线性微分方程的解
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式中，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号。
我们知道，微分方程的解可表示为：y(t) yh (t) yp (t) ，其
中，yh (t) 为对应的齐次方程的通解，只与微分方程（系统本身
的特性或系统的特征方程的根）有关。对于稳定的系统，当时 间趋于无穷大时，通解趋于零。所以根据通解或特征方程的根 可以分析系统的稳定性。
本章主要内容
典型输入作用和时域性能指标 一阶系统的瞬态响应 二阶系统的瞬态响应 高阶系统分析 稳定性和代数稳定判据 稳态误差分析
Thursday, January 23,
2020
1
第一、二节 典型输入作用和时 域性能指标
Thursday, January 23,
2020
2
时域分析
函数响应
微分
微分
Thursday, January 23, 2020
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
微分
9
线性微分方程的解
四、线性微分方程的解
时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和 性能指标。设微分方程如下： an y(n) (t) an1 y(n1) (t) ... a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) ... b0 x(t)
瞬态过程
稳态过程
Thursday, January 23,
0
2020
t
11
瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
五、瞬态过程的性能指标
通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过 程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃 响应函数有衰减振荡和单调变化两种。
（一）衰减振荡：
具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：
其拉氏变换后的像函数为：
L[ Asin t]
n
s2
2 n
分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系 统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。
当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信 号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典 型输入信号。
Thursday, January 23,
y
ymax
⒈ 延迟时间 td ：
x(t) x(t)
1
Ct 2
2t
其拉氏变换后的像函数为：
L[x(t)]
C s3
Thursday, January 23,
2020
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典型输入作用
[提示]：上述几种典型输入信号的关系如下：
A
(t)
d dt
[ A1(t)]
d2 dt 2
[ At]
d3 dt3
[1 2
At 2 ]
⒌ 正弦函数：x(t) ASint ，式中，A为振幅，为频率。
什么是时域分析?
指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式， 分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法， 所以时域分析具有直观和准确的优点。
系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函 数得到。
在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究，用传递函 数间接的评价系统的性能指标。具体是根据闭环系统传递函数 的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复频域分析。
1,
0
(t)
t
当 0时， (t) (t)
⒉ 阶跃函数：
x(t
)
0, t A, t
0 0
A阶跃幅度，A=1 称为单位阶跃函 数，记为1（t）。
x(t)
A
t
其拉氏变换后的像函数为： L[x(t)] A
s
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4
典型输入ห้องสมุดไป่ตู้用
二、典型输入作用
⒈ 脉冲函数：
理想单位脉冲函数：
[定义]：
(t)
0
t0 t 0
，且 (t)dt 1，其积分面积为1。
其拉氏变换后的像函数为： L[ (t)] 1
(t) (t )
0
出现在 t 时刻，积分面积为A的理想脉冲函数定义如下：
系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是 分析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说，只有当 时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程上显然是无 法进行的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过 程，在这段时间里，反映了主要的瞬态性能指标。
如某系统的单位阶跃响
y
应曲线如图所示：
y p (t)为特解，与微分方程和输入有关。一般来说，当时间
趋于无穷大时特解趋于一个稳态的函数。
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线性微分方程的解
综上所述，对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时 间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数，使 系统达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。
6
典型输入作用
⒊ 斜坡函数（速度阶跃函数）：
x(t)
0, t Bt,
0 t0
B=1时称为单位斜 坡函数。
x(t) x(t) Bt
t
其拉氏变换后的像函数为：
L[x(t)]
B s2
⒋ 抛物线函数（加速度阶跃函数）：
0,t 0
x(t)
1 2
Ct
2
,
t
0
C=1时称为单位抛 物线函数。
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3
典型初始状态
一、典型初始状态 规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 t 0 时
c(0 ) c(0 ) c(0 ) 0
这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被控制 量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
A
(t
)
0,t ,t
且 A (t )dt A
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典型输入作用
实际单位脉冲函数：
(t)
0,
t
1
,
0
0
和 t
t
,
(t)dt
1
1
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8
典型输入作用
三、典型响应：
⒈ 单位脉冲函数响应： C(s) G(s)1
⒉ 单位阶跃函数响应：
C(s) G(s) 1 s
⒊ 单位斜坡函数响应：
C
(
s)
G(s)
1 s2
⒋
单位抛物线函数响应：C(s)
G(s)
1 s3
[提示]：上述几种典型响应有如下关系：
积分
积分
单位脉冲
单位阶跃
函数响应
我们知道，微分方程的解可表示为：y(t) yh (t) yp (t) ，其
中，yh (t) 为对应的齐次方程的通解，只与微分方程（系统本身
的特性或系统的特征方程的根）有关。对于稳定的系统，当时 间趋于无穷大时，通解趋于零。所以根据通解或特征方程的根 可以分析系统的稳定性。
本章主要内容
典型输入作用和时域性能指标 一阶系统的瞬态响应 二阶系统的瞬态响应 高阶系统分析 稳定性和代数稳定判据 稳态误差分析
Thursday, January 23,
2020
1
第一、二节 典型输入作用和时 域性能指标
Thursday, January 23,
2020
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时域分析
函数响应
微分
微分
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单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
微分
9
线性微分方程的解
四、线性微分方程的解
时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和 性能指标。设微分方程如下： an y(n) (t) an1 y(n1) (t) ... a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) ... b0 x(t)
瞬态过程
稳态过程
Thursday, January 23,
0
2020
t
11
瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
五、瞬态过程的性能指标
通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过 程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃 响应函数有衰减振荡和单调变化两种。
（一）衰减振荡：
具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：
其拉氏变换后的像函数为：
L[ Asin t]
n
s2
2 n
分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系 统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。
当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信 号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典 型输入信号。
Thursday, January 23,
y
ymax
⒈ 延迟时间 td ：
x(t) x(t)
1
Ct 2
2t
其拉氏变换后的像函数为：
L[x(t)]
C s3
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典型输入作用
[提示]：上述几种典型输入信号的关系如下：
A
(t)
d dt
[ A1(t)]
d2 dt 2
[ At]
d3 dt3
[1 2
At 2 ]
⒌ 正弦函数：x(t) ASint ，式中，A为振幅，为频率。
什么是时域分析?
指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式， 分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法， 所以时域分析具有直观和准确的优点。
系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函 数得到。
在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究，用传递函 数间接的评价系统的性能指标。具体是根据闭环系统传递函数 的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复频域分析。
1,
0
(t)
t
当 0时， (t) (t)
⒉ 阶跃函数：
x(t
)
0, t A, t
0 0
A阶跃幅度，A=1 称为单位阶跃函 数，记为1（t）。
x(t)
A
t
其拉氏变换后的像函数为： L[x(t)] A
s
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典型输入ห้องสมุดไป่ตู้用
二、典型输入作用
⒈ 脉冲函数：
理想单位脉冲函数：
[定义]：
(t)
0
t0 t 0
，且 (t)dt 1，其积分面积为1。
其拉氏变换后的像函数为： L[ (t)] 1
(t) (t )
0
出现在 t 时刻，积分面积为A的理想脉冲函数定义如下：
系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是 分析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说，只有当 时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程上显然是无 法进行的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过 程，在这段时间里，反映了主要的瞬态性能指标。
如某系统的单位阶跃响
y
应曲线如图所示：
y p (t)为特解，与微分方程和输入有关。一般来说，当时间
趋于无穷大时特解趋于一个稳态的函数。
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线性微分方程的解
综上所述，对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时 间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数，使 系统达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。
6
典型输入作用
⒊ 斜坡函数（速度阶跃函数）：
x(t)
0, t Bt,
0 t0
B=1时称为单位斜 坡函数。
x(t) x(t) Bt
t
其拉氏变换后的像函数为：
L[x(t)]
B s2
⒋ 抛物线函数（加速度阶跃函数）：
0,t 0
x(t)
1 2
Ct
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,
t
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C=1时称为单位抛 物线函数。
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典型初始状态
一、典型初始状态 规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 t 0 时
c(0 ) c(0 ) c(0 ) 0
这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被控制 量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
A
(t
)
0,t ,t
且 A (t )dt A
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典型输入作用
实际单位脉冲函数：
(t)
0,
t
1
,
0
0
和 t
t
,
(t)dt
1
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典型输入作用
三、典型响应：
⒈ 单位脉冲函数响应： C(s) G(s)1
⒉ 单位阶跃函数响应：
C(s) G(s) 1 s
⒊ 单位斜坡函数响应：
C
(
s)
G(s)
1 s2
⒋
单位抛物线函数响应：C(s)
G(s)
1 s3
[提示]：上述几种典型响应有如下关系：
积分
积分
单位脉冲
单位阶跃
函数响应