高中数学复习教案：坐标系

选修4－4 坐标系与参数方程

第一节 坐标系

[考纲传真] 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

φ：???

x ′＝λ·

x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中

的坐标伸缩变换,简称伸缩变换．

2．极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

①极径：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径,记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ.

③极坐标：有序数对(ρ,θ)叫做点M 的极坐标,记为M (ρ,θ)．一般不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数．

3．极坐标与直角坐标的互化

设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为：???

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；?

????

ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y

x (x ≠0).

4．简单曲线的极坐标方程

1．(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．

( ) (2)若点P 的直角坐标为(1,－3),则点P 的一个极坐标是? ?

???2，－π3.( )

(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的． ( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线． ( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2．(教材改编)在极坐标系中,圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.? ?

???1，π2 B.? ?

???1，－π2 C ．(1,0)

D ．(1,π)

B [法一：由ρ＝－2sin θ,得ρ2＝－2ρsin θ,化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ,化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1,圆心坐标为(0,－1),其对应的极坐标为? ?

?

??1，－π2.

法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos ? ????θ＋π2,知圆心的极坐标为? ?

?

??1，－π2,故选B.]

3．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )

A ．ρ＝

1cos θ＋sin θ

,0≤θ≤π

2

B ．ρ＝

1cos θ＋sin θ

,0≤θ≤π

4

C ．ρ＝cos θ＋sin θ,0≤θ≤π

2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ,0≤θ≤π

4 A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1),

∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1), ∴ρ＝

1sin θ＋cos θ?

?

???0≤θ≤π2.] 4．在极坐标系中,曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2 θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为________．

(1,1) [由ρsin 2θ＝cos θ?ρ2sin 2θ＝ρcos θ?y 2＝x ,又由ρsin θ＝1?y ＝1,联立???

y 2＝x ，y ＝1?

???

x ＝1，y ＝1.

故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)．] 5．在极坐标系中,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π

3(ρ∈R )距离的最大值是________． 6 [圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ,化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16,直线θ＝π

3,则tan θ＝3,化为直角坐标方程为3x －y ＝0,圆心(0,4)到直线的距离为|－4|

4＝2,所以圆上的点到直线距

离的最大值为2＋4＝6.]

平面直角坐标系中的伸缩变换

1．求椭圆x 24＋y 2

＝1经过伸缩变换?????

x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程．

[解] 由?????

x ′＝12x ，

y ′＝y ，

得到???

x ＝2x ′，

y ＝y ′.

①

将①代入x 24＋y 2

＝1,得4x ′24＋y ′2＝1,即x ′2＋y ′2＝1. 因此椭圆x 24＋y 2

＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.

2．将圆x 2

＋y 2

＝1变换为椭圆x 29＋y 2

4＝1的一个伸缩变换公式为φ：?

??

X ＝ax (a ＞0)，Y ＝by (b ＞0)，求a ,b 的值．

[解] 由??

?

X ＝ax ，

Y ＝by

得?????

x ＝1a X ，y ＝1

b Y ，

代入x 2

＋y 2

＝1中得X 2a 2＋Y 2

b 2＝1,

所以a 2＝9,b 2＝4,即a ＝3,b ＝2.

[规律方法] 伸缩变换后方程的求法,平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：

的

作用下的变换方程的求法是将代入y ＝f (x ),得,整理之后得到y ′＝h (x ′),即

为所求变换之后的方程.

易错警示：应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x ,y )与变换后的点的坐标(x ′,y ′). 极坐标系与直角坐标系的互化

【例1】 (2019·合肥质检)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ? ??

??θ－π3＝1(0≤θ＜2π),M ,N 分别为曲线C 与x 轴,y 轴的交点．

(1)写出曲线C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ,求直线OP 的极坐标方程． [解] (1)由ρcos ? ????

θ－π3＝1得ρ? ????12cos θ＋32sin θ＝1.

从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋3

2y ＝1,即x ＋3y －2＝0. 当θ＝0时,ρ＝2,所以M (2,0)． 当θ＝π2时,ρ＝233,所以N ? ??

??233，π2.

(2)M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为? ????

0，

233. 所以P 点的直角坐标为? ????

1，33,

则P 点的极坐标为? ??

??

233，π6.

所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π

6(ρ∈R )． [规律方法] 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法

(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.

(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形,构造出形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.

已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2,ρ2－22ρ·cos ? ??

??

θ－π4＝2.

(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [解] (1)由ρ＝2知ρ2＝4,

所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ? ??

??

θ－π4＝2,

所以ρ2

－22ρ? ??

??cos θcos π4＋sin θsin π4＝2, 所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1, 即ρsin ? ????

θ＋π4＝22.

极坐标方程的应用

【例2】 121,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C 1,C 2的极坐标方程；

(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π

4(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积． [解] (1)因为x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2,

C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π

4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得 ρ2－32ρ＋4＝0,解得ρ1＝22,ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2,即|MN |＝ 2.

由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为1

2.

[规律方法] 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时,将极坐标方程化为直角坐标方程,有助于增加对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用.

(2019·广州调研)在极坐标系中,求直线ρsin ? ??

??

θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．

[解] 由ρsin ? ????

θ＋π4＝2,得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2,

可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16, 圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|－22|

2＝2,

由圆中的弦长公式,得弦长l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3. 故所求弦长为4 3.

1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.

(1)求C 2的直角坐标方程；

(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程．

[解] (1)由x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0),半径为2的圆．

由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共

点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．

当l 1与C 2只有一个公共点时,点A 到l 1所在直线的距离为2,所以

|－k ＋2|k 2＋1

＝2,故k ＝－4

3或k ＝0.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点；当k ＝－4

3时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点．

当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以

|k ＋2|k 2＋1

＝2,故k ＝0或k ＝4

3.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点；当k ＝4

3时,l 2与C 2没有公共点．

综上,所求C 1的方程为y ＝－4

3|x |＋2.

2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |＝16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；

(2)设点A 的极坐标为? ?

???2，π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值．

[解] (1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ,|OM |＝ρ1＝4

cos θ.

由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0)．

由题设知|OA |＝2,ρB ＝4cos α,于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·??????sin ? ?

???α－π3 ＝2??????

sin ? ????2α－π3－32≤2＋ 3.

当α＝－π

12时,S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.

3．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为???

x ＝a cos t ，

y ＝1＋a sin t ，(t 为参

数,a >0)．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0,其中α0满足tan α0＝2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .

[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2,则C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆．

将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.

(2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组 ?

??

ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0, 由已知tan θ＝2,可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0, 从而1－a 2＝0,解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时,极点也为C 1,C 2的公共点,且在C 3上． 所以a ＝1.