北京交通大学硕士数理统计复习题

复习题：

1设12,,,n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的样本， 1．试问

22

1

1

()n

i

i X

μσ

=-∑服从什么分布（指明自由度）？

)1,0(~N X i σ

μ

-且独立，

)(~)(

)(1

21

21

2

2

n X X n

i i n

i i χσ

μ

μσ∑∑==-=-

2．假定0μ=，求2

12212()()X X X X +-的分布。

)2,0(~221σN X X +,)2,0(~221σN X X -

)1,0(~22

1N X X σ

+,

)1,0(~22

1N X X σ

-)1(~)2(

22

1χσ

X X +,)1(~)2(

22

1χσ

X X -

又2

2

1)2(

σ

X X +和2

2

1)2(

σ

X X -相互独立，故2122

12()()X X X X +-＝)1,1(~1

/)2(1

/)2(

22122

1F X X X X σ

σ++ 2设总体X 服从(0,1)上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，最大顺序统计量),,,max(21)(n n X X X X =，求随机变量)(n X 的概率密度；

解：???<<=其它,010,1)(~x x f X ，其分布函数为??

?

??≥<<≤=1

,110,0

,0)(x x x x x F

而),,,max(21)(n n X X X X =的分布函数为

}

)),,,{max(}{)(21)()(z X X X P z X P z F n n X n ≤=≤=

}),,,{21z X z X z X P n ≤≤≤= n z F )]([=

()()z F z f n n X

X )()('=()[]()z f z F n n 1-=1-=n nz ，)10(<

???

??<<=其它

01)(θ

θ

x x f

n X X X ,,,21 为样本，),,,max(21)(n n X X X X =，

1）求随机变量)(n X 的概率密度；

2）问{}n

X X X ,,,max ?21 =θ是否为θ的无偏估计量？ 答 ???

??<<=其它

01

)(~θ

θ

x x f X ,其分布函数为???????≥<<≤=θ

θθx x x x x F ,10,0

,0)(

{}???????≥<<≤==≤=θθθ

θy y y y y F y X X X P y F n n

n ,

10,)(0,

0)]([),,,(max )(21?

???

??<<==--其它,

00,)()]([)(1

1

?θ

θθy ny y f y F n y f n n n

θθθθ

θ

θ≠+=

==??-+∞

∞

-1

)()?(0

1

?n n

dy ny y

dy y yf E n

n ， 不是无偏估计

4设总体X 的概率密度为

.,

,

0,)()(其它θθ≥??

?=--x e x f x θ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，

1．求θ的矩估计量1θ∧

；

矩估计法:1)

(-==

?∞

--θθ

θdx xe EX x ，令X EX =-=1θ, => 1?1

+=X θ 2．求θ的最大似然估计量2θ∧

；

最大似然估计法：设n x x x ,,21 为样本的观察值，则 似然函数为∑==

=-

--=∏

n

i i

i x n x n

i e

e

L 1

)

(1

)(θθθ，

θ

θ≥=≥≤≤i n

i i x n i x 1min ,,1,即

按似然估计的思想，当 似然函数关于θ

是增函数，故

i

x min ?2=θ。

θ的最大似然估计量为i

X min ?2＝θ。 5设电池的寿命服从指数分布，其概率密度为

?????≤>=0

01)(_x x e

x f x

θθ 其中0>θ为未知参数，今随机抽取5只，测得寿命如下： 1150，1190，1310，1380，1420

求电池的平均寿命θ的最大似然估计值。 解 似然函数∑=

=n

i i

x n

e

L 1

1

_

1

)(θ

θθ， ∑=-

-=n

i i

x

n L 1

1

ln )(ln θ

θθ

令01)(ln 1

2

=+-=∑=n

i i

x

n L dx d θ

θθ

1290)14201380131011901150(5

1?=++++==x θ

6在某次外语四级考试中，设全体考生的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得样本均值566.x =分，样本标准差15=s 分。问在水平050.=α下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ 解 设考生的成绩为X ，则),(N ~X 2

σμ

010070μμμμ≠==:H ,:H

检验统计量n

/s x t 0μ-=

，拒绝域)n (t t 12

->α

算得03012354136

157********.)(t ./.t .=<=-=

可以认为全体考试的成绩为70分 .

7设n X X X ,,,21 是总体)(~λπX 的样本, 证明对于任意常数α, 统计量X ,

2S , 2)1(S X αα-+都是参数λ的无偏估计量.

证 由于)(~λπX , 因此由例1和例2可得

λ==)()(X E X E , λ==)()(2X D S E ,

()

)()1()()1(22S E X E S X E αααα-+=-+λλααλ=-+=)1(,

所以22)1(,,S X S X αα-+都是λ的无偏估计量.

8设总体X 的数学期望和方差都存在, 321,,X X X 是X 的样本, 证明统计量

632?3211X X X ++=μ

, 442?3212X X X ++=μ

, 3

33?3213X X

X ++=μ. 都是总体均值μ=)(X E 的无偏估计量, 并确定哪个估计量更有效.

解 设2

)(σ=X D , 由于

μμμμμ

=++=??? ??++=613121

632

)?(3211X X X E E , μμμμμ

=++=??? ??++=414121442

)?(3212X X X E E , μμμμμ

=++=??? ??++=313131333

)?(3213X X X

E E . 故321?,?,?μμμ

都是总体均值μ的无偏估计量. 又由于 222232111873619141632

)?(σσσσμ

=++=??? ??++=X X X D D , 22223212831611614

1442)?(σσσσμ

=++=??? ??++=X X X D D , 2

222321331919191333

)?(σσσσμ

=++=??? ??++=X X X D D .

因此)?()?()?(123μμμ

D D D <<, 估计量3?μ更有效. 9设总体X 服从正态分布)9,(μN ，n X X X ,,,21 来自X 的样本1216,,,X X X ，则当n____＝90______时，1.0][2

≤-μX E

10设n X X X 221,,, 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则当c ＝

n

21

时，∑=+-n

i i i n X X c 1

2)(为2σ的无偏估计。