提高例题：相交线与平行线培优(1)

七年级数学：相交线与平行线

一、知识要点：

1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。

2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。

3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：

（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

4．两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.

5．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.

6．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________. 7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .

8．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________ .⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。.

方法指导：平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。

二、例题精讲

例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,

求∠3的度数。

∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）

∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)

∴∠1＝∠2 (等式性质)

则3x+70＝5x+22 解得x=24

即∠1＝142°

A

∴ ∠3＝180°-∠1＝38° 图(1)

评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。

例2．已知：如图(2)， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°，

∠B-∠D=24°，求∠GEF 的度数。

解：∵AB ∥EF ∥CD ∴∠B=∠BEF ，∠DEF=∠D （两直线平行，内错角相等）

∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知）

即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° ∴2（∠B+∠D ）=192°（等量代换）

则∠B+∠D=96°（等式性质）

∵∠B-∠D=24°（已知） 图(2)

∴∠B=60°（等式性质）

即∠BEF=60°（等量代换）

∵EG 平分∠BEF （已知）

∴∠GEF=2

1∠BEF=30°（角平分线定义）

例3．如图（3），已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。

解：过E 作EF ∥AB

∵ AB ∥CD （已知） ∴ EF ∥CD （平行公理）

∴ ∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内

错角相等） ∵ ∠DEB=∠DEF-∠BEF

∴ ∠DEB =∠D-∠B=30°

评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。 图（3）

例4．已知锐角三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ，而h a ，h b ，h c 分别为对应边上的高线长，

求证：h a +h b +h c ＜a+b+c

分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段

证明：由垂线段最短知，h a ＜c ，h b ＜a ，h c ＜b

以上三式相加得h a +h b +h c ＜a+b+c

研究垂直关系应掌握好垂线的性质。

1． 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。 2． 垂线段最短。

例5．如图（4），直线AB 与CD 相交于O ，EF?AB 于F ，GH?CD 于H ，

求证EF 与GH 必相交。

分析：欲证EF 与GH 相交，直接证很困难，可考虑用反证法。 证明：假设EF 与GH 不相交。 ∵ EF 、GH 是两条不同的直线 ∴ EF ∥GH

G

b a

c h a

∵ EF?AB

∴ GH?AB

又因GH?CD 故AB ∥CD (垂直于同一直线的两直线平行) 图（4）

这与已知AB 和CD 相交矛盾。

所以EF 与GH 不平行，即EF 与GH 必相交

评注：本题应用结论：

(1) 垂直于同一条直线的两直线平行。

(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；

例6．平面上n 条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点 解：2条直线产生1个交点，

第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；

第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；

…

则 n 条直线共有交点个数：1+2+3+…+ (n-1)=2

1n(n-1) 评注：此题是平面上n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。

例7．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线

解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直

线，即能确定的直线为15-2=13条。

另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×

3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条

评注：一般地，平面上n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=

2

1n(n-1)

例8．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域

解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；

3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域； 同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；

…

∴ 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域

推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+21n(n+1)=2

1(n 2+n+2)块不同的区域

思考：平面内n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域

例9．平面上n 条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于n

180 证明：平面上n 条直线两两相交最多得对顶角2

)1( n n ×2＝n(n-1)对，即2n(n-1)个角 平面上任取一点O ，将这n 条直线均平行移动过点O ，成为交于一点O 的n 条直线， 这n 条直线将以O 为顶点的圆周角分为2n 个（共n 对）互不重叠的角：?1、?2、?3、…、?2n

由平行线的性质知，这2n 个角中每一个都和原来n 条

直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n 个角

均是原2n(n-1)个角中的角。 若这2n 个角均大于n 0180，则?1+?2+?3+…+?2n ＞2n ×n

180=360°, 而 ?1+?2+?3+…+?2n =360°,产生矛盾

故 ?1、?2、?3、…、?2n 中至少有一个小于n

180， 即 原来的2n(n-1) 中至少有一个角不小于n

180 评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。

例10．（a ）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另

3条直线相交，并简单说明画法。

（b ）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰

与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。

解：（a ）在平面上任取一点A 。

过A 作两直线m 1与n 1。在n 1 上取两点B ，C ，在m 1上取两点D ，G 。过B 作m 2∥m 1，过C 作m 3∥m 1，过D 作n 2

∥n 1，过G 作n 3∥n 1，这时m 2、m 3、n 2、n 3交得E 、F 、H 、I 四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交，所以，图

中每条直线都恰与另3条直线相交。

（b ）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得

其中每条直线都恰与另外3条直线相交。

理由如下：

假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。

根据直线去计数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为2

21＝个，因为交点个数应为整数，矛盾。 所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的。

O l 3

l 2

l n

F

三、巩固练习

1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条

A ．6

B ． 7

C ．8

D ．9

2．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）

A ．3

B ．1或3

C ．1或2或3

D ．不一定是1，2，3

3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ）

A ．36条

B ．33条

C ．24条

D ．21条

4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ）

（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12

5．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ）

A ．4对

B ．8对

C ．12对

D ．16对

6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=( )

A ．90°

B ．135°

C ．150°

D ．180°

第 5 题

第 6 题 第7题

7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系 ；

8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点 9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。 10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS?GH 于P ，∠FRG=110°，则

∠PSQ ＝ 。 11．已知A 、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 。

12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。

13．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B

14．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G

第13题 第14题

15．如图，已知CB?AB ，CE 平分∠BCD ，DE 平分∠CDA ，

∠EDC+∠ECD =90°，

求证：DA?AB

16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点 17．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点最多将平面分

成多少块区域

18．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线

19．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。

20．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到画出图形。

答案

1． 5个点中任取2点，可以作4+3+2+1＝10条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+1＝3条，共可作10-3+1＝8（条）故选C

2．平面上3条直线可能平行或重合。故选D

3．对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段

对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。

故共有21条不重叠的线段。故选D

4．由n 个点中每次选取两个点连直线，可以画出2

)1(-n n 条直线，若C B A ,,三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若F E D A ,,,四点不在一条直线上，可以画出6条直线， ∴ .382632

)1(=+---n n 整理得 2n .0)90)(10(,090=+-=--n n n ∵ n+9＞0 ∴,10=n ∴选B 。

5．直线EF 、GH 分别“截”平行直线AB 、CD ，各得2对同旁内角，共4对；直线AB 、CD 分别“截”相交直线EF 、GH ，各得6对同旁内角，共12对。因此图中共有同旁内角4+6＝16对

第 15 题