时间序列分析模型研究【文献综述】
GPS坐标时间序列论文文献综述
文献综述摘要：通过对数据一系列处理，运用三阶自回归AR（3）模型拟合gps坐标时间序列，由于gps坐标时间序列数据之间的相关关系，且历史数据对未来的发展有一定影响，并对未来的电力增长进行预测。
理论准备：拿到一个观测值序列之后，首先要判断它的平稳性，通过平稳性检验，序列可分为平稳序列和非平稳序列两大类。
如果序列值彼此之间没有任何向关性，那就意味着该序列是一个没有任何记忆的序列，过去的行为对将来的发展没有丝毫影响，这种序列我们称之为纯随机序列，从统计分析的角度而言，纯随机序列式没有任何分析价值的序列。
如果序列平稳，通过数据计算进行模型拟合，并利用过去行为对将来的发展预测，这是我们所期望得到的结果。
可采用下面的流程操作。
关键字：gps坐标时间序列时间序列分析数据预测一、前言GPS坐标时间序列分析原来是“概率论与数理统计”领域当中的一个重要分支，其中有国际著名的学术杂志“时间序列分析”。
由于在过去的二十几年当中，时间序列分析方法在经济学的定量分析当中获得了空前的成功应用，因此所出现的“时间序列计量经济学”已经成为了“实证宏观经济学”的同意语或者代名词。
由此可见，作为宏观经济研究，甚至已经涉及到微观经济分析，时间序列分析方法是十分重要的。
时间序列分析方法之所以在经济学的实证研究中如此重要，其主要原因是经济数据大多具有时间属性，都可以按照时间顺序构成时间序列，而时间序列分析正是分析这些时间序列数据动态属性和动态相关性的有力工具。
从一些典型的研究案例中可以看出，时间序列分析方法在揭示经济变量及其相关性方法取得了重要进展。
目前关于时间序列分析的教科书和专著很多。
仅就时间序列本身而言的理论性论著也很多，例如本课程主要参考的Hamilton的“时间序列分析”，以及Box 和Jankins的经典性论著“时间序列分析”；近年来出现了两本专门针对经济学和金融学所编写的时间序列专著，这也是本课程主要参考的教材。
另外需要注意的是，随着平稳性时间序列方法的成熟和解决问题所受到的局限性的暴露，目前研究非平稳时间序列的论著也正在出现，其中带有结构性特征的非平稳时间序列分析方法更是受到了广泛重视。
金融市场时间序列分析模型研究
金融市场时间序列分析模型研究金融市场是社会经济发展的重要组成部分，对于经济的发展有着至关重要的作用。
随着金融市场的不断发展和进步，越来越多的研究者开始关注金融市场时间序列分析模型的研究。
时间序列分析模型是指对于一组按照时间顺序排列的数据进行研究和预测的方法。
在金融市场中，时间序列分析模型主要应用于股票价格、汇率、利率等方面的研究。
一、时间序列分析模型简介时间序列分析模型是一种通过对历史数据的分析来预测未来的一种方法。
它的主要理论基础是时间序列的自回归模型和移动平均模型。
自回归模型是指当前数据值与前一时刻的数据值之间存在相关性；而移动平均模型是指当前数据值与前一时刻的一组数据值的加权平均数之间存在相关性。
当然，普通的时间序列分析模型对于金融市场中复杂的变动关系尚不能完全预测，因此在实际应用中，需要对模型进行进一步的修正和改进。
二、ARIMA模型自回归移动平均模型（ARIMA）是一种最常用的时间序列分析模型。
ARIMA模型本质上是自回归模型和移动平均模型的结合，通过对时间序列的自回归和移动平均进行组合，构建出一种更加完善的预测模型。
ARIMA模型的预测能力很强，其预测值与实际数据的误差平方的平均值趋向于为最小。
ARIMA模型的建立一般分为三步：（1）平稳性检验：检验原时序数据是否是平稳的，如果不是，则需要对其进行平稳性转化；（2）确定模型的自回归阶数p和移动平均阶数q，以及差分阶数d；（3）模型估计和预测：利用历史数据确定模型的参数，对未来数据进行预测。
三、金融市场中ARIMA模型的应用ARIMA模型在金融市场中应用广泛，主要用于对股票价格、汇率、利率等进行预测。
以股票价格预测为例，我们可以利用历史的股票价格数据来建立ARIMA模型，根据模型对未来股票价格进行预测，来为投资者提供投资建议。
在ARIMA模型的应用过程中，还需要关注模型的预测误差。
一般情况下，误差越小，模型的准确率越高，但是，误差过小也意味着模型对于未来的不确定性预测能力不足。
时间序列分析简介与模型
时间序列分析简介与模型时间序列分析是一种统计分析方法，用于研究时间序列数据的发展趋势、周期性和随机性。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，如股票市场的每日收盘价、气温的每月平均值等。
时间序列分析可以帮助我们理解数据的变化规律，预测未来的趋势，并支持决策和规划。
在时间序列分析中，一般将数据分为三个主要成分：趋势、季节性和随机扰动。
趋势是序列长期的增长或下降趋势，季节性是周期性的波动，随机扰动是非系统性的噪声。
为了进行时间序列分析，我们需要选择适当的模型。
常见的时间序列模型包括平滑模型、自回归移动平均模型（ARMA）、季节性自回归移动平均模型（SARMA）、季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。
平滑模型适用于没有趋势和季节性的数据。
其中，移动平均法是一种常用的平滑方法，它通过计算观测值的移动平均值来估计趋势。
指数平滑法是一种适应性的平滑方法，根据最新的观测值赋予较大的权重，较旧的观测值则被较小的权重所影响。
自回归移动平均模型(ARMA)是一种常用的线性模型，它将序列的当前值与它的滞后值和滞后误差联系起来，以预测序列的未来值。
ARMA模型的参数包括自回归阶数(p)和移动平均阶数(q)，通过拟合模型可以估计这些参数。
季节性自回归移动平均模型（SARMA）是一种在季节性数据上拓展了ARMA模型的模型。
它引入了季节性序列和季节性滞后误差，以更准确地预测季节性数据的未来值。
季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型在季节性数据上的扩展。
ARIMA模型是一种广义的线性模型，包括自回归、差分和移动平均三个部分。
ARIMA模型的参数包括自回归阶数(p)、差分阶数(d)和移动平均阶数(q)。
SARIMA模型加入了季节性差分和季节性滞后误差，以更好地拟合季节性数据。
时间序列分析的核心目标是对未来趋势进行预测。
通过拟合适当的时间序列模型，我们可以估计模型的参数，并使用已知的数据来预测未来时间点的值。
时间序列分析中的协整模型研究论文素材
时间序列分析中的协整模型研究论文素材时间序列分析中的协整模型研究在时间序列分析领域，协整模型是一种重要的分析方法，用于研究两个或多个时间序列之间的长期关系。
协整模型的出现极大地拓宽了时间序列分析的应用范围，使得我们能够更好地理解和预测经济、金融等领域的数据。
协整模型最初由经济学家格兰杰（Granger）和哥莫尔（Johansen）提出，并被广泛应用于经济学研究中。
协整模型通过对时间序列数据进行单位根检验和最小二乘回归等统计方法，寻找使得残差序列平稳的线性组合，从而确定序列之间的长期关系。
在协整模型研究中，选择适当的变量是十分关键的。
在经济学中，我们通常关注的是经济变量之间的关系，比如国内生产总值（GDP）、消费者物价指数（CPI）等。
以研究国内生产总值和消费者物价指数之间的关系为例，我们可以首先对这两个变量进行单位根检验，判断它们是否都是非平稳序列。
如果它们都是非平稳序列，那么我们可以进一步进行最小二乘回归，得到残差序列。
接下来，我们需要对残差序列进行单位根检验，以确定是否存在协整关系。
如果残差序列是平稳的，那么说明国内生产总值和消费者物价指数之间存在协整关系。
协整模型的研究不仅在经济学中有广泛应用，也在金融学、环境学等领域展现出巨大潜力。
例如，在金融学中，我们可以研究股票市场之间的协整关系，以寻找股票市场的共同特征和相互关系，为投资者提供决策依据。
此外，协整模型也可以用于环境学中的气候预测、自然资源管理等方面，对未来的趋势进行预测和分析。
然而，协整模型的研究也存在一些问题和挑战。
首先，选择适当的时间序列数据对模型的分析结果至关重要。
不恰当的选择可能导致误判和不准确的结果。
其次，协整模型的解释性较强，但对于因果关系的解释却相对较弱。
在应用协整模型时，我们需要注意对结果的解释和局限性。
总结来说，时间序列分析中的协整模型是一种重要的分析工具，用于研究序列数据之间的长期关系。
通过单位根检验和最小二乘回归等统计方法，我们可以确定变量之间的协整关系，进一步分析和预测未来的趋势。
时间序列分析模型概述
时间序列分析模型概述时间序列分析是一种统计方法，用于研究时间序列数据中的模式、趋势和周期性。
它基于时间序列数据的特点，通过建立数学模型来预测未来的数值。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，它们通常用于描述一种随时间变化的现象。
例如，股票价格、气温、销售数据等都是时间序列数据。
时间序列分析的目标是通过对已知的观测值进行分析，找出数据中的规律，并利用这些规律来预测未来的数值。
时间序列分析模型通常可以分为两类：基于统计方法的模型和基于机器学习的模型。
基于统计方法的时间序列模型包括AR（自回归模型）、MA （移动平均模型）、ARMA（自回归移动平均模型）和ARIMA（差分自回归移动平均模型）等。
这些模型基于不同的假设和理论，通过寻找数据中的自相关和移动平均性质，来建立模型并进行预测。
它们常常需要对数据进行平稳性检验和参数估计。
基于机器学习的时间序列模型包括神经网络模型、支持向量机模型和深度学习模型等。
这些模型不同于统计方法，它们通过学习时间序列数据中的特征和模式来建立预测模型。
这些模型通常需要大量的数据进行训练，并且需要对模型进行调参。
除了上述模型，时间序列分析还可以包括季节性调整模型、外生变量模型等。
季节性调整模型是用于处理具有明显季节性的时间序列数据，它通过分解数据中的趋势和季节成分，来消除季节性的影响，从而提高预测的准确性。
外生变量模型是将其他影响因素（例如经济指标、政策变化等）引入时间序列模型中，以更全面地考虑影响因素对数据的影响。
时间序列分析模型在经济学、金融学、气象学等领域有着广泛的应用。
例如，在金融领域，时间序列分析模型可以用于预测股票价格和汇率等，帮助投资者做出更准确的投资决策。
在气象学领域，时间序列分析模型可以用于预测天气变化，从而为农业生产和灾害预防提供支持。
总之，时间序列分析是一种重要的数据分析方法，用于处理时间序列数据并进行预测。
它采用统计方法和机器学习方法来建立模型，并通过对数据的分析来找出数据中的规律和趋势。
金融市场中的时间序列分析与模型研究
金融市场中的时间序列分析与模型研究随着金融市场的发展和数字化程度的提升，时间序列分析在金融领域中扮演着重要的角色。
时间序列分析涉及收集、整理和分析一系列按时间顺序排列的数据，旨在揭示数据的内在规律、趋势和周期性。
本文将对金融市场中的时间序列分析与模型研究进行探讨，并介绍一些常见的时间序列分析方法。
一、时间序列分析的基本概念与原理时间序列分析的基本概念是指根据时间的顺序对一连串观测数据进行统计分析，并建立相应的模型。
其核心原理在于数据点之间存在着内在的时间依赖性，当前的数据点可能受到过去数据点的影响，因此通过对时间序列的分析可以揭示数据的趋势、周期性等特征。
二、常见的时间序列分析方法1. 均值、方差和协方差分析均值、方差和协方差是时间序列分析的基础统计量，通过计算这些指标可以对数据的分布进行描述、检验数据的平稳性和相关性。
2. 自相关函数和偏自相关函数分析自相关函数和偏自相关函数是时间序列分析中常用的工具，用于衡量一个数据点与其前面数据点之间的相关性。
通过分析自相关函数和偏自相关函数的图形，可以得到时间序列中的滞后相关关系。
3. 移动平均模型（MA）和自回归模型（AR）移动平均模型和自回归模型是常见的时间序列分析中的两种基本模型。
移动平均模型是利用过去一段时间的残差来预测当前数据点，而自回归模型是将当前数据点与过去的若干数据点进行线性组合得到的模型。
4. 自回归移动平均模型（ARMA）和差分自回归移动平均模型（ARIMA）自回归移动平均模型和差分自回归移动平均模型是基于AR和MA 模型的扩展模型。
ARMA模型考虑了自回归和移动平均的组合效应，而ARIMA模型则在ARMA模型的基础上引入了差分操作，用于处理非平稳时间序列。
5. 季节性模型季节性模型适用于具有明显季节性变化的时间序列数据，可以通过建立合适的季节性模型来分析和预测季节性数据。
三、时间序列模型在金融市场中的应用1. 股票价格预测时间序列分析可以用于预测股票价格的走势。
复杂时间序列模型综述
复杂时间序列模型综述一、前言时间序列分析是统计研究中的一大重要分支。
通过指定的时间段内记录的一系列数据，时序分析可以提取有意义的统计信息和数据特征，并且对未发生的事件进行预测。
传统的时序分析主要针对单变量时间序列数据建立线性模型 (Box et al., 2015; Brockwell and Davis, 2009; Tsay, 2005)、非线性模型 (Engle, 1982; Bollerslev, 1986; Tong, 1990)、非参数模型 (Fan and Yao, 2008) 等，或针对多变量/面板型时序数据进行研究 (Tiao and Box, 1981; Tiao and Tsay, 1989; Engle and Kroner, 1995; Stock and Watson, 2005; Tsay, 2013)。
而复杂的观测数据，例如矩阵型时序数据，在各个领域都广泛存在，并且包含了更为复杂、全面的信息，因此本文对矩阵型时序分析方法，以及更复杂的张量型时序分析方法做一回顾。
二、矩阵型时序数据的现实场景矩阵型时间序列数据蕴含在不同领域之中。
通常情况下矩阵的列和行表示不同类别的信息，这些信息以一种非常结构化的方式密切相关。
举个栗子，在金融领域中，不同时刻可以观测到不同公司的股票数据，而这些数据又可以通过不同的变量维度有所区分，例如公司A 的股票市值、公司B的股票账面市值比等等，两个维度的分类手段使得不同时刻观测到的数据以矩阵的形式呈现。
再举个栗子，在宏观经济领域，每一年都可以获得各个国家的宏观经济指标，例如GDP、CPI等等，这也构成了矩阵型的时间序列。
此外，还有国际贸易领域、环境与污染领域，都大量存在这样的时间序列。
三、相关研究梳理在传统的对矩阵时序进行分析的研究中，矩阵会被直接向量化，进而使用针对向量时序的研究方法进行研究 (See Chamberlain, 1983; Chamberlain & Rothschild, 1982; Bai, 2003; Bai & Ng, 2002; Bai & Ng, 2007; Forni et al., 2000; Forni et al., 2004; Pan & Yao, 2008; Lam et al., 2011; Lam & Yao, 2012)。
时间序列期末论文
ARIMA模型在全国年底总人口预测中的应用【摘要】：人口发展与社会经济的发展是密不可分的，研究我国总人口的现状，对我国人口数进行分析和预测，有利于及时控制人口的增长，调节人口平衡，利于政府及时了解发展趋势并做出反应对策，使我国人口发展步入健康的轨道。
本文利用自回归移动平均模型（auto regressive moving average model，ARMA）及其建模原理和思路，并结合Eviews软件将ARMA模型应用于1980年——2012年我国年底总人口数据序列的分析和预测。
经检验此模型对原始数据有着较好的拟合度和较高的预测精度。
利用此模型可对我国年底总人口进行合理的预测。
【关键词】：时间序列；ARMA模型；我国年底总人口；人口预测一、引言我国是世界上人口最多的国家，2008年末中国大陆人口13.28亿，，占世界上五分之一人口，亚洲人口的三分之一。
中国人口的发展同中国社会的发展一样经过了漫长而曲折的道路。
在世纪的进程中，目前我国进入了一个全新的时代，要想在21世纪——这个充满竞争与挑战的时代中变的富强、屹立于世界民族之林，全取决于人口的问题能否顺利解决，人口现状等问题，我国必须重视并根据其趋势做出反应对策。
因此，认真分析我国当前人口现状，从中发现其变化的趋势，并对未来总人口进行短期预测，及时采取必要的政治及经济措施来解决人口发展问题，对树立未来的发展目标很有必要。
总之，人口是构成社会的主体，在我国社会主义现代化建设中，人口问题始终是极为重要的问题，而人口问题的本质是发展问题。
人口发展与社会经济的发展也是密不可分的。
基于此，我们利用时间序列中的ARMA模型对我国人口进行预测，对人口的控制起到指导作用，有利于政府采取必要的政治及经济措施来进行调控。
所以，对其进行分析和测试是非常有意义的工作。
二、模型简介自回归求和滑动平均模型(auto regressive integrated moving average model), 称为ARIMA模型，是将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值进行回归所建立的模型。
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毕业论文文献综述信息与计算科学时间序列分析模型研究人们的一切活动，其根本目的无不在于认识和改造客观世界。
时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻画某一现象与其他现象之间的内在数量关系及其变化规律性，达到认识客观世界之目的。
而且运用时间序列模型还可以预测和控制现象的未来行为，修正或重新设计系统以达到利用和改造客观之目的。
从统计学的内容来看，统计所研究和处理的是一批又“实际背景”的数据，尽管数据的背景和类型各不相同，但从数据的形成来看，无非是横剖面数据和纵剖面数据两类（或者叫做静态数据和动态数据）。
横剖面数据是由若干相关现象在某一时点上所处的状态组成的，它反应一定时间、地点等客观条件下诸相关现象之间存在的内在数值联系。
研究这种数据结构的统计方法是多元统计分析。
纵剖面数据是由某一现象或若干现象在不同时刻上的状态所形成的数据，它反映的是现象以及现象之间关系的发展变化规律性。
研究这种数据的统计方法就是时间序列分析。
由此足以看出时间序列分析的重要性和其应用的广泛性。
早期的时间序列分析通常都是通过直接观察的数据进行比较或绘图观测，寻找序列中所蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性时间序列分析。
古埃及人发现尼罗河河水间歇性泛滥的规律就是依靠这种分析方法所得出的。
而在天文、物理、海洋学等自然科学领域中，这种简单的描述性时间序列分析分析方法也常常能使人们发现意想不到的规律。
比如，19世纪中后叶，德国药剂师、业余的天文学家施瓦尔就是运用这种方法，经过几十年不断的观察、记录，发现了太阳黑子的活动具有11年左右的周期。
描述性时间序列分析方法具有操作简单、直观有效的特点，它通常是人们进行统计时间序列分析的第一步。
统计时间序列分析随着研究领域的不断扩展，人们发现单纯的描述性时间序列分析有很大的局限性。
在金融、法律、人口、心理学等社会科学研究领域，随机变量的发展通常会呈现出非常强的随机性，如果通过对序列简单的观察和描述，总结出随机变量发展变化的规律，并准确预测处它们将来的走势通常是非常困难的。
为了更准确地估计随机序列发展变化的规律，从20世纪20年代开始，学术界利用数理统计学原理分析时间序列。
研究的重心从表面现象的总结转移到分析序列值内在的相关关系上，由此开辟了一门应用统计学科——时间序列分析。
纵观时间序列分析的发展历史可以将时间序列分析方法分为两大类。
(1)频域分析方法频域分析方法也被称为“频谱分析”或“谱分析”方法。
早期的频域分析方法假设任何一种无趋势的时间序列都可以分解成若干不同频率的周期波动，借助富里埃分析从频率的角度揭示时间序列的规律，后来又借助了傅里叶变换，用正弦、余弦项之和来逼近某个函数，20世纪60年代，Burg在分析地震信号时提出最大熵谱估计理论，该理论克服了传统谱分析所故有的分辨率不高和频率漏泄等缺点，使谱分析进入一个新阶段，我们称之为现代谱分析。
目前谱分析方法主要应用于电力工程、信息工程、物理学、海洋学和气象科学等领域，它是一种非常有用的纵向数据分析方法。
但是由于谱分析过程一般都比较复杂，研究人员通常要具有很强的数学基础才能熟练使用它，同时它的分析结果也比较抽象，不易于进行直观解释，导致谱分析方法的使用具有很大的局限性。
(2)时域分析方法时域分析方法主要是从序列自相关的角度揭示时间序列的发展规律。
相对于谱分析方法，它具有理论基础扎实、操作步骤规范、分析结果易于解释的优点。
目前它已广泛应用于自然科学和社会科学的各个领域，成为时间序列分析的主流方法。
时域分析方法的基本思想是源于事件的发展通常都具有一定的规律性，这种规律性用统计的语言来描述就是序列值之间存在着一定的相关联系，而且这种相关联系通常具有某种统计规律。
我们分析的重点就是寻找这种规律，并拟合出适当的数学模型来描述这种规律，进而利用这个拟合模型预测序列未来的走势。
时域分析方法最早可以追溯到1927年，英国统计学家G.U.Yule(1871-1951)提出自回归(autoregressive，AR)模型。
不久之后，英国数学家、天文学家G.T.Walker在分析大气规律时使用了滑动平均(moving average，MA)模型和自回归滑动平均(autoregressive movingaverage，ARMA)模型。
这些模型奠定了时间序列时域分析方法的基础。
1970年，美国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkinsy一起出版了《时间序列分析—预测与控制》一书。
在书中，他们在总结前人的研究基础上，系统地阐述了对求和自回归滑动平均(autoregressiveintegrated moving average，ARIMA)模型的识别、估计、检验及预测的原理及方法。
这些现在被称为经典时间序列分析方法，是时域分析方法的核心内容。
为了纪念Box和Jenkins对时间序列发展的特殊贡献，现在人们也常把ARIMA 模型称为Box-Jenkins 模型。
ARIMA 模型实际上是主要运用于单变量、同方差场合的线性模型。
随着人们对各领域时间序列的深入研究，发现该经典模型在理论和应用上都还存在着许多的局限性。
所以近20年来，统计学家纷纷转向多变量场合、异方差场合和非线性场合的时间序列分析方法的研究，并取得了突破性的进展。
（ARMA 模型简介：一般来说,一个变量的现在取值,不仅受其本身过去值的影响,而且也受现在和过去各种随机因素冲击的影响。
因此,可建立其数据生成模型为:0112211......t t t p t p t t q t q y y y y u u u ααααββ-----=++++++++式中:p 和q 为模型的自回归阶数和移动平均阶数; i α和i β为不为零的待定系数; t u 为独立的误差项; t y 为平稳、正态、零均值的时间序列。
如果该模型的特征根都在单位圆外,则该模型就称为ARMA(p,q)模型。
)在异方差场合，美国统计学家、计量经济学家Robert F.Engle 在1982出了自回归条件异方差(ARCH)模型，用以研究英国通货膨胀率的建模问题。
为了进一步放宽ARCH 模型的约束条件，Bollerslov 在1986年提出了广义自回归条件异方差(GARCH)模型，在1987年又提出了TARCH 模型。
随后Nelson 等人又提出了指数广义自回归条件异方差(EGARCH)模型。
Ding ，Granger&Engle(1993)考虑到了杠杆效应通过引入非对称参数又提出了有偏幂ARCH(APARCH)模型。
这些异方差模型是对经典的ARIMA 模型很好的补充。
它比传统的方差齐性模型更准确地刻画了金融市场风险的变化过程，因此ARCH 模型及其衍生出的一系列拓展模型在计量经济学领域有着广泛的应用。
Engle 也因此获得2003年诺贝尔经济学奖。
下面是对ARCH 模型族的简单介绍ARCH 模型的主要思想为扰动项t ε的条件方差依赖于它的前期值的大小，通过对序列的均值和方差同时建模。
设t y 为因变量，t x 为解释变量，在t 时刻可获得的信息集为1t -Ω的条件下，误差项t ε以0为期望值，t h 为条件方差的正态分布。
以ARCH （p ）为例，均值方程为：t t t y X βε=+。
随机干扰项的平方2ε服从AR （p ）过程，可用下面方程表示：t t v ε= 201pt i t i i h ααε-==+∑其中，t v 独立分布，E （t v ）=0，D （t v ）=1；0α>0，0(1,2,...)i i q α≥=，01...1q ααα+++<，则称误差项t ε服从q 阶的ARCH 过程，记作~()t ARCH q ε过程。
()ARCH q 模型表明过去的波动对市场未来的波动有着正向而缓解的影响，因此波动会持续，从而模拟了市场波动的集群性现象。
GARCH 模型为了更好地描述波动的持续性，方程中往往加入较多的滞后阶数，ARCH 模型应用存在局限性，GARCH 模型通过考虑在条件方差方程里加入条件方差的滞后项就得到了ARCH 模型的拓展，也就是将方程换为：2011p pt i t i i t j i j h h ααεβ--===++∑∑ 则称序列服从GARCH （p ，q ）过程。
式（4）中，t h 可以理解为过去所有残差的正加权平均，这与波动的集聚效应相符合，即：大的变化倾向于有更大的变化，小的变化倾向于有更小的变化。
在国内，我国学者对于时间序列的研究取得了丰硕的成果。
在非线性时间序列分析中，汤家豪教授等在1980年左右提出了利用分段线性化构造的门限自回归模型成为目前非线性时间序列的经典模型。
姚琦伟教授基于信息量，首次提出描述一般随机系统对初始条件敏感性的度量及估计方法。
在高维模型领域，姚琦伟教授提出用复系数线性模型近似高维非线性回归函数的新方法，以此克服高维非参数回归中样本量短缺的困难问题。
此方法在生物、经济、金融等应用中获得了成功。
在时间序列模型的最大似然估计方法的研究中，他完整地建立了在金融风险管理中有直接应用的ARCH 和GARCH 模型为最大似然估计的极限理论。
他还首次建立了在空间域上空间ARMA 过程的最大似然估计理论，这一工作同时也对Hannan 1973年给出的关于时间序列的最大似然估计理论首次给出了一个完整的时域上的证明。
王立凤(2004)提出了基于ARCH 的股价预测模型，该模型通过建立高阶回归的ARCH 模型来预测股价变化。
朱宁、徐标和仝殿波(2006)等通过ARIMA 模型分析时间序列的随机性和平稳性，对证券指数的日数据和月数据进行预测分析，即对证券指数作短、中期预测，用SAS 软件检验模型的可行性，并预测应用。
许庆光(2007)提出了基于ARCH模型的上海股票市场特征的研究，从实证结果中总结出上海股市的总体特征，并为其进一步发展完善提出了一些建议。
国内的基础理论研究在不断加强，某些方面已经达到了国际前沿水平，也不再只是纯粹的吸收引进国外的先进成果，在自身应用中求创新求发展。
在部分应用领域中我们已经跟上了国际步伐。
我国时间序列分析研究理论上的进展主要表现在两个方面：一是单位根理论：一是非线性模型理论。
非线性模型理论的进展集中在几何遍历性问题和非线性过程的平稳性这两方面。
而在近几年，关于时间序列分析的研究方面出现了很多博硕士论文和期刊，但他们主要理论均来自国外。
综上所述，目前的研究主要是集中在运用时间序列方法对金融时间序列收益率的波动特性、平稳性及随机性等特征进行实证分析，虽然也有人提出了金融时间序列收益率时间序列的ARCH模型，并用于预测，但也只是简单地采用某一种模型，而对一个时间序列建立ARCH模型的完整过程直至得到一个确定的拟合模型并用来预测，特别是对有多个适用的模型，如何从中选择最理想的模型，现有的研究比较少见。