非齐次泊松过程课程设计.doc
随机过程第三章-泊松过程
N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则
泊松分布课程设计
泊松分布课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握泊松分布的定义、性质及其在实际问题中的应用。
具体包括以下三个方面的目标：1.知识目标：（1）能正确理解泊松分布的概念；（2）了解泊松分布的概率质量函数和累积分布函数；（3）掌握泊松分布的性质及其数学表达式。
2.技能目标：（1）能运用泊松分布解决实际问题，如计算事件在一定时间内的发生概率；（2）能运用泊松分布对实验结果进行分析和解释。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力；（2）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（3）引导学生认识数学在实际生活中的重要作用，培养学生的数学应用意识。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个部分：1.泊松分布的定义及数学表达式；2.泊松分布的概率质量函数和累积分布函数；3.泊松分布的性质及其在实际问题中的应用；4.泊松分布与其他概率分布的对比和鉴别。
教学大纲安排如下：第一课时：泊松分布的定义及数学表达式；第二课时：泊松分布的概率质量函数和累积分布函数；第三课时：泊松分布的性质及其在实际问题中的应用；第四课时：泊松分布与其他概率分布的对比和鉴别。
三、教学方法为了更好地实现教学目标，本节课将采用以下教学方法：1.讲授法：教师通过讲解泊松分布的概念、性质和应用，引导学生理解和掌握相关知识；2.案例分析法：教师通过列举实际问题，让学生运用泊松分布进行分析和解决，提高学生的实际应用能力；3.实验法：教师学生进行实验，让学生亲自操作，观察实验结果，进一步理解和掌握泊松分布；4.讨论法：教师学生进行小组讨论，让学生分享自己的学习心得和解决问题的方法，提高学生的合作能力和沟通能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本节课将准备以下教学资源：1.教材：《概率论与数理统计》；2.参考书：《泊松分布及其应用》；3.多媒体资料：课件、教学视频；4.实验设备：计算机、投影仪。
以上教学资源将有助于丰富学生的学习体验，提高学生的学习效果。
随机过程——泊松过程(2)
4.2.2 复合Poisson过程
二、定义
设 N t , t 0 为一齐次 Poisson 过程，n , n 1是 i.i.d 序列，且与N t , t 0相互独立，令
Yt n1 n
Nt
Y 则称随机过程 t , t 0 为复合 Poisson 过程.
• 4.1 到达时间间隔与等待时间分布 • 4.1’ Poisson过程的分解 • 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1’ Poisson过程的分解
一、Poisson过程的分解
N t , t 0为 一 齐 次 sson 程， 有 时 会 Poi 过
将 事 件 分 类 ，型 和II型 ， 事 件 被 分 为 哪 I 一类依赖于发生的时，即事件发生在 间 时 刻s， 则 以 概 率 s 被 归 为 型 ， 以 P I 的归类独立，则有如结论： 下
s 0
P0 t , s 1 t s h oh
ln P0 t , s t x dx m t s m t
P0 t , s e
m t s m t
再来看k 1的情形
4.2.1 非齐次P机过程 N t 是一个计数过程，若满 足
(2)N t 是独立增量过程 .
(1) N 0 0
(4)h 0，PN t h N t 1 t h oh
则 称N t 具 有 强 度 函 数t 的 非 齐 次 为 Poisson 程 . 过
u t s P0 t , s t
k 1 e iuk t s Pk t , s t s Pk 1 t , s
iuk iu
非齐次泊松过程与复合泊松过程
4.7
n
对(4.7)式积分得
ln G(h, t , z ) - ln G(0, t , z ) ( z -1)
t h t
( x)dx
4.8
20
三、非齐次泊松过程
由非齐次泊松过程的定义知
E[ X（t）] 由于λ= 单位时间内事A发生的平均个数， t
故称为此过程的速率或强度。
6
二、齐次泊松过程
齐次泊松过程的解释： 称计数过程{X(t)，t≥0}为具有参数λ＞0的泊松过程，若它 满足下列条件： ⑴X(0)=0; ⑵X(t)是独立、平稳增量过程; ⑶X(t)满足下列两式： P{X(t+h) -X(t)=1}=λh＋o(h), P{X(t+h) -X(t)=2}=o(h). 以上定义说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件 发生，而不能有两个或两个以上的事件同时发生。也就是 说，要么事件发生一次，要么事件不发生。这是泊松过程 的核心概念。
9
三、非齐次泊松过程
非齐次泊松过程的定义： 称计数过程{X(t)，t≥0}为具有强度函数λ(t)非齐次 泊松过程，若它满足下列条件： ⑴X(0)=0 ⑵X(t)是独立增量过程; ⑶X(t)满足下列两式： P{X(t+h) –X(t)=1}=λ(t)h＋o(h), P{X(t+h) –X(t)≥2}=o(h). 在这里，定义与齐次泊松过程相比，出现了微小的变 化。
t s ＋
0
(t )dt
因此，在（s ，t＋s）内，均值为Λ（t＋x）-Λ（x）=
t s ＋
s
(t )dt
第3章 泊松过程
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)， t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0
2， N(t)为整数
3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义：
独立，且服从同一参数 的指数分布，则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1
《随机过程》第3章-泊松过程
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2 非齐次Poisson过程
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随机过程
第三章 泊松过程
1 齐次Poisson过程 2 非齐次Poisson过程 3 复合Poisson过程 4 年龄与剩余寿命 5 更新过程
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2 非齐次Poisson过程
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2 非齐次Poisson过程
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证明：
2 非齐次Poisson过程
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证明：
1 齐次Poisson过程
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1 齐次Poisson过程
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1 齐次Poisson过程
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证明：
1 齐次Poisson过程
1 齐次Poisson过程
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证明：
1 齐次Poisson过程
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证明：
1 齐次Poisson过程
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非齐次泊松过程的仿真方法
．
（ ） 中止 时刻 为 Ｔ， 知 Ｎ（ ）的 分 布 ， 生 １设 易 丁 产
（ ）产生 个 ［ ， ］上 的均匀 分 布的 随机数 ． ２ ＯＴ
（） ３ 把这 个 均匀 分布 随机 数从小 到 大排列 ， 记
为 Ｓ ， ， １ … ５ 即得．
（） ３ 将保 留的 Ｓ， 别记 为 Ｓ ， ， ， 并 输 分 ㈩ ５ … Ｓ ㈦
（ ｉ Ｎ （ ）＝ ） ０ ＝ ＝０；
ｌ， ０
其 ． 他
由引理 １ 知 ， ［ ，］上独立 均 匀分 布 随机 变 量 可 ｎ个 Ｏ ￡
的 Ｘ Ｘ ， ， 顺 序统计 量 分布 为 ， … Ｘ
（ｉ）具有 平稳 独立增 量 ； ｌ
收 稿 日期 ：０ ９０ —９ 修 改 日期 ：０ 卜Ｏ 一Ｏ ２ ０ ～８０ ； ２ １ ５ｌ
间 的变化 而变 化． 实上 ， 事 更多 的 随机现象 事件 发生
（ｉ Ｉ）Ｐ｛ （ ＋ ＾ 一 Ｎ（） ２ ｝ Ｎ ￡ ） ￡ ≥ ）一 Ｏ ； （ ）
（Ｖ）Ｐ｛ ｉ Ｎ ＋ ＾ 一 Ｎ（）一 １ 一 （ ） ０ ）． ） ｝ 矗＋
可 以证 明 ｌ ＿ ４ ］
１
Ｐ｛ （）一 是 Ｎ ｝＝
， ， … Ｓ 强 度 为 为
性质 １１２。 Ｎ（ ＋ 一Ｎ（） ＿６ Ｊ ｓ ） ｓ 服从 泊松 分布 ， 其 参数 为 ｍ（ ＋ 一 （） ｓ ） ｓ．
２ ２ 仿 真 方 法 ．
（）的非 齐 次泊松 过程 事件 发生 的时 刻． ￡ 该方 法 只要产 生单 位强 度 的齐次 泊松 过程 的点 发 时刻 ， 进行 变化 即可 ， 需要 ｒ（） 反 函数 ． 在 但 ｅ ｔ的
１ 齐 次 泊 松 过 程 的 仿 真
6.非齐次泊松过程与更新过程
上式两边同减P0 (t )，再同除h得到 P0 (t h) P0 (t ) o( h) P0 (t ) P0 (t )，当h 0时得 h h P0(t )＝ P0 (t ) (). 当n 1时： Pn (t h) PN (t h) n
命题2.3.4 : 强度为的Poisson过程 N (t ), t 0的到达 时间间隔 X1 , X 2 , 是相互独立的随机变量列，并 1
X n，n 1称 为 到 达 时 间 间 隔 序 .列
具有相同的均值为 的指数分布.
x0 0, n 分布密度函数：f ( x) n 1 x x e ,x 0 n x0 0, n 1时为负指数分布：f ( x) x e , x 0 函数：( s ) e x x s 1dx ( s 0)
Pn (t ) z z Pn 1 (t ) z n 1
n n 0 n 0
Pn (t ) z n z Pn (t ) z n ( P1 (t ) 0)
n 0 n 0
( z 1) Pn (t ) z n
N( t )
i 1
Yi
称{ X n ,n 0 }为复合Poisson过程. 其矩母函数为 t exp{t( Y1 ( u ) 1 )}; 均值函数 : EX ( t ) t' ( 0 ) tEY1 ; 方差函数 : VarX ( t ) t" ( 0 ) ( t' ( 0 ))2 tEY12 .
条件Poisson过程 随机变量Y的分布函数为G( y ),若在Y 的条件 下,{ N ( t ),t 0 }是强度为的Poisson过程 ,称此 过程为条件Poisson过程.有 :
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课程名称：《随机过程》课程设计（论文）题目: 非齐次泊松过程在数控机床可靠性建模中的应用学院：理学院专业：数学与应用数学班级：数学12-1班***名：***学生学号： ********** ***师：***2015 年 1月 3 日随机过程课程设计目录任务书 (1)摘要 (1)前言 (2)１非齐次泊松过程理论 (2)1.1 非齐次泊松过程的基本理论简介 (2)1.2 基于试验总时间法的趋势检验 (2)2 数控机床的非齐次泊松过程可靠性建模 (3)2.1强度函数的建立................................................. . (3)2.2 Ｋ台数控机床强度函数的参数估计......................... (4)2.3 非齐次泊松过程下的可靠性指标............................... ....... (5)3实例分析 (5)4结束语 (7)5程序及结果 (8)6参考文献 (9)附录………………………………………………………………………………评阅书……………………………………………………………………………摘要基于试验总时间法对多样本随机截尾的数控机床现场数据进行趋势检验，在故障过程为浴盆曲线的趋势条件下构建了数控机床的非齐次泊松过程的可靠性模型。
本文使用极大似然估计法对非齐次泊松过程的强度函数进行参数估计得到了该模型的可靠性指标，以6台加工中心的现场数据为例建立了非齐次泊松过程的可靠性模型。
再通过matlab曲线拟合，绘制出故障时间的曲线，通过曲线的拟合程度，可以确定非齐次泊松过程能够更恰当地表现故障的趋势。
关键词：数控机床可靠性非齐次泊松过程浴盆曲线前言数控机床是由数目众多的零部件组成的复杂机电液可修系统。
在其可靠性研究中，需要考虑维修活动对其可靠度的影响【1】。
以往的数控机床可靠性建模方法，是将故障间隔时间视为独立同分布来分析其寿命分布，即假设维修活动是“修复如新”【2】而在实际生产中数控机床的维修活动是以调整或者更换一部分零部件和元器件为主的，对于复杂的系统来说这种维修活动只能使产品恢复到正常功能维修前后可靠度并没有很大改变，因此将数控机床的维修活动视为“修复如旧”更加合理。
非齐次泊松过程经常被用于建立“修复如旧”的维修策略且维修时间可忽略的可修系统可靠性模型用于模拟出现故障间隔时间的趋势【3-4】。
结合数控机床的维修特点，使用非齐次泊松过程建立的可靠性模型更能贴近于复杂系统的生产实际。
本文提出了非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模方法，并结合数控机床的失效特点，建立故障率为浴盆曲线的非齐次泊松过程可靠性模型。
同时，结合具有随机截尾特点的多样本数控机床现场试验故障数据，对数控机床的可靠性进行了深入分析。
１．非齐次泊松过程理论1.1 非齐次泊松过程的基本理论简介：非齐次泊松过程是随机点过程的一种典型类型，当可修系统的相邻故障间隔呈现某种趋势时可以使用这种方法来描述。
非齐次泊松过程的重要参数【4】：)(t ω为强度函数，是非负函数；其 累 积 故 障 强 度 函 数⎰=tdu u t W 0)()(ω，表示在[0,t]中的平均故障数,即E[N(t)]=W（t ），N[t] 代表在[0,t]出现的故障次数ｔ表示机床从观测开始后的运行时间。
当强度函数为1)()(-=βααβωtt 时，成为威布尔过程。
其中，α、β>0，α为尺度参数，β为形状参数。
0<β<1, 表示不断改良的(好)系统; β>1, 表示不断恶化的(坏)系统；β=1，表示系统服从指数分布。
1.２基于试验总时间法的趋势检验：本文采用基于试验总时间的方法，对具有多样本随机截尾现场数据的故障过程进行趋势检验【5】。
将在观测期间采集到的所有故障数据按照从大到小时间进行排序，得到t (i)的时间序列。
根据试验总时间的建模思想【6】，得到该序列的第ｉ个故障发生时的试验总时间：⎰=)(0)()()(i t i du u n t T （1）=N ∑=ki i n 1（2）式中：n(u)表示在ｕ时刻观察到的数控机床数量，N 表示在观测期间的故障数；i n 表示第ｉ台机床的故障数（共有Ｋ台机床），当时间序列)(i t 的最后一个时间是故障数据时，)(i n =i n -1；当时间序列)(i t 的最后一个时间不是故障数据而是截尾数据时)(i n =i n 。
在实际检验时同时使用Ｕ－检验、Ｊ－检验和Ｖ－检验等检验方法综合确定有无趋势【7-8】。
其中Ｖ－检验如下：Ｈ0：齐次泊松过程； Ｈ1：具有非单调趋势；()11()()|()|24~(0,1)()48Ni i T S T S T t N V N N T S =--⨯=∑ (3)22()122()()|()|212()180Ni i T S T S T t N V NT S =--⨯=∑ ~(0,1)N (4)()1322log(()|2()()|)(2)Ni i T S T t T S V N χ=-=∑~(0,1)N (5)式中：Ｔ（Ｓ）表示总的观测时间。
当｜Ｖ１｜＜ｚα／２，｜Ｖ２｜＜ｚα／２，Ｖ３＜χ２（２ｎ）时，接受Ｈ０。
一般情况下，Ｕ检验和Ｊ检验是检验具有单调趋势或齐次泊松过程和更新过程的故障数据的，而当故障数据具有非单调趋势时，则可以考虑Ｖ检验中的统计量，如表１所示。
表1 故障率和故障强度函数变化特性２ 数控机床的非齐次泊松过程可靠性建模 2.1强度函数的建立对于浴盆曲线趋势的故障过程，假设其故障强度函数由早期故障期和偶然故障期两部分组成，并且每一个阶段都是一个威布尔过程［９］，参数为尺度参数αｍ和形状参数βｍ（ｍ＝１，２）。
结合以上假设和多重威布尔分布模型的性质，则该数控机床故障强度函数为：11111)()(-=βααβωtt （6）式中：α１，α２，β１，β２＞0在（0，ｔ］内的平均故障个数为累积故障强度函数，即由于该模型是由两重威布尔过程构成，其强度函数是具有非单调的浴盆曲线趋势，因此组成该模型的两个形状参数有（β１－１）（β２－１）＜0，则本文中假设β１＜１，β２＞１。
2.2 Ｋ台数控机床强度函数的参数估计本文使用极大似然估计法对k 台样本的强度函数进行参数估计，k 台数控机床的故障数据是随机截尾的，第ｉ台的故障观测时间为［0，T ｉ］,其中T i 为现场试验的截尾时间。
t 0≡0，因此,得到相应的似然函数为1212111211112212{[()()]exp[()()]}j n Kij ij i i K i j t t T T L ββββββαααααα--===+⨯--∏∏ (8)似然函数的对数函数以及此对数函数对模型参数的偏导数为1212111211112212{ln[()()][()()]}j n Kij ij i i K i j t t T T l ββββββαααααα--===+-+∑∑ (9)12211111121122()()1()()()()()jmmmij m n K m i Kij ij i j m m jt T l t t βββββααβββααααααα--==--∂=+∂+∑∑(10) 由（10）可以得到1211111121122[1ln()]()()ln()()()()()m jm ijijm m mn Kmi i Kij ij i j m m mt t T T l t t βββββαααββααααααα---==+∂=-∂+∑∑ (11)12111111121122()()()()m jmn KKm ijKij iji i j t Tt t βββββββαααα---====+∑∑∑(12)由累积故障函数可得1211112()[()(())]K K Ki ii i i i i T T W T n ββαα====+=∑∑∑ (13)以上式可导出：12111[()]Kii ii T T n βαα==-∑(14)将式（9）转换为三参数的函数，即121112111122{ln[()()()()]j n Kij ij Ki i j t tl n ββββαααα--=='=+-∑∑ (15) 最终，似然函数的参数估计转化成以下的求最大化问题：max K l ' 约束条件：一般情况，最大化问题都需要初始值。
根据经验，在没有合适的初始值选择下，可以假设2.3 非齐次泊松过程下的可靠性指标（１）首次故障间隔时间的可靠度函数【10-11】从t ＝0开始直到第一个故障发生的时间T １,T 1的可靠度函数为0()()1()Pr()tu duW t i R t T t ee ω--⎰=>== (16) 对于非齐次泊松过程模型的使用，如果能够估算出首次故障间隔时间的故障率函数，就能同时估计出产品整个寿命的强度函数。
（２）其他故障间隔时间的可靠度函数在t 0时刻后的可靠度函数00()000(|)Pr()t tt u duR t t t t t eω+-⎰=+>= (17)（３）平均故障间隔时间瞬时平均故障间隔时间———故障强度函数ω（t ）表示单位时间发生故障的次数，则ω(t)的倒数表示一次故障所经过的时间，定义瞬时故障平均间隔时间为1()IMTBF T t ω=(18) 累积平均故障时间间隔———表示一段时间内的平均故障间隔时间，即累积故障强度函数的倒数，21212112(,)()CMTBF t t t t t tT W t t u duω--==⎰(19)３实例分析以国内北京第一机床厂同一时期出厂的６台加工中心现场试验的故障数据为例，其发生故障的时间如表2所示。
首先，需要对这些数据进行趋势检验。
根据2.2节中多样本的趋势检验方法，在显著性水平α=0.05，得到这批加工中心的统计量值如表3所示。
编号故障时间/h1 2 3 4 5 650.99 423.72 753.06 760.65 795.63 1005.80 1209.40 2509.2 3350.16 3801.90 3915.62 4011.10 5109.03 5197.12 5353.92 5845.90 5942.81 6106.49 6323.63 6474.60 6526.03 6827.10 7059.69 7460.86 8240.27 8745.00 9142.65185.13 458.00 960.54 1005.87 3409.55 422.89 6061.44 6217.53 7479.45 7542.81 7775.96 7882.88 7994.25 8588.25 28.05 350.48 47.52 1560.23 1896.30 2541.10 3352.80 3915.12 4981.45 5112.97 5729.13 5812.46 5903.40 6109.13 6117.21 6275.28 6308.78 6348.21 6457.61 6620.46 6853.44 7005.85 7116.59 7249.74 7467.90 8088.96 8298.18 9509.28 131.09 785.61 287.51 870.56 2987.45 3500.75 4881.86 5136.51 5230.01 5376.53 5540.54 5746.57 6183.21 6505.13 6592.08 7125.03 7379.46 7703.03 7868.85 8275.74 8654.42 9032.10148.17 578.80 1014.14 1952.18 2893.01 3287.36 3747.55 4279.01 4714.12 4839.79 5558.09 5600.66 6694.61 6855.49 7120.48 7368.47 7496.84 7659.20 8451.26 8638.80551.98 359.4 956.72 1357.45 1549.56 2706.15 3417.46 4659.60 5150.64 5206.74 5483.61 5570.40 5651.25表２ 加工中心故障数据在V 检验中运行结果拒绝H 0可知故障数据具有非单调趋势，且由表１可知，故障发生过程呈浴盆曲线的趋势。