随机过程 第3章 泊松过程
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泊松过程
dPk 1 ( t ) 已得 Pk 1 ( t ) Pk ( t ) dt
t d [ e Pk 1 ( t )] t 两边同乘 e 得， e t Pk ( t ) dt
k d [ e t Pk 1 ( t )] [ ( t s )] 即 e s dt k!
对t s, n m：
4. P{N t n | N s m} e ( t s ) [ (t s )]n m ( n m)!
n s m 5. P{N s m | N t n} ( ) (1 s ) n m t m t
例 : 顾客依泊松过程到达某商店,速率为 4人/小时。已知商店上午9:00开门. (1)求到9:30时仅到一位顾客,而到11:30时 已到5位顾客的概率? (2)求第2位顾客在10点前到达的概率? (3)求第一位顾客在9:30前到达且第二位 顾客在10:00前到达的概率?
第三章：泊松过程
1.生成函数与泊松分布
分布律为：
或母函数
浙大数学随机过程
1
生成函数唯一地决定各阶矩 （可能为 ） （可能为 ）
例如：
定理：如果X 和Y 都是取值非负整数值的随机变量， 那么当X 与Y 独立时，对0 s 1都有： X Y ( s ) X ( s )Y ( s ). 这里 X Y ， X ，Y 分别是X Y ，X ，Y 的生成函数.
泊松过程也可用另一形式定义： 称 N (t ), t 0是参数为的泊松过程,若满足： 1. N (0) 0 2. 独立增量 3. 对任意的t s 0, N (t ) N (s) ~ t s
证 : P{N (t h ) N (t ) 1} he h(1 h o( h )) h o( h )
随机过程——泊松过程(习题讲解)
n 0 k 1
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
随机过程第三章 泊松过程 ppt课件
(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记T n 为
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
随机过程第三章 泊松过程
解：用一个泊松过程来描述。设 8 点为 0 时刻，则 9 点为 1 时刻，参数 ＝10 ，则由定
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
随机过程 第3章 泊松过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
随机过程-3泊松过程定义1
时，近似效果颇佳，当n≥100,np≤10时，效
果更好。
区间内到达次数：
• 考虑一个固定的长度为t的时间区间，将它分成n 个小区间，每个小区间的长度为δ， t 0
n
• 假定：任意一个小区间内有两次或更多次到达的概率 是非常小的,可以忽略不计.
• 不同的时间段到达的状况又是相互独立的. • 每个小区间内到达一次的概率与区间长度成正比,大
• Байду номын сангаас P{X=1,Y=0}+ P{X=0,Y=1}
11 e 1 20 e 2 10 e 1 21 e 2
1!
0!
0!
1!
(1 2 )e (1 2 )
• P{Z=2}=P{X+Y=2}
• = P{X=2,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=0,Y=2}
P(1,1)= 0.2e 0.2=0.164
• 又假设一天都没有检查电子邮件，那么一 封电子邮件都没有的概率是多少？我们再 次使用泊松分布来计算，即：
P(0,24) e 0.224 0.0083
• 另一方面，我们也可以这样想：在一天24 小时里都没有收到信息，那么连续24个1个 小时都没有收到信息。而后者24个事件是 相互独立，而且每个事件发生概率是
n
Cnk
pnk (1
pn )nk
(t )k k!
e t ,k
0,1,2,...
Possion分布的可加性
• 例3 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 1和2的泊松分布, 求Z=X+Y的概率分布。
•解
P{ X i} 1i e1 , i 0,1,...
i!
第3章 泊松过程
CHAPTER 3 泊松过程
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)， t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0
2， N(t)为整数
3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义：
独立，且服从同一参数 的指数分布，则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)， t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0
2， N(t)为整数
3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义：
独立，且服从同一参数 的指数分布，则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1
《随机过程》第3章-泊松过程
中南民族大学经济学院
43
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
44
.随机过程》第3章-泊松过程
随机过程
第三章 泊松过程
1 齐次Poisson过程 2 非齐次Poisson过程 3 复合Poisson过程 4 年龄与剩余寿命 5 更新过程
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37
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
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38
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
39
.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
2 非齐次Poisson过程
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40
.随机过程》第3章-泊松过程
22
.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
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23
.随机过程》第3章-泊松过程
1 齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
24
.随机过程》第3章-泊松过程
1 齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
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.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
1 齐次Poisson过程
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9
.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
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10
.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
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11
.随机过程》第3章-泊松过程
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C
k n
s s 1 t t
k
nk
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
*[例3] (例3.5)设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k
次(k < n) 事件A发生的时间Wk 的条件概率密度函数。
P{s Wk s h X (t ) n}
fWk
( s n) X (t )
n! s s 1 k (k 1)!(n k )! t t
h
k 1
nk
Beta分布
lim
h0
P{s Wk s h X (t ) n}
fWk (s) P{X (t ) X (s) n k} P{X (t ) n}
P{ X ( s ) k , X (t ) X ( s ) n k} P{ X (t ) n}
(s ) k e s [ (t s )]n k e (t s ) k! (n k )! n! s k (t s) n k n t (t ) e k!(n k )! tn n!
第3章 泊松过程
内容提要
泊松过程的定义 泊松过程的基本性质 非齐次泊松过程 复合泊松过程
引 言
[(0-1)分布] 随机变量 X 只可能有两个值: 0 和 1，其概率 分布为：
P( X 1) p, P( X 0) 1 p q
E ( X ) p, D ( X ) pq
P { X ( t h ) X ( t ) 2} o ( h )
非齐次泊松过程的均值和方差函数为:
m X (t ) D X (t )
t
0
(s) d s
非齐次泊松过程的分布
[定理] 设{ X (t) , t 0 }为具有均值函数 m X (t ) 的非齐次泊松过程，则有
( n 0)
例5 (例3.8)
设{ X (t) , t 0 }是具有跳跃强度
( t ) 0 . 5 (1 cos t )
*[例4] (例3.6)设{X1(t), t 0 }和{X2(t), t 0 }是两个相互独
立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分 别为 1和2。记Wk(1)为过程X1(t)的第k次事件到达时间， W1(2)为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求 P{Wk(1)<W1(2)}，即第一个泊松过程的第k次事件发生早于 第二个泊松过程的第1次事件发生 的概率。
[二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 次数，则 X ~ B (n, p)
n p k q nk P( X k ) k
E ( X ) np , D ( X ) npq
[泊松定理] 在二项分布中，设 np= 是常数，则有
lim
n
P( X k )
j X ( t )
]e
t ( e j 1)
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) E[ X (t )] t
2 X (t ) D X (t ) t
R X ( s, t ) E[ X ( s ) X (t )] s ( t 1) , ( s t )
P{ X (t h ) X (t ) 1} h o ( h ) P{ X (t h ) X (t ) 2} o ( h )
泊松过程的几个例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令 X(t) 表示电 话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t 0 } 是 一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为时 间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{ X(t), t 0 } 是一个泊 松过程。 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故障， 立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障而停止 工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描 述。
(s) d s
0
t
P{ X (t s) X (t ) n} [mX (t s) mX (t )]n exp{[mX (t s) mX (t )]}, (n 0) n!
或
[ m X (t )] n P{ X (t ) n} exp{ m X (t )}, n!
到达时间的条件分布
[定理] 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A发 生n次，则这n次到达时间W1< W2< …< Wn与相应于n个 [0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同 的分布，
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n X (t ) n ) t 其它 0,
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!Biblioteka (3) 到达时间的条件分布
是具有参数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出 现故障，求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。 [解] 仪器发生第k振动的时刻Wk 就是故障时刻T ， 则T 的概率分布为 分布:
k 1 t ( t ) e , t 0 fT (t ) ( k 1 )! t 0 0 ,
[例2] (例3.4)设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 < s <
t，对于0 < k < n ，求在 [ 0 , s ] 内事件A发生 k 次的概率。
P{ X ( s ) k X (t ) n}
P{ X ( s ) k , X (t ) n} P{ X (t ) n}
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
FTn (t ) P{Tn t} (1 e t )
f Tn ( t ) e t
Φ Tn ( t )
j
D [Tn ] 1 2
E [Tn ] 1 ,
等待时间（到达时间）Wn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Wn , n1} 是对应的等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数为n与 的 分布，其概率密度为
3.1 泊松过程的定义
[定义] 称{ N (t), t 0 } 为计数过程，若N (t)表示到时间t 为止已发生的“事件A”的总数，且N (t)满足下列条件： (1) N (t) 0 ，且 N (0) = 0 ; (2) N (t) 取非负整数值; (3) 若 s < t ，N (s) N (t) ; (4) 当s < t 时， N (t) N (s)等于区间 (s, t] 中“事件A” 发生的次数。
分布函数：
s0 0, FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, st
分布密度：
se s e ( t s ) s t te t
1 / t , 0 s t fW1 X ( t ) 1 ( s ) 其它 0,
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
k e
k!
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而取 各个值的概率为
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
D(X )
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
泊松过程的另一个定义
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 >0 的泊松 过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程; (3) X (t) 满足下列两式：
Wn Ti
i 1
n
(n 1)
t
Wn —— 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔
时间间隔Tn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Tn , n 1 } 是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,…)是独立同 分布的均值为1/ 的指数分布。 Tn 的分布函数： Tn 的概率密度函数： Tn 的特征函数： Tn 的数字特征：
fW n (t ) e t ( t ) n 1 ( n 1)!
Wn 的特征函数：
Wn 的数字特征：
Φ W n ( )
n
( j ) n
E [T n ] n 2 D [ T ] n n