巧解抛物线的对称性和平移问题
巧解抛物线的对称性和平移问题
夹河镇黑虎中学李玉升
在二次函数一章中抛物线的对称性和平移问题是一个重点内容，也是中考常考的知识点。
掌握其对称和平移的规律能为我们解题带来很多方便，也能为我们从中节省很多时间。
一.抛物线关于x轴、y轴、原点对称的抛物线的解析式。
对于求抛物线顶点式：y=a(x-h)2+k关于x轴、y轴、原点对称的解析式，学生很容易想到先找到其顶点（h,k）关于x轴、y轴、原点的对称点，再根据对称后的开口方向决定是a还是-a，从而得出对称后的解析式。
可对于求一般式y=ax2+bx+c关于x轴、y轴、原点对称的解析式时，学生还是想到先将其化为顶点式后，再根据顶点式来求其对称后的解析式。
这样做固然正确，但解答过程比较繁琐。
其实抛物线的对称规律与点的对称规律一样：关于x轴对称横坐标不变，纵坐标变为它的相反数；关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变为其相反数；关于原点对称横、纵坐标都变为它的相反数。
例：求抛物线y=-2x2+3x-6关于x轴对称的抛物线的解析式时只需将y变为－y，即：－y＝-2x2+3x-6，然后化为一般形式y=2x2－3x+6即可；求抛物线y=-2x2+3x-6关于y轴对称的抛物线的解析式时只需将x变为－x ，即：y＝-2（－x）2+3（－x）-6，然后化为一般形式y=－2x2－3x－6即可；求抛物线y=-2x2+3x-6关于原点对称的抛物线的解析式时将x变为－x，y变为－y，即：－y＝-2（－x）2+3（－x）-6，然后化为一般形式y=2x2+3x+6即可。
二.求抛物线上、下、左、右平移的抛物线的解析式。
对于求抛物线顶点式：y=a(x-h)2+k上、下、左、右平移后的解析式学生也不是问题，即：上加下减，直接加、减在k上，左加右减，直接加、减在x上，而对于求一般式y=ax2+bx+c平移后的解析式时学生也想到将其化成顶点式后再平移。
其实没这个必要，也可直接在一般式中进行，即上或下平移时直接在c上加或减，左或右平移时直接在x上加或减。
例：将抛物线y=5x2－2x+6向右平移3个单位再向上平移2个单位的解析式为：y=5（x－3）2－2（x －3）+6+2，化为一般式得：y=5x2－32x+59。
其实，这些规律学生也并非不能接受。
因为抛物线是由一些点组成的图形，其对称性自然满足点的对称规律。
平移只需总结出：上、下平移直接加、减在常数项上，左、右平移直接加、减在自变量上即可。
抛物线平移、对称变换
抛物线平移、对称变换专题一：抛物线平移、对称变换学习目标： 1.抛物线平移顶点，与坐标系交点关系2. 利用对称性求点的坐标知识框架：【1】抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向与开口大小。
【2】求抛物线2=++（0a≠）沿坐标轴平y ax bx c移后的解析式，一般可先将其配方成顶点式()2=-+（0a≠），然后利用抛物线平移变换的有y a x h k关规律将原顶点坐标改变成平移后的新顶点坐标即可。
抛物线平移变换的规律是：左加右减（在括号），上加下减（在末梢）。
【3】抛物线绕其顶点旋转180°只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大小及顶点位置。
【4】求抛物线2=++（0a≠）绕其顶点旋转y ax bx c180°后的解析式，同样可先将其配方成顶点式()2=-+（0a≠），然后将二次项系数直接改变成y a x h k其相反数即可。
【5】⑴抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向及开口大小。
⑵抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置，但抛物线的开口大小不变。
【6】求抛物线2=++（0a≠）沿某条坐标轴y ax bx c翻折后的解析式，首先仍应将其配方成顶点式()2=-+（0a≠），然后再根据翻折的方向来确定y a x h k新抛物线的解析式——若是沿y轴翻折，则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可；若是沿x轴翻折，则除了要将顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标外，还需将二次系数改变成其相反数。
真 题 汇 编：第一部分（选择题）（2013-2014海淀）二次函数22+1y x =-的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为( ) A ．221y x =-- B ．221y x =+ C ．22y x = D ．221y x =-【方法总结】（2015-2016北师大实验二龙路中学） 将抛物线22y x =向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线解 析式是（ ）．A ．22(1)3y x =-- B ．22(1)3y x =++C ．22(1)3y x =-+ D ．22(1)3y x =+-【方法总结】（2015-2016北京三中）将抛物线 224=+y x绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）. A ． 224=--y x B ． 224=-+y xC ．224=-y xD ． 22=-y x【方法总结】（2015-2016北京市昌平第三中学）把抛物线y =2x 2-3沿x 轴翻折，所得的抛物线是（ ）A.y ＝－2x 2－3B. y ＝2x 2-3C. y ＝2x 2＋3D. y ＝－2x 2+3【方法总结】（2015-2016北京三帆中学）二次函数23+1y x =-的图象如图所示, 将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为 A ．231y x=-- B ．23y x =C ．231y x=+ D ．231y x=-【方法总结】丰台区2017-2018中，抛物线221x y =x x y 2212-=，的阴影部分的面积是( )A ．2 B. 4 C. 8 D. 16【方法总结】第二部分（填空题）海淀区2017-201822y x =平移后经过点(0,3)A，(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式．【方法总结】（2013-2014海淀）已知点P（-1，m）在二次函数21y x=-的图象上，则m的值为；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 .【方法总结】（2015-2016年北京市第三十一中学）抛物线图像22x=xx-y，平=经过平移得到抛物线图像5y-422--移方法是______【方法总结】朝阳区2015-2016如图，抛物线y=4-x2通过9平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O （0，0），它的顶点为A ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=4-9x2交于点C ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为 ．【方法总结】丰台区2014-2015如图，⊙O 的半径为2, 1C 是函数的221x y =的图象，2C 是函数的221x y -=的图象，3C 是函数的x y =的图象，则阴影部分的面积是______【方法总结】第三部分（解答题）（2013-2014东城）二次函数2y axbx c=++的图象与x轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于点C （0，-5），且经过点D （3，-8）. （1）求此二次函数的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．【方法总结】（2016-2017北京四十四中初三上期中）抛物线22y x =向上平移后经过点(0,3)A ，求平移后的抛物线的表达式．【方法总结】（2016-2017北京西城铁路第二中学初三上期中） 如图，一段抛物线：(2)y x x =-（0≤x ≤2），记为1C ，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2 ，交x 轴于点A 2 ；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；… ，如此进行下去，直至得C 10．（1）请写出抛物线C 2的解析式： ；（2）若P （19，a ）在第10段抛物线C 10上，则a =_________．【方法总结】西城区2014-2015已知：抛物线1C ：2y axbx c=++经过点()10A -，、()30B ，、()03C -，．⑴ 求抛物线1C 的解析式；⑵ 将抛物线1C 向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线2C 经过坐标原点，并写出2C 的解析式；⑶ 把抛物线1C 绕点()10A -，旋转180︒，写出所得抛物线3C 顶点D 的坐标．【方法总结】【纠错回顾】。
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧高中数学作为一门重要的学科，其内容的难度也相对较高。
抛物线作为高中数学中的一个常见知识点，其涉及到的解题方法与技巧也非常重要。
在本文中，我将借助我的学习经验，向大家浅谈关于探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧。
一、基本概念在探讨解题方法与技巧之前，首先我们需要了解抛物线的基本概念。
抛物线是一种在平面上呈现出u形的曲线。
其方程通常为y = ax² + bx + c。
抛物线有两个基本特性：首先，抛物线是对称的，它的对称轴是垂直于x轴的线，其公式为x = -b/2a。
其次，抛物线的最高点叫做顶点，其y坐标为y = c - b²/4a。
二、解题方法1. 求解抛物线的相关参数在解题的过程中，如果我们要求解抛物线的方程，我们需要知道其中的相关参数。
在抛物线方程y = ax² + bx + c中，参数a、b、c分别代表什么意思？我们可以这样理解：参数a代表抛物线的开口方向和开口的大小，参数b代表抛物线的上下平移位置，参数c代表抛物线的左右平移位置。
2. 求解抛物线与其他曲线的交点在解题的过程中，我们还需要求解抛物线与其他曲线（如直线、另一条抛物线等）的交点。
这时我们需要用到解方程的方法。
以求解抛物线和直线的交点为例，我们先将抛物线和直线的方程联立起来，然后将抛物线的方程中的x用直线的方程表示，我们最后就能够解出x的值。
将x的值代入其中一个方程就可以求出y的值。
3. 求解离散数据的抛物线方程在实际生活中，我们有时候需要通过一组离散的数据来求解抛物线的方程。
这时候我们需要用到最小二乘法。
最小二乘法是一种通用的解决线性回归问题的办法，将数据点投影到一个平滑的函数上，通过求解该函数的系数，最终得到最优的函数曲线。
三、解题技巧1. 确定坐标系在解题的过程中，我们应该确定好坐标系的选择，通常可以根据题目的要求来选择合适的坐标系。
如果我们要求解抛物线上的某一个点，可以选择原点为顶点，则求解过程更容易进行。
巧用对称性,妙解抛物线问题
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参 考 文 献
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上 海 教 育 出 版社 ， ９ ８ １９．
２１ ０ ０年 第 ７期
中学 数学 月刊
・２ ・ ９
评 注 对 于 不 在 同一 单 调 区 间 的 三 个 点 来
解 析 Ａ， 两点关 于抛 物线 的对 称轴 对 称 ， Ｂ 故 抛物 线 的对称轴 为 直线 ｚ一 ６ 因顶点 Ｐ到 轴 ．
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京 ： 京 大 学 出 版 社 ，９５ 北 １８．
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中学数 学月刊
２１ ０ ０年第 ７期
巧 用对 称 性 ， 解抛 物 线 问题 妙
王 瑾 （ 江苏省 张 家港 市第三 中学 ２５０ ） １ ６ ０
抛物线对称问题的探究与解答
抛物线对称问题的探究与解答引言：抛物线作为一种经典的曲线形状，具有许多独特的性质和特点。
其中一个引人注目的问题就是抛物线的对称性。
本文将探究抛物线对称的相关概念、公式推导以及实际应用，并尝试回答抛物线对称问题的范围。
一、抛物线的基本概念和性质1. 什么是抛物线？在几何学中，抛物线是一个平面曲线，其形状由一个动点到一个固定点和一个固定直线的距离比例确定。
抛物线由二次方程表示，通常形式为y=ax²+bx+c。
2. 抛物线的特点抛物线具有丰富的性质，如：顶点、焦点、准线、对称轴等。
二、抛物线的对称性1. 横轴对称性定义了一个抛物线的对称轴，也称为横轴，过抛物线的顶点并垂直于准线。
抛物线关于横轴对称，即在对称轴两侧的图形完全相同。
2. 纵轴对称性某些抛物线还表现出纵轴对称性，即围绕纵轴对称，对称轴为垂直于横轴过顶点的线。
三、抛物线的对称性证明1. 横轴对称性的证明以抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系。
利用二次方程的对称性质以及函数平移的知识，可以证明抛物线关于横轴对称。
2. 纵轴对称性的证明同样以抛物线的顶点为原点建立坐标系，利用奇偶函数的对称性质和函数平移的概念，可以证明抛物线关于纵轴对称。
四、抛物线对称问题的范围1. 抛物线对称轴的位置抛物线的对称轴是纵轴或横轴，具体取决于二次方程的系数，对称轴的位置可以通过系数的特性来判断。
2. 抛物线的顶点坐标顶点是抛物线上的一个特殊点，具有一定的几何意义。
顶点坐标的求解公式可以通过配方变形、导数等数学方法推导得出。
3. 抛物线的焦点和准线对于一些特殊的抛物线，还存在焦点和准线等概念。
焦点的位置可以通过一定的几何关系和推导得到，准线则是与焦点有关的一条直线。
五、抛物线对称性的实际应用1. 物理学中的抛物线抛物线的运动轨迹在物理学中具有广泛的应用，如自由落体、炮弹的弹道等。
了解抛物线对称性的概念，有助于解决实际问题和理解物理规律。
2. 工程学中的抛物线抛物线的形状特征在工程设计中也有重要的应用，如光学反射镜、设计拱桥的形状等。
巧用抛物线的对称性
“由于引进了直角坐标系,抽象的函数性质变得直观、易于理解;解题时若能灵活运用函数的性质,常能事半功倍.今天,我以抛物线的对称性为例来阐明这一点,希望能给大家一些启迪.”Z 老师点明了讲座的主题.例1(2007年常州市中考试题)二次函数y=ax 2+bx+c 的部分对应值如下表,则二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴为x=,x =2对应的函数值y=.x y ……-27-30135……0-8-9-57江苏镇江张希麟(特级教师)■③通过调查,你发现当地的自然景观受到了破坏,请写一条广告语,呼吁人们保护我们生存的环境,珍惜我们拥有的资源。
(不超过20字)答:(2007年四川乐山)解析:题①考查活动主题的设定,要与奥运会相关,如人文景观、自然景观、经济文化、体育设施、全民健身意识等。
题②考查活动过程,由于开展过“社会热点调查”实践活动,所以学生较为熟悉。
示例一:收集、整理当地的人文景观、自然景观的相关资料,并实地观察采访。
示例二:走访有关部门,了解经济文化、体育设施、全民健身意识等的现状。
题③属于语言文字在生活中的实际运用,将“绿色奥运”这一环保主题与公益广告有机结合,让学生尝试用广告的语言(有文采,句式基本工整,有一定号召性)进行创作,通过语言实践,提高语文素养,培养创新能力,达到情感、态度、价值观的整体提升。
示例:“行动起来,保护我们的家园!”“前人种下一棵树,后人得惠一片荫。
”责任编辑/梅香meixian g2@126.co m#######################巧用抛物线的对称性★图1H 同学说:利用抛物线上三个点就能确定它的解析式,本题中给出了六个点,我选三个坐标相对简单的点:(0,-8)、(-2,0)、(1,-9),代入抛物线的解析式y=ax 2+bx+c 中,则c=-8,4a-2b+c=0,a+b+c=-9"$$$#$$$%.解得a=1,b=-2,c=-8.即y =x 2-2x-8=(x-1)2-9,于是对称轴为x =1;当x=2时,y =-8.W 同学说:我想题中给出六个点,难道仅仅是为了造成条件多余的感觉吗?!我发现当x=-3和x =5时,y 都等于7,说明(-3,7)与(5,7)是抛物线上的两个对称点(图1).为此,对称轴是x=5+(-3)2=1.再利用对称性,x=2时y 的值就是x =0时y 的值,即y=-8.Z 老师说:H 同学利用待定系数法求解析式是解决此类问题的一般方法,应该掌握.但解题时注意到题中并未要求函数的解析式,且给出了六个点,是否还有其它解题途径?W 同学正是这样去思考的.由此,我们还可以得到一个结论:抛物线上有两个对称点,它们的横坐标是x 1、x 2,那么抛物线的对称轴为x=x 1+x 22.例2对称轴为直线x=72的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4),求抛物线的解析式.L 同学说:抛物线经过点A(6,0),对称轴为x=72,得抛物线与x 轴的另一个交点为(1,0),因此设抛物线的解析式为y =a (x -1)(x -6),抛物线经过点B(0,4),得6a=4,a=23,所以y =23(x-1)(x-6)=23x 2-143x+4.S 同学插话:也可设抛物线为y =a(x -72)2+k,但需求出两个待定系数.Z 老师说:抛物线的解析式常用的有三种形式,L 同学用的是y =a (x-x 1)(x -x 2),试问:如果抛物线上的两个对称点不在x 轴上,设A(x 1,y 0)、B(x 2,y 0),那么过A 、B 两点的抛物线解析式又会是怎样呢?小清说:我想应该是y-y 0=a(x -x 1)(x-x 2).设y =ax 2+bx +c,因为x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c-y 0=0的两个根,这就是说ax 2+bx +c-y 0=a (x -x 1)(x -x 2),即y-y 0=a(x -x 1)(x-x 2).1在例1中,由(-3,7)和(5,7),可设抛物线的解析式为y -7=a(x +3)(x -5),抛物线经过点(0,-8),有-8-7=-15a,得a=1,抛物线的解析式为y -7=(x +3)(x-5),即y =x 2-2x-8,和H 同学的结果相同.例3(2007年昆明市中考试题)如图2,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连接OA,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点B 的坐标;(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.H 同学说:过B 作BD ⊥x 轴于D ,在Rt △BOD 中∠BOD=60°,则∠OBD=30°,所以OD=12OB=1,BD=3%,点B 的坐标为1,3%&’.A(-2,0),O(0,0)是抛物线与x 轴的两个交点,设抛物线为y =a(x -0)(x +2)=ax(x +2),由抛物线过点B 1,3%&(,所以3%=3a,即a=3%3,抛物线的解析式为y=3%3x 2+23%3x.显见,抛物线的对称轴为x =-1,由于OB=2为定值,因此,求△BOC 周长的最小值就转化为在直线x=-1上找一点C ,使CO+CB 的值为最小.这是一个大家熟悉的问题,所求C 点为O 、B 两点中的一点与另一点关于x =-1的对称点的连线与直线x =-1的交点,本题中A 、O 关于对称轴x=-1对称,故连接AB ,与对称轴x=-1的交点就是C.设直线AB 方程为y =kx +b,A(-2,0)、B 1,3%&(在直线上,有-2k+b=0,k+b=3%),解得k =3%3,b =23%3*,,,,,+,,,,,-.所以y =3%3x +23%3.令x =-1,则y =3%3,所以C -1,3%3.(.W 同学说:H 同学分析透彻.我补充一下,C 点的坐标也可这样求,在图2O★Rt △ACE 中,∠CAE=30°,CE AE =tan30°,又AE=1,所以CE=tan30°=3$3,C -1,3$3%&.例4(2007年南通市中考试题)某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出,每天可销售出6台.假设这种品牌的彩电每台降价100x (x 为正整数)元,每天可以多销售3x 台.(注:利润=销售价-进价)(1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y 元,试写出y 与x 之间的函数关系式;(2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少?此时,每台彩电的销售价是多少时,彩电的销售量和营业额均较高?Z 老师说:这是一道应用题,列式并不难.如果每台降价100x 元,则销售量为3x +6台,有y =(3900-100x )(3x +6)-3000(3x +6)=(3x +6)(900-100x )=-300(x 2-7x -18)=-300x-72%&2-1214’(.当x =72时,函数y 有最大值.但由于x是正整数,x 不能取72,如何解决这个矛盾呢?S 同学说:由于x 只取正整数.因此函数的图象不是整条抛物线,而是抛物线y=-300(x 2-7x -18)上横坐标为正整数的一些点.由于抛物线开口向下,所以愈接近对称轴的点,y 值越大.而x=3与x =4的两个点关于对称轴x =72对称,它们的y值相同.本题所求的最大利润就是当x =3或x =4时,函数y 的值为9000元.比较x=3、x =4时的销售价、销售量、营业额,最终问题就能解决.Z 老师说:利用抛物线的对称性,为解题提供了便捷的途径.也许有的同学会说,这些题我都会解,这样的研究有实际的价值吗?我认为做事首要的是讲求效率,从现实情况看,因为考试时间不够,未能完成答卷,甚至出现自己会做都没有来得及做的现象,难道我们见得还少吗?研究解法,就能赢得时间.而对命题者来讲,这正反映了你对知识掌握的程度,体现你的学习能力,这也正是检测的重要目标之一.责任编辑/沈红艳czsshy@126.co m。
巧用抛物线的对称性解题（含答案）
巧⽤抛物线的对称性解题（含答案）专题训练(四)巧⽤抛物线的对称性解题类型⼀利⽤抛物线的对称性求对称轴或点的坐标1．⼆次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，则该⼆次函数图象的对称轴是直线()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且经过点P(3，0)，则抛物线与x 轴的另⼀个交点的坐标为()A．(－1，0) B．(0，0)C．(1，0) D．(3，0)3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另⼀点的坐标．类型⼆利⽤抛物线的对称性⽐较函数值的⼤⼩4．已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则() A．y1C．y35．若⼆次函数y＝x2－6x＋c的图象经过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3从⼤到⼩排列是____________．类型三利⽤抛物线的对称性求代数式的值6．已知P(a，m)，Q(b，m)是抛物线y＝2x2＋4x－3上的两个不同的点，则a＋b＝________．7．当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则当x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为________．类型四利⽤抛物线的对称性确定⾃变量的取值范围8．2＋bx＋c中x，y的部分对应值如下表：则当9．⼆次函数y＝(x－1)2＋1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为________________．?类型五利⽤抛物线的对称性求⾯积10．如图4－ZT－1，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝－2x2的图象，则图中阴影部分的⾯积为________．图4－ZT－111．已知⼆次函数y＝2x2＋m(m为常数)．(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此⼆次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)；(2)如图4－ZT－2，此⼆次函数的图象经过点(0，－4)，正⽅形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x轴上，求图中阴影部分的⾯积．图4－ZT－2类型六巧⽤抛物线的对称性求⼆次函数的表达式12．已知⼆次函数y有最⼤值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，则此⼆次函数的表达式为______________．13．已知⼆次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个⼆次函数的表达式为______________．14．⼆次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该⼆次函数的表达式．类型七利⽤对称性解决线段和最短问题15．已知⼆次函数y＝ax2＋bx＋6的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A，B的横坐标是⼀元⼆次⽅程x2－4x－12＝0的两个根．(1)请直接写出点A、点B的坐标．(2)请求出该⼆次函数的表达式及图象的对称轴和顶点坐标．(3)如图4－ZT－3，在⼆次函数图象的对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最⼩？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－316．如图4－ZT－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，它与x轴的另⼀个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找⼀点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最⼩，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴直线x＝－1上的⼀个动点，求使△BPC为直⾓三⾓形的点P的坐标．图4－ZT－4详解详析1．[解析]B ∵⼆次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，∴图象的对称轴是直线x ＝2＋（－4）2＝－1.故选B. 2．[解析]C 由于抛物线的对称轴为直线x ＝2，⽽点P (3，0)位于x 轴上，设抛物线与x 轴的另⼀个交点的坐标为(m ，0)，根据题意得m ＋32＝2，解得m ＝1，则抛物线与x 轴的另⼀个交点的坐标为(1，0)，故选C.3．解：由点A (－2，7)，B (6，7)的纵坐标相同，可知点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴⽅程为x ＝－2＋62＝2.设该抛物线上纵坐标为－8的另⼀点的坐标为(x 2，－8)，则有2＝3＋x 22，从⽽得x 2＝1，故该抛物线上纵坐标为－8的另⼀点的坐标为(1，－8)． 4．[解析]C 抛物线y ＝－2x 2－8x ＋m 的对称轴为直线x ＝－2，且开⼝向下，∴当x ＝－2时y 取得最⼤值．∵－4＜－1，且－4到－2的距离⼤于－1到－2的距离，根据抛物线的对称性，知y 3＜y 1.∴y 3＜y 1＜y 2.故选C.5．[答案]y 1＞y 3＞y 26．[答案]－2[解析]已知点P (a ，m )和Q (b ，m )是抛物线y ＝2x 2＋4x －3上的两个不同的点，因为点P (a ，m )和Q (b ，m )的纵坐标相等，所以它们关于抛物线的对称轴对称，⽽抛物线y ＝2x 2＋4x －3的对称轴为直线x ＝－1，故a ＋b ＝－2.故答案为－2.7．[答案]3[解析]设y ＝x 2－2x ＋3，∵当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，∴m ＋n 2＝－－22×1，∴m ＋n ＝2，∴当x ＝m ＋n ，即x ＝2时，x 2－2x ＋3＝22－2×2＋3＝3.故答案为3.8．[答案]－29．[答案]－1＜x ≤0或2≤x ＜3[解析]当y ＝2时，(x －1)2＋1＝2，解得x ＝0或x ＝2；当y ＝5时，(x －1)2＋1＝5，解得x ＝3或x ＝－1，⼜抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－1＜x ≤0或2≤x ＜3.10．[答案]2π[解析]利⽤图形的对称性可知图中阴影部分的⾯积为半圆⾯积．∵⊙O 的半径为2，∴图中阴影部分的⾯积为12π×22＝2π. 11．解：(1)∵y ＝2x 2＋m ，∴图象开⼝向上，对称轴为直线x ＝0，则当x ＞0时，y 随x 的增⼤⽽增⼤，∴y 1＜y 2，故答案为：＜.(2)∵⼆次函数的图象经过点(0，－4)，将(0，－4)代⼊y ＝2x 2＋m 可得m ＝－4，∴⼆次函数的表达式为y ＝2x 2－4.设AB 与y 轴交于点E ，∵四边形ABCD 为正⽅形，∴AB ∥x 轴．由抛物线的对称性知AE ＝EB ，∴BC ＝2OC .设点C 的坐标为(p ，0)(p ＞0)，则点B 的坐标为(p ，2p )，将(p ，2p )代⼊⼆次函数表达式，得2p ＝2p 2－4，解得p ＝－1(舍去)或p ＝2，∴点B 的坐标为(2，4)，∴BC ＝4.由图形的对称性可知阴影部分的⾯积为正⽅形⾯积的⼀半，∴S 阴影＝12S 正⽅形ABCD ＝12×BC 2＝12×16＝8. 12．[答案]y ＝－14x 2－32x ＋74[解析]∵该函数图象与x 轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，∴⼆次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别是(－7，0)，(1，0)，故设该⼆次函数的表达式为y ＝a (x ＋7)(x －1)．把顶点坐标(－3，4)代⼊，得4＝a (－3＋7)(－3－1)，解得a ＝－14. 则该⼆次函数的表达式为y ＝－14(x ＋7)(x －1)，即y ＝－14x 2－32x ＋74. 13．[答案]y ＝29x 2＋49x －169[解析]∵对称轴为直线x ＝－1，且图象与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝6，∴直线与x 轴交于(－4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为－1.∵顶点在函数y ＝2x 的图象上，∴y ＝2×(－1)＝－2，∴顶点坐标为(－1，－2)．设⼆次函数的表达式为y ＝a (x ＋1)2－2，把(2，0)代⼊，得0＝9a －2，解得a ＝29. ∴y ＝29(x ＋1)2－2＝29x 2＋49x －169. 14．解：∵A ，B 两点关于⼆次函数图象的对称轴对称，∴⼆次函数图象的对称轴为直线x ＝6.∵顶点P 到x 轴的距离为3，∴顶点P 的坐标为(6，3)或(6，－3)．当⼆次函数图象的顶点P 的坐标为(6，3)时，设⼆次函数的表达式为y ＝a (x －6)2＋3，把A (0，0)代⼊表达式，得a (0－6)2＋3＝0，解得a ＝－112，∴⼆次函数的表达式为y ＝－112(x －6)2＋3，即y ＝－112x 2＋x ；当⼆次函数图象的顶点P 的坐标为(6，－3)时，同理可求得⼆次函数的表达式为y ＝112(x －6)2－3，即y ＝112x 2－x . 故⼆次函数的表达式为y ＝－112x 2＋x 或y ＝112x 2－x . 15．解：(1)解⽅程x 2－4x －12＝0得x 1＝－2，x 2＝6，即A (－2，0)，B (6，0)．(2)将A ，B 两点的坐标代⼊y ＝ax 2＋bx ＋6，得4a －2b ＋6＝0，36a ＋6b ＋6＝0，解得a ＝－12，b ＝2，∴⼆次函数的表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋6. ∵y ＝－12x 2＋2x ＋6＝－12(x －2)2＋8，∴⼆次函数图象的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，8)．(3)存在．如图，作点C 关于⼆次函数图象的对称轴的对称点C ′，连接AC ′，交⼆次函数图象的对称轴于点P ，此时△APC 的周长最⼩．∵C (0，6)，∴C ′(4，6)．设直线AC ′的表达式为y ＝kx ＋n ，则－2k ＋n ＝0，4k ＋n ＝6，解得k ＝1，n ＝2，∴y ＝x ＋2，当x ＝2时，y ＝4，即P (2，4)．16．解：(1)依题意，得－b 2a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解之，得a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，且经过点A (1，0)，∴B (－3，0)．把B (－3，0)，C (0，3)分别代⼊y ＝mx ＋n ，得－3m ＋n ＝0，n ＝3，解之，得m ＝1，n ＝3.∴直线BC 的表达式为y ＝x ＋3.(2)∵点A ，B 关于对称轴对称，点M 在对称轴上，∴MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最⼩的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．把x ＝－1代⼊y ＝x ＋3，得y ＝2，∴M (－1，2)．(3)设P (－1，t )，结合B (－3，0)，C (0，3)，得BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直⾓顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解之，得t ＝－2；②若C 为直⾓顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解之，得t ＝4；③若P 为直⾓顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解之，得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，满⾜条件的点P 共有四个，坐标分别为P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172 )．。
巧用抛物线的对称性解题
巧用抛物线的对称性解题作者：朱香彩来源：《中学生数理化·教研版》2008年第04期二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，是关于x=- 成轴对称的抛物线，它的对称轴是直线x=- ，利用它的对称性，常常能使求解变得简捷，优化解题过程.现举例说明.1.利用图象的对称性求代数式的值例1抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过P（3，0），则a+b+c的值为（）.A.-1B.0C.1D.2解析：因为抛线线的对称轴是直线x=2，且它经过P（3，0），又抛物线是轴对称图形，所以抛物线和x轴的另一个交点为（1，0）．当x=1时，y=a+b+c，即a+b+c=0.答案为B.2.利用图象的对称性求对称轴方程例2已知抛物线经过A（2，5）和B（4，5），则该抛物线的对称轴是什么？解析：因为抛物线经过A（2，5），B（4，5）两点，由抛物线的对称性可知，当两点的纵坐标相同时，这两个点是对称点，所以A和B是对称点，对称轴方程为x= =3，即对称轴方程为x=3.3.利用图象的对称性求确定函数的表达式例3已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的表达式.解析：因为顶点坐标为（-1，4），所以对称轴为x=-1.又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为x =-1-3,x2=-1+3.则两交点的坐标为（-4,0）,（2,0）.设抛物线的表达式为y=a（x+1）2+4.再把（2，0）代入得a=- .所以抛物线的表达式为y=- （x+1）2+4.4.利用图象的对称性比较函数值的大小例4已知二次函数y=x2-4x+1.若x2-2>2-x1>0,试比较y1与y2的大小.解析:因为抛物线的对称轴为x=2,且x2-2>0，2-x1>0,所以x1在对称轴的左侧，x2在对称轴的右侧.又因x 到对称轴的距离为｜x1-2｜=2-x1，所以x2到对称轴的距离为｜x2-2｜=x2-2.由题意知x2-2>2-x1>0,即x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离.所以y2>y1.5.利用图象的对称性确定点的坐标例5已知抛物线经过A（-2，5）和B（4，5）、C（3，-2），则该抛物线上纵坐标为-2的另一个点的坐标为.解析：仔细分析可注意到：A、B两点纵坐标相同，且关于抛物线的对称轴对称，由A（-2，5）和B（4，5）可得对称轴x= =1，而抛物线上纵坐标为-2的一点是（3，-2），所以关于x=1的对称点是（-1，-2）.故抛物线上纵坐标为-2的另一点坐标为（-1，-2）.“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
抛物线的知识点高二
抛物线的知识点高二抛物线的知识点抛物线是一种经典的曲线形状，它在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍抛物线的基本定义、性质和公式，以及一些与抛物线相关的重要知识点。
一、抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。
定义中的焦点和准线的位置关系决定了抛物线的形状。
当焦点位于准线之上时，抛物线开口朝上；当焦点位于准线之下时，抛物线开口朝下。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线具有轴对称性，即关于准线对称。
2. 焦点和准线的距离相等性：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。
3. 点的坐标：设焦点为F，准线为x轴，抛物线上任意一点P的坐标为（x，y），则有y² = 2px，其中p是焦距。
4. 切线与焦准关系：抛物线上任意一点P处的切线与焦准线之间的夹角等于切线和准线之间的夹角。
三、抛物线的公式1. 基本形式：对于抛物线的基本形式y²= 2px，焦点在原点处，准线为x轴。
2. 平移形式：对于平移后的抛物线，坐标平移量为(a, b)，则公式变为（y - b）² = 2p（x - a）。
3. 顶点形式：对于抛物线的顶点形式，坐标顶点为(h, k)，则公式变为（y - k）² = 2p（x - h）。
4. 标准方程与顶点形式的关系：标准方程y² = 2px可通过平移得到顶点形式（y - k）² = 2p（x - h）。
五、与抛物线相关的重要知识点1. 抛物线的焦距：焦距p是决定抛物线形状的重要参数，它决定了抛物线的开口大小。
2. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程是用参数t表示抛物线上的点坐标，参数方程为x = 2at，y = at²。
3. 抛物线的平移与旋转：抛物线可以通过平移和旋转的方式进行变换，改变其位置和方向。
4. 抛物线的应用：抛物线在物理学中有广泛应用，例如在抛物运动、射击问题和天体运动等方面。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是一种常见的二次函数形式，常用的标准方程为y=ax²+bx+c (a≠0)。
一、抛物线的平移和缩放1. 平移：平移抛物线的顶点到坐标轴原点的方法是将x轴和y轴分别平移a和b个单位，即将抛物线方程中的x替换为x-a，y替换为y-b。
2. 缩放：抛物线关于顶点的对称性使得在抛物线上多取任意一点，将这点关于顶点进行对称得到的点的纵坐标与原点的纵坐标成等差数列，且公差是常量。
我们可以通过改变a来改变抛物线的形态，使得抛物线开口向上或向下，并使得抛物线的开口程度变化。
二、抛物线的顶点、焦点和直线1. 顶点：抛物线的顶点是二次函数的极值点，由公式x=-b/2a和y=f(x)得到。
顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
2. 焦点：抛物线焦点的纵坐标是顶点的纵坐标f(-b/2a)+1/(4a)，焦点的横坐标为-b/2a。
焦点到抛物线的距离等于焦半径r=1/(4a)。
3. 直线：抛物线的准线是与抛物线平行的一条直线，其方程为y=f(-b/2a)-1/(4a)。
三、抛物线的对称轴1. 对称轴：抛物线的对称轴是通过抛物线的顶点和焦点的直线，对称轴与x轴垂直。
通过求焦差得到对称轴的方程，对称轴的方程为x=-b/2a。
四、抛物线的焦半径和离心率1. 焦半径：焦半径是焦点到抛物线上任一点的距离，焦半径的长度为r=1/(4a)。
2. 离心率：离心率是抛物线焦点到焦点所在直线的距离与抛物线到准线的距离的比值，离心率的值为e=1。
五、抛物线的判别式和根的个数抛物线的判别式为Δ=b²-4ac，根的个数与判别式的大小有关。
1. 当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，即有两个实根。
2. 当Δ=0时，抛物线与x轴相切，即有一个实根。
3. 当Δ<0时，抛物线与x轴无交点，即无实根。
六、抛物线图像的性质1. 抛物线的开口方向与系数a的正负有关，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
中考数学复习指导：利用抛物线的对称性解题
1利用抛物线的对称性解题二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是关于直线x ＝－2b a成轴对称的图形，利用抛物线的对称性解题也是中考的热点之一，现分类例析如下，供教学参考．一、求顶点坐标例1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的坐标满足下表：该函数图象的顶点坐标为( )(A)（－3，－3） (B)（－2，－2）(C)（－1，－3） (D)（0，－6）解 观察表中当x ＝－3或－1时，y ＝－3，由抛物线的对称性，对称轴为直线x ＝－2，故顶点坐标为（－2，－2），所以应选B ．点评 本题是用表格给出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的信息，观察出当x ＝－3或－1时，y ＝－3，是解题的关键．二、判断点在图象上例2 若二次函数y ＝ax 2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点( )(A)(2，4) (B)（－2，－4）(C)（－4，2） (D)（4，－2）解 由二次函数y ＝ax 2的对称轴为y 轴，又P(－2，4)关于y 轴的对称点为(2，4)，所以应选A ．点评 本题二次函数y ＝ax 2的对称轴为y 轴是解题的突破口，根据抛物线的对称性，从而P （－2，4）关于y 轴的对称点在二次函数y ＝ax 2的图象上．三、比较大小例3 设A （－2，y 1），B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )(A)y 1>y 2>y 3 (B)y 1>y 3>y 22(C)y 3>y 2> y 1 (D)y 2>y 1>y3解 方法1 把A 、B 、C 三点的坐标分别代人y ＝－(x ＋1)2＋m ，得y 1＝－1＋m ，y 2＝－4＋m ，y 3＝－9＋m ，所以y 1>y 2>y 3．方法2 ∵函数的解析式是y ＝－(x ＋1)2＋a ，如图1，∴对称轴是x ＝－1，∴点A 关于对称轴的点A'是(0，y 1)，那么点A'、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边'随x 的增大而减小，于是y 1>y 2>y 3，故选A ．点评 代入法是比较函数值大小的一种常用方法；数形结合法，当抛物线开口向下的时候离对称轴越近，对应的函数值越大，当抛物线开口向上的时候离对称轴越近，对应的函数值越小．四、求与x 轴交点坐标例4 如图2，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，图象经过(3，0)，下列结论中，正确的是( )(A)abc < 0 (B)2a ＋b < 0(C)a －b ＋c < 0 (D)4ac －b 2< 0解 (A)根据图2知，抛物线开口方向向上，则a>0．抛物线的对称轴x ＝－2b a ＝1>0，则b<0．抛物线与y 轴交于负半轴，则c<0，所以abc>0．故本选项错误．(B)∵x ＝－2b a ＝1，∴b ＝－2a ，∴2a ＋b ＝0．故本选项错误．3(C)对称轴为直线x ＝1，图象经过(3，O)，∴该抛物线与x 轴的另一交点的坐标是（－1，0），∴当x ＝－1时，y ＝0，即a －b ＋c ＝0．故本选项错误．(D)根据图2知，该抛物线与x 轴有两个不同的交点，则＝b 2－4ac>0，则4ac －b 2<0．故本选项正确．故选D ．点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与），轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定，选项C 中求抛物线x 轴的另一交点，要妙用其对称性．五、求不等式的解集例5如图3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是( )(A)－1 <x<5(B)x>5(C)x <－1，且x>5(D)x <－1，或x>5解 由二次函数的对称性，已知了对称轴直线x ＝2和与x 轴的一个交点坐标(5，0)即可得出另一个交点坐标（－1，0）；再由不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集即得x 取值范围，故选D ．点评 本题主要考查了函数图象与不等式之间的关系，利用数形结合思想不难选出D 选项，但本题如果对数形结合思想的不理解或不能熟练运用，有可能会采取代入对称轴直线及与x 轴交点坐标的方法运算，则比较繁琐．六、求抛物线解析式4例6 如图4，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C （0，－3）．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y ＝－x 上，并写出平移后抛物线的解析式．(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2．平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y＝－x上．点评此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键．第(1)题解法多，方法1直接用一般式，是常用的方法，但需解三元一次方程组；方法2是用顶点式，根据对称性，求出对称轴直线x＝2，是解题的关键；方法3是与x轴的交点式，解法简洁，但一般教课书中没有．七、求线段和的最小值例7 如图5，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－3，0），B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；(3)如图6，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；56②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．7此时点E 的坐标为（－2，2）．点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础，第(2)题中利用抛物线的对称性是解题的突破口．。