B．110°C．115° D．120°10．(2019秦皇岛二模)如图，C、D是线段AB上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度是( C )A．8 B．9C．8或9 D．无法确定11．(2019沧州九中一模)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝25°，∠2的度数为( A )A．35° B．25°C．30° D．45°,(第11题图)) (第12题图)) 12．(2019毕节中考)如图，直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝35°，则∠3＝( C )A．85° B．60° C．50° D．35°13．(2019秦皇岛二模)如图，射线AB，CD分别与直线l相交于点G，点H，若∠1＝∠2，∠C＝65°，则∠A的度数是__115°__．(第13题图)(第14题图)14．(2019菏泽中考)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是__15°__．15．(2019莆田中考)已知直线a∥b，一块直角三角板按如图所示放置，若∠1＝37°，则∠2＝__53°__．(第15题图)(第16题图)16．(2019原创)将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为__75°__．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列选项中，可以用来证明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b“是假命题的反例是（） A ．a ＝﹣2，b ＝1B ．a ＝3，b ＝﹣2C ．a ＝0，b ＝1D ．a ＝2，b ＝12．如图，AB 是圆O 的直径，弦CD AB ⊥，30BCD ∠=︒，CD 23=，则S =阴影（）A ．2πB ．83πC ．43π D ．23π 3．化简211x x x x-++的结果为（） A ．2xB ．1x x- C ．1x x+ D ．1x x - 4．为了响应学校“皖疆手拉手，书香飘校园”的爱心捐书活动，励志班的同学们积极捐书，其中该班雄鹰小组的同学们捐书册数分别是：5,7,,3,4,6x .已知他们的平均每人捐5本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（） A.5,5.5,10B.35,5,2C.55,5,3D.116,5.5,65．若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，则一次函数y ＝（m+1）x+m ﹣1的图象不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣4x+1＝0有实数根，则m 的取值范围是（） A ．m≤6B ．m ＜6C ．m≤6且m≠2D ．m ＜6且m≠27．如图所示，90,,E F B C AE AF ∠=∠=∠=∠=，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ∆≅∆，其中正确的是有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．下列运算中正确的是（） A.5510a a a +=B.76a a a ÷=C.326a a a ⋅=D.()236a a -=-9．下列命题正确的是（） A ．矩形对角线互相垂直 B ．方程214x x =的解为14x = C ．六边形内角和为540°D ．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等10．如图，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是（）A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ＝QD ．无法确定11．如图，直角三角形纸片ABC 中，AB ＝3，AC ＝4．D 为斜边BC 的中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3••；设P n ﹣1D n ﹣2的中点为D n ﹣1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n ﹣1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 2019的长为（）A.20192020534⨯B.20192020354⨯ C.20182019534⨯ D.20182019354⨯ 12．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．4233π-B．8433π-C．8233π-D．843π-二、填空题13．如图，根据函数图象回答问题：方程组y kx3y ax b=+⎧=+⎨⎩的解为______．14．命题“若a＝b，则a3＝b3．”是真命题．它的逆命题“若a3＝b3，则a＝b”是_____（填真或假）命题．15．一个扇形的半径为3cm，面积为，则此扇形的圆心角为．16．001A型航空母舰是中国首艘自主建造的国产航母，满载排水量65000吨，数据65000用科学记数法表示为_____________．17．因式分解：x2﹣y2﹣2x+2y＝_____．18．比﹣3大5的数是_____．三、解答题19．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD＝3，BE＝1．求阴影部分的面积．20．目前“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；（2）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；（3）在此次调查活动中，初三（1）班有A1、A2两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有B1、B2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的2人来自不同班级的概率．21．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．22．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C．（1）求点A的坐标和抛物线的解析式；（2）当点P在抛物线上（不与点A重合），且△PBC的面积和△ABC的面积相等时，求出点P的横坐标．23．庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲，乙两种T恤共400件，其每件的售价与进货量m（件）之间的关系及成本如下表所示：T恤每件的售价/元每件的成本/元甲0.1100m-+50乙()0.21200200m m-+<<60()600050200400mm+≤≤（1）当甲种T恤进货250件时，求两种T恤全部售完的利润是多少元；（2）若所有的T恤都能售完，求该商店获得的总利润y（元）与乙种T恤的进货量x（件）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，已知两种T恤进货量都不低于100件，且所进的T恤全部售完，该商店如何安排进货才能使获得的利润最大？24．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一点，且AE⊥BD，垂足为点F，∠DAE＝2∠BAE．（1）求证：BF：DF＝1：3；（2）若四边形EFDC的面积为11，求△CEF的面积．25．如图，在四边形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B坐标为（2，23），∠BCO＝60°，OH⊥BC，垂足为H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O 运动；动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动．两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P 运动的时间为t秒．（1）求OH的长．（2）设PQ与OB交于点M．①探究：当t为何值时，△OPM为等腰三角形；②线段OM长度的最大值为．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D B C A A C B D CC C二、填空题 13．12x y =-⎧⎨=⎩ 14．真15．40°．16．46.510⨯17．（x ﹣y ）（x+y ﹣2）．18．2三、解答题19．（1）见解析；（2）336-π 【解析】【分析】（1）连接OD ，作OF ⊥AC 于F ，如图，利用等腰三角形的性质得AO ⊥BC ，AO 平分∠BAC ，再根据切线的性质得OD ⊥AB ，然后利用角平分线的性质得到OF=OD ，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）设⊙O 的半径为r ，则OD=OE=r ，利用勾股定理得到222r (3)(r 1)+=+，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出33AD OD 33==，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S △AOD -S 扇形DOF 进行计算．【详解】解：（1）证明：连接OD ，作OF ⊥AC 于F ，如图，∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，∴AO ⊥BC ，AO 平分∠BAC ，∵AB 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，而OF ⊥AC ，∴OF ＝OD ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）在Rt △BOD 中，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OE ＝r ，∴r 2+（3）2＝（r+1）2，解得r ＝1，∴OD ＝1，OB ＝2，∴∠B ＝30°，∠BOD ＝60°，∴∠AOD ＝30°，在Rt △AOD 中，33AD OD 33==， ∴阴影部分的面积＝2S △AOD ﹣S 扇形DOF2136012123360π⋅⋅=⨯⨯⨯- 3.36π=- 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质．20．（1）200；（2）详见解析；（3）23【解析】【分析】（1）用D 类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；（2）用360°乘以C 类所占的百分比得到扇形C 所对的圆心角的度数，再用200乘以C 类所占的百分比得到C 类人数，然后补全图1；（3）画树状图展示所有12种等可能结果，再找出2人来自不同班级的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）120÷60%＝200（人），所以调查的家长数为200人；（2）扇形C 所对的圆心角的度数＝360°×（1﹣20%﹣15%﹣60%）＝18°，C 类的家长数＝200×（1﹣20%﹣15%﹣60%）＝10（人），补充图为：（3）设初三（1）班两名家长为A 1、A 2，初三（2）班两名家长为B 1，B 2，画树状图为共有12种等可能结果，其中2人来自不同班级共有8种，所以2人来自不同班级的概率＝812＝23．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率．也考查了扇形统计图．21．（1）见解析；（2）BF ＝222-．【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC 与三角形ADE 全等，以及AB ＝AC ，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS 得到三角形AEC 与三角形ADB 全等即可；（2）根据∠BAC ＝45°，四边形ADFC 是菱形，得到∠DBA ＝∠BAC ＝45°，再由AB ＝AD ，得到三角形ABD 为等腰直角三角形，求出BD 的长，由BD ﹣DF 求出BF 的长即可．【详解】解：（1）由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE ，且AB ＝AC ，∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC+∠BAE ＝∠DAE+∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中， AE AD CAE DAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，由（1）得：AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，即BD＝22，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD﹣DF＝22﹣2．【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．22．（1）A（1，0），y＝x2﹣4x+3，；（2）P点横坐标为2或3+172或3172-．【解析】【分析】（1）先把B点坐标代入y＝﹣x+c求出c得到直线解析式，再利用待定系数法求抛物线解析式；然后求二次函数的函数值为0对应的自变量的值确定A点坐标；（2）过点A作BC的平行线l，易得直线l的解析式为y＝﹣x+1，通过解方程x2﹣4x+3＝﹣x+1得此时P点的横坐标；由于直线BC向下平移2个单位得到直线l满足△PBC的面积和△ABC的面积相等，所以直线BC向上平移2个单位得到直线l′满足△PBC的面积和△ABC的面积相等，易得直线l′的解析式为y＝﹣x+5，然后解方程x2﹣4x+3＝﹣x+5得此时P点的横坐标．【详解】（1）把B（3，0）代入y＝﹣x+c得﹣3+c＝0，解得c＝3，∴直线解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，y＝﹣x+3＝3，则C（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c得9303b cc++=⎧⎨=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A（1，0）；（2）过点A作BC的平行线l，设直线l的解析式为y＝﹣x+m，把A（1，0）代入得﹣1+m＝0，解得m＝1，∴直线l 的解析式为y ＝﹣x+1，解方程x 2﹣4x+3＝﹣x+1得x 1＝1，x 2＝2，此时P 点的横坐标为2；∵直线BC 向下平移2个单位得到直线l 满足△PBC 的面积和△ABC 的面积相等，∴直线BC 向上平移2个单位得到直线l′满足△PBC 的面积和△ABC 的面积相等，则直线l′的解析式为y ＝﹣x+5，解方程x 2﹣4x+3＝﹣x+5得x 1＝3+172，x 2＝3172-，此时P 点的横坐标为3+172或3172-，综上所述，P 点横坐标为2或3+172或3172-．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．23．（1）10750；（2）220.3904000(0200)0.12010000(200400)x x x y x x x ⎧-++<<=⎨-++≤≤⎩；（3）最大利润为10750元. 【解析】【分析】（1）根据“利润=销售总额-总成本”结合两种T 恤的销售数量代入相关代数式进行求解即可；（2）根据题意，分两种情况进行讨论：①0<m<200；②200≤m≤400时，根据“利润=销售总额-总成本”即可求得各相关函数关系式；（3）求出（2）中各函数最大值，进行比较即可得到结论.【详解】（1）∵甲种T 恤进货250件∴乙种T 恤进货量为：400-250=150件故由题意得，()()7550250906015010750-⨯+-⨯=；（2）①()()()20200,0.2120600.1400100504000.390+4000x y x x x x x x <<=-+-+⎡--+-⎤-=-+⎣⎦②()()26000200400,0.14001005040050600.12010000x y x x x x x x ⎛⎫≤≤=⎡--+-⎤-++-=-++ ⎪⎣⎦⎝⎭；故220.3904000(0200)0.12010000(200400)x x x y x x x ⎧-++<<=⎨-++≤≤⎩. （3）由题意，100300x ≤≤，①100200x ≤<，()20.315010750y x =--+，max 150,10750x y ∴==②()2200400,0.110011000,10000x y x y ≤≤=--+∴≤，综上，最大利润为10750元.【点睛】本题考查了二次函数的应用，找出题中的等量关系以及根据题意确定二次函数的解析式是解题的关键．24．（1）详见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）根据已知条件得到∠DAE ＝60°，∠BAE ＝30°，又AE ⊥BD ，得到3tan 303BF AF ︒==， DF tan 603AF︒==，于是得到结论；（2）根据已知条件得到△BEF ∽△BDC ，求得∠ABF ＝60°，得到∠FBE ＝30°，求得BF 3BE 2=， BE 23BF 3=，由于BD ＝4BF ，得到36BE BD =，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∠DAE ＝2∠BAE ，∴∠DAE ＝60°，∠BAE ＝30°，又∵AE ⊥BD ， ∴3tan 303BF AF ︒==，DF tan 603AF ︒==， ∴BF ：DF ＝1：3；（2）解：∵∠FBE ＝∠CBD ，∠BFE ＝∠DCB ，∴△BEF ∽△BDC ，∵∠BAE ＝30°，∴∠ABF ＝60°，∴∠FBE ＝30°， ∴BF 3BE 2=， ∴BE 23BF 3=， ∵BD ＝4BF ，∴36BE BD =， ∴BFE BCD S S ∆=112BFE B E EF FDC S S S ∆+=四边形， ∵S 四边形EFDC ＝11，∴S △BEF ＝1， ∵36BF BE BC BD ==，BF 3BE 2=， ∴13=BE BC ， ∴12BE EC =， ∴S △CEF ＝1×2＝2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，特殊角的三角函数值，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．25．（1）23OH =；（2）①233t =或t=2;②线段OM 长的最大值为32 【解析】【分析】（1）根据题意得出△BOC 为等边三角形，进而得出OH 的长；（2）①利用（i ）若OM ＝PM ，（ii ）若OP ＝OM ，（iii ）若OP ＝PM ，分别分析得出即可；②PQ ⊥OB 时，OM 长度的值最大，即△OPQ 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）由已知在Rt △OAB 中，AB ＝2，OA＝23,∴OB ＝4，tan ∠AOB ＝33， ∴∠AOB ＝30°，∴∠BOC ＝60°,又∵∠BCO ＝60°，∴△BOC 是等边三角形∵OH⊥BC，∠BCO＝60°，∴OH＝23,（2）①△OPM为等腰三角形时，则:（i）若OM＝PM，则∠MPO＝∠MOP＝∠POC∴PQ∥OC，此时△OPQ是直角三角形，且∠MPO＝30°∴OP＝2OQ，即23－t＝2t∴t＝233,（ii）若OP＝OM，则∠OPM＝∠OMP＝75°，∴∠OQP＝45°过点P作PE⊥OA，垂足为E，则有EQ＝EP∴EP＝OQ-OE，即32(23－t) ＝t－12(23－t)解得t＝2.（iii）若OP＝PM，则∠PMO＝∠POM＝30°，这时PQ∥OA，这种情况不可能②当PQ⊥OB时，OM长度的值最大，即△OPQ是等边三角形，∴t＝23－t,∴t＝3，∴OP＝OQ＝PQ＝3，∴OM＝32，∴线段OM长的最大值为32.【点睛】此题主要考查了四边形综合以及锐角三角函数关系和等边三角形、等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，3)，将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标是( )A.(﹣3，1)B.(3，﹣1)C.(﹣1，3)D.(1，﹣3)2．下列计算正确的是（）A．a+a＝a2B．6a3﹣5a2＝aC．（2x5）2＝4x10D．a6÷a2＝a33．以下多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形B．矩形C．等边三角形D．平行四边形4．下列计算正确的是（）A．2a+b＝2ab B．a3÷a＝a2C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．（2a）3＝6a35．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图：根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳6．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（）A ．3B ．2C ．23D ．()123+ 7．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝20°．将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得△A′B′C，且点B 在A′B′ 上，CA′ 交AB 于点D ，则∠BDC 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°8．如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A 的坐标为（a ，b ），则点A'的坐标为（）A ．（-a ，-b ）B ．（-a ，-b-1）C ．（-a ，-b+1）D ．（-a ，-b+2）9．下列各式计算正确的是（）A ．011(1)()32---=- B ．235+=C ．224246+=a a aD ．236()a a = 10．在下列等式中，不满足a≠0这个条件的是（）A ．a 0＝1B ．11a a -=C ．211()a a = D ．24()a a =11．对于反比例函数6y x=-，当10x -<…时，y 的取值范围是（） A ．6y … B ．60y -≤<C ．06y <…D ．6y <- 12．如图，矩形纸片ABCD ，AD ＝4，AB ＝3，如果点E 在边BC 上，将纸片沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，联结FC ，当△EFC 是直角三角形时，那么BE 的长为( )A ．1.5B ．3C ．1.5或3D ．有两种情况以上二、填空题13．如图，矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，将△ABE 沿直线AE 折叠时点B 落在点F 处，连接FC ，若∠DAF ＝18°，则∠DCF ＝_____度．14．植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树苗3棵，女生每人种树苗2棵，则男同学的人数为______________人．15．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于_____度．16．如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，过矩形ABCD 的对角线交点O 作直线分别交AD 、BC 于点E F 、，连接AF ，若AEF 是等腰三角形，则AE =____.17．将函数y ＝3x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，就得到函数___．18．如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，点E 是BC 的中点，连结DE ,且6AB =，10AC =，则DE =____ .三、解答题19．计算（π+2）0+（-2）2-2sin60°+1220．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 交⊙O 于点F ，且与⊙O 的切线CD 互相垂直，垂足为D ．（1）求证：∠EAC ＝∠CAB ；（2）若CD ＝4，AD ＝8，求AB 的长和tan ∠BAE 的值．21．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某市某公司根据市场需求代理A ，B 两种型号的净水器，每台A 型净水器比每台B 型净水器进价多200元，用5万元购进A 型净水器与用4.5万元购进B 型净水器的数量相等，（1）求每台A 型、B 型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划购进A ，B 两种型号的净水器共55台进行试销，其中A 型净水器为m 台，购买两种净水器的总资金不超过10.8万元．试销时A 型净水器每台售价2500元，B 型净水器每台售价2180元，该公司决定从销售A 型净水器的利润中按每台捐献a （70＜a ＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公司售完55台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W 元，求W 的最大值．22．先化简，再求值：（1﹣11x +）÷21x x -，其中x ＝3+1． 23．在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生总人数是________ ；（2）补全折线统计图．（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为________，m 的值为________（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．24．如图，C 是O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，O 的半径为3，2PB =， 4PC =.（1）求证: PC是O的切线.（2）求tan CAB的值，25．某校为了解学生对排球、羽毛球、足球、篮球（以下分别用A、B、C、D表示）这四种球类运动的喜好情况．对全体学生进行了抽样调查（每位学生只能选一项最喜欢的运动），并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息回答下面问题：（1）本次参加抽样调查的学生有人．（2）补全两幅统计图．（3）若从本次参加抽样调查的学生中任取1人，则此人喜欢哪类球的概率最大？求其概率．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C B B A C C D D D A C二、填空题13．14．1215．144016．4或13 317．y＝3（x﹣1）2+2．18．2三、解答题19．53+．【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别计算得出答案．【详解】原式=3 142232+-⨯+=53+．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．(1)见解析（2）4 3【解析】【分析】（1）连接OC，在利用切线性质即可解答（2）连接BC在证明△ACD∽△ABC，再利用勾股定理进行解答【详解】（1）证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AE，∴OC∥AE，∴∠1＝∠3，∵OC＝OA，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB；（2）连接BC．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC，∴AD AC AC AB=，∵AC2＝AD2+CD2＝42+82＝80，∴AB＝2ACAD＝10，∴⊙O的半径为10÷2＝5．连接CF与BF．∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠AFC＝180°，∵∠DFC+∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC，∵∠2+∠ABC＝90°，∠DFC+∠DCF＝90°，∴∠2＝∠DCF，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF，∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC，∴CD DF AD CD=，∴DF＝2CDAD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°，。

(完整版)线段和角知识点

线段、射线、直线线段射线直线端点个数两个一个没有延伸情况没有延伸向一个方向延伸向两个方向延伸长度有长度可以测量没有长度不能测量没有长度不能测量表示方法 ①用表示两个端点的大写字母（无序） ②用一个小写字母用两个大写字母，其中表示端点的字母写在前面（有序） ①用直线上表示任意两个点的大写字母（无序）②用一个小写字母表示1、线段的性质：两点之间，线段最短。

2、两点间的距离：连接两点之间的线段的长度。

三、直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。

四、线段的长短比较方法：度量法和叠合法五、画一条线段等于已知线段：1、画一条线段等于已知线段是用直尺和圆规的第一个基本作图，直尺的作用是画直线、射线或线段，圆规的作用是画弧、截取等长的线段。

2、常见的作图语言：①作射线××；②在射线××上截取××=××；③在线段××上截取××=××；则××就是所要求作的××。

说明：作图时用的直尺是没有刻度的，因此作图的痕迹要保留。

六、线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。

如图所示点C 是线段AB 的中点，则有①AB=2AC=2BC ，②AC=BC=21AB 。

七、线段的和、差、倍、分的计算：1、逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和差倍分展开。

若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解。

2、整体转化：巧妙转化是解题的关键，首先将所求的线段转化为两条线段的和或差，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段。

3、构造方程：利用各段线段的比值及中点关系建立起方程，求出未知数的值。

注意：有关线段长度的计算如果没有图形，题中又没有明确的点的位置，应该全面考虑，注意条件中的图形的多样性，防止漏解。

2019中考数学《线段与角》专题复习考点讲解(含答案)

线段与角考点图解技法透析1．与直线、射线、线段有关的知识(1)直线：①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．②直线的表示方法：如图记作“直线AB”或“直线BA”；l 记作“直线l”．③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．(2)射线：①射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点．射线向一方无限延伸．②射线的表示方法：如图记作“射线AB”；l记作射线l，注意必须把表示端点的字母写在前面．(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸．②线段的表示方法：如图记求“线段AB”或“线段BA”或“线段a”．③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短．即两点之间，线段最短．(4)直线、射线、线段的区别与联系．①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸．②“连接AB”的意义就是画出以A、B为端点的线段．③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延长．延长BA是指按由B向A的方向延长．(也可说反向延长AB)(6)线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小．(7)画一条线段等于已知线段，如：已知线段a，画一条线段AB＝a，有两种画法：①先画射线AC，再在射线AC上截取AB＝a．②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可．(8)线段的中点及等分点的概念①如图①点O把线段AB分成相等的两条线段，AO与OB，点O叫线段AB的中点，显然有AO＝OB＝12AB（或AB＝2AO＝2OB）②如图②点O1，O2把线段AB分成相等的三条线段AO1＝O1O2＝O2B，则点O1，O2叫做线段AB 的三等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2B ＝13AB(或AB ＝3AO ，＝3O 1O 2＝3O 2B) ③如图③，点O 1，O 2，O 3把线段AB 分成相等的四条线段，则点O 1，O 2，O 3叫做线段AB的四等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3B ＝14AB(或AB ＝4AO 1＝4O 1O 2＝4O 2O 3＝4O 3B) (9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．2．与角有关的知识(1)角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，又可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形．(2)角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间．如图①，记作∠AOB （或∠BOA ）；②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作∠O ；③可以用一个小写希腊字母（如α、β、γ等）表示，如图②∠BOC 记作∠a ；④用一个阿拉伯数字表示如图②∠AOC 记作∠1．(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角． ②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角． ③直角：等于90°的角叫直角．④锐角：小于直角的角叫锐角．⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角．(4)角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°＝60'，1'＝60"．②借助三角尺和量角器画角．(5)角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ，∠AOB ＝∠AOC －∠BOC②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若∠1＝∠2，则OC 是∠AOB 的平分线，此时有∠1＝∠2＝12∠AOB （或∠AOB ＝2∠1＝2∠2）．同理，还有角的三等分线、四等分线……等．(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．②性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角．具体表示时．是南（或北）在先，再说偏东（或偏西）3．钟表上有关角的问题(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)秒针每分钟转过360°，分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°．(3)时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______个，最多为_______个．【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论．①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋5＝6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋4＋5＝10个……，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1＋2＋3＋4＋5＝()1552+⨯＝15(个)【规范解答】分别填1个，15个．(1)本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多为1＋2＋3＋…＋（n＋1）＝12n（n－1）个交点；(2)一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平面分成12（n＋1）n＋1个互不重叠的部分．(3)－般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝12n（n－1）条；共有2n条不同的射线．【同类拓展】1．如图，数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？考点2 线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝42，求PQ的长．【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长．【规范解答】∴【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化．本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题．【同类拓展】2．已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a 的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a＋b＋c＝7cm，求a、b、c的长．考点3 角的个数及角的度数的计算例3 如图已知OA、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．(1)若∠AOD＝70°，∠MON＝50°求∠BOC的大小；(2)若∠AOD＝α；∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α、β的式子表示）．利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出∠AOD，∠MON与∠BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含α、β的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小．【规范解答】【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条件，适当转换．(2)一般地，同一平面内，在平角∠AOB的内部引以O为端点的（n－1）条射线，则图中共有：n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1＝12n（n＋1）个小于平角的角．【同类拓展】 3．如图，∠AOB＝100°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝_______．考点4 钟表上有关的角度问题例4 时钟在下午4点至5点的什么时刻：(1)分针和时针重合？(2)分针和时针成一条直线？(3)分针和时针成45°角？【切题技巧】4点整时针已转过4大格，每大格30°，这时可看成时针在分针前面120°，若设所需时间为x分钟，则有6x－12x的值等于1200时，两针就重合；当时针与分针之间的角度为1200＋180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于120°－45°（时针在前）或120°＋45°（分针在前）时，两针成45°角．【规范解答】【借题发挥】钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格，60小格，每个大格为30°的角，每个小格为6°的角．如果把单位时间内，分针和时针转过的度数当作是它们的“速度”，那么分针的速度为6°／分，时针的速度为0.5°／分，因此，分针速度是时针速度的12倍．在时针与分针的转动过程中，总是分针追及时针，然后超过时针又转化为追及时针，【同类拓展】4．王老师在活动课上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟上的时针和分针恰好成90°角，这时是7点多；故事结束时两针恰好也是90°角，这时是8点多，他还发现，讲故事中，两针成90°角的有趣图形还出现过一次，求王老师讲故事所花的时间多少分？考点5 与线段有关的实际问题例5 摄制组从A市到B市有1天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃中饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？【切题技巧】题目中所给条件只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形，思考它们之间的数量关系，从而利用形数结合思想解决问题．【规范解答】如图，设小镇为D，傍晚汽车E处休息，令AD＝x，则AC＝3x，DE＝400，CE＝400－2x ED＝12(400－2x)＝200－x，于是有：AB＝AC＋CE＋EB＝3x＋400－2x＋200－x＝600(km) 答：A、B两市相距600千米，【借题发挥】利用“线段图”将实际问题转化为几何问题，借助图形，利用“形数结合”思想解决实际问题是数学竞赛中的常用方法，如：A、B、C、D、E、F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B队比赛的球队是哪支队？此题用算术或代数方法求解容易陷入困境，此时可考虑用6个点表示A、B、C、D、E、F这6支足球队，若两队已赛过一场、就在相应的两个点之间连一条线，这样用“线段图”来辅助解题，形象直观，如图所示，则还没有与B队比赛的球队是E队．【同类拓展】5．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30个，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上．位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在 ( )A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间参考答案1．(1)21(条) (2)14(条) 2．1cm，2cm，4cm． 3．50°4．1小时零5511分钟． 5．A2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知：32251025x x x x -++﹣M ＝55x x -+，则M ＝( ) A ．x 2 B ．25x x + C ．2105x x x -+ D ．2105x x x ++ 2．2018年12月27日，国家发展改革委发布《关于全力做好2019年春运工作的意见》显示预测，2019年春运全国民航旅客发送量将达到7300万人次，比上一年增长12%.其中7300万用科学记数法表示为（）A ．77310⨯B ．77.310⨯C ．87.310⨯D ．80.7310⨯3．如图，经过点B （﹣2，0）的直线y ＝kx+b 与直线y ＝4x+2相交于点A （﹣1，﹣2），4x+2＜kx+b ＜0的解集为（）A.x ＜﹣2B.﹣2＜x ＜﹣1C.x ＜﹣1D.x ＞﹣14．目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米＝10﹣9米，用科学记数法将16纳米表示为（）A ．1.6×10﹣9米B ．1.6×10﹣7米C ．1.6×10﹣8米D ．16×10﹣7米5．寒假期间，小刚组织同学一起去看科幻电影《流浪地球》，票价每张45元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了900元，则他们买到的电影票的张数是（）A ．20B ．22C ．25D ．20或256．在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其它差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（）A ．1B ．14C ．12D ．347．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，下列等式中不一定成立的是（）A ．∠1=∠2B ．∠3=∠5C ．∠BAD=∠DCED ．∠4=∠68．对于平面图形上的任意两点P ，Q ，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（）A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．位似9．在ABC ∆中，E 、F 是BC 边上的三等分点，BM 是AC 边上的中线，AE 、AF 分BM 为三段的长分别是x 、y 、z ，若这三段有x y z >>，则::x y z 等于( )A ．3:2:1B ．4:2:1C ．5:2:1D ．5:3:210．已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米,圆心O 到AB 的距离为3厘米,则⊙O 的半径是（）A ．3厘米B ．4厘米C ．5厘米D ．6厘米11．一元二次方程x （x ﹣2）＝0根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 12．若关于x 的不等式组12x x k +≤⎧⎨≥⎩无解,则k 的值可以是（） A ．－1B ．0C ．1D ．2 二、填空题13．计算432x x ⋅的结果等于__________．14．如图所示，宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm ）则该圆的半径为______cm ．15．如图,点P是矩形ABCD内一点,连接PA、PB、PC、PD,已知AB=3,BC=4,设△PAB, △PBC, △PCD, △PDA,的面积分别为1S,2S,3S,4S ,以下判断: ①PA+PB+PC+PD的最小值为10;②若△PAB≌△PCD,则△PAD≌△PBC ;③若1S=2S,则3S=4S；④若△PAB∽△PDA,则PA=2.4.其中正确的是_____________(把所有正确的结论的序号都填在横线上)16．因式分解：4x2﹣y2＝_____．17．若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．18．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，PA、PB为圆锥的两条相对的母线，AB为底面直径，C为母线PB的中点，在圆锥的侧面上，从A到C的最短距离是_____cm．三、解答题19．如图，正例函数y＝kx（k＞0）的图象与反比例函数y＝mx（m＞0，x＞0）的图象交于点A，过A作AB⊥x轴于点B．已知点B的坐标为（2，0），平移直线y＝kx，使其经过点B，并与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求k和m的值（2）点M是线段OA上一点，过点M作MN∥AB，交反比例函数y＝mx（m＞0，x＞0）的图象交于点N，若MN＝52，求点M的坐标20．阅读下列材料，并解决相关的问题按照一定顺序排列的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记a n，一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差用字母d表示，如数列1，3，5，7，9…为等差数列，其中a1＝1，d＝2（1）等差数列1，6，11，16…公差d为，第11项是．（2）若一个等差数列的公差为d＝3，第2项为10，求第1项a1和第n项a n（用含n的表达式表示）．21．（1）计算：112tan602)3-︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）解不等式：1123x x +-<22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0）．与y轴的交点为B （0，3），其顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）将△AOB沿x轴向右平移m个长度单位（0＜m＜3）后得到另一个△FPE，点A、O、B 的像分别为点F、P、E．①如图①，当点E在直线AC上时，求m的值．②设所得的三角形△FPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于m的函数表达式．23．（1）方法形成如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，点H是BC的中点，连结AH并延长交DC的延长线于M，则有CM＝AB．请说明理由；（2）方法迁移如图②，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，E是AD上的点，且△ABE和△DEC都是等腰直角三角形，∠BAE＝∠EDC＝90°．请探究AH与DH之间的关系，并说明理由．（3）拓展延伸在（2）的条件下，将Rt△DEC绕点E旋转到图③的位置，请判断（2）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明．24．如图，点O是Rt△ABC斜边AB上的一点，⊙O经过点A与BC相切于点D，分别交AB，AC于E，F，OA＝2cm，AC＝3cm．（1）求BE的长；（2）求图中阴影部分的面积．25．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A（2，1），B两点．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式，并求出B点坐标；（2）若P为直线x＝上一点，当△APB的面积为6时，请求出点P的坐标．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．72x14．cm15．①②③④16．（2x+y）（2x﹣y）17．1k＜18．三、解答题19．（1）k＝32，m＝6（2）（43，2）【解析】【分析】（1）设平移后的直线解析式为y=kx+b，待定系数法求出k，A在32y x=，求出A点坐标；又由A在反比例函数上，求出m；（2）设点36M a,a,N a,2a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据635MN aa22=-=求出M点坐标，结合a的取值范围0＜a＜2，确定符合条件的M．【详解】解：（1）设平移后的直线解析式为y＝kx+b，∵点B的坐标为（2，0），点C（0，﹣3）代入，得023k bb=+⎧⎨-=⎩，∴3k2b3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴3y=x32-，∴32y x =，∵A点横坐标为2，∴A点纵坐标为3，∴A（2，3），∵A在反比例函数myx=（m＞0，x＞0）的图象上，∴m＝6，∴k＝32，m＝6；（2）设点M（a，32a），N（a，6a），635 MN aa22∴=-=，∴3a2+5a﹣12＝0，∴a＝﹣3或a＝43，∵M在线段OA之间，∴0＜a＜2，∴a＝43，∴M（43，2）；【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的图象及解析式，能够利用待定系数法求解析式是解题的必要方法，根据两点间的距离建立方程式求解点坐标的关键．20．（1）5，51；（2）a n＝3n+4．【解析】【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）由a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d…可知：序列号n比d的系数小1，故：a n=a1+（n-1）d．【详解】（1）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，……a n﹣a n﹣1＝d，所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝a1+2d，a4＝a1+3d，……由此可得a n＝a1+（n﹣1）d（用a1和d的代数式表示）；由此可得：d＝6﹣1＝5，第11项是：1+10×5＝51，故答案为：5，51；（2）由题意得：a1＝10﹣3＝7，由（1）得：a n＝a1+（n﹣1）d＝7+3（n﹣1）＝3n+4．【点睛】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，知道什么是等差数列，会用等差数列解决问题．21．x≤3【解析】【分析】（1）按照实数的运算顺序进行运算即可.（2）根据解不等式的步骤解不等式即可.【详解】解：（1）原式132=+=；（2）3（1+x）﹣6≤2x，3+3x﹣6≤2x，3x﹣2x≤6﹣3，x≤3.【点睛】考查实数的混合运算以及解一元一次不等式，比较基础，难度不大.22．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①m＝32；②当0＜m≤32时，S＝﹣32m2+3m；当32＜m＜3时，S＝12m2﹣3m+92．【解析】【分析】（1）根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．（2）把点E的坐标代入直线AC的解析式来解答；（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=-x+3．易得AB平移m个单位所得直线EF的解析式为y=-x+3+m．连结BE，直线BE交AC于G，则G（32，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．根据图象，易知重叠部分面积有两种情况：①当0＜m≤32时；②当32＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．【详解】（1）由题意可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），则9303b cc++=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩．故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）由题意知，E（m，3）．由（1）得：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，故C（1，4）．设直线AC的解析式为y＝kx+t（k≠0）．把A（3，0），C（1，4）代入，得304k tk t+=⎧⎨+=⎩．解得k2 t6=-⎧⎨=⎩．故直线AC的解析式为：y＝﹣2x+6．把E（m，3）代入知，﹣2m+6＝3解得m＝32；（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y＝k′x+d，则303k dd'+=⎧⎨=⎩，解得k1 d3=-'⎧⎨=⎩．则直线AB的解析式为y＝﹣x+3．△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF的解析式为y＝﹣x+3+m．由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G（32，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．①当0＜m≤32时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE＝EK＝m，PK＝PA＝3﹣m，联立263y xy x m=-+⎧⎨=-++⎩，解得32x my m=-⎧⎨=⎩，即点M（3﹣m，2m）．故S＝S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM＝12PE2﹣12PK2﹣12F•h＝92﹣12（3﹣m）2﹣12m•2m＝﹣32m2+3m．②当32＜m＜3时，如图2所示．设PE交AB于K，交AC于H．因为BE＝m，所以PK＝PA＝3﹣m，又因为直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，所以当x＝m时，得y＝6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．故S＝S△PAH﹣S△PAK＝12PA•PH﹣12PA2＝﹣12（3﹣m）•（6﹣2m）﹣12（3﹣m）2＝12m2﹣3m+92．综上所述，当0＜m≤32时，S＝﹣32m2+3m；当32＜m＜3时，S＝12m2﹣3m+92．【点睛】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．23．（1）见解析；（2）AH⊥DH，AH＝DH，理由见解析；（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）由AB∥CD知∠BAH=∠CMH，∠B=∠BCM，结合BH=HC证△ABH≌△MCH，从而得出答案；（2）延长AH交DC的延长线于F，证△ABH≌△FCH得AB=CF，AH=HF，由等腰直角三角形知AB=AE=CF，CD=DE，从而得AD=DF，据此即可得出AH⊥DH，AH=DH；（3）作CF∥AB交AH的延长线于F，设旋转角度为α，则∠AED=∠DCF=180°-α，由（1）（2）得知AH=HF，AB=AE=CF，CD=DE，据此可证△AED≌△FCD得AD=DF，∠ADE=∠FDC，∠ADF=90°，从而得出答案．【详解】（1）∵AB∥CD，∴∠BAH＝∠CMH，∠B＝∠BCM，∵H是BC的中点，∴BH＝HC，∴△ABH≌△MCH（AAS），∴AB＝CM．（2）如图②，延长AH交DC的延长线于F，∵∠BAE＝∠EDC＝90°，∴∠BAE+∠EDC＝180°，∴AB∥DF，BH＝HE，由（1）得△ABH≌△FCH（AAS）∴AB＝CF，AH＝HF，由等腰Rt△ABE和等腰Rt△DEC得：AB＝AE＝CF，CD＝DE，∴AD＝DF，∴AH⊥DH，AH＝DH．（3）如图③过点C 作CF ∥AB 交AH 的延长线于F ，连接AD 和DF ．设旋转角度为α，则∠AED ＝∠DCF ＝180°﹣α，由（1）（2）得：AH ＝HF ，AB ＝AE ＝CF ，CD ＝DE ，∴△AED ≌△FCD （SSS ），∴AD ＝DF ，∠ADE ＝∠FDC ，∴∠ADF ＝90°，∴AH ⊥DH ，AH ＝DH ．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质及平行线的性质等知识点．24．（1）BE ＝2；（243π 【解析】【分析】（1）证△BOD ∽△BAC ，得比例线段即可求出BE 的长；（2）连OF ，求出BC 的长及∠BOF 的度数，则阴影部分的面积可用S △ABC -S △AOF -S 扇形OFE 求出．【详解】（1）连结OD ，∵BC 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥BC ，又∵∠C ＝90°，∴AC ∥OD ，∴△BOD ∽△BAC ， OD OB AC AB ∴=，即2234BE BE+=+， ∴BE ＝2；（2）连结OF,在Rt △ODB 中，OD ＝2，OB ＝4，∴∠B ＝30°，∠BOD ＝∠BAC ＝60°，∴BC ＝AOF ＝60°，∠BOF ＝120°，221132223ABC AOF OFE S S S π∆∴--=⨯⨯-⨯扇形， 43π=．【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识．25．（1）一次函数的解析式为y ＝x ﹣1，反比例函数的解析式y ＝，B 的坐标为（﹣1，﹣2）；（2）P 点的坐标为（，）或（，﹣）．【解析】【分析】（1）将点A 代入两解析式根据待定系数法即可求得一次函数与反比例函数的解析式，联立方程，解方程组即可求得B 点的坐标．（2）求得直线x ＝与直线y ＝x ﹣1的交点坐标，设P （,n ）,根据题意得出|n+|×（2+1）＝6,解得n 的值,从而求得P 的坐标．【详解】解：（1）因为点A （2,1）在两函数图象上,则1＝2+m,1＝,解得：m ＝﹣1,k ＝2,∴一次函数的解析式为y ＝x ﹣1,反比例函数的解析式y ＝，联立:,解得:x＝2或x＝﹣1,又∵点A的坐标为（2，1）,故点B的坐标为（﹣1，﹣2）,（2）把x＝代入y＝x﹣1得，y＝﹣1＝﹣，∴直线x＝与直线y＝x﹣1交点C的坐标为（，﹣）,设P（，n）,∴PC＝|n+|，∴S△APB＝S△APC+S△BPC＝|n+|×（2+1）＝6,解得，n＝或n＝﹣，∴P点的坐标为（，）或（，﹣）．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解决本题的关键是要熟练掌握待定系数法．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，半径为3的扇形AOB ，∠AOB=120°，以AB 为边作矩形ABCD 交弧AB 于点E ，F ，且点E ，F 为弧AB 的四等分点，矩形ABCD 与弧AB 形成如图所示的三个阴影区域，其面积分别为1S ，2S ，3S ，则132S S S +-为（）（π取3）A ．92-B ．92C ．152-D ．272-2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦AD CD =．若BD ＝2，CD ＝6，则BC 的长为（）D.53．如图，CE ，BF 分别是△ABC 的高线，连接EF ，EF=6，BC=10，D 、G 分别是EF 、BC 的中点，则DG 的长为（）A.6B.5C.4D.34．如图，□DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□DEFG 的面积为（）A ．4B ．C ．3D ．25．已知反比例函数y ＝﹣8x，下列结论中错误的是（） A.图象在二，四象限内 B.图象必经过（﹣2，4） C.当﹣1＜x ＜0时，y ＞8D.y 随x 的增大而减小6．如图，矩形ABCD 的边AB ＝1，BC ＝2，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积是( )A 3π-B ．23πC ．42-6π- D ．26π7．如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y ＝kx的图象在第一象限相交于点C ．若AB ＝BC ，△AOB 的面积为3，则k 的值为（）A ．6B ．9C ．12D ．188．定义一种新的运算：a•b=2a b a +，如2•1=2212+⨯=2，则（2•3）•1=（） A ．52 B ．32C．94D．1989．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF＝140°，∠ADE＝105°，则∠A的大小为（）A．75°B．50°C．35°D．30°10．已知关于x的一元二次方程230 4x x a--+=有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值为( )A．-1 B．0 C．2 D．111．如图，矩形ABCD中，AB＝7，BC＝4，按以下步骤作图：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB，BC于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点H，作射线BH，交DC于点G，则DG的长为（）A．2 B．3 C．4 D．512．（11·丹东）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC=9，则AE的值是（）A ．B ．C ．6D ．4二、填空题13．将一次函数y ＝x ﹣1的图象向下平移3个单位得到的函数关系式为_____． 14．已知23x y=，则xy=_____． 15．已知α，β是方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____． 16．如图，▱ABCD 中，AD ＝2AB ，AH ⊥CD 于点H ，N 为BC 中点，若∠D ＝68°，则∠NAH ＝_____．17．抛物线 y= -x 2 + bx + c 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程-x 2+ bx + c= 0 的解为____________18．将一个四边形的纸片一刀剪去一个角后，所得的多边形的内角之和是_____．三、解答题19．（1）化简求值： 211111x x x x-⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭，其中x =；（2）计算：﹣22+﹣2007）0﹣4sin45°20021 tan60()2-+21．解不等式组：331213(1)8xxx x-⎧++⎪⎨⎪--≤-⎩；并在数轴上把解集表示出来，并判断﹣1这两个数是否为该不等式组的解．22．传统文化与我们生活息息相关，中华传统文化包括古文古诗、词语、乐曲、赋、民族音乐、民族戏剧、曲艺、国画、书法、对联、灯谜、射覆、酒令、歇后语等．在中华优秀传统文化进校园活动中，某校为学生请“戏曲进校园”和民族音乐”做节目演出，其中一场“戏曲进校园”的价格比一场“民族音乐”节目演出的价格贵600元，用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍，求一场“民族音乐”节目演出的价格．23．已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+3与x轴的一个交点为（1，0），顶点记为A，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．（1）求抛物线C2的函数表达式；（2）若抛物线C2与x轴正半轴的交点记作B，在x轴上是否存在一点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（1）△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形，如图1，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，连结AD、BE，求证：△ACD≌△BCE．（2）△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，CD＜AC，△CDE从边CD与AC重合开始绕点C逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°）；①如图2，DE与BC交于点F，与AB交于点G，连结AD，若四边形ADEC为平行四边形，求BGAG的值；②若AB＝10，DE＝8，连结BD、BE，当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，求BE的长．25．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）若∠BAD＝70°，则∠BCA＝°；（2）若AB＝12，BC＝5，求DE的长：（3）求证：BE是⊙O的切线．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．y＝x﹣414．615．016．34°17．x1=1，x2=-318．180°或360°或540°三、解答题19．（1（2）-3.【解析】【分析】（1）先将括号内的部分通分，再将分子、分母因式分解，然后根据分式的乘除法运算法则进行解答；（2）根据平方、二次根式的化简、0指数幂、特殊角的三角函数值进行解答．【详解】解：（1）222111212111x xx x x x x x--⎛⎫-⋅=⋅= ⎪-+-⎝⎭当x5 =；（2）2022007)4sin454143︒-+-=-+-=-;【点睛】本题考查了分式的化简求值、实数的运算、0指数幂、特殊角的三角函数值，都是基础内容，要认真运算．20．6【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、立方根的性质分别化简进而得出答案．【详解】+4＝6．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21．﹣2≤x＜1，﹣1不是不等式组的解．【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【详解】解：331213(1)8xxx x-⎧++⎪⎨⎪--≤-⎩①②，解①得x＜1，解②得x≥﹣2．。

中考数学复习考点知识讲解与提升强化训练14--- 线段、角、相交线和平行线(解析版)

中考数学复习考点知识讲解与提升强化训练第14讲线段、角、相交线和平行线1．线段与直线(1)两个基本事实：直线的基本事实：两点确定一条直线；线段的基本事实：两点之间线段最短．(2)两点间距离：连接两点的线段，叫做两点之间的距离．(3)线段的中点：如图，点C把线段AB分成相等的两段AC与BC，点C叫做线段AB的中点，即AC＝BC＝12AB.(4)线段的和与差：如图，点C是线段AB上一点，则AC＋BC＝AB，AC＝AB－BC，BC＝AB－AC.2．角及角平分线(1)1周角＝_2_平角＝__4_直角＝360°，1°＝__60′，1′＝60_″.(2)小于直角的角叫做_锐角_；大于直角而小于平角的角叫做钝角；度数是90°的角叫做直角．(3)余角：两个角的和等于90°时，称这两个角互为余角；同角(或等角)的余角_相等_．补角：两个角的和等于180°时，称这两个角互为补角；同角(或等角)的补角相等．(4)角平分线：①从一个角的顶点引出一条射线，把这个角平分成相等的两个角，这条射线叫这个角的角平分线；②角平分线上的点，到角两边的距离_相等_；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

3．相交线(如图)(1)①邻补角：在一条直线上且互补的一对角，如：∠1与∠4，∠1与∠2，∠6与∠7等性质：邻补角和为180°.②对顶角：相交线中相对的一组角，如：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8. 性质：对顶角相等．(2)三线八角：同位角有∠4与∠8，∠1与∠5，∠3与∠7，∠2与∠6；内错角有∠3与∠5，∠2与∠8；同旁内角有∠3与∠8，∠2与∠5.(3)①垂线定义：两直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们称这两条直线互相垂直_，其中一条直线叫另一条直线的_垂线，它们的交点叫垂足；②垂线基本事实：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短；④点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；⑤垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 4．平行线(1)在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；(2)平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行； (3)平行线判定与性质：判定定理⎩⎨⎧⎭⎬⎫同位角相等⇔两直线平行内错角相等⇔两直线平行同旁内角互补 ⇔两直线平行性质定理考点1：几何图形基本知识【例题1】若C 、D 是线段AB 上两点，D 是线段AC 的中点，AB=10cm ，BC=4cm ，则AD 的长是________ cm ．【分析】由AB=10cm ，BC=4cm ，可求出AC=AB ﹣BC=6cm ，再由点D 是AC 的中点，则可求得AD 的长．解析：如图：∵AB=10cm ，BC=4cm ，∴AC=AB ﹣BC=6cm ，又点D 是AC 的中点，∴AD=AC=3cm ，故答案为：3【同步练】已知线段AB=10cm ，线段BC=4cm ，则线段AC 的长是________ cm ．解：（1）如图1，点B 在点A 、C 的中间时，，AC=AB+BC=10+4=14（cm ）（2）如图2，点C在点A、B的中间时，，AC=AB﹣BC=10﹣4=6（cm）∴线段AC的长是14或6cm．故答案为：14或6．考点2：平行线的判定【例题2】一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α(∠α＝∠BAD且0°＜α＜180°)，使两块三角板至少有一组边平行．(1)如图1，α＝15°时，DE∥BC；(2)请你在图2、图3中各画一种符合要求的图形，并写出对应的α的度数和平行线段．图1图2图3【解答】解：当α＝60°时，BC∥DA.∵∠BAC＝30°，α＝60°，∴∠DAC＝∠C＝90°.∴∠DAC＋∠C＝180°.∴BC∥DA.当α＝105°时，BC∥EA.∵α＝105°，∠DAE＝45°，∴∠EAB＝60°.∵∠B＝60°，∴∠EAB＝∠B.∴BC∥EA.归纳：已知角的大小，判断两直线平行时：(1)先看已知角是哪两条直线被哪条直线所截得到的，是一对什么角；(2)再看是否满足两直线平行的判定条件，若满足，则平行；否则不平行．考点3：平行线性质【例题3】（2018•重庆）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD 上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°．【解答】解：∵∠EFG=90°，∠E=35°，∴∠FGH=55°，∵GE平分∠FGD，AB∥CD，∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，∵∠FHG是△EFH的外角，∴∠EFB=55°﹣35°=20°．归纳：对于利用平行线性质求角度的问题：(1)通过观察题图和已知条件得出已知和所求的角是否可以直接通过平行线的哪些性质得出；(2)结合两角互余、两角互补、三角形内角和定理、三角形的内外角关系进行求解；(3)若题中提到角平分线，则在解题过程中注意角之间的等量代换．最后根据角之间的等量关系即可求解．一、选择题：1. （2018•邵阳）如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC 的大小为（）A．20°B．60°C．70°D．160°【答案】D【解答】∵∠AOD=160°，∴∠BOC=∠AOD=160°，故选：D．2. （2019•湖北十堰•3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（）A．50°B．45°C．40°D．30°【答案】C【解答】解：∵直线AB⊥AC，∴∠2+∠3＝90°．∵∠1＝50°，∴∠3＝90°﹣∠1＝40°，∵直线a∥b，∴∠1＝∠3＝40°，故选：C．3. （2018•孝感）如图，直线AD∥BC，若∠1=42°，∠BAC=78°，则∠2的度数为（）A．42°B．50°C．60°D．68°【答案】C【解答】解：∵∠1=42°，∠BAC=78°，∴∠ABC=60°，又∵AD∥BC，∴∠2=∠ABC=60°，故选：C．4. （2018•铜仁市）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（）A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm【答案】C【解答】解：当直线c在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4﹣1=3（cm）；当直线c不在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4+1=5（cm），综上所述，a与c的距离为3cm或3cm．故选：C．5. （2019•河北省•3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB【答案】C证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．二、填空题：6. （2019•广西贵港•3分）如图，直线a∥b，直线m与a，b均相交，若∠1＝38°，则∠2＝．【答案】142°【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠3，∵∠1+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣38°＝142°．故答案为142°．7. （2018•通辽）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB 的度数是．【答案】75°30′（或75.5°）．【解答】解：∵CD∥OB，∴∠ADC=∠AOB，∵∠EDO=∠CDA，∴∠EDO=∠AOB=37°45′，∴∠EDB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°），故答案为75°30′（或75.5°）．8. （2019•甘肃•3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°【答案】D【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D．9. 如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过秒时线段PQ 的长为5厘米．【答案】或1或3或9．【解答】解：设运动时间为t秒．①如果点P向左、点Q向右运动，由题意，得：t+2t=5﹣4，解得t=；②点P、Q都向右运动，由题意，得：2t﹣t=5﹣4，解得t=1；③点P、Q都向左运动，由题意，得：2t﹣t=5+4，解得t=9．④点P向右、点Q向左运动，由题意，得：2t﹣4+t=5，解得t=3．综上所述，经过或1或3秒时线段PQ的长为5厘米．故答案为或1或3或9．三、解答题：10. 已知∠α=76°，∠β=41°31′，求：（1）∠β的余角；（2）∠α的2倍与∠β的的差．（1）根据互为余角的两个角的和为90度可得∠β的余角=90°﹣∠β，将∠β=41°31′【分析】代入计算即可；（2）将∠α=76°，∠β=41°31′代入2∠α﹣∠β，然后计算即可．解析：（1）∠β的余角=90°﹣∠β=90°﹣41°31′=48°29′；（2）∵∠α=76°，∠β=41°31′，∴2∠α﹣∠β=2×76°﹣×41°31′=152°﹣20°45′30″11. 已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．【解答】解：如图1所示，∵AP=2PB，AB=6，∴PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4；∵点Q为PB的中点，∴PQ=QB=PB=×2=1；∴AQ=AP+PQ=4+1=5．如图2所示，∵AP=2PB，AB=6，∴AB=BP=6，∵点Q为PB的中点，∴BQ=3，∴AQ=AB+BQ=6+3=9．故AQ的长度为5或9．12. 有三个海岛A，B，C，其中C岛在A岛的北偏东60°方向．(1)如图1，若C岛在B岛的南偏东25°方向，求∠BCA的度数；(2)如图2，若C岛在B岛北偏西50°方向上，求C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．图1 图2【解答】解：(1)根据题意，得∠DAC＝60°，∠MBC＝25°.∵EG∥AD，∴∠ACG＝∠DAC＝60°.∵BM∥AD，∴BM∥EG.∴∠ECB＝∠CBM＝25°.∴∠BCA＝180°－∠ACG－∠ECB＝95°.(2)过点C作CM∥AD，∴∠ACM＝∠DAC＝60°.∵AD∥BE，∴BE∥CM.∴∠BCM＝∠CBE＝50°.∴∠ACB＝∠ACM＋∠BCM＝110°.13. 如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放(∠MON＝90°) ．(1)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC?请说明理由；(2)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系? 请说明理由．【解析】解：(1)ON平分∠AOC．理由如下：∵∠MON＝90°∴∠BOM+∠AON＝90°∠MOC+∠NOC＝90°又∵OM平分∠BOC∴∠BOM＝∠MOC∴∠AON＝∠NOC∴ON平分∠AOC(2)∵∠CON+∠NOB＝60°又∵∠BOM+∠NOB＝90°∴∠BOM＝∠NOC+30°14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D的坐标；（2）若在y轴上存在点M，连接MA，MB，使S△MAB=S平行四边形ABDC，求出点M的坐标．（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．①若P在线段BD之间时（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围；②若P在直线BD上运动，请直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．【解答】（1）由平移可知：C（0，2），D（4，2）；（2）∵AB=4，CO=2，=AB•CO=4×2=8，∴S平行四边形ABOC设M坐标为（0，m），∴×4×|m|=8，解得m=±4∴M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；=×（3+4）×2=7，（3）①S梯形OCDB当点P运动到点B时，S△POC最小，S△POC的最小值=×3×2=3，S△CDP+S△BOP＜4，当点P运动到点D时，S△POC最大，S△POC的最大值=×4×2=4，S△CDP+S△BOP＞3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，∵CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，∵CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，∴∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP，∴∠BOP﹣∠DCP=∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．。

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