资产组合理论2

2020/6/24
投资学第4章1
p＋ 2 1 2
)r2
r1
1
r2
2
p
r1
1
r2
2
2
r2
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投资学第4章
同理可证
当w1
2 1 2
时,
p (w1)
(1
w1) 2
w1
，则
1
rp (
p)
r1
1
r2
2
p
r1
1
r2
2
2
r2
命题成立，证毕。
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第三章
马科威茨资产组合理论
第三节 最优组合选择
—— 阐述投资者如何建立适合 自己的最优风险资产组合
—— 投资范围中不包含无风险 资产
一、基本假设
❖ 投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资 ❖ 投资者根据收益率的期望值和方差来评价和选择
资产组合 ❖ 投资者是风险规避的，追求期望效用最大化 ❖ 所有投资者处于同一单一投资期
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投资学第4章
1 0 0
由于 0 0
1 0
0 1
r =(11, 2, 3)T , c 2
L
w1
3
w j1 j
j 1
r1
w1
0
L
w2
3
w j 2 j
j 1
r2
w2 2
0
L
w3
3
w j 3 j
j 1
r3
w2 3
0
3
wiri w1 2w2 3w3 2
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投资学第4章
❖ 命题3.1：完全正相关的两种资产组合的可行 集是一条直线
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投资学第4章
结论：组合收益是组合风险的线性函数
收益 Erp
(r1,1)
2020/6/24
(r2 , 2 )
投资学第4章
风险σp
命题3.2：完全负相关的两种资产组合的可行集 是两条直线(一条折现)
❖ 均值-方差模型建立的目的是寻找有效边界
❖ 这是一个优化问题，即
给定收益的条件下，风险最小化
给定风险的条件下，收益最大化
❖ 马科维茨模型是以资产权重为变量的二次规划问题，
采用微分中的拉格朗日方法求解。在限制条件下使
组合风险最小时的最优投资比例。
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投资学第4章
路径
❖ 从经济学的角度分析，就是投资者预先确 定一个期望收益率，然后确定组合中每种 资产的权重，使其总体投资风险最小
i1
3
2020/6/24 i1
wi
w1 w2
w3 1
投资学第4章
0 1/3
w1 1/ 3 w2 1/ 3 w3 1/ 3 由此得到组合的方差为： 2 1
3
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投资学第4章
四、最优风险资产组合（optimal risky portfolio）的确定
最优投资组合：指某投资者在可以得到的各种可 能的投资组合中，唯一可获得最大效用期望值的 投资组合
ρ=-1
(r1,1)
ρ=1
(r2 , 2 )
投资学第4章
ρ=0
风险σp
（二）三种风险资产组合的可行集
❖ 一般，当资产数量较多时，要保证资产间两两完全 相关不可能。因此，一般假设两种资产不完全相关。
收益rp
3 4
2
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1
投资学第4章
风险σp
（三）n种风险资产组合的可行集
❖ 类似于3种资产组合的情形
投资学第4章
完全负相关的两种证券组合的可行集图示
收益rp
(r1,1)
r1 1
r2
2
2
r2
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(r2 , 2 )
投资学第4章
风险σp
3、不完全相关的两种资产组合的可行集
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投资学第4章
不同相关程度的两种风险资产组合的可行集
收益Erp
r1 1
r2
2
2
r2
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❖ 在不同的期望收益率水平下，得到相应的 使方差最小的资产组合解，这些解构成了 最小方差组合集合
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投资学第4章
例：特定期望收益的最小方差组合的计算
min s.t.
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n
n
wi w j ij
i 1 j 1
n
wi ri c, i 1
n
wi i 1 投资学第4章
L
w1
n
w j1 j r1 0
j 1
L
w2
n
w j 2 j r2 0
j 1
M
L
wn
n
w j nj rn 0
j 1
n
i 1 n
wi ri
c
wi 1
i 1
投资学第4章
❖ 上述方程是线性方程组，可通过线性代数加 以解决。
例：假设三项不相关的资产，其均值分别为1， 2，3，方差都为1，若要得到期望收益为2的 该三项资产的最优组合，求解权重。
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投资学第4章
❖ 另假定：
不存在无风险资产 风险资产不允许买空卖空
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投资学第4章
二、风险资产组合的可行集
❖ 可行集：又叫机会集，是由给定的一组资 产构成的所有可能的证券组合的集合
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投资学第4章
（一）两种风险资产构建的组合的 可行集
❖ 若已知两风险资产的期望收益、方差和它 们间的相关系数，则组合之期望收益和方 差为：
收益rp
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投资学第4章
风险σp
（四）可行集的性质
在n种资产中，如至少存在3项资产彼此不 完全相关，则可行集将是一个二维实体区 域。
可行区域是向左侧凸出的 为什么？
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投资学第4章
不可能的可行集
收益rp
A B
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投资学第4章
风险σp
三、有效集
❖ 在可行集中，有些组合从风险和收益角度来 评价，明显优于另一些组合
❖ 任意给定风险水平有最大的预期回报和任意 给定预期回报水平有最小风险的集合叫 Markowitz有效集，又称为有效边界
投资者的最优组合将从有效边界中产生
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投资学第4章
❖ 可行集中，G为最小方差组合，GS即为有效集 ❖ Ｐ、Ａ、Ｂ
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投资学第4章
有效组合的微分求解法*
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投资学第4章
上述两方程构成了组合在给定条件下的 可行集！
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投资学第4章
组合风险的几种情形
❖ ρ=1时，
2 p
(1 1
2 2 )2
组合风险等于两种证券各自风险的加权平均
❖ ρ=0时，
2 p
1212
22
2 2
❖ ρ=-1时，
2 p
(11
22 )2
组合的风险最小。如 11 2 2 ,组合的风险降为0
1
❖ 对于上述带有约束条件的优化问题，可引入拉格朗日乘
子λ和μ来解决。（求条件极值）
❖ 构造拉格朗日辅助函数如下：
nn
n
n
L
wiwj ij ( wiri c) ( wi 1)
i1 j1
i 1
i 1
❖ 上式分别对wi求导数，令其一阶导数为0，得到方程组：
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投资学第4章
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