初中数学竞赛专题：函数
初中数学竞赛专题：函数 初中数学竞赛专题：函数（1）6.1函数及其图像6.1.1 ★已知2(1)195544f x x x -=+-,求()f x ．解析1 令1y x =-,则1x y =+,带入原式有2()19(1)55(1)44f y y y =+++-2199330y y =++,所以 2()199330f x x x =++．解析2 2(1)19(1)93(1)30f x x x -=-+-+,所以2()199330f x x x =++6.1.2 ★★若函数2()1g x x =-,[]221()x f g x x -=,求3()4f ．解析 只要将满足3()4g x =的x 值求出来,然后代入[]()f g x 即可．23()14g x x =-=, 所以214x =,12x =±．因此2211()312()()3142()2f fg -±⎡⎤=±==⎢⎥⎣⎦± 6.1.3 ★ 已知函数53()5f x ax bx x =-++,其中a 、b 为常数．若()7f x =,求(5)f -． 解析 由题设53()5f x ax bx x -=-+-+ 53(5)10ax bx x =--+++()10f x =-+所以(5)(5)103f f -=-+=．6.1.4 ★★ 函数()f x 的定义域是全体实数,并且对任意实数x 、y ,有()()f x y f xy +=．若(19)99f =,求(2008)f ．解析 设(0)f k =,令0y =代入已知条件得()(0)(0)(0)f x f x f x f k +=⋅==, 即对任意实数x ,恒有()f x k =,所以()(19)99f x f ==,所以 (2008)99f =． 6.1.5 ★★ 若对任意实数x ,221()(2)(2)1f x a a x a x =--+-+总有意义,求实数a 的取值范围． 解析 欲使221()(2)(2)1f x a a x a x =--+-+总有意义,令22()(2)(2)1f x a a x a x =--+-+则()0g x >或()0g x <,对任意实数x 均成立,于是问题等价于（1）22220,(2)4(2)0.a a a a a ⎧-->⎪⎨=----<⎪⎩△ （2）22220(2)4(2)0.a a a a a ⎧--<⎪⎨=----<⎪⎩△ （3）220,20.a a a ⎧--=⎨-=⎩由（1）解得：2a >,或2a <-； 由（2）解得：a 不存在； 由（3）解得：2a =．于是实数a 的取值范围为2a ≥,或2a <-．6.1.6 ★★ 若y =,求m 的取值范围．解析 由题意y =,即对任意实数x ,恒有2430mx x m -+-≥．若0m =,则43x -≥,34x ≤-,与题意不符；当0m ≠时,二次函数2()430f x mx x m =-+-≥的充要条件是20,(4)4(3)0.m m m >⎧⎨=---≤⎩△ 得4m ≥．因此,m 的取值范围是4m ≥． 6.1.7 ★★反比例函数1k y x-=与一次函数(1)(0,1)y k x k k =+≠≠在同一坐标系中的图像只能是（ ）．(A)(B)(C)(D)解析 通过分析函数图像的特征,例如(1)y k x =+的图像过一定点（1-,0）,或者通过函数图像讨论常数k 的正负逐步淘汰三个选择项,得出结论．函数(1)y k x =+的图像过顶点(1,0)-,而在（A ）中直线不过点(1,0)-,故淘汰（A ）中直线不过点(1,0)-,故淘汰（A ）． 在（D ）中,直线左高右低,因此0k <；双曲线在Ⅰ,Ⅲ象限,则10k ->,1k >,导致矛盾．故淘汰（D ）． 在（C ）中,仿前,从直线看,01k <<；从双曲线看,1k >,也导致矛盾．故淘汰（C ）． 故选（B ）．6.1.8 ★★ 函数220062008y x x =-+的图像与x 轴交点的横坐标之和等于_________． 解析 原问题可转化为求方程2200620080x x -+=①的所有实根之和．若实数0x 为方程①的根,则其相反数0x -也为方程①的根．所以,方程的所有实根之和为0,即函数的图像与x 轴交点的横坐标之和等于0．6.1.9 ★★ 直线1l 过点(0,2)A 、(2,0)B ,直线2l y mx b =+∶过点(1,0)C ,且把AOB △分成两部分,其中靠近原点的那部分是一个三角形,如图．设此三角形的面积为S ,求S 关于m 的函数解析式,并画出图像.解析 因为2l 过点(1,0)C ,所以0m b +=,即b m =-．设2l 与y 轴交于点D ,则点D 的坐标为(0,)m -,且02m <-≤（这是因为点D 在线段OA 上,且不能与O 点重合）,即20m -≤<．12S OC OD =⋅⋅ 11122m m =⋅⋅-=-, 故S 的函数解析式为1(20)2S m m ---≤<．6.1.10 ★★ 已知矩形的长大于宽的2倍,周长为12．从它的顶点作一条射线,将矩形分成一个三角形和一个梯形,且这条射线与矩形一边所成角的正切值等于12．设梯形的面积为S ,梯形中较短的底的长为x ,试写出梯形面积S 关于x 的函数关系式．解析 设矩形ABCD 的长BC 大于宽AB 的2倍．由于周长为12,故长与宽满足46BC <<,02AB <<．由题意,有如下两种情形：E 2E 1DCBA（1）如图11tan 2BAE ∠=,这时1CE x =,1BE BC x =-,2()AB CD BC x ==-,所以2()6BC x BC -+=,623xBC +=,111()2AE CD S CE AD CD =+⋅16262()2()233x x x x ++=+⋅- =26565843393x x x x +-⋅=-++, 其中36x <<（这由62463x+<<得出）． （2）当21tan 2DAE ∠=时,由于22AE B DAE ∠=∠,故21tan 2AE B ∠=,这时2CE x =,22BE AB =．由(2)6AB x AB ++=,得 63xAB -=, 所以221()2AE CD S CE AD CD =+⋅166(2)233x xx x --=+⋅+⋅66()33x xx --=+⋅=222493x x -++, 其中06x <<（这由6023x-<<得出）． 6.1.11 ★★ 已知二次函数2()f x x px q =++,且方程()0f x =与(2)0f x =有相同的非零实根． （1）求2qp 的值； （2）若(1)28f =,解方程()0f x =．解析 （1）设()0f x =的两根为1x 、2x ,且12x x ≤,则12()()()f x x x x x =--, 12(2)(2)(2)f x x x x x =--124()()22x xx x =--． 于是,(2)0f x =的两根为12x 、22x ,且1222x x ≤．所以,212xx =,即212x x =．因此,12212212211()(1)(1)x x q x x p x x x x ==+++ 1219(1)(21)2==++ （2）由（1）得11()()(2)f x x x x x =--． 又(1)28f =,则11(1)(12)28x x --=, 解之得13x =-或92, 于是,()0f x =的两组解为123,6x x =-⎧⎨=-⎩或129,29.x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 6.1.12 ★★ 如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t ,都有(2)(2)f t f t +=-,求(1)f ,(2)f ,(4)f 之间的大小关系．解析 (2)(2)f t f t +=-对任意实数t 成立,因此()y f x =的图像的对称轴是2x =．()y f x =的图像是开口向上的抛物线,因此当2x ≥时,y 随着x 的增大而增大．于是有 (2)(3)(4)f f f <<．但由对称性知(3)(1)f f =,故 (2)(1)(4)f f f <<．6.1.13 ★ 如图所示,1l 、2l 分别表示一种白炽灯和一种节能灯费用y （费用=灯的售价+电费,单位：元）与照明时间()x h 的函数图像．假设两种灯的使用寿命都是2000h ,照明效果一样．（1）根据图像分别求出1l 、2l 的函数关系式； （2）当照明时间为多少时,两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明1500h ,他是买白炽灯省钱还是买节能灯省钱？解析 （1）设直线1l 的解析式为112y k x =+．由图像得1175002k =+,解得10.03k =．所以,1l 的解析式为10.032(02000)y x x =+≤≤．设直线2l 的解析式为2220y k x =+．由图像得22650020k =+,解得20.012k =．所以,2l 的解析式为20.01220(02000)y x x =+≤≤．（2）当12y y =时,两种灯的费用相等,这时有0.0320.01220x x +=+,解得1000x =,所以,当照明时间为1000h 时,两种灯的费用相等． （3）当1000x >时,21y y <,所以他买节能灯省钱．6.1.14 ★★ 通过实验研究,专家们发现：初中学生听课的注意例指标数是随着老师讲课施加你的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣渐增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分赛．学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图像如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）．当010x ≤≤时,图像是抛物线的一部分,当1020x ≤≤和2040x ≤≤时,图像是线段．（1）当010x ≤≤时,求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；:分)（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟．问老师能否讲过适当安排。
使学生在 听这道题时,注意力的指标数都不低于36．解析 （1）当010x ≤≤时,设抛物线的函数关系式为2y ax bx c =++,由于它的图像经过点(0,20)、(5,39)、(10,48),所以20,25539,1001048.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得,15a =-,245b =,20c =． 所以21242055y x x =-++,010x ≤≤．（2）当2040x ≤≤时,7765y x =-+ 所以,当010x ≤≤时,令36y =,得2124362055x x =-++,解得4x =,20x =（舍去）；当2040x ≤≤时,令36y =,得736765x =-+,解得20042877x ==． 因为44284242477-=>,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标数不低于36时,讲授完这道竞赛题． 6.2 一次函数6.2.1 ★★ ()f x 四一次函数,（1）若[](1)47f f x x +=+,求函数()f x 的表达式； （2）若(1)1f =,且[]4(2)2bf f k-=⋅,求函数()f x 的表达式． 解析（1）设()(0)f x kx b k =+≠．因为(1)(1)f x k x b kx k b +=++=++,又因为[](1)()f f x k kx k b b +=+++2247k x k kb b x =+++=+．所以224,7.k k kb b ⎧=⎪⎨++=⎪⎩解得2,2,1,3,k k b b ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩所以()21f x x =+或()23f x x =--． （2）设()(0)f x kx b k =+≠．因为(1)1f =,所以1k b += ①因为(2)2f k b =+,[]2(2)2f f k bk b =++,所以2422bk bk b k-++=⋅． ②由①得1b k =-,代入②得360k k --=326(2)(23)0k k k k k --=-++=．得2k =,则1b =-．所以()21f x x =-． 6.2.2 ★★ 求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点,并求这个定点．解析 由一次函数得(2)(21)(10)k y k x k +=---, (21)2100x y k x y ----+=．因为等式对一切有意义的k 成立,所以得210,2100.x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得12,519.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当125x =,195y =时,一次函数解析式变为恒等式,所以函数图像过定点1219(,)55． 6.2.3 ★★ 已知m 、n 、c 为常数。
八年级数学竞赛题：函数的基本性质
八年级数学竞赛题：函数的基本性质现实世界中的量与量之间常常存在着一定的联系，函数就是反映、刻画这种变量之间的对应关系的重要而有效的数学模型之一．函数概念的产生预示着数学进入了一个新阶段，即从研究常量数学转变为研究变量数学．函数的基本知识主要是指：与平面直角坐标系相关的概念（如点的坐标、象限等）、函数的概念、表示函数的方法及函数图象的画法．点的坐标是数形结合的桥梁，是解决函数问题的基础；探寻两个变量间的函数关系式是函数研究的重要课题，也是解函数问题的关键．例1 （1）如果所在位置的坐标为（-1，-2），所在的位置的坐标为（2，-2），那么，所在位置的坐标为____________．（2）已知点P的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为____________．例2 已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动。
运动路径为：G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm）2关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有（）．（图1）（图2）①图1中的BC长是8cm；②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2；③图1中的CD长是4cm；④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2．A．1个B．2个C．3个D．4个例3 某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运甲种土特产的车辆数为x ，装运乙种土特产韵车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式．（2）如果装运每辆土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案．（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．例4 有一根直尺的短边长为2cm ，长边长为10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为12cm ．如图①，将直尺的短边DE 放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合．将直尺沿AB 方向平移，如图②，设平移的长为x cm （0≤x ≤10），直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积为S cm 2． ·（1）当x =0时，S =__________；当x =10时，S= ______________．（2）当0<x ≤4时，求S 关于x 的函数关系式．（3）当4<x <10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值．例5 某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带进库的货物流量如图（a ），每条输出传送带出库的货物流量如图（b ），而该日仓库中原有货物8t ，在0：00—5：00之间，仓库中货物存量变化情况如图（c ）．则在0：00—2：00有多少条输入传送带和输出传送带在工作？在4：00一5：00有多少条输入传送带和输出传送带在工作？1．函数1-=x x y 的自变量x 的取值范围是_____________． 2．平面直角坐标系中的点)21,2(m m P -关于x 轴的对称点在第四象限，则m 的取值范围是_____________．3．两个变量y 与x 之间的函数图象如图所示，则y 的取值范围是_____________．4．如图，已知点A 、B 的坐标分别为（-2，0）和（2，0），月牙①绕点B 顺时针旋转到月牙②，则点A 的对应点A ′的坐标为_____________．5．下列函数中，自变量x 的取值范围是x >2的函数是（ ）． 2-=⋅x y A 12-=⋅x y B21.-=x y C 121-=⋅x y D6．已知点P （x ，y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA －AB －BO 的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）． ．8．如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（ ）．9．宏志中学九年级300名同学毕业前夕给灾区90名同学捐赠了一批学习用品（书包和文具盒），由于零花钱有限，每6人合买一个书包，每2人合买一个文具盒每个同学都只参加一件学习用品的购买），书包和文具盒的单价分别是54元和12元．（1）若有x名同学参加购买书包，试求出购买学习用品的总件数y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若捐赠学习用品总金额超过了2300元，且灾区90名同学每人至少得到了一件学习用品，请问同学们如何安排购买书包和文具盒的人数？此时选择其中哪种方案，使购买学习用品的总件数最多？10．有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进水不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间的关系如图，若20分钟后只出水不进水，求这时（即x≥20时）y与x之间的函数关系．11．已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度．在平面直角坐标系内，现有动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4，…依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是_______________．12．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2， 1），则△ABC的面积为____________平方单位．13．如图，已知边长为1的正方形OABC 在平面直角坐标系中，A 、B 两点在第一象限内，OA 与x 轴的夹角为30°，那么点B 的坐标为____________．14．若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-=+93323my x y mx 的解为坐标的点（x ，y ）在第二象限，则符合条件的实数优的范围为（ ）． 91.>m A 2.-<m B 912.<<-m C 921.<<-m D 15．某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．已知某天0点到6点，进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．给出以下三个判断：①0点到3点只进水，不出水；②3点到4点，不进水，只出水；③4点到6点不进水，不出水．则上述判断中一定正确的是（ ）．A ．① 8．② C ．②③ D ．①②③16．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图象分别表示变量之间的关系，将下面的（a ）、（b ） （c ）、（d ）对应的图象排序：（a ）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）（b ）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）（c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A ．地的距离与时间的关系），其中正确的是（ ）A ．（3）（4）（1）（2）B ．（3）（2）（1）（4）C．（4）（3）（1）（2）D．（3）（4）（2）（1）．17．在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y 与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．（1）s与t之间的函数关系式是：_________________；（2）与图③相对应的P点的运动路径是：_____________；P点出发_____________秒首次到达点B；（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图像．18．如图（单位：m），等腰三角形ABC以2m／s的速度沿直线1向正方形移动，直到AB 与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当x=2，3.5时，y的值分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？19．阅读下列材料：“父亲和儿子同时去晨练，如图1，实线表示父亲离家的路程y（单位：m）与时间x （单位：min）的函数图象；虚线表示儿子离家的路程y（单位：m）与时间x（单位：min）的函数图象．由图象可知，他们在出发10min时第一次相遇，此时离家400m；晨练30min 后，他们同时回到家．”根据阅读材料给你的启示，利用指定的直角坐标系（如图2）或其他方法解答问题：一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100km的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100km／h和20km／h．巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻（巡逻艇调头的时间忽略不计）．（1）货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？（2）出发多长时间后巡逻艇与货轮第三次相遇？此时离A港口多少千米？。
初中数学竞赛专题复习一次函数的图象与性质(无答案)
一次函数的图象与性质考点·方法·破译1．一次函数及图象：⑴形如y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，且k ≠0），则y 叫做x 的一次函数，当b ＝0，k ≠０时，y 叫做x 的正比例函数．⑵正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是经过（0,0），（1，k ）两点的直线，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是经过（0，b ）、（－k b，0）两点的直线．2．一次函数的性质：当k ＞0时，y 随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．3．函数y ＝kx ＋b 中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．经典·考题·赏析【例１】（山东）函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②（ab ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）【解法指导】A 中①a ＞0，b ＞0，②b ＜0，a ＜0矛盾．B 中①a ＜0，b ＜0，矛盾．C 中①a ＞0，b ＞0②b ＞0，a ＝0矛盾．D 中①a ＞0，b ＜0②b ＜0，a ＞0，故选D ．【变式题组】01．（河北）如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（）02．（安徽）已知函数y ＝kx ＋b 的图象如左图，则y ＝2kx ＋b 的图象可能是（）03．下列图象中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m 、n 为常数，则mn ≠0）的图象是（）【例２】（绍兴）如图，一次函数y ＝x ＋5的图象经过点P(a ，b)和Q （c ，d ）则a （c －d ）－b （c －d ）的值为_______．【解法指导】因为点P(a ，b),Q （c ，d ）在一次函数图象上，∴b ＝a ＋5，d ＝c ＋5∴a －b ＝－5，c －d ＝－5，a （c －d ）－b （c －d ）＝（c －d ）（a －b ）＝（－5）×（－5）＝25【变式题组】01．如图一条直线l 经过不同三点A （a ，b ）,B （b ，a ）C （a －b ，b －a ）则直线l 经过（）A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A(2,3),B （5,4）C(－4,1)依次连接这三点，则（）A ．构成等边三角形B ．构成直角三角形C ．构成锐角三角形D ．三点在同一条直线上03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则a 的值为_______．【例３】如图，已知正方形ABCD 的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3),直线y ＝2x ＋b 交AB 于点E ，交CD 于点F ．直线与y 轴的交点为（0，b ），则b 的变化范围是_____.【解法指导】直线y ＝2x ＋b 是平行于直线y ＝2x 的直线，当直线经过B 点时，b 最小，当x ＝3时，y ＝1∴1＝2×3＋b ， b ＝－5当直线经过D 点时，b 最大，所以当x ＝1时，y ＝3∴3＝2×1＋b ， b ＝1∴－5≤b ≤１【变式题组】01．线段y ＝－21x ＋a （1≤b ≤3），当a 的值由－1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）A ．6B ．8C ．9D ．1002．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P （－1,1），Q(2,2)，函数y＝kx －1的图象与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是_________.03．（济南）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y ＝k1x ＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y ＝k2x ＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝ k2，且b1＝b2，我们就称直线l1与直线l2平行．解答下面的问题：⑴求过点P （1,4）且与已知直线y ＝－2x －1平行的直线l 的函数表达式，并画出直线l 的图象；⑵设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：y ＝kx ＋t （t ＞0）与直线平行且交于x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数关系式．【例４】已知一次函数y ＝kx ＋b ，当自变量取值范围是2≤x ≤６时，函数值的取值范围5≤y ≤9.求此函数的解析式．【解法指导】⑴当k ＞0，y 随x 的增大而增大，∴y ＝kx ＋b 经过（2,5），（6,9）两点∴9652b kb k∴31b k ，∴y ＝x ＋3 ⑵当k ＜0，y 随x 的增大而减小，∴y ＝kx ＋b 经过（2,9），（6,5）两点∴5692b k b k∴111bk ，∴y ＝－x ＋11 ∴所求解析式为y ＝x ＋3或y ＝－x ＋11【变式题组】01．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤１时，对应y 的值为1≤y ≤9，则kb的值为（）A ．4B ．－6C ．－4或21D ．－6或1402．（遂宁）已知整数x 满足－5≤x ≤5，y1＝x ＋1，y2＝2x ＋4，对任意一个x ，m 都取y1,、y2中的最小值，则m 的最大值是（）A ．1B ．2C ．24D ．－9【例５】如图，直线y ＝－5x －5与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于C ，与y 轴交于B 点，CD ⊥AB 交y 轴于E ．若CE ＝AB,求直线BC 的解析式．【解法指导】由CE ＝AB ，CD ⊥AB 可得△AOB ≌△EOC,因而OB＝OC 而y ＝－5x －5与y 轴交于B∴B(0，－5)∴C(5,0),而直线BC 经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y ＝x －5【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）是直线y ＝－x ＋6第一象限上的点，点A(5,0),O 是坐标原点，△PAO 的面积S ．⑴求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；⑵探究：当P 点运动到什么位置时△PAO 的面积为10.02．如图，直线l ：y ＝－21x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0,4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．⑴求A 、B 两点的坐标；⑵求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标．03．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx ＋b 经过A （0,2）、B(4,2)两点．⑴求直线AB 的解析式；⑵点C 的坐标为（0,1），过点C 作CD ⊥AO 交AB 于D. x 轴上的点P 和A 、B 、C 、D 、O 中的两个点所构成的三角形与△ACD 全等，这样的三角形有_____个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图．【例６】如图，已知直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B.另一条直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过（1，0），且把△AOB 分成两部分．⑴若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；⑵若△AOB 被分成的两部分的面积比为1:5,求k 和b 的值．【解法指导】欲求k 和b 的值，需知道直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过两已知点，而点C （1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可．解：⑴由题意得（2，0）、B(0，2)，∴Ｃ为OA 的中点，因而直线y ＝kx ＋b 过OA 中点且平分△AOB 的面积时只可能韦中线BC ．∴y ＝kx ＋b 经过C （1，0），（0，2）∴b b kx 20∴k ＝2 b ＝2⑵①设y ＝kx ＋b 与OB 交于M （0，t ）则有S △OMC ＝S △CAN,∴MN ∥ｘ轴，∴N(34,32)∴直线y ＝kx ＋b 经过34,32)，（1，0）∴03234b kb k∴22b k 【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系xOy ，已知直线AC 的解析式为y ＝－21x ＋2，直线AC 交x 轴于点C ，交于y 轴于点A ．⑴若一个等腰直角三角形OBD 的顶点D 与点C 重合，直角顶点B 在第一象限内，请直接写出点B 的坐标；⑵过点B 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存一点P ，使得△AOP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶试在直线AC 上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．02．（浙江杭州）已知，直线y ＝－133x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B,以线段AB 为直角边的第一象限内作等腰Rt △ABC,90BAC°，且点P （1,a ）为坐标系中的一个动点．⑴求三角形ABC 的面积S △ABC;⑵证明不论a 取任何实数，三角形BOP 的面积是一个常数；⑶要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．演练巩固·反馈提高01．（芜湖）关于x 的一次函数y ＝kx ＋k2＋1的图象可能正确的是（）02．一次函数y ＝kx －b 和正比例函数y ＝kbx 在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）03．一次函数y ＝（m －1）x ＋m2＋2的图象与y 轴的交点的纵坐标是3，则m 的值是（）A ．5B ．1C ．－1D ．－204．直线y1＝kx ＋b 过第一、二、四象限，则直线y2＝bx －k 不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限05．已知一次函数y ＝（1－2m ）x ＋m －2，函数y 随着x 的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m 的取值范围是（）A ．m ＞21 B.m ≤2 C ．21＜m ＜2 D.21＜m ≤２06．如图，点A 、B 、C 、D 在一次函数y ＝－2x ＋m 的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A ．1B ．3C ．3(m －1)D ．23（m －2）07．（绍兴）如图，在x 轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ＝ax ，y ＝（a ＋1）x ，y ＝（a ＋2）x 相交，其中a ＞0，则图中阴影部分的面积是（）A ．12.5B ．25C ．12.5aD ．25a08．（重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →Ｄ作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（）09．（日照）如图，点A 的坐标为（－1,0）,点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（22，－22）C ．（－21，－21）D ．（－22，－22）10．（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_________.11．观察下列各直角坐标系中的直线AB ，点P （x ，y ）是线段AB 上的点，且x 、y 都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题：⑴第5个图中满足条件的点P 个数是_______;⑵第n 个图中满足条件的点P 个数m 与n 之间的关系是________.12．（十堰）直线y ＝kx ＋b 经过点A(－2,0)和y 轴上的一点B ，如果△ABO （O为坐标原点）的面积为2，则b 的值为________.13．如图，长方形OABC 的顶点B 的坐标为（6，4），直线y ＝－x ＋b 恰好平分长方形的面积，则b ＝_______.14．如图，点B 、C 分别在两条直线y ＝2x 和y ＝kx 上，点A 、D 是x 轴上两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k ＝______.15．（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置．点A1,A2,A3,…和C1,C2，C3,…分别在直线y ＝kx ＋b(k ＞0)和x 轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则Bn 的坐标是________.16．点P 为直线y ＝－3x ＋6上的一点，且点P 到两坐标轴距离相等，则P 点坐标为_____.17．已知直线y1＝x ，y2＝31x ＋1，y3＝－54x ＋5的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取y1、y2、y3中最小的值，则y 的最大值为_______.18．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P(0,－3),且与函数y ＝21x ＋1的图象相交于点A （a ,38）.⑴求a 的值；⑵若函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点是B,函数y ＝21x ＋1的图象与y 轴的交点是C,求四边形ABOC 的面积(其中O 为坐标原点).19．定义q p,为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．⑴求一次函数y ＝－2（x －1）的特征数；⑵若特征数是2,2k 的一次函数为正比例函数，求k 的值．20．已知：三点A(a ，1)、B(3,1)、C(6,0)，点A 在正比例函数y ＝21x 的图象上．⑴求a 的值；⑵点P 为x 轴上一动点，当△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值时，求点P 的坐标；21.已知直线ln ：y ＝－n n 1x ＋n 1（n 是正整数）.当n ＝1时，直线l1:y ＝－2x＋1与x 轴和y 轴分别交于点A1和B1.设△A1OB1(O 是平面直角坐标系的原点)的面积为s1.当n ＝2时，直线l2：y ＝－2123x 与x 轴和y 轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为s2，…，依次类推，直线ln 与x 轴和y 轴分别交于点An 和Bn ，设△AnOBn 的面积为Sn.求△A1OB1的面积s1；⑵求s1＋s2＋s3＋…＋s2019的值.22.（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A（－1，1），B （－1，－1），C （1，－1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分．⑴ｓ与t 之间的函数关系式是：_________；(2）与图③相对应的P 点的运动路径是：________；P 点出发 _______秒首次到达点B ；⑶写出当3≤s ≤８时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．培优升级·奥赛检测01．已知abc ≠0，且b a c a c b c ba ＝t ，则直线y ＝tx ＋t 一定通过（）A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限02．一个一次函数的图象与直线y ＝x45＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1,－25),则在线段AB 上（包括端点A 、B ）横坐标、纵坐标都是整数的点有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个03．在一次函数y ＝－x ＋3的图象上取点P ，作PA ⊥ｘ轴，PB ⊥ｙ轴，垂足分别为A 、B ，长方形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个04．在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，若MP ＋MQ 取最小值，则点M 的坐标为________. 05．已知点A （0，2）、B(4,0)，点C 、D 分别在直线x ＝1与x ＝2上运动，且CD ∥ｘ轴，当AC ＋CD ＋DB 的值最小值，点C 的坐标为_____________.06．在直角坐标系中，有两个点A(－8,3)、B （－4，5）以及动点C （0，n ）、D（m ，0）.当四边形ABCD 的周长最短时，n m的值为_________.07．已知函数y ＝（a －2）x －3a －1，当自变量x 的值范围为3≤x ≤５时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数a 的取值范围．08．（荆州市八年级数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b （a 为整数）的图象过（98，19），它与x 轴的交点为（p ，0），与y 轴的交点为（0，q ），若P 为质数，q 是正整数，问符合条件的一次函数是否存在？若存在，求出解析式；若存在，说明理由．09．若直线y ＝mx －3，y ＝－1，y ＝3和x ＝1所围成的四边形面积为12，求m.10．设f （x ）＝kx ＋1是x 的函数，若m （k ）表示函数f （x ）＝kx ＋1在1≤x ≤３条件下的最大值，求函数m （k ）的解析式，并作出图象．。
初三数学竞赛专题--函数的图象
初中数学竞赛专题选讲（初三.17）函数的图象一、内容提要1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象.例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线l.① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx 0+b ；② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上.2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如：二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y=xk(k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如：① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值；② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)；③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解.④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解读式)的公共解.等等4. 画函数图象一般是：①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解读式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解读式. 二、例题例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)，试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0.∵对称轴在原点右边，∴x=－ab2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0.例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5.试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：P(x,y)l o x y（1） x 的值什么范围，曲线f 1和f 2都是下降的；（2） x 的值在什么范围，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形；（3） 求在f 1和f 2围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值.（1980年福建省中招试卷）解：f 1 ：y=－x 2+5 (由顶点横坐标变化确定的)， f 2 ：y=(x －2)2－5 (由开口方向相反确定的). （1）当x ≥0时，f 1下降，当x ≤2时，f 2下降，∴当0≤x ≤2时，曲线f 1和f 2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=.5)2(522x y x y ，x 2－2x －3=0 . ∴x=－1；或x=3.∴当－1≤x ≤3时，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度， 就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点 的纵坐标的差.在区间 –1≤x ≤3内，设f 1 上的点P 1(x,y 1), f 2 上的点P 2(x,y 2)， 求y 1－y 2的最大值，可用配方法： y 1－y 2 ＝(－x 2+5)－[ (x －2)2－5]＝－2x 2+4x+6 ＝－2(x －1)2+8.∵－2<0， ∴y 1－y 2有最大值.当x=1 时，y 1－y 2的值最大是8. 即线段长度的最大值是8. 例3. 画函数y=21-++x x 的图象.解： 自变量x 的取值范围是全体实数，下面分区讨论： 当x<－1 时， y=－(x+1)－(x －2)=－2x+1； 当－1 ≤x<2时， y=x+1－(x －2)=3 ； 当x ≥2时， y=x+1+x －2=2x －1.即y=21-++x x =⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-).2(12)21(3)1(12x x x x x ；；x … －2 －1 2 3 …y=－2x+1(x<－1) (5)3y=3(－1≤x<2) 3 3y=2x －1(x ≥2)3 5 …∴ 画函数y=21-++x x 的图象如下图：例4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象， [m] 表示不超过m 的最大整数.(1985年徐州市初中数学竞赛题).解：∵[x]2≥0， 且 [y]2=1－[x]2≥0，∴[x]2≤1 . ∴ 0≤[x]2≤1.∵[m] 表示不超过m 的最大整数， ∴当[x]2=0⇔[x]=0⇔0≤x ≤1 .当[x]2=1⇔[x]=⎩⎨⎧<≤<≤--).21(1)01(1x x ，自变量x 的取值范围是：－1≤x<2.如图阴影部分的四个正方形， 就是所求方程的图象.只包括各正方形左、下边界， 不包括各正方形右、上边界.x －1≤x<0 0 ≤x<1 1≤x<2 [x] －1 0 1 [x]21 0 1 [y]2=1－[x]2 010 [y] 0 －1 1y0≤y<1－1≤y<0 1≤y<2 0≤y<1例5. 直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限相交点A ，S Rt △AOB =3. ① 求m的值；②设直线与x 轴交于点C ，求点C 的坐标； ③求S △ABC .解： ①设A 坐标为 (x, x+m).∵ S △AOB =21OB ×BA. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=x m m x m x x )(213整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+mmx x mx x 226∴m=6②∵直线与x 轴交于点C.把y=0 代入y=x+6 得x=－6, ∴点C 的坐标是(－6，0) ③∵直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限相交点A ， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 66 得⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=153153y x 即点A 的坐标是 (－3+15，3+15).∴BC=1536+-+-=3+15 ∴S △ABC =21(3+15)(3+15)=12+315. 例6.选择题(只有一个正大确的答案).①函数y=kx+k 与y=xk在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( )② 函数 y=1－2x x - 的图象是( )解：①常数k 是同一个值，.双曲线y=xk在一、三象限，k>0, 那么y=kx+k 中， 当k>0时，直线上升且在y 轴上的截距为正. 所以应选 (D)；②注意到y=1－2x x -中， 当x=0和x=1时 y 有最大值1，故选 (A).三、练习 1. 填空：① 横坐标为－2的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿， 横轴记作直线＿＿＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿， 经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿.② 点P （x, y ）关于横轴的对称点P 1的坐标是（ ），点P 关于原点的对称 点P 2的坐标是（ ）.③ f ：y=3(x －2)2+5,关于横轴对称的抛物线f 1记作＿＿＿＿＿＿＿ f 关于原点对称的抛物线f 2记作＿＿＿＿＿＿＿.④ A （1，3）关于直线y=x 的对称点A ，的坐标是（ ）.点B （－2，3）关于直线y=－x 的对称点B ，的坐标是（ ）. 2. 根据图象位置判断指定的常数的符号① 直线y=kx+b 经过二、一、四象限，则k,b 的符号是＿＿＿＿＿＿ ② 抛物线y=ax 2+bx+c 的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号a__, －ab2______,b______,c_______, b 2－4ac______,a b ac 442-______ aacb b 242---_____3. 选择题（只有一个正确的答案）（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（ ）. （A ）p=q, r=0 . (B) p=－q, r=0. (C)p=q, r=1. (D) p=－q, r=1. （2）下图（2）是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如下答案哪个正确？（ ） （A ）a+b+c=0. （B ）a+b+c<0. （C ）a+b+c>0. （D ）a+b+c 值不定.(1)（3）二次函数y=a(x+m)2+n 中，a>0 , m>0, n>0 它的图象（ ）(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn<0, 那么它们在同一坐标系内的图象大致为（ ）（D ）（5）在同一坐标系内，y=ax+b 与y=ax 2+b 的图象大体位置是（ ）(6)已知函数y+ax+b 和y=ax 2+bx+c 那么它们的图象是（ ）（1983年福建省初中数学竞赛题）4. 画下列函数的图象①y=xx 2； ②y=2x ； ③y=(x )2； ④ y=－x .5. 有m 部同样的机器，同时开始工作，需要m 小时完成某项任务.设由x 部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x 为小于m 的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.6. 画如下方程、函数的图象.①2=+y x ；②y=x 2－2|x|－3.7. 这是一张追及图看图回答： ① 谁追及谁？② 谁早出发，早几小时？③ 甲、乙在这段路程速度各多少？④ 追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？ ⑤ 分别列出甲、乙两人的路程y 甲，y 乙和时间x 的函数关系的解读式.-55105201510152025234甲乙S 公里t 小时8. 如图，抛物线L 1：y=ax 2+2bx+c 和抛物线L 2：y=(a+1)x 2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A 、B 、C 三点，说明理由； ②.求出点B 和点C 的横坐标；③.若AB ＝BC ，OC ＝OD ，求a, b, c 的值 .9. 坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)， 试在二次函数 y=5910102+-x x.年全国初中数学联赛题) （8）练习题参考答案1. ①x=－2, x=0, y=0, y=－x, y=x ； ②(x,y),(－x,－y)；③y=－3(x －2)2－5, y=－3(x+2)2－5 ④(3，1)，(－3，2) 2. ①k<0, b>0. ②正，负，正，负，负，正，负.3. ①(A)， ②(B)， ③(B)， ④(C)， ⑤(D)， ⑥(C)4. ①∵x ≠0，∴图象不以过原点；② y ≥0；③x ≥0；④ y ≤0.5. y=xm 2(x 是正整数x ≤m=5).6. （如图）7. ①乙追及甲； ②甲先1小时； ③时速甲4、乙5千M ；④乙用4小时追上甲先走的4千M ⑤y 甲=4x, y 乙=5x 8. ①∵由图象a,a+1异号，∴L 2过A ，B ，C 三点. ②－3，－1. ③－31，0，31. 9. (2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(－3，3)，(－6，6).由x 2－x+18≤10x .当x ≥0时，x 2－x+18≤10x, x 2－11x+18≤0, (x －2)(x －9)≤0，2≤x ≤9, 这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)； 当x<0时，x 2－x+18≤－10x, x 2＋9x+18≤0， （x+6）(x+3)≤0，－6≤x ≤－3, 这时有两个整数点：(－3，3)，(－6，6).。
初二数学函数奥赛试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x^2B. y = 2x - 3C. y = k/x (k ≠ 0)D. y = x + 12. 已知函数y = kx + b的图像经过点（1，2），则下列选项中，可能为k和b的值是（）A. k = 2, b = 1B. k = -2, b = 3C. k = 1, b = 2D. k = 3, b = 13. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x^3B. y = x^2 + 2x + 1C. y = x^2 - 2x - 3D. y = 2x^2 + 3x - 54. 已知函数y = 2x^2 - 4x + 1的图像的对称轴是（）A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = 35. 若函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且顶点坐标为（h，k），则下列结论正确的是（）A. a > 0, b > 0B. a < 0, b < 0C. a > 0, b < 0D. a < 0, b > 06. 下列函数中，在定义域内是单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2x - 3C. y = 1/xD. y = x^37. 已知函数y = -x^2 + 4x + 3的图像与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0），则下列选项中，可能为函数的零点是（）A. x = 0B. x = 2C. x = 4D. x = -28. 下列函数中，是指数函数的是（）A. y = 2xB. y = 2^xC. y = 2x + 3D. y = 2x^29. 已知函数y = a^x（a > 0，a ≠ 1）的图像过点（0，1），则a的值为（）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/410. 下列函数中，是根式函数的是（）A. y = √xB. y = x^2C. y = 1/xD. y = x^3二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数y = -3x + 5中，当x = 0时，y的值为______。
初三数学竞赛专题--函数的图象(doc 10页)
初三数学竞赛专题--函数的图象(doc 10页)初中数学竞赛专题选讲（初三.17）函数的图象一、内容提要1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线l.① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx 0+b ；② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上. 2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象.P(x,y)lox y义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)，试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0.∵对称轴在原点右边，∴x=－a b 2>0且a<0, ∴b>0.∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上，∴截距c>0.∵抛物线与横轴有两个交点，∴b 2－4ac>0.例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5.试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：（1） x 的值什么范围，曲线f 1和f 2都是下降的；（2） x 的值在什么范围，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形；（3） 求在f 1和f 2围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值.（1980年福建省中招试题）解：f 1 ：y=－x 2+5 (由顶点横坐标变化确定的)，f 2 ：y=(x －2)2－5 (由开口方向相反确定的). （1）当x ≥0时，f 1下降，当x ≤2时，f 2下降，∴当0≤x ≤2时，曲线f 1和f 2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=.5)2(522x y x y ，x 2－2x －3=0 .∴x=－1；或x=3.∴当－1≤x ≤3时，曲线f1和f2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于y轴的线段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差.在区间–1≤x ≤3内，设f1上的点P1(x,y1), f2上的点P2(x,y2)，求y1－y2的最大值，可用配方法：y1－y2＝(－x2+5)－[ (x－2)2－5]＝－2x2+4x+6＝－2(x－1)2+8.∵－2<0，∴y1－y2有最大值.当x=1 时，y1－y2的值最大是8.即线段长度的最大值是8.例3.画函数y=2x的图象.1-+x+解：自变量x的取值范围是全体实数，下面分区讨论：当x<－1 时， y=－(x+1)－(x －2)=－2x+1；当－1 ≤x<2时， y=x+1－(x －2)=3 ； 当x ≥2时， y=x+1+x －2=2x －1.即y=21-++xx =⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-).2(12)21(3)1(12x x x x x ；；x … －2 －1 2 3 …y=－2x+1(x<－1) (5)3 y=3(－1≤x<2) 3 3 y=2x －1(x ≥2)3 5 …∴ 画函数y=21-++x x 的图象如下图：例4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象， [m] 表示不超过m 的最大整数.(1985年徐州市初中数学竞赛题).解：∵[x]2≥0， 且 [y]2=1－[x]2≥0，∴[x]2≤1 . ∴ 0≤[x]2≤1.∵[m] 表示不超过m 的最大整数， ∴当[x]2=0⇔[x]=0⇔0≤x ≤1 .当[x]2=1⇔[x]=⎩⎨⎧<≤<≤--).21(1)01(1x x ，自变量x 的取值范围是：－1≤x<2.如图x－1≤x<0 0 ≤x<11≤x<2[x] －1 0 1 [x]2 10 1 [y]2=1－[x]2 0 1 0 [y] 0 －1 1 0 y 0≤y<1－1≤y<01≤y<2 0≤y<1阴影部分的四个正方形，就是所求方程的图象. 只包括各正方形左、下边界， 不包括各正方形右、上边界.例5. 直线y=x+m 与双曲线y=x m 在第一象限相交点A ，S Rt △AOB =3. ① 求m 的值 ；②设直线与x 轴交于点C ，求点C 的坐标； ③求S △ABC .解： ①设A 坐标为 (x, x+m). ∵ S △AOB =21OB ×BA.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=x m m x m x x )(213 整理得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+mmx x mx x 2206∴m=6② ∵直线与x 轴交于点C. 把y=0 代入y=x+6 得x=－6, ∴点C 的坐标是(－6，0)③∵直线y=x+m 与双曲线y=xm 在第一象限相交点A ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 66得⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=153153y x 即点A 的坐标是 (－3+15，3+15).∴BC=1536+-+-=3+15∴S△ABC =21(3+15)(3+15)=12+315.例6. 选择题(只有一个正大确的答案).①函数y=kx+k 与y=xk 在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( )②函数y=1－2xx 的图象是( )k在一、解：①常数k是同一个值，.双曲线y=x三象限，k>0,那么y=kx+k中，当k>0时，直线上升且在y轴上的截距为正.所以应选(D)；②注意到y=1－2xx 中，当x=0和x=1时y有最大值1，故选(A).三、练习1.填空：①横坐标为－2的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿，横轴记作直线＿＿＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿，经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿.②点P（x,y）关于横轴的对称点P1的坐标是（），点P关于原点的对称点P2的坐标是（）.③f：y=3(x－2)2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作＿＿＿＿＿＿＿f关于原点对称的抛物线f2记作＿＿＿＿＿＿＿.④A（1，3）关于直线y=x的对称点A，的坐标是（ ）.点B （－2，3）关于直线y=－x 的对称点B ，的坐标是（ ）. 2. 根据图象位置判断指定的常数的符号 ① 直线y=kx+b 经过二、一、四象限，则k,b 的符号是＿＿＿＿＿＿② 抛物线y=ax 2+bx+c 的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号a__, －a b 2______,b______,c_______, b 2－4ac______,ab ac 442-______aacb b 242---_____3. 选择题（只有一个正确的答案）（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（ ）.（A ）p=q, r=0 . (B) p=－q, r=0. (C)p=q, r=1. (D) p=－q, r=1.（2）下图（2）是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如下答案哪个正确？（ ）（A）a+b+c=0.（B）a+b+c<0.（C）a+b+c>0.（D）a+b+c值不定.(1)（3）二次函数y=a(x+m)2+n中，a>0 , m>0, n>0 它的图象（）(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn<0,那么它们在同一坐标系内的图象大致为（ ） D ）（5）在同一坐标系内，y=ax+b 与y=ax 2+b 的图象大体位置是（ ）(6)已知函数y+ax+b 和y=ax 2+bx+c 那么它们的图象是（ ）（1983年福建省初中数学竞赛题）4. 画下列函数的图象①y=xx 2；②y=2x ； ③y=(x)2；④ y=－x .5.有m部同样的机器，同时开始工作，需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.6.画如下方程、函数的图象. ①2=x；②y=x2+y－2|x|－3.7.这是一张追及图看图回答：①谁追及谁？②谁早出发，早几小时？③甲、乙在这段路程速度各多少？④追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？⑤分别列出甲、乙两人的路程y甲，y乙和时间x的函数关系的解析式.8.如图，抛物线L1：y=ax2+2bx+c和抛物线L2：y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A、B、C三点，说明理由；②.求出点B和点C的横坐标；③.若AB＝BC，OC＝OD，求a,b,c的值.9. 坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)， 试在二次函数 y=5910102+-x x的图象上找出满足y x ≤的所有整点(x,y), 并说明理由.(1995年全国初中数学联赛题)（8）-1CBDA1练习题参考答案1. ①x=－2,x=0,y=0,y=－x,y=x；②(x,y),(－x,－y)；③y=－3(x－2)2－5, y=－3(x+2)2－5④(3，1)，(－3，2)2.①k<0,b>0.②正，负，正，负，负，正，负.3.①(A)，②(B)，③(B)，④(C)，⑤(D)，⑥(C)4.①∵x≠0，∴图象不以过原点；②y≥0；③x≥0；④y≤0.m2(x 是正整数x≤m=5).5.y=x6.（如图）7. ①乙追及甲； ②甲先1小时； ③时速甲4、乙5千米； ④乙用4小时追上甲先走的4千米 ⑤y 甲=4x, y 乙=5x8. ①∵由图象a,a+1异号，∴L 2过A ，B ，C三点. ②－3，－1. ③－31，0，31. 9. (2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(－3，3)，(－6，6).由x 2－x+18≤10x .当x ≥0时，x 2－x+18≤10x, x 2－11x+18≤0, (x －2)(x －9)≤0，2≤x ≤9, 这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)；当x<0时，x2－x+18≤－10x,x2＋9x+18≤0，（x+6）(x+3)≤0，－6≤x≤－3, 这时有两个整数点：(－3，3)，(－6，6).。
初中数学竞赛高斯函数[x]（含答案）
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初中数学竞赛高斯函数[x]（含答案）11．高斯函数[x]A 卷1．如果x 为任意实数，用[x]表示不大于x 的最大整数，例如：[-7] = 7，[-3.1] = -4，[3]=1，则满足等式[x]-3=0的x 的范围是____________。
2．若[x]=5，[y]= -3，[z]=-1,mj [x –y –z ]可以取值的个数是（）A ．3;B ．4;C ．5;D ．63．设[x]表示不超过x 的最大整数，若M=][,][x N x =，其中x ≥1，则一定有（）A ．M>N; B ．M=N;C ．M<="">4．给出下面三个命题：（1）[x + 1] = [x] + 1;（2）[x + y] = [x] + [y]（3）[x ·y] = [x] · [y]其中正确命题的个数是（）A ．0;B ．3;C ．1;D ．25．[x]表示取数x 的整数部分，若)4][4][(u x u x y +-+= 且当x = 1,8,11,14时，y = 1；x = 2,5,12,15时，y=2；x = 3,5,9,16时，y=3；x = 4,7,10,13时，y=0，则表达式中u 等于（）A ．42+xB ．41+xC ．4xD ．41-x 6．实数a,b 满足关系式b =[a] + [a-2] – 1和b = [a] + 1的值一定是（）A ．大于9而小于10;B ．大于或等于9而小于10C ．大于9而小于或等于10;D ．整数7．设x 表示不超过x 的最大整数，对任意实数x ，下面式子正确的是（）A ．[x] = |x|;B ．[x]≥2x ;C ．[x]>-x;D ．[x] > x – 18．记号[x]表示不超过x 的最大整数，设n 是自然数，且222]1)1([)1(+++-++n n n n IA ．I>0B ．I<0C ．I=0D ．当n 取不同的值时，以上三种情况都可能出现。
2023全国初中生数学竞赛(初二)决赛试题
2023全国初中生数学竞赛(初二)决赛试题第一试一、填空题（每题8分，共64分）1．函数()cos f x x =的图象与直线(0)y kx k =>恰有四个不同交点，设四个交点中横坐标的最大值为α，则tan αα⋅=________.2．已知正三棱锥P -ABC ，M 是侧棱PC 的中点，PB ⊥AM ．若N 是AM 的中点，则异面直线BN 与PA 所成角的余弦值为________.3．已知数列{}n a 满足则11a =，1(2)1n n na n a +=++，则n a =________.4．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒．P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且BPA DPC ∠=∠，AQB DQC ∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ=________.5．在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记ξ为这四个数中两数相邻的组数，则ξ的数学期望E ξ=________.6．14cos124cos36tan 78+︒+︒=︒________.7．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+->>的焦点，P 是M 上一点，△12PF F 的周长是6，且41a c+的最小值是3，过(4,0)Q -的直线交M 于不同两点A 、B ，则||||QA QB ⋅的取值范围是________.8．已知复数a 、b 、c 满足22222211i a ab b b bc c c ca a ++=⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩，则ab bc ca ++=________.二、解答题（共56分）9．（16分）已知实数122018,,,x x x 满足201810i i x ==∑，2018212018i i x ==∑，求122018x x x 的最大值．10．（20分）已知直线y x =与曲线2:2()(0)M y p x a a =->相切．（1）若F 是曲线M 的焦点，P 是M 上任意一点，求||||PF PO 的最小值；（2）已知直线y kx =分别与曲线M 及曲线2:2()N y p x a =-+分别交于H 、I ．若Q 是圆22(4)1x y +-=上任意一点，且2a p =，求QH QI ⋅ 的最大值．其中H 、I 关于原点O 对称．11．已知x ，y ，0z >，且1xy yz zx ++=，求222115111x y z +++++的最大值。
初中数学竞赛代数专题讲义之高斯函数例题习题及详解
初中数学竞赛之高斯函数对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。
符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。
一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。
一、专题知识1.R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。
记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。
2.设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：（1）[][]1+≤≤x x x .（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.（3）[][]x n x n +≤+.（4）[][][]⎩⎨⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.二、例题分析例题1若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161的值。
【解】27379176161+=-=-，而372<<，从而327325<+<，从而276161=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-例题2[]x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。
若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。
【解】由已知条件知65<≤x ，23-<≤-y ，01<≤-z ，32≤-<y ，10≤-<z ，107<--<z y x []z y x --的值为7，8，9。
例题3已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 。
【证明】由于[][][]1+⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，变形得[][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n 对于任意实数x ，有[][]1-<≤x x x 或[]x x x ≤<-1，由于[]⎪⎭⎫⎝⎛n x n 和[]⎪⎭⎫⎝⎛+1n x n 都是整数，且[][]1-<≤x x x ，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n ，故[][][]1+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，所以[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 例题4解方程4)12(3534+=⎦⎤⎢⎣⎡+x x .【解】设m x =+4)12(3，则634-=m x ，则原方程化为m m =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅536344，化简得m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1538因为[]10<-≤x x ，所以115380<-+≤m m ，解得73712≤<-m ，由于Z ∈m ，所以0=m 或1-=m ，代入634-=m x 得，21-=x 或67-=x 原方程的解为21-=x 或67-=x三、专题训练1.已知n 为正整数，222131211nS n ++++= ，求[]n S 的值。
初三数学竞赛：一次函数
第 4讲 一次函数知识总结归纳一 . 正比例函数的一般形式是y kx (k 0) ，一次函数的一般形式是 y kx b (k0) ．二 . 三 .一次函数ykxb的图象是经过b，0和 (0，b) 两点的一条直线．k一次函数 ykx b 的图象与性质k 、b 的符k ＞0，b ＞ 0 k ＞ 0， b ＜ 0 k ＜0，b ＞ 0k ＜0， b ＜ 0号图像的大 致位置经过象限第一二三象限第一三四象限第一二四象限第二三四象限性质y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大 y 随 x 的增大而 y 随 x 增大而增大而增大减小减小一次函数与一元一次方程的关系直线 ykx b （ k 0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx b 0（k0）的解．求直线 y kx b 与 x 轴交点时，可令 y0 ，得到方程 kxb 0 ，解方程得 xb ，k直线 y kxb 交 x 轴于 ( b，0) ， b就是直线 y kx b 与 x 轴交点的横坐标．kk四 .五 . 一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为 ax b 0 或 ax b 0 ( a 、b 为常数， a 0 ) 的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围．一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式 y kx （bk 0）本身就是一个二元一次方程， 直线 y kx （bk 0）y kx（b k0），因此二元一次上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程方程的解也就有无数个．典型例题一. 基础训练【例 1】已知函数y(m 10)x 12m ，（1）m为何值时，这个函数是一次函数；（2）m为何值时，这个函数是正比例函数．【例 2】已知正比例函数y kx （ k0 ），点 (2 ， 3) 在函数上，则 y 随着x的增长而_______（增长或减少）．【例 3】求直线y2x 3与x轴和 y 轴的交点，并画出这条直线．【例 4】若一次函数y 3x b 的图像经过点 P(1，4) ，求该函数图象的解析式．【例 5】已知一次函数的图像经过点(3 ，5) 与 ( 4， 9) ．求这个一次函数的解析式．【例 6】一次函数y( m1)x 5 ，y 值随x 增大而减小，则 m 的取值范围是（）A．m1B．m1C．m1D．m 1【例 7】一次函数y2x 3 的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【例 8】正比例函数 y( m 2) x m 1的图象一定通过（）A．原点和（2 ,1）B．第一、三象限C．第二、四象限D．第一、三或第二、四象限二 . 巩固提高【例 9】（1）已知直线y ax4a 5不经过第二象限，求 a 的取值范围．（2）已知一次函数y(2m1)x ( m 1) 的图象不经过第一象限，求m 的取值范围．【例 10】若直线y kx b 与直线 y3x 2 平行，且在 y 轴上的交点坐标为 (0 ，5) ，求 k 和 b 的值．【例 11】（1）将直线y2x 4 向上平移 5 个单位后，所得直线的表达式是多少？（ 2）将直线y2x 4 向右平移 3 个单位后，所得直线的表达式是多少？【例 12】已知函数y kx b 的图象如图，则y 2kx b 的图象可能是（）【例 13】已知一次函数y (3a 2)x (4b) ，求字母a、 b 为何值时：（ 1）y随x的增大而增大；（ 2）图象不经过第一象限；（ 3）图象经过原点；（4）图象平行于直线y －x；= 4+3（ 5）图象与 y 轴交点在 x 轴下方．【例 14】已知整数 x 满足 5 x 5 ，y x1，y22x4对任意一个x，m都取y，y2中的11较小值，则 m 的最大值是（）A．1 B ．2 C ．24 D ．9【例 15】根据下列要求分别写出相应的函数关系式：（1）y与x正比例，其图象过点P( 3，1) ;（2）函数y kx (2k1) 的图象过原点．【例 16】对于一次函数y (2k 5)x (k 4)．（1）若其图象经过经过第一、三、四象限，化简k 2 4 k 4k28k 16 ；（2）若函数为正比例函数，且与y mx的图象关于x轴对称，求m的值．【例 17】一次函数y kx 3 的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值是多少？【例 18】已知一次函数的图象经过点2 ，2 ，它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的解析式 .【例 19】已知四条直线y kx 3 ， y 1 ， y 3 和 x1所围成的四边形的面积是12 ，求 k 的值．【例 20】一个一次函数的图像与直线 y 5 x 95平行，与 x 轴、y轴的交点分别44为 A 、 B ，并且过点 ( 1， 25) ，则在线段 AB 上（包括端点 A 、 B ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？。
初中数学竞赛代数讲义函数的最大值、最小值
函数的最大、最小值一般地，设函数()y f x =在0x 处的函数值是0()f x ，如果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≥都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最小值，记作min 0()y f x =；如果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≤都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最大值，记作max 0()y f x =。
一、专题知识1.基本公式（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠当0a >时，当2b x a =-时，2min 44ac b y a-=；当0a <时，当2b x a =-时，2max 44ac b y a-=。
（2）若0,0a b >>，则2a b +≥（当且仅当a b =时，等号成立）当a b +为定值时，2max()2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭；当ab 为定值时，min ()a b +=2.基本结论一次函数12()(0)()f x kx b k x x x =+≠≤≤当0k >时，min 1max 2()(),()()f x f x f x f x ==；当0k <时，min 2max 1()(),()()f x f x f x f x ==。
二、经典例题例题1若0x >，求函数21y x x x=-+的最小值。
【解】将21y x x x =-+配方得，2221(1)1(1)1y x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭=-++由于2(1)0x -≥（当且仅当1x =时，等号成立），20≥（当且仅当1x =时，等号成立）所以当1x =时，函数21y x x x=-+的最小值为1例题2已知函数()1515f x x p x x p =-+-+--（其中15,015p x p ≤≤<<），求函数()f x 的最小值。
【解】由于015p x <≤≤，所以,1515,1515x p x p x x x p p x -=--=---=+-，于是()151530f x x p x x p x=-+-+--=-所以min ()(15)15f x f ==。