2021年高一数学 数列重点难点突破四(含解析)苏教版

2021年高一数学 数列重点难点突破四（含解析）苏教版

课前抽测（基础题课后作业+学霸必做题课堂集训）

1．已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

试题分析：()()2

2227133971733944664622210100a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+==，故

选C ．

考点：等比数列的性质．

3．数列满足，若，则a xx =

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

试题分析：因为，，三项一循环.

考点：数列的通项公式.

3、设数列满足，，则该数列的前项的乘积_________.

【答案】.

【解析】

试题分析：由题意可得，，，，，

∴数列是以为周期的数列，而，∴前项乘积为.

考点：数列的递推公式.

4、已知数列中, ,则= ．

【答案】

【解析】

试题分析：由可得: ,可知此数列为循环数列周期为3.所以.

考点：函数的周期性.

数列通项公式的求法

5、已知数列中，，则数列通项公式为 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

试题分析：∵a n =3a n-1+4，∴a n +2=3（a n-1+2），

∵a 1+2=3，∴a n +2是公比为3首项是3的等比数列，即a n +2=3×3n-1，

a n =3n -2．

考点：数列的性质和应用．

6、在数列中，若，则数列的通项 ．

【答案】

【解析】

试题分析：，，且，所以成等比数列，首项为4，公比为2，则，即.

考点：根据递推公式求数列通项.

7、已知数列满足：，，则 ．

【答案】

【解析】

试题分析：由题可知：给出了数列的递推关系式，我们通常采用叠加法进行求解，由递推关

，两端相加得，考点：叠加法求数列通项公式的方法

8、已知数列的前n 项和为，且，则

【答案】

【解析】

试题分析：当，[]122)1(2)1(22221+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n ；

当时，不符合上式，所以.

考点：与的关系.

9、已知数列的前项和，则其通项公式为

【答案】

【解析】

试题分析：由题根据数列的递推关系进行推导，注意验证n=1是否满足所得式子，然后得到数列的通项公式．()()12(1)11,,5425422a 2424n n n n n n n n S S ---------∴∴=-?=--?=-=?， n=1时，，不满足上式，所以．

考点：数列递推关系

10、已知数列的前项和为，且，其中

（1）求数列的通项公式;

（2）若，数列的前项和为，求证：

【答案】（1）;（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用，表示出数列的通项，再由已知求出，整理得到，

利用“累积法”3213,(3)12

2

a n n n a n n -??=???≥--，即，得

验证时也符合即可；

(2)由（1）得，根据裂项相消法，将拆为，将拆为，则，

3(2n b +=将上式中消去相同的项进行整理即可证得.

试题解析：（1）令，得，即，由已知，得 1分

把式子中的用替代，得到

由可得

即，即 即得：， 3分

3213,(3)122

a n n n a n n -??=???≥-- 即 6分

又，所以

又， 8分

（2）由（1）知 3(2n b += 14分 考点：1、用表示；2、不等式的性质；3、累积法、裂项相消法.

综合应用

11、已知数列的首项，前项和为，且满足，则满足的的最大值为

【答案】9

【解析】

试题分析：由，得，两式相减得，又，所以数列为首项，公比为的等比数列，，2100111100121111021000491000101000210

n n n n n S n S +<

12、对于正项数列，定义为的“光”值，现知某数列的“光”值为，则数列的通项公式为_______

【答案】

【解析】

试题分析：根据“光”值的定义，及

∴a 1+2a 2+ +na n = ①

∴a 1+2a 2+ +（n-1）a n-1= ②

①-②得na n

∴新定义，考查数列的通项

考点：新定义，数列的通项

13、若数列中，，且对任意的正整数都有，则若时，_________.

【答案】

【解析】

试题分析解：，若时，是首项和公比都为的等比数列，是首项和公比都为的等比数列，

考点；数列通项、等比数列求和．

点评：本题考查了数列通项及等比数列求和．

14、已知数列中，为其前项和，且对任意，都有．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前项和．

【答案】（1） ;（2） ．

【解析】

试题分析：（1）由 可得，而，∴ ， 2分

当n ≥2时，，当n ＝1时，此式也成立， 4分

∴数列的通项公式为． 6分

（2）()()21111114141211n b n n n n n ??==?=- ?++??

+-． 8分 ∴()1111111111422314141n n T n n n n ??????????=-+-++-=-= ? ? ? ???+++????????

?? 12分 考点：考查了数列的通项公式，裂项相消法求和．

点评：解本题的关键是利用数列的前n 项和求通项的时候，注意分n ＝1和n ≥2两种情况，掌握裂项相消法求和．

15．（本题满分１４分）已知数列满足，．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设，数列的前项之和为，求证：．

【答案】见解析

【解析】

试题解析：证明：（1）∵ ，

∴1111111111111111n n n n n n n a a a a a a a ++++++--

=-==------， ∴ 3 分

∴ 数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列． 5 分

证法 2：由已知

即()111111110,101111

n n n n n a a a a a +++-+-=+-=----， 即（常数） 3 分

∴ 数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列． 5分

（2）由（1）可得，∴， 7 分

∵()()()2

111111112122i i i i a b a i i i i i i ++??=-=-==- ?+++??

10分 ∴

11111111111111232242352112n b n n n n ?????????++=-+-+-++-+- ? ? ? ? -+?????????

12 分 故不等式成立． 14分

考点：考查了等差数列和数列的求和．

点评：证明一个数列是等差数列的关键是判断是否符合等差数列的定义，根据等差数列的通项公式，求出数列的通项，利用裂项相消法求和．

16．（本小题满分14分）设数列的前项和为，，且对任意正整数，点在直线上．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）的通项公式为；

（2）数列的前项和为．

【解析】

试题分析：（1）点在直线上

1分

当时， 2分

两式相减得：

即

3分

又当时，

4分

是首项，公比的等比数列 5分

的通项公式为 6分

（2）由（1）知， 7分

8分

9分

两式相减得： 11分

13分

数列的前项和为 14分

考点：考查了等比数列的通项公式，利用错位相减法求和．

点评：解本题的关键是判断出数列是等比数列，得出数列的通项公式，掌握一个数列若是由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成的数列时，利用错位相减法求和．

17．设为数列的前n 项和，且对任意都有

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设n n a a a a b 3332313log log log log ++++= ，求数列的前项和.

【答案】（1） （2）

【解析】

试题分析:（1）①

当时，，

当时，②

①-②得

是公比为，首项为的等比数列

（2 ）

故

所以数列的前n 项和为

考点:求数列通项公式，等差、等比数列有通项公式，前项和公式，裂项相消法。

18．（本小题满分12分）数列满足

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设，求数列的前项和

【答案】（1）数列是等差数列；（2）.

【解析】

试题分析：（1）证明：在原等式两边同除以，得，即，所以是以为首项，为公差的等差数列.

（2）由（1）得，所以，从而. 用错位相减法求得.

试题解析：（1）证：由已知可得，即

所以是以为首项，1为公差的等差数列．

（2）解：由（1）得，

所以，从而

1231323333n n S n =?+?+?+

+?① 234+13132333-133n n n S n n =?+?+?++?+?（）②

①－②得：

所以 12分

考点：

1.等差数列的证明；

2.错位相减法求和.u39079 98A7 颧37377 9201 鈁$I24067 5E03 布34529 86E1 蛡36931 9043 遃J 26130 6612 昒`39525 9A65 驥gY