2017-2018学年度新人教版初中数学九年级下册第三角函数质量评估试卷-精品试卷
人教版九年级数学下册《锐角三角函数》检测题含答案
人教版九年级数学下册《锐角三角函数》检测题含答案第二十八章 锐角三角函数 28．1 锐角三角函数 第1课时 正弦和余弦01 基础题 知识点1 正弦1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sin B ＝(B )A .35B .45C .34D .432．(唐山玉田县月考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值(C )A ．扩大2倍B ．缩小12C ．不变D ．无法确定3．(天津和平区汇文中学单元检测)在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC ∶CA ∶AB ＝5∶12∶13，则sin A 的值是(C )A .512B .125C .513D .12134．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若2a ＝3c ，则∠A 25．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶c ＝2∶3，求sin A 和sin B 的值．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶c ＝2∶3， 设a ＝2k ，c ＝3k(k>0)， 则b ＝c 2－a 2＝5k.∴sin A ＝a c ＝2k 3k ＝23，sin B ＝b c ＝5k 3k ＝53.6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝1213，AB ＝26，求△ABC 的周长．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝26，sin A ＝BC AB ＝1213，∴BC ＝24，AC ＝AB 2－BC 2＝262－242＝10. ∴△ABC 的周长为26＋24＋10＝60.知识点2 余弦7．(湖州中考)如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是(A )A .35B .45C .34D .438．(承德六校一模)如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cos C 的值为(D )A .12B .32C .55D .2559．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则cos B 的值为(B )A .74 B .35 C .34 D .4502 中档题10．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为(B )A .12B .55C .1010D .255解析：如图，连接CD 交AB 于O ，根据网格的特点，CD ⊥AB ，在Rt △AOC 中，CO ＝12＋12＝2，AC ＝12＋32＝10.则sin A ＝OC AC ＝210＝55.11．(怀化中考改编)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，求BC 的长度．解：∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4x ，AB ＝5x.又∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴62＋(4x)2＝(5x)2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)． ∴BC ＝4x ＝8 cm .12．如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sin A ＝35，求DE 的长和菱形ABCD 的面积．解：∵DE ⊥AB ， ∴∠AED ＝90°.在Rt △AED 中，sin A ＝DE AD ，即DE 10＝35.解得DE ＝6.∴菱形ABCD 的面积为10×6＝60(cm 2)． 13．如图，已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，求cos P 的值．解：作OC ⊥AB 于C 点． 根据垂径定理， AC ＝BC ＝4.∴CP ＝4＋2＝6(cm )．在Rt △OAC 中，OC ＝52－42＝3(cm )． 在Rt △OCP 中，根据勾股定理，得 OP ＝CO 2＋CP 2＝32＋62＝35(cm )．故cos P ＝PC PO ＝635＝255.03 综合题14．(鄂州中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝(D )A .34B .43C .35D .45人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》检测题含答案2第2课时 锐角三角函数01 基础题 知识点1 正切1．(湖州中考)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是(A )A ．2B ．8C ．2 5D ．45 2．(金华中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是(A )A .34B .43C .35D .453．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B ′的值为(B )A .12B .13C .14D .244．已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm ，55．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BC ＝2，AB ＝3，求tan ∠BCD.解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°. ∴∠A ＋∠ACD ＝90°.又∠BCD ＋∠ACD ＝∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝32－22＝ 5. ∴tan A ＝BC AC ＝25＝255.∴tan ∠BCD ＝tan A ＝255.知识点2 锐角三角函数6．(宜昌中考)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列选项中，错误的是(C )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2C ．sin β＝cos βD ．tan α＝17．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为(A )A .43B .45C .54D .348．(福州中考)如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是(C )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值． 解：(1)由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25.(2)sin A ＝BC AB ＝2425，cos A ＝AC AB ＝725，tan A ＝BC AC ＝247. 02 中档题 10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为(A )A .13B .2－1C ．2－ 3D .1411．(河北模拟)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为(C )A .13B ．2 2C .24D .22312．(泸州中考)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是(A )A .24 B .14 C .13 D .23解析：由AD ∥BC ，可得△ADF ∽△EBF ，根据相似三角形的性质，可得AD EB ＝AF EF ＝DF BF ，因为点E 是边BC 的中点，AD ＝BC ，所以AD EB ＝AF EF ＝DFBF ＝2.设EF ＝x ，可得AF ＝2x ，在Rt △ABE 中，易证△AFB ∽△BFE ，则BF ＝2x ，再由AD EB ＝AF EF ＝DFBF ＝2，可得DF ＝22x ，在Rt △DEF 中，tan ∠BDE ＝EF DF ＝x 22x ＝24，故选A .13．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝45，BE ＝2，则tan ∠DBE ＝3．14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝33，求cos A ，tan B 的值．解：∵sin A ＝BC AB ＝33，∴设BC ＝3k ，AB ＝3k(k>0)． 由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝（3k ）2－（3k ）2＝6k. ∴cos A ＝63，tan B ＝ 2.15．(承德六校一模)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tan B ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD ，求AC 的长和cos ∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tan B ＝AC BC ＝12，∴AC ＝12BC ＝4.设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ，在Rt △ADC 中，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5， ∴AD ＝5，CD ＝8－5＝3. ∴cos ∠ADC ＝DC AD ＝35.03 综合题16．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB BC ＝23，求tan ∠DCF 的值．解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠D ＝90°. ∵AB BC ＝23，且由折叠知CF ＝BC ， ∴CD CF ＝23. 设CD ＝2x ，CF ＝3x(x>0)， ∴DF ＝CF 2－CD 2＝5x. ∴tan ∠DCF ＝DF CD ＝5x 2x ＝52.人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》检测题含答案3第3课时 特殊角的三角函数值01 基础题知识点1 特殊角的三角函数值1．(天津中考)cos 60°的值等于(D )A . 3B ．1C .22D .122．计算2×tan 60°的值等于(D )A .53 B .63C . 5D .6 3．(防城港中考)计算：cos 245°＋sin 245°＝(B )A .12B ．1C .14D .22 4．(百色中考)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝12，则BC ＝(A )A ．6B ．6 2C ．6 3D ．12 5．求值：sin 60°·tan 30°＝12．6．计算：(1)(安徽中考)|－2|×cos 60°－(13)－1；解：原式＝2×12－3＝－2.(2)(泸州中考)(－3)2＋2 0170－18×sin 45°； 解：原式＝9＋1－32×22＝7.(3)cos 30°·tan 30°－tan 45°； 解：原式＝32×33－1＝12－1＝－12. (4)22sin 45°＋sin 60°·cos 45°. 解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.知识点2 由三角函数值求特殊角7．(聊城中考)在Rt △ABC 中，cos A ＝12，那么sin A 的值是(B )A .22 B .32 C .33 D .128．(河北模拟)在△ABC中，若角A，B满足|cos A－32|＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小(D)A．45°B．60°C．75°D．105°9．如果在△ABC中，sin A＝cos B＝22，那么下列最确切的结论是(C)A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形10．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝23，则∠A＝60°．知识点3用计算器计算三角函数值11．如图是科学计算器的面板，利用该型号计算器计算2cos55°，按键顺序正确的是(C)A.2×cos55＝B.2cos550＝C.2cos55＝D.255cos＝12．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(B)A．0.90 B．0.72C．0.69 D．0.6613．已知sin A＝0.370 6，则锐角A＝21.75°.(保留两位小数)02中档题14．(厦门中考)已知sin6°＝a，sin36°＝b，则sin2 6°＝(A)A．a2B．2a C．b2D．b15．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D) A．40°B．30°C．20°D．10°16．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是(B)A．23－2 B．0C．2 3 D．217．(邢台县一模)关于x的一元二次方程x2－2x＋cosα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(D )A ．0°B ．30°C ．45°D ．60° 18．(滨州中考)如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为(A )A ．2＋ 3B ．23C ．3＋ 3D ．3319．如图，有一滑梯AB ，其水平宽度AC 为5.3米，铅直高度BC 为2.8米，则∠A 的度数约为27.8°．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)20．利用计算器求∠A ＝18°36′的三个锐角三角函数值．解：sin A ＝sin 18°36′≈0.319 0， cos A ＝cos 18°36′≈0.947 8， tan A ＝tan 18°36′≈0.336 5.21．计算：(1)(唐山玉田县月考)tan 45°－3tan 30°＋cos 45°； 解：原式＝1－3×33＋22＝1－1＋22＝22. (2)2sin 60°＋22cos 45°－32tan 60°－3cos 30°. 解：原式＝2×32＋22×22－32×3－3×32＝62＋12－32－32 ＝62－52.22．先化简，再求代数式a 2－ab a 2÷(a b －ba)的值，其中a ＝2cos 30°－tan 45°，b ＝2sin 30°.解：原式＝a （a －b ）a 2÷a 2－b 2ab＝a （a －b ）a 2·ab （a ＋b ）（a －b ）＝b a ＋b. ∵a ＝2cos 30°－tan 45°＝2×32－1＝3－1， b ＝2sin 30°＝2×12＝1，∴原式＝13－1＋1＝13＝33.23．如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离CB 为2米，一阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75°，求这棵竹子比楼房高出多少米．(精确到0.1米)解：在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝75°，BC ＝2， ∴AB ＝2cos 75°≈7.727(米)，AC ＝2×tan 75°≈7.464(米)． ∴AB －AC ＝7.727－7.464 ≈0.3(米)．答：这棵竹子比楼房高出0.3米．24．若tan A 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根，求锐角A 的度数．解：解方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0，得 x 1＝1，x 2＝ 3.由题意知tan A ＝1或tan A ＝ 3. ∴∠A ＝45°或60°.03 综合题25．如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，∠B ＝60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是(B )A ．4 3B ．3 3C ．2 3D .3人教版九年级数学下册《解直角三角形》检测题含答案28.2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形01 基础题知识点1 已知两边解直角三角形1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C )A ．计算tan A 的值求出B ．计算sin A 的值求出C ．计算cos A 的值求出D ．先根据sin B 求出∠B ，再利用90°－∠B 求出2．(温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是(D )A .34B .43C .35D .453．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值是(D )A .43B .34C .35D .454．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则cos A 2＝45．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝20． 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知BC ＝26，AC ＝62，解此直角三角形．解：∵tan A ＝BC AC ＝2662＝33，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°，AB ＝2BC ＝4 6.知识点2 已知一边和一锐角解直角三角形7．(兰州中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝(D )A ．4B ．6C ．8D ．108．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm ，那么这个三角形的面积为(B )A ．4.5 cm 2B ．9 3 cm 2C ．18 3 cm 2D ．36 cm 29．(保定月考)如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BE ＝2，则AE 的长为(B )A . 3B ．1C . 2D ．210．(牡丹江中考)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝92，点D 在BC 边上，连接AD ，若tan ∠CAD ＝13，则BD 的长为6．11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，解这个直角三角形．解：∵∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°. ∵sin A ＝ac，∴a ＝c·sin A ＝83×sin 60°＝83×32＝12. ∴b ＝c 2－a 2＝（83）2－122＝4 3.12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝55°，AC ＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－55°＝35°. ∵tan B ＝ACBC ，∴BC ＝AC tan B ＝4tan 55°≈2.8. ∵sin B ＝ACAB ，∴AB ＝AC sin B ＝4sin 55°≈4.9.02 中档题13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，则BC 的长为(B )A ．10tan 50°B ．10cos 50°C ．10sin 50°D .10cos 50°14．(随州中考)如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是(A )A ．R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin 36°C ．a ＝2r tan 36°D ．r ＝R cos 36°15．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD 是中线，若BC ＝5，则△ADC 的周长为(B )A ．5＋10 3B ．10＋53C ．15 3D ．20316．(保定月考)如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且sin α＝45，AB ＝4，求AD 的长为(B )A ．3B .163C .203D .16517．(河北模拟)如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝4，BC ＝10，CD ＝6，则tan C 等于(A )A .43B .34C .35D .45提示：连接BD ，则△BCD 为直角三角形．18．如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为24．19．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，∠C ＝60°，AD ＝4，AB ＝33，则下底BC 的长为10．03 综合题20．探究：已知，如图1，在△ABC 中，∠A ＝α(0°＜α＜90°)，AB ＝c ，AC ＝b ，试用含b ，c ，α的式子表示△ABC 的面积；图1图2应用：(孝感中考)如图2，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，试用含b ，c ，α的式子表示▱ABCD 的面积．解：探究：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D. ∵AB ＝c ，∠A ＝α，∴BD ＝c sin α.∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12bc sin α.应用：过点C 作CE ⊥DO 于点E. ∴sin α＝ECCO.∵在▱ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ， ∴CO ＝12a ，DO ＝12b.∴S △BCD ＝12CE·BD ＝12×12a sin α·b＝14ab sin α. ∴S ▱ABCD ＝2S △BCD ＝12ab sin α.人教版九年级数学下册《28构造基本图形解直角三角形的应用题》检测题含答案小专题(七)构造基本图形解直角三角形的应用题类型1构造单一直角三角形1．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，∠B为36°，斜边AB的长为2.1 m，BC边上露出部分BD的长为0.9 m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.在Rt△ABC中，sin A＝BCAB，∴BC＝AB·sin A＝2.1×sin54°≈1.701(m)，∴CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．类型2母子三角形2．(重庆中考)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(A)A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米3．(长沙中考)为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．(1)求∠APB的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？解：(1)在△APB中，∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°－30°－120°＝30°.(2)过点P 作PH ⊥AB 于点H.在Rt △APH 中，∠PAH ＝30°，AH ＝3PH. 在Rt △BPH 中，∠PBH ＝60°，BH ＝33PH. ∴AB ＝AH －BH ＝233PH ＝50.∴PH ＝253＞25.∴海监船继续向正东方向航行仍然安全．类型3 背靠背三角形4．(天津中考)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求BP 和BA 的长．(结果取整数，参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05，2取1.414)解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C.由题意可知，∠A ＝64°，∠B ＝45°，PA ＝120. 在Rt △APC 中，sin A ＝PC PA ，cos A ＝ACPA ，∴PC ＝PA·sin A ＝120×sin 64°.AC ＝PA·cos A ＝120×cos 64°.在Rt △BPC 中，sin B ＝PC BP ，tan B ＝PCBC ，∴BP ＝PC sin B ＝120×sin 64°sin 45°≈120×0.9022≈153.BC ＝PC tan B ＝PC tan 45°＝PC ＝120×sin 64°.∴BA ＝BC ＋AC ＝120×sin 64°＋120×cos 64° ≈120×0.90＋120×0.44≈161.答：BP 的长约为153海里，BA 的长约为161海里．5．(宜宾中考)如图，某市对位于笔直公路AC 上两个小区A ，B 的供水路线进行优化改造．供水站M 在笔直公路AD 上，测得供水站M 在小区A 的南偏东60°方向，在小区B 的西南方向，小区A ，B 之间距离为300(3＋1)米．求供水站M 分别到小区A ，B 的距离．(结果可保留根号)解：作ME ⊥AB ，垂足为E.设ME ＝x 米．在Rt △AME 中，∠MAE ＝90°－60°＝30°， ∴AM ＝2ME ＝2x, AE ＝MEtan 30°＝3x.在Rt △BME 中，∠MBE ＝90°－45°＝45°， ∴ME ＝EB ＝x ，MB ＝2x.∵AE ＋BE ＝AB ＝300(3＋1)，即3x ＋ x ＝300(3＋1)，解得x ＝300. ∴AM ＝2ME ＝2x ＝600，MB ＝2x ＝300 2.答：供水站M 到小区A ，B 的距离分别是600米、3002米．6．(德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10 m 的A 处，测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用的时间为0.9秒．已知∠B ＝30°，∠C ＝45°.(1)求B ，C 之间的距离；(保留根号) (2)如果此地限速为80 km /h ，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1，4)解：(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m . ∵在Rt △ACD 中，∠C ＝45°， ∴CD ＝AD ＝10 m .在Rt △ABD 中，tan B ＝ADBD ，∵∠B ＝30°， ∴33＝10BD. ∴BD ＝10 3 m .∴BC ＝BD ＋DC ＝(103＋10)m .答：B ，C 之间的距离是(103＋10)m . (2)这辆汽车超速，理由如下： 由(1)知BC ＝(103＋10)m ≈27 m . ∴汽车速度为270.9＝30(m /s )＝108 km /h .∵108＞80，∴这辆汽车超速．类型4 与梯形有关的解直角三角形7．如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，斜面坡度i ＝1∶3是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比，∠B ＝60°，AB ＝6，AD ＝4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．(结果保留小数点后一位．参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为点F. 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB·sin B ＝6×sin 60°＝33， BF ＝AB·cos B ＝6×cos 60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形． ∴DE ＝AF ＝33，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝ED EC ＝13，∴EC ＝3ED ＝3×33＝9.∴BC ＝BF ＋FE ＋EC ＝3＋4＋9＝16. ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC)·DE＝12×(4＋16)×33 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.。
人教版九年级下数学第28章锐角三角函数质量评估试卷(含答案)
人教版九年级下数学第28章锐角三角函数质量评估试卷（含答案） 一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图1，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m )，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值为( )图1A.45B.54C.35D.532．下列各数：13，π，38，cos 60°，0，3，其中无理数的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个3．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，则cos A2的值是( ) A.45 B.35 C.34D.544．如图2，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )图2A ．26 mB ．28 mC ．30 mD ．46 m5．如图3，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )图3A. 513B.1213C.512D.13126．点M (－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 【解析】 ∵sin 60°＝32，cos 60°＝12，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12关于x 轴对称的点的坐标为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.7．[2017·温州]如图4，一辆小车沿倾斜角为cos α＝1213的斜坡向上行驶13 m ，则小车上升的高度是( )图4A ．5 mB ．6 mC ．6.5 mD ．12 m8．如图5，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为( )图5A.12B.55C.1010 D.2559．如图6，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10 m，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是()图6A．5sin 36° m B．5cos 36° mC．5tan 36° m D．10tan 36° m10．[2016·苏州]如图7，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为()图7A．2 3 m B．2 6 mC．(23－2) m D．(26－2) m【解析】在Rt△ABD中，∵sin ∠ABD＝AD AB，∴AD＝4sin 60°＝2 3 m，在Rt△ACD中，∵sin ∠ACD＝AD AC，∴AC＝23sin 45°＝2 6 m.二、填空题(每小题4分，共24分)11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝13，则AB＝_______.12．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图8，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB＝12 m，背水坡面CD＝12 3 m，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，tan E ＝3133，则CE 的长为_________m.图813．如图9所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近C 处，测得建筑物顶端A 处的仰角大小为45°，随后沿直线BC 向前走了100 m 后到达D 处，在D 处测得A 处的仰角大小为30°，则建筑物AB 的高度约为 137 m ．(注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图914．在△ABC 中，如果∠A ，∠B 满足||tan A －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，那么∠C＝__________.15．如图10，AB 是⊙O 的直径，AB ＝15，AC ＝9，则tan ∠ADC ＝_________.图1016．如图11，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sin A ＝35，菱形ABCD 的周长是______.图11三、解答题(共66分)17．(10分)计算：(1)2sin 30°＋cos 60°－tan 60°·tan 30°＋cos2 45°；(2)sin 30°1＋cos 30°＋tan 45°tan 30°.18．(10分)已知△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝36，∠A＝30°，求∠B，b，c.19．(10分)如图12，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测得B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30 m.图12(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.20．(12分)如图13，海中一渔船在A处且与小岛C相距70海里，若该渔船由西向东航行30海里到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上，求该渔船此时与小岛C之间的距离．图1321．(12分)如图14，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D ，交AC 于点E ，连接AD ，BD ，CD.图14(1)求证：AD ＝CD ；(2)若AB ＝10，cos ∠ABC ＝35，求tan ∠DBC 的值．22．(12分)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A ＝b sin B ＝csin C ，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC 中，若∠A ＝45°，∠B ＝30°，a ＝6，求b .解：在△ABC 中，∵a sin A ＝bsin B ， ∴b ＝a sin B sin A ＝6sin 30°sin 45°＝6×1222＝3 2.问题解决：如图15，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，且乙船从B 1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 2 海里．图15(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明．(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案1.A2.B3.A4.D5.C6.B7.A8.B9.C10.B11.612.813.13714.75°15.3416.4017. 解：(1)原式＝2×12＋12－3×33＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝1＋12－1＋12＝1；(2)原式＝121＋32＋133＝12＋3＋3＝2. 18. 解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°， a ＝c sin A ＝c sin 60°＝83×32＝12， b ＝c cos A ＝c cos 60°＝83×12＝43； (2)∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°， c ＝a sin A ＝a sin 30°＝3612＝66，b ＝a tan A ＝a tan 30°＝3633＝9 2.19. 解：(1)根据题意得，在Rt △ABD 中， ∠BDA ＝∠α＝60°，AB ＝30 m ， ∴AD ＝AB tan 60°＝303＝10 3 m ，答：甲、乙两建筑物之间的距离AD 为10 3m. (2)如答图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .第19题答图根据题意，得∠BCE ＝∠β＝30°，CE ＝AD ＝103，CD ＝AE . 在Rt △BEC 中，tan ∠BCE ＝BE CE ， ∴tan 30°＝BE103， ∴BE ＝10 m ，∴CD ＝AE ＝AB －BE ＝30－10＝20 m.答：乙建筑物的高CD 为20 m.20. 解：如答图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意得：第20题答图∠BCD ＝30°，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，BD ＝BC sin 30°＝12x ， CD ＝BC cos 30°＝32x ， ∴AD ＝30＋12x ，∴在Rt △ACD 中，AD 2＋CD 2＝AC 2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋x 22＋⎝⎛⎭⎪⎫3x 22＝702， 解得：x 1＝50，x 2＝－80(舍去)．答：渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．21. (1)证明：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°， 又∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠ACB ＝90°， ∴OD ⊥AC .∴AD ＝CD .∴AD ＝CD ， (2)解：∵AB ＝10， ∴OA ＝OD ＝12AB ＝5，∵OD ∥BC ，∴∠AOE ＝∠ABC ， 在Rt △AEO 中，OE ＝OA cos ∠AOE ＝OA cos ∠ABC ＝5×35＝3， ∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝2，由勾股定理得，AE ＝AO 2－OE 2＝52－32＝4，在Rt△AED中，tan ∠DAE＝DEAE＝24＝12，又∵∠DBC＝∠DAE，∴tan ∠DBC＝1 2.22. 解：(1)△A1A2B2是等边三角形．证明：由已知A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形．(2)∵△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝102，由已知∠CB1A1＝180°－105°＝75°，∴∠B2B1A1＝75°－15°＝60°，又∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由正弦定理得：B1B2sin 45°＝A1B2sin 60°，B1B2＝A1B2sin 60°·sin 45°＝10232·22＝2033.因此，乙船的速度大小为2033×6020＝20 3 (海里/小时)．答：乙船每小时航行20 3 海里．人教新版九年级下学期第28章《锐角三角函数》单元测试卷（含答案）一．选择题1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为（）A．5sin A B．5cos A C．D．2．已知α为锐角，下列结论：（1）sinα+cosα＝1；（2）若α＞45°，则sinα＞cosα；（3）如果cosα＞，则α＜60°；（4）＝1﹣sinα．其中正确结论的序号是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（3）（4）3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．04．如图，已知公路l上A、B两点之间的距离为50m，小明要测量点C与河对岸边公路l 的距离，测得∠ACB＝∠CAB＝30°．点C到公路l的距离为（）A．25m B．m C．25m D．（25+25）m5．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan B﹣|+（2cos A﹣1）2＝0，则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形B．等边三角形C．等腰（不等边）三角形D．等腰直角三角形6．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（）A．B．C．D．7．△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan A的值是（）A．2B．C．2D．8．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．米B．米C．米D．24米9．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，则乙建筑物的高度为（）米．A．30B．30﹣30 C．30 D．3010．如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在A处观测到楼H在北偏东60°方向上，行驶1小时后到达B处，此时观测到楼H在北偏东30°北方向上，那么汽车由B处到达离楼H距离最近的位置C时，需要继续行驶的时间为（）A．60分钟B．30分钟C．15分钟D．45分钟二．填空题11．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是．12．比较sin53°tan37°的大小．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，那么cos A＝．14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sin B；②sinβ＝sin C；③sin B＝cos C；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有．15．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）16．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tan A﹣1|+（﹣cos B）2＝0，则∠C＝°．17．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝，那么GE＝．18．在锐角△ABC中，若|cos2A﹣|+（tan B﹣）2＝0，则∠C的正切值是．19．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是m．20．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为米．三．解答题21．计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°．22．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．23．我们知道：sin30°＝，tan30°＝，sin45°＝，tan45°＝1，sin60°＝，tan60°＝，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．24．用计算器求下列各式的值：（1）sin59°；（2）cos68°42′．25．（1）已知∠A是锐角，求证：sin2A+cos2A＝1．（2）已知∠A为锐角，且sin A•cos A＝，求∠A的度数．26．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．参考答案一．选择题1．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，∴sin A＝＝，∴AB＝，故选：C．2．解：（1）如果α＝30°，那么sinα＝，cosα＝，sinα+co sα＝≠1，错误；（2）∵90°＞α＞45°，∴0°＜90°﹣α＜45°＜α，∴sinα＞sin（90°﹣α），∴sinα＞cosα，正确；（3）∵cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，∴如果cosα＞，则α＜60°，正确；（4）∵sinα≤1，∴sinα﹣1≤0，∴＝|sinα﹣1|＝1﹣sinα，正确．故正确结论的序号是（2）（3）（4）．故选：C．3．解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．4．解：如图，过点C作CD⊥直线l于点D，∵∠ACB＝∠CAB＝30°，AB＝50m，∴AB＝BC＝50m，∠CBD＝60°，在Rt△BCD中，∵sin∠CBD＝，∴CD＝BC sin∠CBD＝50×＝25（m），故选：C．5．解：∵|tan B﹣|+（2cos A﹣1）2＝0，∴tan B＝，2cos A＝1，则∠B＝60°，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．故选：B．6．解：设AB＝x，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝x，由勾股定理得：AC＝＝x，∵AC＝CD，∴AC＝CD＝x，∴BD＝BC+CD＝（+1）x，∴tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．7．解：∵△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴cos A＝＝，则tan A＝＝2，故选：A．8．解：∵斜面坡度为1：2，BC＝6m，∴AC＝12m，则AB＝（m）．故选：B．9．解：如图，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，BC＝30m，∵tan∠DBC＝，∴CD＝BC•tan60°＝30m，∴甲建筑物的高度为30m；在Rt△AFD中，∠DAF＝45°，∴DF＝AF＝BC＝30m，∴AB＝CF＝CD﹣DF＝（30﹣30）m，∴乙建筑物的高度为（30﹣30）m．故选：B．10．解：解：作HC⊥AB交AB的延长线于C，由题意得，∠HAB＝60°，∠ABH＝120°，∴∠AHB＝30°，∴BA＝BH，∵∠ABH＝120°，∴∠CBH＝60°，又HC⊥AB，∴∠BHC＝30°，∴BC＝BH，∴BC＝AB，∵从A到B行驶了1个小时，∴该车继续行驶30分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置，故选：B．二．填空题（共10小题）11．解：∵sin A＝，即＝，∴AB＝10，故答案为：10．12．解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝53°，∠B＝37°．则AC＝3，BC＝4，AB ＝5，∵sin53°＝＝＝0.8，tan37°＝＝＝0.75，∴sin53°＞tan37°．故答案为＞13．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴∠A＝30°，∴cos A＝．故答案是：．14．解：∵∠A＝90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，∴sinα＝sin B，故①正确；sinβ＝sin C，故②正确；∵在Rt△ABC中sin B＝，cos C＝，∴sin B＝cos C，故③正确；∵sinα＝sin B，cos∠β＝cos C，∴sinα＝cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．15．解：如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案为74，16．解：由题意得，tan A＝1，cos B＝，则∠A＝45°，∠B＝60°，则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．故答案为：75．17．【解答】解：作EF⊥BC于点F，∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝，∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，∴AD∥EF，BC＝8，∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，∴，BF＝6，∴DG＝1，∴BG＝，∴，得BE＝，∴GF＝BE﹣BG＝＝，故答案为：．18．解：由题意得，cos2A﹣＝0，tan B﹣＝0，则cos A＝，tan B＝，解得，∠A＝60°，∠B＝60°，则∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，tan60°＝，则∠C的正切值是，故答案为：．19．解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，∴＝＝，解得：AC＝10，则AB＝＝20（m）．故答案为：20．20．解：作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．则∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，CD＝270米．在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，∴AD＝＝90．在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，∴BD＝AD•tan30°＝90×＝90．∴BC＝CD﹣BD＝270﹣90＝180．答：这栋大楼的高为180米．故答案为180．三．解答题（共6小题）21．解：原式＝2×+﹣，＝，＝．22．解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x，∴EM2+CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM＝＝．23．解：对于任意锐角α，都有tanα＞sinα，理由如下：如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设∠A＝α．则tanα＝，sinα＝，∵b＜c，∴＞，∴tanα＞sinα．24．解：（1）sin59°≈0.857；（2）cos68°42′＝cos68.7°≈0.363．25．解：如图，在Rt△ABC中，sin A＝，cos A＝，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，（1）证明：sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝1，（2）∵sin A•cos A＝，∴＝，∴c2＝2ab，∴a2+b2＝2ab，即：（a﹣b）2＝0，∴a＝b，在Rt△ABC中，tan A＝＝1，∠A＝45°．26．解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE＝BP＝；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∵BD＝DA，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴＝，∴＝，∴＝，设CP＝k，则PA＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴PA＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A＝；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD＝AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，∴PD＝．人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 单元检测卷人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 单元检测卷一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A 的正弦值( D )A ．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC 的长约为3.5米，∠BCA 约为29°，则该楼梯的高度AB 可表示为( B )A ．3.5sin29°B ．3.5cos29°C ．3.5tan29°D ． 3.5cos29°3.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ． 144 cmB ． 180 cmC ． 240 cmD ． 360 cm4.河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡度是（坡度是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是 （ A ）A. 米B. 米C. 15米D. 10米5. 在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( C )A ．sinA ＝32B ．tanA ＝12 C.cosA ＝32D ．以上都不对 6.如图，一枚运载火箭从地面L 处发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达站观测得知AR 的距离是6 km ，仰角∠ARL ＝30°，又经过1 s 后火箭到达B 点，此时测得仰角∠BRL ＝45°，则这枚火箭从A 到B 的平均速度为( A )A ． (3－3) km/s B ． (3) km/s C ． (3＋3) km/sD ． 3 km/s7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为( B ) A.154 B ．14 C.1515 D ．417178.如图，在△ABC 中，AB =2，BC =4，∠ABC =30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ A ） A. B. C. D.9.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是( A ) A ． B ． C ．D ．10. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213 ，则小车上升的高度是( B )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米11.用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是( B )A ．0.90B ．0.72C ．0.69D ．0.6612.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝，则tan B 等于( C )A ．B ．C ．D ． 2二、填空题13. 如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A ，小明在岸边点B 处测得点A 在点B 的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m 后到达点C ，测得点A 在点C 的北偏西60°方向上，则点A 到河岸BC 的距离为________米．[答案]20 314.已知对任意锐角α，β均有cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，则cos75°＝________．【答案】 6－2415.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D ，再爬倾斜角为60度的山坡200米，这座山的高度为______________(结果保留根号)【答案】(150＋100)米16. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AB ＝5cm ，那么，cosB ＝________.[答案] 3517.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．【答案】518.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则sin B＝____________.【答案】三、解答题19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=a．（1）求sin a、cos a、t a na的值；（2）若∠B=∠CAD，求BD的长．解：在Rt△ACD中，∵AC=2，DC=1，∴AD==．（1）sinα===，cosα===，tanα==；（2）在Rt△ABC中，tan B=，即tanα==，∴BC=4，∴BD=BC-CD=4-1=3．20.计算：sin 45°＋cos230°＋2sin 60°.【答案】解原式＝×＋2＋2×＝＋＋＝1＋.21．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1 cm ，BC ＝2 cm ，求sinA 和sinB 的值．解：在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝12＋22＝5(cm)，∴sinA ＝BC AB ＝25＝2 55， sinB ＝AC AB ＝15＝55. 即sinA ＝255，sinB ＝55. 22.如图，一垂直于地面的灯柱AB 被一钢线CD 固定，CD 与地面成45°夹角(∠CDB ＝45°)，在C 点上方2米处加固另一条钢线ED ，ED 与地面成53°夹角(∠EDB ＝53°)，那么钢线ED 的长度约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)【答案】解 设BD ＝x 米，则BC ＝x 米，BE ＝(x ＋2)米，在Rt △BDE 中，tan ∠EDB ＝＝，即≈1.33， 解得x ≈6.06，∵sin ∠EDB ＝，即0.8＝， 解得ED ≈10，即钢线ED 的长度约为10米．23. 如图所示，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上的一点，AC ＝2，CD ＝1，记∠CAD ＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)若∠B＝α，求BD的长．解：(1)sinα＝55，cosα＝255，tanα＝12；(2)BC＝ACtanα＝212＝4，∴BD＝BC－CD＝4－1＝3.24. 甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A地分别沿北偏东23°和北偏西67°的方向出发，如果甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度是32海里/时，那么下午1时两艘轮船相距多少海里？解：如图所示，设下午1时，甲轮船到达B，乙轮船到达C，根据题意知∠BAE＝23°，∠CAE＝67°，所以∠BAC＝∠CAE＋∠BAE＝90°.又因为AB＝24×5＝120，AC＝32×5＝160，由勾股定理得BC2＝1202＋1602＝40000，所以BC＝200，答：下午1时两艘轮船相距200海里．。
Y_人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元检测试卷(有答案)
2017-2018学年度第二学期人教版九年级数学下册第28章 锐角三角函数 单元检测试卷考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙A ∠A 述正确的是（ ）A.的值越大，梯子越陡B.的值越大，梯子越陡sinA cosA C.的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与的函数值无关tanA ∠A 2.温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市的A 正西方向千米的处（如图），以每小时千米的速度向东偏南的方向移动，并检300B 10730∘BC 测到台风中心在移动过程中，温州市将受到影响，且距台风中心千米的范围是受台风严重A 200影响的区域．则影响温州市的时间会持续多长？（ ）A A.5 B.6 C.8 D.10 3.如图，两建筑物水平距离为米，从点测得对点的俯角为，对点的俯角为，则建32A C 30∘D 45∘筑物的高约为（ ）CD A.米14 B.米17 C.米20 D.米22 4.在如图所示的方格纸中，点、、都在方格线的交点．则 A B C ∠ACB =()A.120∘B.135∘C.150∘D.165∘ 5.已知，且，则锐角等于（ ）α+β=90∘sinα+cosβ‒3=0αA.30∘ B.45∘C.60∘ D.无法求 6.如图，一根铁管固定在墙角，若米，，则铁管的长为（ ）CD BC =5∠BCD =55∘CD A.米5sin 55∘ B.米5⋅sin 55∘.C.米5cos 55∘ D.米5⋅cos 55∘7.为美化环境，在空地上种植售价为元/平方米的一种草皮，已知，△ABC a AB =20m ，，则购买草皮至少需要（ ）AC =30m ∠A =150∘A.元450a B.元225a C.元150a D.元300a 8.如图，在中．，，，则 △ABC ∠ACB =90∘∠ABC =15∘BC =1AC =()A.2+3 B.2‒3C.0.3D.3‒29.堤的横断面如图．堤高是米，迎水斜坡的长时米，那么斜坡的坡度是（ ）BC 5AB 13AB A.1:3 B.1:2.6C.1:2.4D.1:2 10.小明去爬山，在山脚看山顶角度为，小明在坡比为的山坡上走米，此时小明看30∘5:121300山顶的角度为，求山高（ ）60∘A.米600‒2505 B.米6003‒250C.米350+3503 D.米5003二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ） 11.在中，，，，则等于________．Rt △ABC ∠C =90∘tanA =3AC =10S △ABC 12.小美同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时A 60∘200m B B 100m C 小美同学离地________．A 13.如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，若海里，CA 50o CB 40o AC =40海里，则，两岛的距离等于________ 海里． （结果保留根号）BC =20A B 14.如图，在中，，是高，如果，，那么Rt△ABC∠ACB =90∘CD ∠B =αBC =3________．（用锐角的三角比表示）AD =α15.如图，当小明沿坡度的坡面由到行走了米，那么小明行走的水平距离i =1:3A B 100.________米．（结果可以用根号表示）．AC = 16.课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成角时，测得旗杆在地28∘AB 面上的投影长为米，则旗杆的高度是________米．BC 25AB 17.在离建筑物米处，用测角仪测得建筑物顶的仰角为，已知测角仪的高度为米，求12030∘ 1.5这个建筑的高度________米（精确到米）0.1 18.如图，的三个顶点分别在边长为的正方形网格的格点上，则________△ABC 1tan (α+β)．（填“”“”“”）tanα+tanβ>=<19.如图，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了海里到达处，A C 60012B 在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是________．B C C 20.请从以下两题中任选一题作答，若多选，则按所选的第一题计分．如图所示的四边形中，若去掉一个的角得到一个五边形，则________．(A )50∘∠1+∠2=如果某人沿坡度的斜坡前进，那么他所在的位置比原来的位置升高了(B )i =1:3100m ________．（结果精确到）m 0.1m 三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）21.21. (1)2sin 60∘+3tan 30∘(2)sin 260∘+cos 260∘‒tan 45∘ ．(3)cos 60∘‒tan 45∘+sin 60∘tan 30∘+sin 30∘(4)22sin 45∘+sin 60∘‒2cos 45∘ 22.如图，一艘货轮以海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现在它的北偏东30A 方向有一港口，货轮继续向北航行分钟后到达处，发现港口在它的北偏东方向上，48∘B 40C B 76∘若货轮急需到港口补充供给，请求出处与港口的距离的长度．（结果保留整数）B C B CB （参考数据：，，，）sin 76∘≈2021tan 76∘≈4tan 48∘≈109sin 48∘≈45.23.如图，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟米的速度沿着仰角为的方向上升，A 1075∘分钟后上升到处，这时气球上的人发现在点的正西方向俯角为的处有一着火点，求气20B A 45∘C 球的升空点与着火点之间的距离．（结果保留根号）AC24.超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到县城城南大道的距离为米的点处．这时，一辆出租车由西向东100P 匀速行驶，测得此车从处行驶到处所用的时间为秒，且，．A B 4∠APO =60∘∠BPO =45∘求、之间的路程；(1)A B 请判断此出租车是否超过了城南大道每小时千米的限制速度？(2)60 25.如图，小明想测山高和索道的长度．他在处仰望山顶，测得仰角，再往山的方B A ∠B =31∘向（水平方向）前进至索道口处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角．80m C ∠ACE =39∘求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；(1).求索道的长（结果精确到）．(2)AC 0.1m （参考数据：，，，）tan 31∘≈35sin 31∘≈12tan 39∘≈911sin 39∘≈711 26.某居民楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，，，斜坡BC // AD BE ⊥AD 长为米，坡角．为了减缓坡面防止山体滑坡，居委会决定对该斜坡进行改AB 30∠BAD =75∘造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚不动，50∘A 坡顶沿向左移米到点处，问这样改造能确保安全吗？（参考数据：，B BC 15F sin 75∘≈0.97，，，）cos 75∘≈0.26tan 75∘≈3.73tan 49∘30'≈1.17tan 51∘57'≈1.28答案1.A2.D3.A4.B5.C6.C7.C8.B9.C10.B .11.15012.1003m13.20514.3sinαtanα15.301016.25⋅tan 28∘17.76.518.>19.海里4320.230∘31.621.解：(1)2sin 60∘+3tan 30∘；=2×32+3×33=3+3=23(2)sin 260∘+cos 260∘‒tan 45∘；=1‒1=0(3)cos 60∘‒tan 45∘+sin 60∘tan 30∘+sin 30∘；=12‒1+3233+32=32‒12536=3‒35(4)22sin 45∘+sin 60∘‒2cos 45∘．=22×22+32‒2×22=12+32‒222.解：海里，AC =30×4060=20在中，，Rt △BDC BD CD =tan 76∘则，BD =CD ⋅tan 76∘在中，Rt △ABD ，BDAD =tan 48∘.即，CD ⋅tan 76∘20+CD =tan 48∘于是，4CD20+CD=109解得，CD =10013，BD =10013×4=40013在中，，Rt △BDC BD CB =sin 76∘，40013BC =2021则海里．BC ≈3223.解：过点作于点，A AD ⊥BCD 由题意得，，，，BE // AC ∠EBC =45∘∠BAD =75∘∴，∠ABD =30∘∵，AB =10×20=200(m )在中，Rt △ABD ，AD =ABsin∠ABD =12×200=100(m )∵，BE // AC ∴，∠BCA =∠EBC =45∘∴，AC =ADsin 45∘=10022=1002(m )即气球的升空点与着火点之间的距离为．A C 1002m 24.解：由题意知：米，，，(1)PO =100∠APO =60∘∠BPO =45∘在直角三角形中，BPO ∵，∠BPO =45∘∴米，BO =PO =100在直角三角形中，APO .∵，∠APO =60∘∴米，AO =PB ⋅tan 60∘=1003∴（米）；∵从处行驶到处所用的时间为秒，AB =AO ‒BO =(1003‒100)=100(3‒1)(2)A B 4∴速度为米/秒，100(3‒1)÷4=25(3‒1)∵千米/时米/秒，60=60×10003600=503而，25(3‒1)>503∴此车超过了每小时千米的限制速度6025.索道长约为米．AC 282.926.解；过作，垂足为，连接，F FG ⊥AD G AF ∵斜坡长为米，坡角，AB 30∠BAD =75∘∴，BE =sin∠BAD ×AB =sin 75∘×30=0.97×30=29.1，AE =cos∠BAD ×AB =cos 75∘×30=0.26×30=7.8∴，，AG =AE +GE =7.8+15=22.8FG =29.1∴，tan∠FAG =FG AG =29.122.8≈1.28∴，∠FAG >50∘∴这样改造不能确保安全．...。
九年级下期末复习《第28章锐角三角函数》单元评估测试题有答案
期末专题复习：人教版九年级数学下册_第28章_ 锐角三角函数_单元评估测试题一、单选题（共10题；共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则tanB的值是（）A. B. C. D.2.在Rt ABC中，∠C=90°，∠，AC= ，则AB的长可以表示为（）A. B. C. D.3.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，BC=3，那么cosB的值是（）A. B. C. D.4.如图，一艘轮船行驶在O处同时测得小岛A、B的方向分别为北偏东75°和西南方向，则∠AOB等于（）A. 100°B. 120°C. 135°D. 150°5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）A. 7sin35°B.C. 7cos35°D. 7tan35°°6.在Rt 中，∠C= 90°,若则的值是( )A. B. C. D.7.已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于（）A. B. C. D.8.已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为（）A. B. C.D. 19.把Rt△ABC的各边都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角A和A′的余弦值的关系是（）A. cosA=cosA′B. cosA=3cosA′C. 3cosA=cosA′D. 不能确定10.已知等腰△ABC的周长为36cm，底边BC上的高12cm，则cosB的值为( )A. B. C. D.二、填空题（共10题；共30分）11.计算：tan60°﹣cos30°=________．12.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是________.13.如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，若OA=2，则图中阴影部分的面积为________．14.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则tanB=________15.如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB=________．16.如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两腰上的中线，且BD⊥CE，则tan∠ABC=________．17..在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为________ ．18.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________ ．19.如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC= +1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是________．20.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC，连接CE、OE、AE，AE交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长________．三、解答题（共8题；共60分）21.计算．22.如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和30°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度．（结果保留根号）23.如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．（精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）24.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱均垂直于地面，点在线段上.在点测得点的仰角为，点的俯角也为，测得间的距离为10米，立柱高30米.求立柱的高（结果保留根号）.25.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE=21°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin21°≈，tan21°≈）26.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3．若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角（A点处）6米的一棵树是否需要移栽？（参考数据：≈1.414，≈1.732）27.如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前进60米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB=60°，求河的宽度．28.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】A10.【答案】D二、填空题11.【答案】12.【答案】13.【答案】14.【答案】15.【答案】141°16.【答案】317.【答案】18.【答案】4.819.【答案】120.【答案】三、解答题21.【答案】解：原式=2--2×+1+2.=3.22.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得，∠DAB=∠BAC=∠C=30°，BC=100m，∴AB=BC=100m，在Rt△ADB中，AB=100m，∠DAB =30°，∴AD=cos30°·AB= =50 m.答：热气球离地面的高度为50 m23.【答案】解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66米．∵sin40°= ，∴BC≈0.64×660=422.4米≈422米．答：山的高度BC约为422米．24.【答案】解：作CF⊥AB于F，则四边形HBDC为矩形，∴BD=CF，BF=CD.由题意得，∠ACF=30°，∠CED=30°，设CD=米，则AF=（30﹣）米，在Rt△AFC中，FC= ，则BD=CF= ，∴ED= -10，在Rt△CDE中，ED= ，则-10= ，解得，=15﹣，答：立柱CD的高为（15﹣）米．25.【答案】解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD．∴∠CEF=90°．设CE=，在Rt△CEF中，tan∠CFE= ，则EF= ．在Rt△CEG中，tan∠CGE= ，则GE= ．∵EF=FG+EG，∴，=37.5．∴CD=CE+ED=37.5+1.5=39（米）．答：古塔的高度约是39米．26.【答案】解：不需要移栽，理由为：∵CB⊥AB，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=5米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i= ：3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=10米，BD= BC=5 米，∴AD=BD﹣AB=（5 ﹣5）米≈3.66米，∵2+3.66=5.66＜6，∴不需要移栽．27.【答案】解：由题意可得，tan∠DAB= ，tan ，∠CAB=90°，∠DAB=30°，AE=60米，∴=60，解得，DB=30 米，即河的宽度是30 米28.【答案】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m-10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE= °（m），∴BC=BE-CE=70-10 ≈70-17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m。
新人教版九年级数学下册锐角三角函数测试试卷(含答案)
新人教版九年级数学下册锐角三角函数测试试卷(含答案)江苏省赣榆县沙河中学 张庆华【课标要求】【能力训练】 一、选择题1.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们体会到了国旗的神圣.某同学产生了用所学知识测量旗杆高度的想法.在地面距杆脚5m 远的地方, 他用测倾器测得杆顶的仰角为a,则tana=3,则杆高(不计测倾器高度)为( ).A.10mB.12mC.15mD.20m2.如图,测量人员在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°, 沿着倾角为30°的山坡前进1 000m 到达D 处,在D 处测得山顶B 的仰角为60°, 则山的高BC 大约是(精确到0.01)( ).A.1 366.00m;B.1 482.12m;C.1 295.93m;D.1 508.21m3.铁路路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为2:3,顶宽6m, 路基高4m,则路基的下底宽( ). A.18m B.15m C.12m D.10m4.已知:Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=,AB=15,则AC 的长是( ).A.3B.6C.9D.125.如图,测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度,选M 点作为观测点,从M 点测量山顶P 的仰角(视线在水平线上方,与水平线所夹的角)为30°, 在比例尺为1:50 000的该地区等高线地形图上,量得这两点的图上距离为6cm, 则山顶P 的海拔高度为( )A.1 732m;B.1 982m;C.3 000m;D.3 250m二、填空题1.某山路的路面坡度i=1:,沿此山路向上前进200m, 升高了____m.2.某落地钟钟摆的摆长为0.5m,来回摆动的最大夹角为20°. 已知在钟摆的摆动过程中,摆锤离地面的最低高度为am,最大高度为bm,则b-a= ____m(不取近似值).3.如图,△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,BD=6,AD=BC,cos∠ADC=,则DC的长为______.三、解答题1.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坡角α=28°,斜坡AB= 9m,求拦水坝的高BE.(精确到0.1m,供选用的数据:sin28°=0.469,cos28°=0.8829, tan28°=0.5317,cos28°=1.880 7)2.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.(1)求证:AC=BD;(2)若sinC=,BC=12,求AD的长.3.已知,如图,A、B、C 三个村庄在一条东南走向的公路沿线上,AB=2km.在B村的正北方向有一个D村,测得∠DAB=45°,∠DCB=28°, 今将△ACD区域进行规划,除其中面积为0.5km2的水塘外,准备把剩余的一半作为绿化用地,试求绿化用地的面积.(结果精确到0.1km2,sin28°=0.469 5,cos28°=0.882 9, tan28°=0.5317,cos28°=1.880 7)4.我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m, 背水坡度由原来的1:1改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方, 要求保留两个有效数字.(注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值;提供数据:)5.如图,在Rt△ABC中,a、b分别是∠A、∠B的对边,c 为斜边,如果已知两个元素a、∠B,就可以求出其余三个未知元素b、c、∠A.(1)求解的方法有多种,请你按照下列步骤,完成一种求解过程:(2)请你分别给出a、∠B的一个具体数值,然后按照(1)中的思路,求出b、c、∠A的值.6.某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为(如图1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD.要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光, 又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β 的相应数据:∠α=24 °36′,∠β=73°30′,小明又得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件,(1) 当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2) 当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图), 帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?(精确到0.01m)以下数据供计算中选用sin24°36′=0.416cos24°36′=0.909tan24°36′=0.458cot24°36′=2.184sin73°30′=0.959cos73°30′=0.284tan73°30′=3.376cot73°30′=0.2967.高速公路旁有一矩形坡面,其横截面如图所示,公路局为了美化公路沿线环境,决定把矩形坡面平均分成11段相间种草与栽花.已知该矩形坡面的长为550m,铅直高度AB为2m,坡度为2:1,若种草每平方米需投资20元, 栽花每平方米需投资15元,求公路局将这一坡面美化最少需投资多少元?( 结果保留三个有效数字).8.如图,天空中有一个静止的广告气球C,从地面A 点测得C点的仰角为45°,从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20m.点C和直线AB在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度(结果保留根号).参考答案：一、1.C 2.A 3.A 4.C 5.B二、1.10 2.(1-cos10°) 3.9三、1.在Rt△ABE中,AB=9m,a=28°,∵sina=,∴BE=AB.sinα=9×sin28°≈9×0.47=4.23≈4.2(m).答:拦水坝的高BE约为4.2m.2.(1)证明:在Rt△ABD和Rt△ADC中, ∵tanB=,cos∠DAC=, 又tanB=cos∠DAC,∴=,∴AC=BD.(2)解:在Rt△ADC中,由sinC=,可设AD=12k,则AC=13k,由勾股定理,得CD=5k,又由(1)知BD=AC=13k,∴13k+5k=12,解得k=, ∴AD=8.3.解:在Rt△ABD中,∵∠ABD=90°,∠DAB=45°, ∴∠ADB=45°,∴BD=AB=2km. 在Rt△BCD中, ∵cot∠BCD=,∠DCB=28°, ∴BC=BD.cot∠BCD=2cot28°≈3.75(km).∴S△ACD=AC·BD≈5.76(km2). ∴S绿地≈2.6km2.答:绿化用地的面积约为2.6km2.4.解:如图,作EG⊥FB于G,DH⊥FB于H,记堤高为h,则EG=DH=h.由tan∠DAH=1:1=1, 得∠DAH=45°.∴h=DH=ADsin∠DAH=8sin45°=8×, ∴AH=DH=,由tan∠F=EG:FG=1:2, 得FG=2EG=2h=,∴FA=FH-AH=(FG+GH)-AH=(+ED)-=+1.6,∴海堤断面增加的面积S梯形FADE=(ED+FA)·h≈6.4×1.41+16≈25.0(m2)∴工程所需土方=96×S梯形FADE≈96×25.0=2 400=2.4×103(m3).答:完成这工程约需土方2.4×103m3.5.(1)cosB=,c; ∠B,∠A+∠B=90°,∠A;a、∠B,tanB=,b. (2)略6.解:在Rt△BCD中,tan∠CDB=,∠CDB=∠α,∴BC=CD·tan∠CDB=CD·tanα.在Rt△ACD中,tan∠CDA=,∠CDA=∠β,∴AC=CD·tan∠CDA=CD·tanβ∵AB=AC-BC=CD·tanβ-CD·tanα=CD(tanβ-tanα).∴CD=≈0.57(m).∴BC=CD·tan∠CDB≈0.57×0.458≈0.26(m).答:BC的长约为0.26m,CD的长约为0.57m.7.解:∵AB=2m,tan∠ACB=2:1, ∴BC=1m,∴AC=.∵550m长的坡面平均分成了11块,故每块坡面长为50m,为减少投资,应用6 块坡面种花,5块坡面种草. ∴公路局要将这块坡地美化最小需投资6×50××15+5×50××20=9 500≈2.12×104(元).答:公路局要将这块坡地美化最小需投资2.12×104元.(提示:先确定种花、种草的块数,才能确定投资大小)8.解:作CD⊥AB,垂足为D. 设气球离地面的高度是xm.在Rt△ACD中,∠CAD=45°, ∴AD=CD=x.在Rt△CBD中,∠CBD=60°, ∴cos60°=.∴BD=x,∵AB=AD-BD,∴20=x-x. ∴x=30+10.答:气球离地面的高度是(30+10)m.。
人教版2018届九年级下《第28章锐角三角函数》检测卷含答案
第二十八章《锐角三角函数》检测卷时间：120分钟 满分：150分题号 -一- -二二 三四 五 六七八总分得分、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. tan30的值等于（ ）2.如图，在 Rt A ABC 中，/ C = 90° AB = 2BC ，贝U sinB 的值为（）33. 已知在 Rt △ ABC 中，/ C = 90 ° sinA = 3，则 cosB的值为（）A 三 B.3 C.5 D ・44455A . 30 °B . 60 °C . 90 °D . 120 ° A 5.在等腰厶 ABC 中，AB = AC = 10cm , BC = 12cm ，贝U co%的值是（）- 3 5A.”B.5C.4D.4 6. 如图，在边长为 1的小正方形组成的网格中，△ ABC 的三个顶点均在格点上，则 tan / ABC 的值为（） 3 3 10 BQ C W D . 17.如图，一河坝的横断面为等腰梯形 A BCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i = 1 : 1.5，则坝底AD 的长度为（）A . 26 米B . 28 米C . 30 米D . 46 米&如图，为了测得电视塔的高度 AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔顶 端A 的仰角为30°再向电视塔方向前进 100米到达F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60 °则这个电视塔的高度 AB 为（ ）B FC 迪 C. 3 3 D.2A.1B •乎 2 2□ AZ Z □ /\二-□4 .在△ ABC 中，若 si nA —+ cosB — 于=0，则/ C 的度数为（疔D . 1第6题图A. 50 ,3米B . 51 米C . （50 . 3 + 1）米D . 101 米9. 如图，O O的直径AB= 4, BC切O O于点B, OC平行于弦AD , OC= 5,贝U AD的110. 如图，在△ ABC 中，/ ACB = 90° AB = 10, tanA =-.点P 是斜边 AB 上一个动点,过点P 作PQ 丄AB ,垂足为P ,交边AC （或边CB ）于点Q.设AP = x ,A APQ 的面积为y ,则 y 与x 之间的函数图象大致为（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. _______________________________________________________ 在△ ABC 中，/ C = 90° AB = 13, BC = 5，贝U tanB = ______________________________________cos 0= _______ .13.如图，一艘轮船在小岛 A 的北偏东60。
新人教版初中九年级数学下册《三角函数测试》试题
三角函数测试一、选择题．1．如图，轮船航行到C 处时，观测到小岛B 的方向是北偏西35°，那么同时从B 观测到轮船的方向是（ ）．A ．南偏西35°B ．东偏西35°C ．南偏东55°D ．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题)2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m ，250m ，200m ，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（ ）．A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m ，则树在地面上影长h 的范围是（ ）．A ．5<h ≤10 B ．10≤h ≤10 C ．10<h<15D ．4．△ABC 中，AB=6，AC=3，则∠B 最大值是（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．无法确定 东北B C5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．A．42m B．（）m C．78m D．（30+8）m6．△ABC+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．B．4 C．D．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（）．A．B．C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC． 1.8D．1.8cot80°msin80︒9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（）．A．4sin54°B．4cos63°C．8sin27°D．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，•请你计算电线杆AB 的高为（ ）．A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为______m ．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，•根据图示数据得下底宽AD=______米． 北BA NC(第14题) (第15题) 15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A 、B 两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C10．D 11．D二、12．32 13．32+a 米 14．29.2 15．（） 16．（）mm 17．500（）m 三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B 在A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．60︒ 45︒B A C又∵在Rt△AOB中，tanA=OB，OA∴OB=OA·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．∴v=2即：乙船的速度约为10.0海里/小时．19．过点C作CD⊥AB于D，，这条公路不会穿过公园．。
2017-2018新人教版初中数学九年级下册《锐角三角函数》单元检测及答案-精品试题
第二十八章检测卷时间：120分钟 满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 1．cos60°的值等于（ ） A.12 B.22 C.32 D.322．如图，已知Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝15，则tan A 的值为（ ） A.817 B.1517 C.815 D.1583．如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7，则树高BC 为(用含α的代数式表示)（ ）A ．7sin αB ．7cos αC ．7tan α D.7tan α第2题图第3题图4．已知在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为（ ）A.43B.45C.54D.345．已知α为锐角，且2cos(α－10°)＝1，则α等于（ ） A ．50° B．60° C．70° D．80° 6．将如图所示三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD ∥AB ，则∠α的正弦值为（ ）A.12B.32C.22D ．1第6题图7．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，则cos A2的值是（ ）A.35B.45C.34D.548．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则sin∠ABC 的值为（ ）A.35B.34C.105D ．1 9．已知∠A 是锐角，且sin A ＝35，那么锐角A 的取值范围是（ ）A ．0°＜∠A ＜30° B．30°＜∠A ＜45° C ．45°＜∠A ＜60° D．60°＜∠A ＜90°10．如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P ，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是（ ）A ．72海里/时B ．73海里/时C ．76海里/时D ．282海里/时第10题图第11题图第12题图11．如图，已知∠α的一边在x 轴上，另一边经过点A (2，4)，顶点为B (－1，0)，则sin α的值是（ ）A.25B.55C.35D.4512．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，如果AB ＝5，BC ＝8，sin B ＝45，那么tan∠CDE 的值为（ ）A.12B.33C.22D.2－1二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 13．tan60°＝ .14．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则tan B ＝ . 15．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，若sin A ＝32，cos B ＝12，则∠C ＝ . 16．菱形的两条对角线长分别为16和12，较长的对角线与菱形的一边的夹角为θ，则cos θ＝ .17．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧AB ︵上的一点(不与A 、B 重合)，则sin C 的值为 ．第17题图第18题图18．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，过点C 作CD 1⊥AB 于D 1，过点D 1作D 1D 2⊥BC 于D 2，过点D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，则D 2D 3＝ ，这样继续作下去，线段D n D n ＋1＝ .三、解答题(本题共8小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19．(10分)计算：(1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°；(2)tan 260°－2sin45°＋cos60°.20．(10分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，CD ⊥AB ，垂足为D ，求sin∠ACD 和tan∠BCD 的值．21．(10分)根据下列条件解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝83，∠A＝60°；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝36，b＝9 2.22．(10分)测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)．(1)若已知CD＝20米，求建筑物BC的高度；(2)若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．23．(12分)已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0. (1)试判断△ABC 的形状；(2)求(1＋sin A )2－2cos B －(3＋tan C )0的值．24．(12分)某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A ，B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB ＝4米，求该生命迹象所在位置C 的深度(结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，3≈1.7)．25．(12分)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC .若CD ＝3，BD ＝26，sin∠DBC ＝33，求对角线AC 的长．26．(14分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出船A与船C、观测点D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?答案1．A 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A 9.B10．A 11.D 12.A13. 3 14.125 15.60° 16.45 17.3518.338 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1 解析：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，则CD 1＝32；进而在△CD 1D 2中，有D 1D 2＝32CD 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，同理可得D 2D 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝338，…，则线段D n D n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1.19．解：(1)原式＝3×33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2×32＝3＋12－3＝12；(5分)(2)原式＝(3)2－2×22＋12＝3－2＋12＝72－ 2.(10分) 20．解：∵∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴AB ＝5.(2分)∵CD ⊥AB ，∴∠ADC＝∠BDC ＝90°，∴∠B ＋∠BCD ＝90°，∠A ＋∠ACD ＝90°.又∵∠BCD ＋∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ，(6分)∴sin∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝45，tan∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝34.(10分) 21．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝43；(5分) (2)∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝6 6.(10分)22．解：(1)在Rt△BCD 中，∵∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝20米．(3分)答：建筑物BC 的高度为20米；(4分)(2)设CD ＝BC ＝x 米，∴AC ＝(x ＋5)米．(5分)在Rt△ACD 中，tan∠ADC ＝AC CD ＝5＋xx≈1.2，解得x ≈25，经检验x ≈25符合题意．(9分) 答：建筑物BC 的高度约为25米．(10分)23．解：(1)∵(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝32，(2分)∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∴∠C ＝180°－45°－60°＝75°，(5分)∴△ABC 是锐角三角形；(6分)(2)∵∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝75°，∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋222－212－1＝12.(12分)24．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D .设CD ＝x 米．(2分)在Rt△ADC 中，∠DAC ＝25°，tan∠DAC ＝CD AD ，所以AD ＝CD tan25°≈x0.5＝2x (米)．(5分)在Rt△BDC 中，∠DBC ＝60°，tan∠DBC ＝CD BD ，即tan60°＝x 2x －4＝3，解得x ＝4323－1≈3.(11分)答：该生命迹象所在位置C 的深度约为3米．(12分)25．解：如图，过点D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，则∠E ＝90°.(1分)∵sin∠DBC ＝33，BD ＝26，∴DE ＝BD ·sin∠DBC ＝22，∴BE ＝BD 2－DE 2＝4.∵CD ＝3，∴CE ＝CD 2－DE 2＝1，∴BC ＝BE －CE ＝3，∴BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB .(6分)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD .同理AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．(9分)连接AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝6，(10分)∴OC ＝BC 2－BO 2＝3，∴AC ＝2 3.(12分)26．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB 与点E ，设AE ＝x 海里．(1分)在Rt△AEC 中，∠CAE ＝60°，∴CE ＝AE ·tan60°＝3x 海里，AC ＝AEcos60°＝2x 海里．(2分)在Rt△BCE中，∠CBE ＝45°，∴BE ＝CE ＝3x 海里．∵AB ＝AE ＋BE ＝100(3＋1)海里，∴x ＋3x ＝100(3＋1)，解得x ＝100.∴AC ＝200海里．(5分)在△ACD 中，∠DAC ＝60°，∠ADC ＝75°，则∠ACD ＝45°.过点D 作DF ⊥AC 于点F .设AF ＝y 海里，则AD ＝AFcos60°＝2y海里，CF ＝DF ＝AF ·tan60°＝3y 海里．(7分)∵AC ＝AF ＋CF ＝200海里，∴y ＋3y ＝200，解得y ＝100(3－1)，∴AD ＝2y ＝200(3－1)海里．(9分)答：A 与C 之间的距离AC 为200海里，A 与D 之间的距离AD 为200(3－1)海里；(10分)(2)由(1)可知DF ＝3AF ＝3×100(3－1)≈126(海里)．(12分)∵126海里＞100海里，∴巡逻船A 沿直线AC 航行去营救船C ，在去营救的途中没有触暗礁危险．(14分)。
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人教版九年级下册数学第28章锐角三角函数单元检测卷-＞选择题（每小题3分；共33分）1. 计算5sin30o+2cos245°-tan260°的值是（）厂 1 1A. &B. -C.-—D.1v 2 2【答案】B【解析】试题分析：根据特殊角的锐角三角函数值计算即可得到结果.5sin30°+2cos245°-tan260°一丄十2x（2^':一"岳：-l-b2xl-3 -丄■ ■ ■ ■ ■故选B.考点：特殊角的锐角三角函数值点评：计算能力是学生必须具备的基本能力，中考中各种题型中均会涉及到计算问题，因而学生应该努力提升白己的计算能力.2. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：不，堤高BC=10m,则坡面AB的长度是（）BA. 15mB. 20^3mC. 20mD. logm【答案】C【解析】试题分析：RtZ\ABC中,BC=10m, tanA=l:^3；AC=BC-rta nA=10^/3 m, ・・.AB二Jio' + UO 间2 = 20m. 故选：C 考点：解直角三角形 3.在RtAABC中，ZC=90°,当已知ZA和a时，求c,应选择的关系式是（） a a aA. c = -------B. c = ----------------------------C. ata nAD. c = -------------------sinA cosA tanA【答案】A【解析】在RtAABC中，ZC=90°,. aAsinA=-,a/• c ——sinA故选A.【点睛】本题主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解.4. 在RtAABC 中，ZC=90^, c=5, a=4,则sinA 的值为( )3 4 3 4A. —B.—C. —D. -5 5 4 3【答案】BQ 4【解析】由锐角三角函数的定义，sin/! = - = -，所以选B学壬科¥网…学¥科¥网…学¥科¥网…学¥科c 5¥网…学¥科¥网…学¥科¥网…学¥科¥网…学¥科¥网…5. 在RtAABC 中,ZC=90°,下列等式:(1) sin A=sin B； (2) a=c sin B； (3) sin A=tan A cos A； (4) sin2A+cos2A =1.其中一定能成立的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B・・A計• n P人打 4 A甜• sinA= —, sinB= — , cosA= — , tanA二一, <•r r h.•.sinAHsinB,所以(1)错误;a=c-sinA,所以(2)错误；VtanA-cosA= —• — =sinA,所以(3)正确;h rsin2A+cos2A= ( — ) 2+ ( — ) 2= =1,所以(4)正确.故选B.6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、0为格点，贝ij tanZAOB=( )【答案】A【解析】过点A 作AD 丄0B 垂足为D, 如图，在直角AABD 屮，AD=1, 0D=2,则 tanZAOB —=-, OD 27.如图，在RtAABC 中，ZC=90°, AM 是BC 边上的中线，sinZCAM=-,则tanB 的值为（4 D. 3【答案】B设 CM=3x,则 AM=5x,根据勾股定理得：AC=^AM 2-CM 2^4x,又M 为BC 的中点，/. BC=2CM=6x,z z |AC 4x 2在 RtAABC 中，tanB=——=—=一，BC 6x 3 故选B.8.如图，一艘轮船在B 处观测灯塔A 位于南偏东50。
人教版2018届九年级下《第28章锐角三角函数》检测卷含答案
人教版 2018 届九年级下册单元检测试卷含答案 .第二十八章《锐角三角函数》检测卷题号时间：一二 120 分钟三 四满分：五 六150 分七 八总分得分一、选择题(本大题共10 小题，每题4 分，满分 40 分 )1． tan30 的°值等于()1 23 3A. 3B. 2C. 3D.22．如图，在Rt △ ABC中，∠ C ＝90°， AB ＝ 2BC ，则 sinB 的值为 ()A. 1B. 2C. 3D ． 12 2 2第 2 题图 第 6 题图第 7 题图3．已知在 Rt △ABC 中，∠ C ＝ 90°，sinA ＝ 3，则 cosB 的值为 ()47 3 3 4 A. 4B. 4C.5D. 5132＝ 0，则∠ C 的度数为 ( )4．在△ ABC 中，若 sinA － 2＋cosB － 2 A ． 30° B ． 60° C ． 90° D ． 120 °A )5．在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 10cm ， BC ＝ 12cm ，则 cos 的值是 (23 4 3 5 A. 5B.5C.4D.46．如图，在边长为1 的小正方形构成的网格中，△ABC 的三个极点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为 () 3310A. 5B.4C. 5 D ． 1坡度 7．如图，一河坝的横断面为等腰梯形 i ＝ 1∶ 1.5，则坝底 AD 的长度为 ()ABCD ，坝顶宽10 米，坝高12 米，斜坡AB 的A ． 26 米B ． 28 米C ． 30 米 8．如图，为了测得电视塔的高度端 A 的仰角为30°，再向电视塔方向行进D ． 46 米AB ，在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD100 米抵达 F 处，又测得电视塔顶端测得电视塔顶A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB 为 ()A ． 50 3米B ． 51 米C ．(50 3＋ 1)米D ．101 米9．如图，⊙ O 的直径 AB ＝ 4，BC 切⊙ O 于点 B ， OC 平行于弦AD ，OC ＝ 5，则 AD 的长为 ()68723A. 5B.5C. 5D.5110．如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AB＝ 10， tanA＝2.点 P 是斜边 AB 上一个动点，过点P 作 PQ⊥ AB，垂足为P，交边AC(或边CB)于点Q.设 AP ＝x，△ APQ的面积为y，则y 与x 之间的函数图象大概为()二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，满分20 分)11．在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AB＝13， BC＝ 5，则 tanB＝ ________．12．菱形的两条对角线长分别为16 和 12，较长的对角线与菱形的一边的夹角为θ，则cosθ＝ ________．13．如图，一艘轮船在小岛行 3 小时后抵达小岛的北偏西A 的北偏东 60°方向距小岛 8045°的 C 处，则该船行驶的速度为海里的 B 处，沿正西方向航____________海里 /时．14．规定： sin( － x)＝－ sinx， cos(－ x)＝ cosx， sin(x＋ y)＝ sinx· cosy＋ cosx·siny.据此判断以下等式建立的是__________( 填序号 ) ．① cos(－ 60°)＝－1；② sin75 °＝6＋2；③ sin2x＝ 2sinx·cosx；④ sin(x－ y)＝ sinx·cosy－24cosx·siny.三、 (本大题共 2 小题，每题8 分，满分 16 分 )15．计算：(1)3tan30 ＋°cos245°－ 2sin60 ；°(2)tan 260°－ 2sin45 ＋°cos60 °.16．依据以下条件解直角三角形：(1)在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， c＝83，∠ A＝ 60°；(2)在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， a＝ 3 6， b＝ 9 2.四、 (本大题共 2 小题，每题8 分，满分16 分 )17．巢湖为我国五大淡水湖之一，是皖中有名的旅行胜地．如图，某同学欲丈量巢湖的东西向长度，于是他选择了巢湖沿岸三个地址A，B，C，并测得 B，C 两地直线距离为40km ，∠ A＝ 45°，∠ B＝ 30°，求巢湖东西向长度AB(结果精准到0.1km ，参照数据：3≈ 1.73) ．18.某校数学课题学习小组在“丈量教课楼高度”的活动中，设计了以下两种方案：课题丈量教课楼高度方案一二图示测得CD ＝ 6.9 米，∠ ACG＝ 22°，EF ＝ 10 米，∠ AEB＝ 32°，数据∠ BCG＝ 13°.∠AFB ＝ 43°.参照sin22 ≈°0.37， cos22 °≈0.93，sin32 ≈°0.53， cos32 °≈0.85，tan22 ≈°0.40，sin13 ≈°0.22，tan32 ≈° 0.62，sin43 ≈°0.68，数据cos13 °≈ 0.97， tan13 ≈°0.23.cos43 °≈ 0.73， tan43 ≈°0.93.请你选择此中的一种方法，讨教课楼的高度( 结果保存整数 )．五、 (本大题共 2 小题，每题10 分，满分 20 分 )BC 319．如图，在△ ABD 中， AC⊥ BD 于点 C，CD＝2，点 E 是 AB 的中点， tanD＝2， CE ＝1，求 sin∠ ECB 的值和 AD 的长．20．将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平搁置的长方体容器中，当容器中的牛奶恰好接触到点P 时停止倒入．图②是它的平面表示图，请依据图中的信息，求出容器中牛奶的高度 (结果精准到0.1cm，参照数据：3≈ 1.73，2≈ 1.41) ．六、 (此题满分12 分 )21．如图，在四边形ABCD 中，∠ BCD 是钝角， AB＝AD ，BD 均分∠ ABC.若 CD ＝3，3BD ＝ 2 6， sin∠ DBC ＝3，求对角线AC 的长．七、 (此题满分12 分 )22．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间丈量位于烈山山顶的炎帝塑像高度，如图，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高 857.5 尺，组员从山脚 D 处沿山坡向着塑像方向行进 1620 尺抵达 E 点，在点 E 处测得塑像顶端 A 的仰角为60°，求塑像AB 的高度．八、 (此题满分14 分 )23．如图，在南北方向的海岸线MN 上，有 A、B 两艘巡逻船，现均收到故障船 C 的求救信号．已知A、B 两船相距100( 3＋ 1)海里，船 C 在船 A 的北偏东60°方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观察点 D ，测得船C 正幸亏观察点D 的南偏东 75°方向上．(1)分别求出 A 与 C、A 与 D 之间的距离AC 和 AD(假如运算结果有根号，请保存根号)；(2)已知距观察点 D 处 100 海里范围内有暗礁，若巡逻船 A 沿直线 AC 航行去救援船C，在去救援的途中有无触暗礁危险(参照数据：2≈ 1.41，3≈ 1.73)?参照答案与分析1． C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.D 8.C9．B分析：连结 BD.∵AB 是⊙ O 的直径， AB＝ 4，∴∠ ADB ＝90°，OB＝ 2.∵OC∥ AD，OB∴∠ A ＝∠ BOC ，∴ cosA ＝ cos ∠ BOC.∵ BC 切⊙ O 于点 B ，∴ OB ⊥ BC ，∴ cos ∠ BOC ＝OC ＝ 2 2 AD 8 .应选 B.5 ，∴ cosA ＝ cos ∠ BOC ＝ .又∵ cosA ＝ ， AB ＝ 4，∴ AD ＝5 AB 510．B分析：当点 Q 在 AC 上时，∵在 Rt △ APQ 中， tanA ＝1， AP ＝ x ，∴ PQ ＝1x ，2 21 1 1 12上时，∵ AP ＝ x ，AB ＝ 10，∴ BP ＝ 10－ x.在 Rt △ BPQ∴ y ＝AP ·PQ ＝x ·x ＝ x；当点 Q 在 BC22 24中， tanB ＝AC＝ 1 ＝ 2，∴ PQ ＝2BP ＝20－ 2x ，∴ y ＝ 1AP ·PQ ＝1x(20－ 2x)＝－ x 2＋ 10x ，∴ BC tanA 2 2该函数图象前半部分是抛物线，张口向上，后半部分也为抛物线，张口向下，而且当 Q 点 在 C 时， x ＝ 8，y ＝16.应选 B.12440＋ 40 311. 5 12.5 13.314．②③④分析： cos( － 60 °)＝ cos60 °＝1，故①错误；sin75 °＝ sin(30 °＋ 45°)＝2sin30 ·°cos45 °＋ cos30 °·sin45 ＝° 1× 2＋ 3× 2＝ 2＋ 6＝ 2＋ 6，故②正确； sin2x ＝sin(x2 2 2 2 44 4＋ x)＝ sinx ·cosx ＋ cosx ·sinx ＝ 2sinx ·cosx ，故③正确；＝ sinx ·cosy － cosx ·siny ，故④正确．故答案为②③④sin(x － y) ＝ sinx ·cos(－ y)＋ cosx ·sin( － y).15．解： (1)原式＝ 3×3 2 2 － 2×3 1 1.(4 分 ) ＋2＝ 3＋ －3＝3222(2)原式＝ ( 3)2－ 2× 2＋1＝ 3－ 2＋ 1＝ 7－ 2.(8 分 ) 2 2 2 216．解： (1)∠ B ＝30°， a ＝ 12， b ＝ 4 3.(4 分 )(2)∠ A ＝30°，∠ B ＝60 °， c ＝ 6 6.(8 分 )17．解：过点 C 作 CD ⊥AB 于点 D ，∴∠ ADC ＝∠ BDC ＝ 90°.(1 分 )∵在 Rt △ BDC 中，∠ B ＝ 30°， BC ＝ 40km ，∴ CD ＝ BC ·sinB ＝ 40× 12＝ 20(km) ， BD ＝ BC ·cosB ＝ 40× 23＝ 20 3(km) ． (4 分) ∵在 Rt △ ADC 中，∠ A ＝ 45°， CD ＝ 20km ，∴ AD ＝ CD ＝ 20km ，∴ AB ＝AD ＋ BD ＝ 20＋ 20 3≈ 54.6(km) ．(7 分 )答：巢湖东西向长度 AB 大概是 54.6km.(8 分)18．解：若选择方法一，解法以下：∵在 Rt △ BGC 中，∠ BCG ＝ 13°， BG ＝ CD ＝ 6.9米， tan ∠ BCG ＝ BG ，∴ CG ＝ BG≈ 6.9 ＝ 30(米 )． (3 分 )∵在 Rt △ ACG 中，∠ ACG ＝ 22°，CG tan13 °0.23AGCG ≈ 30 米， tan ∠ ACG ＝ CG ，∴ AG ＝ CG × tan22 °≈ 30×0.40＝ 12(米 )， (6 分 )∴ AB ＝ AG ＋BG ＝ 12＋ 6.9≈ 19(米 )． (7 分 )答：教课楼的高度约为19 米． (8 分)若选择方法二， 解法以下： ∵在 Rt △ AFB 中，∠ AFB ＝ 43°，tan ∠ AFB ＝AB，∴ FB ＝ ABFB tan43 °≈ AB .(3 分 )∵在 Rt △ ABE 中，∠ AEB ＝ 32°，tan ∠ AEB ＝AB，∴EB ＝AB≈AB.(5 分 )∵ EF0.93EBtan32 °0.62＝ EB － FB ＝ 10 米，∴ 0AB.62－ 0AB.93＝ 10，∴ AB ≈ 19 米． (7 分 )答：教课楼的高度约为 19 米． (8 分)19．解：∵ AC ⊥ BD ，∴∠ ACB ＝∠ ACD ＝90°.∵点 E 是 AB 的中点， CE ＝ 1，∴ BE ＝BC ＝ 3，∴设 BC ＝ 3x ， CD ＝ 2x.在 Rt △ ACDCE ＝1， AB ＝ 2CE ＝ 2，∴∠ B ＝∠ ECB .(3 分 )∵CD 2AC22中， tanD ＝2，∴ CD ＝ 2，∴ AC ＝ 4x.在 Rt △ ACB 中，由勾股定理得 AB ＝ AC ＋BC ＝ 5x ，∴ sin ∠ECB ＝ sinB ＝AC＝4分 ) 由 AB ＝ 2 ， 得 2， ∴AD ＝ AC 2＋ CD 2 ＝AB5 .(7 x ＝ 5222 4 5（ 4x ） ＋（ 2x ） ＝ 2 5x ＝ 2 5× 5＝5 .(10 分 )20．解：过点 P 作 PN ⊥ AB 于点 N.(1 分 )由题意可得∠ APB ＝∠ 90°，ABP ＝ 30°， AB ＝3cm.(4 分 )∵ S △ APB ＝ 1 1 AP ·BP 8cm ，∴ AP ＝4cm ，BP ＝AB ·cos30 °＝ 4 2AB ·PN ＝2AP ·BP ，∴PN ＝ AB4×43＝＝ 2 3(cm)， (8 分 )∴ 9－ 2 3≈ 5.5(cm) ． (9 分 )答：容器中牛奶的高度约为5.5cm.(10 分 )21．解：如图，过点 D 作 DE ⊥ BC 交 BC 的延伸线于点 E ，(1 分) 则∠ E ＝90°.∵在 Rt △BDE32 2中， sin ∠ DBC ＝ 3 ，BD ＝2 6，∴ DE ＝ 2 2，∴ BE ＝BD － DE ＝ 4.∵在 Rt △ CDE 中，CD ＝ 3，DE ＝ 2 2，∴ CE ＝ CD 2－ DE 2＝ 1，∴ BC ＝ BE － CE ＝ 3，∴ BC ＝CD ，∴∠ CBD ＝ ∠ CDB .(4 分 )∵ BD 均分∠ ABC ，∴∠ ABD ＝∠ CBD ，∴∠ ABD ＝∠ CDB ，∴ AB ∥CD .同理1AD ∥ BC ，∴四边形ABCD 是菱形． (7 分 )设 AC 交 BD 于 O ，则 AC ⊥ BD ， AO ＝ CO ＝2AC ，16， (10 分 )∴ OC ＝2 2 ＝3，∴ AC ＝ 2OC ＝23.(12 分 )BO ＝ DO ＝ BD ＝BC － BO 222．解：过点 E 作 EF ⊥AC ，EG ⊥ CD ，垂足分别为点F ， G.(1 分 )∵在 Rt △ DEG 中，1DE ＝ 1620 尺，∠D ＝ 30°，∴EG ＝ DE ·sinD ＝ 1620× 2＝ 810(尺 )．(3 分 )由题意可得 BC ＝ 857.5 尺，CF ＝ EG ＝ 810 尺，∴ BF ＝ BC － CF ＝ 857.5－ 810＝47.5(尺 )．∵在 Rt △ BEF 中，tan ∠ BEF＝BFEF ，∠ BEF ＝ 30°，∴EF ＝ 3BF.(7 分 )设 AB ＝ x 尺．∵在 Rt △ AEF 中，∠ AEF ＝60°，tan ∠ AEF＝ AF，∴ AF ＝ EF ·tan ∠AEF ＝ 3EF ＝3BF ，∴ x ＋ 47.5＝ 3× 47.5，∴ x ＝ 95.(11 分) EF答：塑像 AB 的高度为 95 尺． (12 分 )23．解： (1)如图，过点 C 作 CE ⊥ AB ，垂足为点 E ，过点 D 作 DF ⊥ AC ，垂足为点 F.(2AE 分 )设 AE＝ x 海里．在 Rt△AEC 中，∠CAE＝ 60°，∴ CE＝AE ·tan60 °＝3x 海里，AC＝cos60°＝ 2x 海里． (4 分 )在 Rt△BCE 中，∠ CBE＝45°，∴ BE＝ CE＝3x 海里．∵ AB＝ AE＋ BE＝100( 3＋ 1)海里，∴ x＋3x＝100( 3＋ 1)，解得 x＝100.∴ AC＝200 海里．(6 分 )在△ ACD 中，∠DAC ＝ 60°，∠ ADC＝ 75°，则∠ ACD＝ 45°.设 AF ＝y 海里．在 Rt△ AFD 中，∠ DAF ＝ 60°，∴ AD ＝ 2y 海里，DF ＝ 3y 海里．在 Rt△ CFD 中，∠ DCF ＝ 45°，∴ CF＝ DF ＝3y 海里．∵ AC ＝ AF ＋ CF＝ 200 海里，∴y＋ 3y＝ 200，解得 y＝100(3－ 1)，∴ AD ＝2y＝ 200(3－ 1)海里．(9分 )答：A 与 C 之间的距离 AC 为 200 海里， A 与 D 之间的距离 AD 为 200(3－ 1)海里． (10分 )(2)没有． (11 分 ) 由(1) 可知 DF ＝ 3AF ＝ 3× 100( 3－1) ≈127(海里 )． (13 分 )∵ 127海里＞ 100 海里，∴巡逻船 A 沿直线 AC 航行去救援船C，在去救援的途中没有触暗礁危险．(14分 )。
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第二十八章质量评估试卷[时间：90分钟 分值：120分]一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，则sin A 的值为( C ) A.34 B.43 C.35 D.45【解析】 ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴AB ＝5，∴sin A ＝BC AB ＝35.故选C. 2．在tan45°，sin60°，3.14，π，0.101 001中，无理数的个数是( A ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．[2013·佛山]如图1，若∠A ＝60°，AC ＝20 m ，则BC 大约是(结果精确到0.1 m)( B )A ．34.64 mB ．34.6 mC ．28.3 mD ．17.3 m图1 图24．如图2所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，堤高BC ＝5 m ，则坡面AB 的长度是( A ) A ．10 m B ．10 3 m C ．15 m D ．5 3 m【解析】 河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，即BCAC ＝1∶3，∴∠BAC ＝30°，∴AB ＝2BC ＝2×5＝10(m)，故选A.5．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，则cos A2的值是( A )A.45B.35C.34D.54【解析】 过A 作AD ⊥BC 于D ，由于AB ＝AC ，则BD ＝CD ＝6 cm ，AD ＝AB 2－BD 2＝102－62＝8(cm)，∴cos A 2＝AD AB ＝810＝45.6．在△ABC 中，已知∠A ，∠B 都是锐角，且sin A ＝32，tan B ＝1，则∠C 的度数为( A ) A ．75° B ．105° C ．60° D ．45°7．如图3，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′长3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( C )A ．60°B ．45°C ．15°D ．30°图3【解析】 在Rt △ABC 中，sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ＝45°.在Rt△AB ′C ′中，sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠C ′AC ＝60°－45°＝15°，故选C. 8．如果sin 2α＋sin 230°＝那么锐角α的度数是( D )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9．某资料曾记载一种计算地球与月球之间距离的方法，如图4，假设赤道上一点D 在AB 上，∠ACB ＝90°，可以测量∠A 的度数，则AB 等于( A )图4A.AC cos AB.cos AAC C.AC sin A D.sin A AC10. [2013·潍坊]如图5，一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( D )图5A ．103海里/小时B ．30海里/小时C ．203海里/小时D ．303海里/小时【解析】如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设AC ＝x 海里．在△ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝10°＋20°＝30°，AC ＝x 海里，∴CD ＝12AC ＝12x 海里，AD ＝3CD ＝32x 海里．在△BCD 中，∠BDC ＝90°，∠CBD ＝80°－20°＝60°，∴BD ＝33CD ＝36x 海里． ∵AD ＋BD ＝AB ， ∴32x ＋36x ＝20， 解得x ＝103，∴救援船航行的速度为：103÷2060＝303(海里/小时)．故选D.二、填空题(每小题4分，共28分)11．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝13，则AB ＝__6__．【解析】 ∵sin A ＝BC AB ，∴AB ＝BC sin A ＝213＝6. 12．在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC 方向开山修路(如图6所示)，为了加快施工速度，需要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD ＝140°，BD ＝1 000 m ，∠D ＝50°.为了使开挖点E 在直线AC 上，那么DE ＝__642.8__m ．(供选用的三角函数值：sin50°≈0.766 0，cos50°≈0.642 8，tan50°≈1.191 8)图6【解析】 DE ＝BD ·cos50°≈1 000×0.642 8≈642.8(m)．13．如图7，是一张宽为m的矩形台球桌ABCD，一球从点M(点M在长边CD 上)出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点．如果MC＝n，∠CMN＝α，那么P点与B点的距离为__m－n·tanαtanα__．图7 【解析】根据入射角等于反射角，得出∠BPN＝α.因为NC＝MC·tanα＝n·tanα，所以BN＝m－n·tanα，所以PB＝BN tanα＝m－n·tanαtanα.14. [2013·成都]如图8，某山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC的长为__100__米．图8图915．如图9，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是__35__米．【解析】∵i＝hl＝12，又l＝6米，∴h＝3米．∴斜坡上相邻两树间的坡面距离为32＋62＝9＋36＝45＝35(米)．16. 如图10，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD.如果AD＝1，那么tan∠BCD＝__2－1__．图10【解析】∠A＝45°，AD＝1，∴sin 45°＝22＝DEAD，∴DE＝2 2 .∵∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，∴AE＝DE＝CE＝22，∠ADC＝90°.∴BD＝AC－AD＝2－1.∴tan∠BCD＝BDCD＝2－1.故答案为2－1.17. 如图11，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望图11见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A、B之间的距离为__67.5海里．__(取3≈1.7，结果精确到0.1海里)．【解析】∵∠DBA＝∠DAB＝45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝12 AB，设DE＝x，则AB＝2x，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，则CE＝3DE＝3x，在Rt△BDE中，∠DBE＝45°，则DE＝BE＝x，由题意得，CB＝CE－BE＝3x－x＝25，解得：x＝25（3＋1）2故AB＝25(3＋1)＝67.5海里．故答案为：67.5.三、解答题(共62分)18．(6分)计算：(1)2sin30°＋cos60°－tan60°·tan30°＋cos245°；(2)14tan 245°＋1sin 230°－3cos 230°＋tan45°cos60°－sin45°cos45°. 解：(1)原式＝2×12＋12－3×33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1＋12－1＋12＝1.(2)原式＝14×12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋112－2222＝14＋4－94＋2－1＝3. 19．(6分)△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知c ＝83，∠A ＝60°，求∠B ，a ，b ； (2)已知a ＝36，∠A ＝30°，求∠B ，b ，c . 解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°，a ＝c sin A ＝c sin60°＝83×32＝12， b ＝c cos A ＝c cos60°＝83×12＝4 3. (2)∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°， c ＝a sin A ＝asin30°＝3612＝66，b ＝a tan A ＝atan30°＝3633＝9 2.图1220．(6分)如图12，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；然后沿河岸向前走30 m选取点B，并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮助计算小河的宽度．解：示意图如下：如图，过点C作CE⊥AD交AD于点E.由题意可得∠ACB＝∠CBE－∠CAD＝60°－30°＝30°，∴∠CAD＝∠ACB，∴BC＝AB＝30 m.在Rt△BEC中，∵sin∠CBE＝CE BC，∴CE＝BC·sin∠CBE＝30×32＝153(m)．答：小河的宽度为15 3 m.21．(8分)如图13，新星小学门口有一直线马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为4米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE＝15°和∠FAD＝30°.司机距车头的水平距离为0.8米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准(E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上)？(参考数据：tan15°＝2－3，sin15°＝6－2 4，cos15°＝6＋24，3≈1.732，2≈1.414)图13解：设AB＝x，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，tan∠ADB＝ABDB＝33，∴DB＝3x.在Rt△ABE中，∠AEB＝15°，tan∠AEB＝ABBE＝2－3，∴BE＝x2－3＝(2＋3)x，∴ED＝BE－DB＝(2＋3)x－3x＝4，∴x＝2，DB＝23，∴DC＝DB－BC＝23－0.8≈2.7>2，∴该车停车符合规定的安全标准．22．(8分)国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图甲，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2 001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1 200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图乙．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米？(结果保留整数，参考数值：3≈1.732，2≈1.414)图14解：设CF＝x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，∴BC＝CF＝x，CF＝tan 30°，即AC＝3x，AC∵AC－BC＝1 200，∴3x－x＝1 200，解得：x＝600(3＋1)，则DF＝h－x＝2001－600(3＋1)≈362(米)．答：钓鱼岛的最高海拔高度为362米．23．(8分)如图15，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB ＝20 m，求改造后的坡长AE.(结果保留根号)图15解：过点A 作AF ⊥CE 于点F ，在Rt △ABF 中，AB ＝20，∵sin α＝AF AB ，∴AF ＝20×32＝10 3.在Rt △AEF 中，∵sin β＝AF AE ，∴AE ＝10322＝106(m)24．(10分)如图16，为了测出某塔CD 的高度，在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测得塔顶D 的仰角为30°，在A ，C 之间选择一点B (A ，B ，C 三点在同一直线上)．用测角仪测得塔顶D 的仰角为75°，且AB 间的距离为40 m.(1)求点B 到AD 的距离；(2)求塔高CD (结果用根号表示)．图16解：(1)过点B 作BE ⊥AD 于点E ，∵AB ＝40 m ，∠A ＝30°，∴BE ＝12AB ＝20 m ，AE ＝AB 2－BE 2＝20 3 m ， 即点B 到AD 的距离为20 m ；(2)在Rt△ABE中，∵∠A＝30°，∴∠ABE＝60°，∵∠DBC＝75°，∴∠EBD＝180°－60°－75°＝45°，∴DE＝EB＝20 m，则AD＝AE＋EB＝203＋20＝20(3＋1)，在Rt△ADC中，∠A＝30°，∴DC＝AD2＝10＋10 3.答：塔高CD为(10＋103)m.25．(10分)如图17，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，(1)求证：CB∥PD；(2)若BC＝3，sin∠P＝35，求⊙O的直径．图17解：(1)证明：∵∠C ＝∠P ，又∵∠1＝∠C ，∴∠1＝∠P ，∴CB ∥PD ；(2)解：连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°又∵CD ⊥AB ，∴BC ︵＝BD ︵，∴∠P ＝∠CAB ，∴sin ∠CAB ＝35，即BC AB ＝35，又知BC ＝3，∴AB ＝5，∴直径为5.。