矢量三角形法--专题

矢量三角形法在三力平衡问题中的应用在静力学中，经常遇到在力系作用下处于平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题．这种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全面．我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑F=O ，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接．当物体所受三力有所变化而又维系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变．比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然．所以，作出物体平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形，是力三角形法的关键操作。

三力平衡的力三角形判断通常有三类情况． 一、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力方向确定。

这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定例1 如图1所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉动，例2 则拉力Ｆ和墙壁对球的支持力Ｎ的变化情况如何？分析与解 以球为研究对象，在平衡时受重力，绳上的拉力及墙壁对球的支持力，三力关系可由一系列闭合的矢量三角形来描述。

其中重力为确定力，墙壁对球的支持力为方向确定力，如图2，取点Ｏ作表示重力的有向线段①，从该箭头的端点作支持力Ｎ的作用线所在射线②,作从射线②任意点指向Ｏ点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段③它们就是绳子拉力矢量。

用曲线箭头表示变化趋势，从图中容易分析绳子拉力不断增大，墙壁对球的支持力也不断增大，因上升的过程中图中角度θ在不断增大例2 如图3装置，AB 为一轻杆在B 处用铰链固定于竖墙壁上，AC 为不可伸长的轻质拉索，重物Ｗ可在AB 杆上滑行。

试分析当重物W 从A 端向B 端滑行的过程中，绳索中拉力的变化情况以及墙对AB 杆作用力的变化情况。

分析与解 以AB 杆为研究对象，用力矩平衡的知识可较为方便明确AC 拉索中的拉力变化情况，但不易确定墙对AB 杆作用力的情况。

我们考虑到AB 杆受三个力作用且处于平衡状态，则它们的作用线必相交于一点，这样三力关系可由闭合的矢量三角形来描述。

其中重物对杆的拉力为确定力，拉索对杆的拉力为方向确定力，与上题类似。

如图4，取O 点作表示重物对AB 杆拉力的有向线段①，过O 点作绳索拉力的作用线所在射线②，从①箭头端点作指向射线②上任意点的有向线段③，则③就是墙对AB 杆的作用力.用曲箭头表明变化趋势。

从图中可以看出：随着重物从A端向B 端移动的过程中，①、③的夹角θ逐渐减小，所以绳索的拉力不断减小，墙对AB 杆的作用力先减小后增大。

综上所述，类型一问题的作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边，在它的箭头端沿已知方向力的方向作射线，从射线上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线 图4图1 图2 图3段，（或在它的箭尾端沿已知方向力的方向作射线，从确定力矢量箭头作指向射线上的点的有向线段），勾画出一簇闭合的矢量三角形，用曲箭头标明动态趋势．由此可判断各个力的大小和方向的变化趋势．二、三力中有一个力确定．即大小、方向不变，一个力大小确定，这个力的方向及第三个力的大小、方向变化情况待定例3 如图5所示，在“验证力的平行四边形定则’’实验中，用两只弹簧秤A 、B 把像皮条上的结点拉到某一位置0，这时两绳套AO 、B0的夹角∠AOB ＝90°．现保持弹簧秤A 的示数不变而改变其拉力方向使a 角减小，那么要使结点仍在位置O 处不动，就应调整弹簧秤B 的拉力大小及β角，则下列调整方法中可行的是( )A ．增大弹簧秤B 的拉力、增大β角B ．增大弹簧秤B 的拉力、β角不变C ．增大弹簧秤B 的拉力、减小β角D ．弹簧秤B 的拉力大小不变、增大β角 分析与解 本题中我们考察结点O ，使之处于平衡的三个力中，一个力(橡皮条上的拉力F)大小方向均确定，一个力(弹簧秤A 的拉力Fa)大小确定，需判断第三个力(弹簧秤B 的拉力Fb)的变化情况．如图6所示，取O 点为起始点，先作力F 的有向线段①，以其箭头端点为圆心，表示大小不变力Fa 的线段长为半径作一圆，该圆的每条矢径②均为力Fa 矢量，从该圆周上各点指向0点的各有向线段③便是弹簧秤B 的拉力Fb 矢量．这样我们勾画出表示可能的三力关系的三角形集合图．如图6所示，若初始状态三力关系如△0O ’A ，在a 角减小的前提下，线段③变长，即Fb 增大，而角β减小（刚开始，Fa 、Fb 二力互相垂直），故正确答案为选C ．例4 如图7所示，质量为m 的小球，用一细线悬挂在点0处．现用一大小恒定的外力F(F ﹤mg)慢慢将小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的最大的偏角是多少?分析与解 本题中研究对象小球可在一系列不同位置处于静止，静止时小球所受重力、细线上拉力及大小恒定的外力的合力总是为零．三力关系由一系列闭合的矢量三角形来描述，这些三角形中表示重力的矢量边是公共边，有一条矢量边长度相同．现在来作出这样的三角形簇： 如图8所示，取点0为起始点，作确定不变的重力矢量①，以其箭头端点为圆心，表示外力F 大小的线段长为半径作一圆，该圆上各条矢径②均可为已知大小的力矢量，该圆周上各点指向0点并封闭形成三角形的有向线段③便是第三个力即细线拉力矢量．这样我们得到了全面反映小球在可能的平衡位置时力三角形集,由图可知，表示线拉力矢量与重力矢量的线段③与线段①间的夹角最大为θ=arcsin G F(线段③作为圆的切线时)，细线拉力总沿着线，故小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的偏角最大为arcsin G F图5 图6 图7图8通常类型二问题的一般作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边，在它的箭头端以已知方向力为矢径作圆，从圆周上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线段，画出一簇闭合的矢量三角形．由此可判断未知力的大小和方向的变化趋势．三、三力中有一个力大小方向确定，另二力方向变化有依据。

判断二力大小变化情况例5 如图9所示,固定在水平面上的光滑半球，球心0的正上方固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球．置于半球面上的A 点，另一端绕过定滑轮，如图所示，现缓慢拉绳，使球沿半球面上升，小球对半球的压力Fn 的大小，细线对小球拉力F 的大小随绳的拉动而变化的情况如何？分折与解 小球在任意位置处于三力平衡状态，其中小球的重力为确定力，其余两力大小不定方向变化，但两力的方向变化有依据：绳的拉力总沿绳收缩的方向，半球对小球的支持力总沿着半径的方向。

我们如图作力的矢量三角形图：以O 为起始端点，连接OO ´，以此有向线段①表示确定力小球的重力．连接O ´与小球所在位置A 点，则此有向线段②表示球面对小球的支持力，最后连接AO 两点，则此有向线段③表示绳子的拉力。

当小球往上运动时，动态变化趋势如图10所示 可以清楚地看出有向线段②的长度始终等于球的半径长度，说明球面对小球的支持力大小应不变，而绳子的拉力在不断减小.例6 如图11所示，将一带电小球A 用绝缘棒固定于水平地面上的某处．在它的正上方l 处有一悬点O 。

通过长度也为l的绝缘细线悬吊一个与A 球带同性电荷的小球B 。

于是悬线与竖直方向成某一夹角θ，现设法增大A 球电量，则悬线0B 对B 球的拉力F 的大小将如何变化？（两球可看作质点）分折与解 小球B 受三个力作用而平衡，重力，库仑力及细绳对球B 的拉力，其中重力为确定力，另两个力的大小不定，方向变化，但我们知道绳的拉力总沿着绳指向绳收缩的方向，库仑力总沿着两质点的连线。

因此可归为类型三我们可如图12作力的矢量三角形图：以O 为起始端点，连接OA ，以此有向线段①表示确定力小球B 的重力，以A 小球为起点，连接A 与小球B ，则此有向线段②表示小球B 受到的库仑力，最后连接BO 两点，则此有向线段③表示绳子的拉力。

容易判断当小球A 电量增加时， 小球B 被库仑力排斥而往上运动，动态变化趋势如图一簇闭合的矢量三角形所示可以清楚地看出有向线段③的长度始终等于绳长，由于绳长不变，由此可知绳子的拉力大小不变，有向线段②长度在不断增加，说明库仑力在不断增大综上所述，类型三问题的作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边，将另二力按实际位置方向依据来确定，力矢量依次首尾相接，勾画出闭合的矢量三角形，通过力三角形与物体在空间移动的约束条件比照，，由此来判断各个力的大小和方向的变化趋势。

实际上， 当物体受三力作用而处于平衡时，三力合力为零，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接,其本质即为学生在数学中所学的向量相加运算，因此向学生讲授三力关系的矢量图并不增加教学的难度和学生的负担。

另一资料：在静力学中，若物体受到三个共点力的作用而平衡，则这三个力矢量构成一封闭三角形，在讨论极值问题时，这一点尤为有用． 图10 图11 图12 图9例4一球重G，置于斜面和挡板间，已知斜面倾角为α，挡板与斜面的夹角为β，不计一切摩擦，求斜面对球的作用力N1和挡板对球的作用力N2．若α不变而β可以改变，问β为何值时，N2最小？解析如图7，球受三力作用：重力G、弹力N1与N2，它们应构成一封闭三角形（如图8），从几何关系可得从N2的表达式可知，当β=90°时，N2取极小值．例5（选择题）如图9所示，绳OA、OB等长，A点固定不动，在手持B点沿圆弧向C 点运动的过程中，绳OB中的张力将 [ ]A．由大变小；B．由小变大；C．先变小后变大； D．先变大后变小．解析设在某一位置，绳端在B′点（如图10），此时O点受三力作用而平衡：T A、T B、T，此三力构成一封闭三角形（如图11），随着B端的移动，绳B的张力T B 的方向、大小不断变化（图中T B′、T B″、T B′″、……），但T的大小、方向始终不变，T A大小变而方向不变，封闭三角形关系始终成立．很容易看出：当T B与T A垂直时，即α＋θ=90°时，T B取最小值，因此，答案应选C．动态平衡中的三力问题在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。

这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。

解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。

根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点，许多同学因不能掌握其规律往往无从下手，许多参考书的讨论常忽略几中情况，笔者整理后介绍如下。

方法一：三角形图解法。

特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。