弯曲内力2
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《弯曲和弯曲内力》课件
04
弯曲的变形与应力
弯曲变形的概念
弯曲变形：物体在外力作用下产生的形状变化 弯曲应力：物体在弯曲变形过程中产生的内力 弯曲变形的分类：弯曲、扭转、弯曲扭转组合等 弯曲变形的影响因素：材料性质、截面形状、载荷大小等
弯曲变形的计算方法
弯曲变形：物体在外力作用下产 生的形状变化
应力：物体在外力作用下产生的 内部力
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正应力：垂直于截面的应力，与弯 曲变形有关
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弯曲内力的计算公式：σ=My/I， 其中σ为弯曲内力，M为弯矩，y 为截面高度，I为截面惯性矩
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截面惯性矩的计算公式： I=bh^3/12，其中b为截面宽度， h为截面高度
弯曲内力的分布规律
弯曲内力：在弯曲过程中，材料内部产生的应力 弯曲内力的分布：沿截面高度呈线性分布，最大内力位于截面中性轴上 弯曲内力的大小：与截面形状、材料性质、载荷大小等因素有关 弯曲内力的计算：通过弯曲应力公式进行计算，如欧拉-伯努利公式、铁木辛柯公式等
弯曲稳定性分析主要包括静力分 析和动力分析。
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弯曲稳定性分析是研究结构在受 到外力作用下，其形状和尺寸的 变化情况，以及这种变化对结构 的影响。
静力分析是研究结构在静力作用 下的稳定性，动力分析是研究结 构在动力作用下的稳定性。
弯曲稳定性的计算方法
弯曲内力计算：利用材料力 学公式，计算弯曲应力和弯 曲变形
弯矩的计算方法：弯矩可以通过公式M=Fx进行计算，其中F是作用在弯曲梁上的力，x 是力的作用点到中性轴的距离。
惯性矩的计算方法：惯性矩可以通过公式I=bh^3/12进行计算，其中b是弯曲梁的宽度， h是弯曲梁的高度。
弯曲内力2
B
RB
ql 2
Qx ql qx 0 x l
2
M x ql x qx2 0 x l
22
（2）依据方程作图
ql 2
Q ql max 2
M ql2 max 8
22
[例4] 作梁的内力图
q
A
RA ql 2
x
l
ql 2
Q
（3）总结
B
RB
ql 2
1
第四章 弯曲内力
§4–1 工程实际的弯曲问题 §4–2 剪力和弯矩 §4–3 剪力图和弯矩图 §4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
2
§4–1 工程实际的弯曲问题
一 工程实例
3
火车轮轴
桥式起重机大梁
4
二 受力、变形特点
弯曲
1 受力： 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用
2 变形： 轴线由直线
q
剪力Q
a
FA
3 2
qa
3qa 2
a
a
qa FB 2
qa 2
弯矩M
qa
3qa 2
2
2
qa2
2
qa2
35
2
[例4] 绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。
q
m1 qa2 m2 0.5qa2
a
a p qa
剪力Q 弯矩M
qa
qa2 2
qa2
qa2
2
2
36
[例5] 绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正；反之为负。
材料力学 弯曲内力图(2)
集中力偶
m C
Q
图 特 征
水平直线
Q Q Q
斜直线
Q x x
自左向右突变
Q Q 1 C x
无变化
Q C x
x
Q>0 Q<0
x
斜直线 M M2 图 x 与 x x x x x 特 m 征 M 反 M M1 M M M M 增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 向 M1 - M 2 = m
160
kNm
130
210
340
280
4.9 å m = 0
Ai
例题 &
解:(1)求支反力:
m=160kN
P=20kN q=20kN/m
A
ÞLeabharlann D B E
1 R = ( 20 ´ 12 + 20 ´ 10 ´ 7 - 160 ) = 148 kN ( -) B 10 å m Bi = 0 Þ 1 Y = ( 160 + 20 ´ 10 ´ 3 - 20 ´ 2 ) = 72 kN ( -) A 10 校核 : å Y OK ! ) i = Y A + R B - 20 ´ 10 - 20 = 0 (
（+） O
9a / 4
4a 4a
a F By 3
qa
＝ qa 4 当FS = 0时; x = 9a / 4; M max = 81qa 2 / 32
x 3．建立坐标系建立
（）
7qa / 4
O
81 qa 2 / 32
qa
FS－x和M－x坐标系
4．确定控制面上的剪 x 力值，并将其标在 FS－x中。 5．确定控制面上的 弯矩值，并将其标在 M－x中。
弯曲内力材料力学
弯曲内力 例 图示悬臂梁，受均布荷载q和集中 力偶M=qa2的作用。试建立梁的剪力 与弯矩方程，并作剪力与弯矩图。
解： 1、计算支反力
qa FCy qa； M C 2
2
q
A
M=qa2 B
FCy C
x1 a
x2 a
MC
FQ
一
x
qa
2、建立剪力方程和弯矩方程
FQ1 ( x) qx1 AB段 : qx12 M 1 ( x ) 2
6.2.2 剪力和弯矩的符号规定
弯曲内力
①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定： 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的 剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； F
Q
F
Q
FQ
剪力为负
FQ
剪力为正
②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使 梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩 为正)。
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平
面力系。
6.1.2 梁的计算简图
1.梁的简化
弯曲内力
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。 2.载荷的简化 (1)集中载荷
F1 q(x)
(2)分布载荷
任意分布载荷
集中力
q
(3)集中力偶
M
均布载荷
集中力偶
载荷集度：单位长度上的载荷大小。单位：N/m
1 q ( x) dx 2 0 2
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
利用剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系 绘制剪力、弯矩图
弯曲内力
1.微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处载荷集度的大小；弯矩图上某点 处的切线斜率等于该点剪力的大小。 2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：
材料力学第五章弯曲内力
2、判断各段Q、M图形状：
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
8-2弯曲内力—剪力和弯矩
mC M ( x2 ) RA x2 mC x2 mC l
dM ( x) 弯矩斜率： Q( x) dx
d 2 M ( x) dQ( x) 剪力斜率： 2 q ( x) dx dx
dM ( x) 弯矩斜率： Q( x) dx
d 2 M ( x) dQ( x) 剪力斜率： 2 q ( x) dx dx
依方程画出剪力图和弯矩图。
3.
a
M
b
A
FAY
x1
M /l
C
l
x2
B
FBY
图示简支梁C点受集中力偶作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力
M ＝0， M ＝0
A B
Mb / l
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
2．写出剪力和弯矩方程 FS x1 ＝M / l 0 x1 a AC
RA 14.5kN RB 3.5kN
Q RA q a 0
RA a 4.83m q
M max 1 2 R A (a 2) qa 6.04kN m 2
A
FS
Fb / l
Fa / l
FAy＝Fb/l
M ＝0， M ＝0
B
FBy＝Fa/l
2．写出剪力和弯矩方程 x FS x1 ＝Fb / l 0 x1 a AC
CB x
Fab/ l
M
M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
内力图的一些规律：
ch4 弯曲内力-2
A
m
F
x
M
A C
M
A
M FS x 0 M FS x Fx
剪力方程: 弯矩方程:
x
FS
FS F (0 x l )
M Fx (0 x l )
2013年12月10日星期二
例 4-4-1
[2]画出剪力弯矩图
F
FS F (0 x l )
M Fx (0 x l )
2013年12月10日星期二
例 4-4-5
例4-4-5 建立以下外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和 弯矩图（已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶M=3kNm）
q C A 2m
M
4m
D 2m
B
2013年12月10日星期二
例 4-4-5
[1]求约束反力
q C A 2m
FA
M
q 3kN/m M 3kN m
F A a l C b B
2013年12月10日星期二
例 4-4-2
计算反力
F
FA Fb / l
FB Fa / l
A a
C b l
B
FB
由于C点存在集中力，因此AC和CB段的剪力 FA 方程、弯矩方程并不一定相同。 取AC段中某截面左侧部分进行受力分析：
M1
FS 1 Fb / l (0 x a ) M 1 Fbx / l (0 x a )
F A a l C b B
Fb / l (0 x a ) 剪力方程： S F Fa / l (a x l ) Fbx / l (0 x a ) 弯矩方程： M Fa(l x) / l (a x l )
《弯曲和弯曲内力》课件
受力贡献
考虑各部分的受力 贡献
分析方法
分解为简单几何形 状进行分析
总结
不同截面形式下的弯曲分析涉及多种结构截面，每种截面具 有特定的抗弯性能。工程实践中需要根据实际情况选择合适 的截面形式，确保结构的稳定性和安全性。
● 03
第3章 弯曲构件的稳定性分 析
弯曲构件的稳定 性问题
弯曲构件在受到外力作用时可能出现稳定性问题。稳定性 分析是保证构件安全可靠的重要步骤，其中需要考虑截面 形状、材料性质和支座条件等因素。
第2章 不同截面形式下的弯 曲分析
矩形截面的弯曲 分析
矩形截面是常见的结构截面形式之一。通过计算惯性矩和 截面模量，可以分析矩形截面的抗弯性能。矩形截面的强 度和刚度受截面尺寸的影响较大。
矩形截面的弯曲分析
惯性矩计算
用于评估截面抗弯 能力
影响因素
尺寸对弯曲性能的 影响
截面模量计算
反映了截面抗弯刚 度
《弯曲和弯曲内力》PPT课 件
制作人： 时间：2024年X月
目录
第1章 弯曲和弯曲内力的基本概念 第2章 不同截面形式下的弯曲分析 第3章 弯曲构件的稳定性分析 第4章 弯曲构件的工程应用 第5章 弯曲构件的实际案例分析
● 01
第1章 弯曲和弯曲内力的基 本概念
弯曲的定义和应 力分布
弯曲是指受力构件在承受外力作用下产生的挠曲变形。弯 曲应力分布呈三角形状，最大应力出现在截面最远离中性 轴的位置。材料内存在拉应力和压应力。
截面模量
受力情况计算得到的参数
几何形状影响
不同形状的截面具有不同的性 能参数
选择合适形式
需根据具体情况进行合理选择
总结
弯曲和弯曲内力是结构力学中重要的概念，了解其基本原理 和分析方法对于工程设计和力学研究具有重要意义。通过本 章内容的学习，可以更深入地理解弯曲构件的受力特点和内 力分布规律。
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M
M q
m
Q
M
Q M
不列方程，Q、M图画法(最高级方法)：
●
求控制截面的内力值（口诀）
● 确定内力图形状（微分关系）
剪力——截面一侧所有竖向分力的代数和； “左上右下为正” •剪力符号:
+Q
-Q
弯矩——截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数 和；“左顺右逆为正” •弯矩符号: +M
-M
P A C D P B
2a
C
2
B
例: 不列方程，画Q、M图 解：（1）支反力
A
RA Q
a
RA RB qa
(2)作剪力图、弯矩图
3qa Q qa, QC Q 2
A B
RB
qa
M
qa 2
2
qa
2
qa
a qa M 极 RA a q a 2 2 M C RA 2a q 2a a 0
M(x)
M(x)+dM(x) Q(x)+dQ(x)
Q(x)
dx
•列平衡方程
Y 0 :
Q( x ) [ Q( x ) dQ( x )] q( x )dx 0
dQ( x ) q( x ) dx
q(x)
c
M(x) Q(x)
M(x)+dM(x) Q(x)+dQ(x) 高阶微量
dx
Mc 0 :
dx [ M ( x ) dM ( x )] M ( x ) Q( x ) dx q( x )dx 0 2 dM ( x ) Q( x ) dx 对上式求导得：
d 2M ( x ) dx 2 dQ( x ) q( x ) dx
•归纳
C
D
a
P
RAx P , RAy RBy P 2
（2）作图
Pa
a
A RA x
B
+
N图
P2
P 2
P2
+
P
Pa Pa
RA y
RB y
N max P 2 Q max P
Q图
M图
M max Pa
叠加法作弯矩图、剪力图。
P
A x
q
B
YB
MB
l
YB P ql 反力： 1 2 M B Pl ql 2 Q( x ) P qx 内力： 1 2 M ( x ) Px qx 2
两种荷载单独作用效应之和
若干荷载单独作用效应之和与它们共同作用 的效应相同（前提：小变形）。
叠加原理：
例：用叠加法作M图。
A
ql / 4
B l/2 l/2
q
C
l/2
ql 2 / 32
D
Mq
ql 2 / 8
MP
ql 2 / 16
M图
ql 2 / 8
ql 2 / 32
习题
4-3（b)、(c)
4-5（b）、（d） 、（f） 4-6（b)、（d） 4-8 (b)、(d)
例: 不列方程，画Q、M图 解：（1）支反力
a
Q RA
2a
a
RB
RA RB P 2
(2)作剪力图、弯矩图
QA QC P 2, QC P 2
P2
M
P2
P 2 Pa 2
M C Pa 2, M中 0
Pa 2
Q max P 2 M max Pa 2
q
qa
①
dQ ( x ) q( x ) dx
Q图曲线的切线斜率为q(x)
②
dM ( x ) Q( x ) dx
M图曲线的切线斜率为Q(x)
③
d M( x ) dx 2
2
q( x )
M图曲线的凹凸向与q(x)符号有关
q Q
P
Q
1. q=0 的区间,Q 水平直线, M为斜直线; Q>0,M的斜率为正， Q<0,M的斜率为负。 2.q为常数 (向下)的区间, Q 为斜向下的直线, M为向上凸的曲线。 Q=0 的位置对应于 M图 上的极值点位置 。 3.集中力 P 作用点剪力图 有突变, 突变值等于 P , 弯矩图有转折。 4.集中力偶 M 作用点,弯矩 图有突变, 突变值等于M。
qa 22ຫໍສະໝຸດ MC RA 2a q 2a a qa 2
Q max qa
M max qa
2
刚架的内力图
刚架和曲杆可看作折线或曲线的梁，内力的计算和剪力 弯矩图的作法原理上与横梁相同。剪力的正负仍以横截面为 基准判断，正弯矩画在受压一侧。 2a
例：作刚架的内力图
解：（1）支反力
§4-4 弯矩、剪力荷载集度间的微分关系
确定M(x)、Q(x)、q(x)的联系，正确、方便画出内力图。
1. 微分关系
y A x dx q(x) B
•取典型微段
q(x)
x
M(x) Q(x)
c
M(x)+dM(x)
Q(x)+dQ(x)
l
dx
q(x) 在 dx 上看成是均布， 所有力按正向画出。
q(x) c