运筹学第二版3.2 整数规划的求解
运筹学-第3章整数规划
2018/8/17
9
生产计划问题
某机器制造厂可生产四种产品，对于三种主要资源（钢， 人力，能源）的单位消耗及单位利润见表。问如何安排 生产，可使总利润最大？
消耗 产品1
1
产品2 产品3
10 6 0 7 3 4 2 8
产品4
0 1 5 4
资源量
5000 3000 3000
资源A（钢）
资源B（人力） 2 资源C（能源） 2 单位利润 1
这里取M=5000
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15
（2）批量生产
在前例中的基础上, 增加假设：产品4要求批量生 产，批量为不少于500件。 试建立最佳生产计划模型。
定义0-1变量y4
1 , x 4 500 y 4= 0 , x 4=0
500y4 x4 My4 y4 {0,1}
增加约束
2018/8/17 4
附加条件
项目1和项目3至少采纳一个; y1+y2 ≥1 项目2和项目5不能同时采纳; y2+y5 ≤1 项目1仅在项目2采纳后才可考虑是否采纳; y1≤ y2 项目1仅在项目2和3同时采纳后才可考虑是否采纳; 项目1，2，3不能同时采纳; y1+y2+y3 ≤2 或者选择项目1和2，或者选择项目3; y1= y2, y1+y3 =1; 或者 0.5(y1+y2) +y3 =1.
i 1 j 1 5 4
1, 采用Ai建厂 yi , i 3,4,5 0 ，不采用
s.t. x11 x12 x13 x14 400 x x x x 600 23 24 21 22 x31 x32 x33 x34 200y3 x41 x42 x43 x44 200y4 x x x x 200y 5 51 52 53 54 y3 y 4 y5 1 x11 x21 x31 x41 x51 300 x12 x22 x32 x42 x52 350 x13 x23 x33 x43 x53 400 x x x x x 150 24 34 44 54 14 xij 0, i 1,2,3,4,5, j 1,2,3,4 y3 , y4 , y5 {0,1}
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
运筹学中的整数规划问题分析
运筹学中的整数规划问题分析运筹学是运用数学和定量分析方法，通过对系统的建模和优化，来解决实际问题的学科。
其中整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在许多实际情况中得到广泛应用。
本文将对整数规划问题进行分析，并探讨其解决方法与应用领域。
一、整数规划问题定义及特点整数规划是一类线性规划问题的扩展，其目标函数和约束条件中的变量取值限定为整数。
通常，整数规划问题可以形式化表示为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z为目标函数值，x₁, x₂, ..., xₙ为待求解的整数变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数。
整数规划问题的特点在于整数约束条件的引入，使其解空间变得有限，增加了问题的复杂性。
与线性规划问题相比，整数规划问题更接近实际情况，能够更准确地描述和解决很多实际问题。
二、整数规划问题的解决方法解决整数规划问题的方法主要有以下几种：穷举法、剪枝法、分支定界法、动态规划法等。
具体使用哪种方法需要根据问题的规模和特点来确定。
1. 穷举法是最简单直观的方法，通过枚举搜索整数解空间中的每一个可能解来寻找最优解。
然而，由于整数解空间往往非常大，这种方法在实际问题中往往是不可行的。
2. 剪枝法是一种通过对解空间进行剪枝操作，减少搜索空间的方法。
通过合理选择剪枝条件，可以避免对明显无解的解空间进行搜索，从而提高求解效率。
3. 分支定界法是一种将整数规划问题不断分解为子问题，并对子问题进行界定的方法。
通过不断缩小问题规模，并计算上下界确定最优解的位置，可以有效地求解整数规划问题。
运筹学中整数规划问题的近似算法
运筹学中整数规划问题的近似算法运筹学是一门研究如何在有限资源下做最优决策的学科，其中整数规划是其中一种重要的决策方法。
整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，对决策变量的取值加以限定，限定为整数值。
整数规划问题在实际应用中非常常见，例如优化生产计划、物流配送、资源分配等。
然而，整数规划问题的解空间通常是离散的，由于整数规划问题的NP难解性质，寻找准确解的效率很低，因此近似算法成为解决整数规划问题的重要手段。
一、近似算法的概念近似算法是指在可接受的误差范围内，通过有效的计算方法得到问题的近似最优解。
在整数规划问题中，近似算法主要通过松弛约束条件、局部搜索等方法寻找问题的近似解。
二、近似算法的分类近似算法可以根据问题的特性和解决方法的不同进行分类，下面介绍几种常见的近似算法。
1. 线性松弛算法（Linear Relaxation）线性松弛算法是整数规划问题中常用的近似算法之一。
该算法的基本思想是将整数规划问题的整数约束放宽为实数约束，得到一个线性规划问题。
然后通过求解线性规划问题的松弛解，并将松弛解的整数部分作为整数规划问题的一个近似解。
2. 近似局部搜索算法（Approximate Local Search）近似局部搜索算法通过在整数规划问题的解空间中进行局部搜索，通过一系列的改进和优化策略来逐步提高解的质量。
该算法在每一步都根据某种准则选择当前最优解，并通过局部搜索来寻找局部最优解。
然后，通过重复进行局部搜索和改进操作，逐渐向全局最优解靠近。
3. 启发式算法（Heuristic Algorithm）启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，通过在可行解空间中搜索一组近似解，并根据某种评价准则选择最优解。
在解决整数规划问题时，启发式算法通过寻找有效的近似解，来替代寻找准确解，从而节省计算资源和时间。
三、近似算法的应用案例近似算法在实际问题中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例，介绍近似算法的应用。
假设某物流公司需要将一批货物从仓库分配到多个客户，其中仓库和客户的位置已知，货物的需求和供应量也已知。
3.2整数规划的求解方法
当人们开始接触整数规划问题 时，常会有如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此 经过一一比较后，总能求出最 好方案，例如，背包问题充其 量有2n-1种方式；连线问题充其 量有n!种方式；实际上这种方法 是不可行。
设想计算机每秒能比较 1000000个方式，那么要比较 完20!（大于2*1018）种方式， 大约需要800年。比较完260 种方式，大约需要360世纪。
先放弃变量的整数性要求， 解一个线性规划问题，然后 用“四舍五入”法取整数解， 这种方法，只有在变量的取 值很大时，才有成功的可能 性，而当变量的取值较小时， 特别是0-1规划时，往往不能 成功。
整数规划的图解法
例 求下列问题：
Max Z=3x1+13x2
s.t.2x1+9x2 40 11x1-8x2 82
最通常的松驰问题是放弃变 量的整数性要求后，（P）为线性 规划问题。
分枝定界法步骤 一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
分枝定界法步骤 一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
定界：把满足整数条件各分枝的 最优目标函数值作为上（下）界， 用它来判断分枝是保留还是剪枝。 （对目标求max的ILP问题,松弛问 题的最优值是ILP的最优值的一个 上界，松弛问题的任一整数可行 解对应的目标函数值都是ILP的一 个下界）
定界：把满足整数条件各分枝的 最优目标函数值作为上（下）界， 用它来判断分枝是保留还是剪枝。 剪枝：把那些子问题的最优值与 界值比较，凡不优或不能更优的 分枝全剪掉，直到每个分枝都查 清为止。
管理运筹学讲义：整数规划
福建师范大学经济学院
第一节
• 步骤：
整数规划问题
二、 整数规划的图解法
在线性规划的可行域内列出所有决策变量可能取的整数值， 求出这些变量所有可行的整数解， 比较它们相应的目标函数值，最优的目标函数值所对应的 解就是整数规划的最优解。 x2
• 实用性：
只有两个决策变量， 可行的整数解较少。
x2
5
4
3 2 1
•
• • •
1
• • •
2
x2=3
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35 2x1 + x2 =9
x2 =2
x1
10
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第二节
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解
问题4相应的线性规划的最优解： x1=3，x2 =2，Z4=28 问题5相应的线性规划的最优解：x1=14/5，x2 =3，Z5=159/5
11
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第二节
问题6：maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1≤3 x2 ≥3 x1≤2 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
分枝定界法
问题7： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤3 x2 ≥3 x1 ≥ 3 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
第6章
整数规划
• 线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但许多
实际问题中，只有当决策变量的取值为整数时才有意义。
例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完成工作的人 数等，分数或小数解显然是不合理的。
运筹学中整数规划问题的近似算法
运筹学中整数规划问题的近似算法近似算法在运筹学中整数规划问题的解决中起着重要的作用。
整数规划问题是指决策变量为整数的最优化问题，它在实际问题中具有广泛的应用，如物流配送、生产调度以及网络优化等领域。
然而，由于整数规划问题的困难性，寻求精确解的方法可能需要耗费大量的时间和计算资源。
因此，近似算法成为一种有效的求解整数规划问题的方式。
一、整数规划问题的定义与特点整数规划问题可以定义为在约束条件下，目标函数为整数线性函数的最优化问题。
它与线性规划问题相比，多了一个要求决策变量为整数的限制条件。
这使得整数规划问题的解空间不连续，增加了问题的难度。
二、整数规划问题的近似算法分类在运筹学领域，有多种近似算法被提出来解决整数规划问题。
根据算法的思想和方法，这些算法可以分为以下几类：1. 分支定界算法分支定界算法是一种广泛运用于整数规划问题求解的近似算法。
该算法的基本思想是通过将整数规划问题分解为多个子问题，并对每个子问题进行线性规划求解。
通过对每个子问题的目标函数值进行判断和优化，最终得到整数规划问题的近似解。
2. 近似拉格朗日算法近似拉格朗日算法是一种基于拉格朗日乘子法的近似算法。
该算法的核心思想是通过求解相应的拉格朗日松弛问题来逼近整数规划问题的最优解。
这种方法可以有效地简化整数规划问题的复杂度，提高问题求解的效率。
3. 启发式算法启发式算法是一种利用经验或专业知识来指导求解过程的近似算法。
它不保证可以找到问题的最优解，但可以快速找到较好的解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法和蚁群算法等。
三、近似算法的优缺点近似算法在解决整数规划问题中具有以下优点：1. 时间复杂度低：与精确算法相比，近似算法可以大大减少计算时间，加快问题的求解速度。
2. 解的质量较高：虽然近似算法不能保证找到问题的最优解，但通常能够找到接近最优解的较好解。
然而，近似算法也存在一些缺点：1. 解的质量不能保证：近似算法在求解整数规划问题时，无法提供问题的最优解。
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
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j m 1
j m 1
n
b
n
ij x j
bi 0 , 称为割平面的来源行．
[b
f
n
ij ] x j
[bi 0 ] f i 0
j m 1
f
n
ij x j .
为了使x i（i=1,2，…，m）是整数，上式右端必须是整式． 又注意到 f ij 0, x j 0
第二步 分枝与定界． 设（B）的非整数最优解为
X
*
( x , x , , x )
* 1 * 2 * n
T
且其中xj*（j=1，2，…，n）不是整数，则必有
[x* ] x* [x* ] 1 j j j
其中[xj*]表示小于xj*的最大整数．由此构造两个约束条件：
x j [ x* ]和x j [ x* ] 1, j j
f i0
ij
x j f i0 1
j m 1
因为小于1 整数不大于零，所以有 f i 0
j m 1
f
n
ij x j
0
（3）
由上述分析可得如下重要结论： 如果线性规划问题（Ⅱ）有整数解，则它必须满足条件（3） 此不等式称为割平面不等式． 在（3）中加入松弛变量,则有
f i0
（2.25，3.75）
B2
B1
( B1 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 3, x1 , x2 0.
( B2 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x1 , x2 0.
7/22x3+1/22x4 =7/2
将上述割平面不等式加入松弛变量y1，得割平面方程：
1 7 1 x3 x4 y1 0, 2 22 22 7 1 1 y1 x3 x4 22 22 2
把这个割平面方程放在上面的最终单纯形表中得下表 x1 x2 Y1 -s 9/2 7/2 -1/2 -63 1 0 0 0 0 1 0 0 -1/22 7/22 -7/22 3/22 1/22 -1/22 0 0 1
割平面法的基本思想是：首先不考虑变量是整 数的条件，但增加特定的约束条件（称为割平 面），使得在原凸可行域中切掉一部分，被切 割掉的这部分不包含任何的整数可行解．这样 经过有限次的切割，最终可得到某个顶点的坐 标恰好是整数，并且是问题的最优解． 割平面算法的基本类型有纯整数型和混合 型．本节仅讨论纯整数型的割平面算法，它的 基本要求是：每一个约束条件的所有系数及右 端常数项都必须是整数． 下面先讨论线性规划问题存在整数解的必要条 件．
将其分别加入到问题（B）中，从而得到(B)的两个子线性规 划问题（B1）和（B2），即
( B1 )
max Z c j x j ,
j 1
n
( B2 )
max Z c j x j ,
j 1
n
n aij x j bi , j 1 * x j [ x j ], x j 0.
x1 , x 2 , x 3 , x 4 0.
用单纯形法求其解，得最终单纯形表 x1 X2 -s 9/2 7/2 -63 1 0 0 0 1 0 -1/22 7/22 3/22 1/22
-28/11 -15/11
其解x 1=9/2，x 2=7/2，不满足整数要求． （2）引进以x 2所在行为来源行的割平面：
-28/11 -15/11 0
利用对偶单纯形法求解，得最终单纯形表为 x1 32/7 1 0 0 1/7
x2 Y3 -s 3 11/7 -59 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/7 -1
-1/7 1 -22/7 -8
4 1 6 x 4 y1 0 以x 1行为来源行，得割平面为： 7 7 7 引进松弛变量y2，得相应的割平面方程为：
0
-1
-8
0
最优单纯形表为 x1 x2 x3 X4 -S 4 3 1 4 -55 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 -1 1 -4 6 -2 1 0 1 -7 -7
原规划问题的最优解为 x1=4，
x2=3
． 最优值为S=55
3.2.2 分枝定界法
设有整数规划问题（A）为：
基本思路． 第一步 类似割平面法，求解线性规划（B） 其结果有下列三种情形： （1）（B ）无可行解。这时（A ）也无可行解， 则停止运算； （2）（ B ）有整数最优解。这时（ B ）的最优 解就是（A）的最优解，则停止运算； （3）（B）有最优解，但是其解的分量不全为 整数。 这时（B）的最优解不是（A）的可 行解。
为了表述方便，这里恰好用x 1，x 2，…，x m作为基变量． 如果b i0（i=1,2，…，m）全是整数，显然它是原问题的 最优解． 如果b i0（i=1,2，…，m）不全为整数，不妨设b i0不是整数， 则它对应于单纯形表中第i个方程
xi
bij [bij ] f ij , bi 0 [bi 0 ] f i 0
因为在问题（B3）中有
( B5 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x1 1, x2 4, x , x 0. 1 2
( B6 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x1 1, x2 5, x , x 0. 1 2
设有整数规划问题为：
max S
c
j 1
n
jxj,
n aij x j bi , (i 1,2, , m) j 1 x j 0, (且是整数).
与其对应的线性规划问题为：
max S
c
j 1
n
jxj,
n aij x j bi , (i 1,2, , m), j 1 x j 0.
解 （1）设（A）的松弛问题为（B0），不考虑整数约束， 利用单纯形法求解（B0），其可行解域如图1所示，解得最 优解为： x 1=2.25，x 2=3.75，且Z0=41.25． ．
（2.25，3.75）
图1
图2
因x 1，x 2都是小数，可任选一个进行分枝．今选 x 2=3.75，对问题（B0）分别增加约束条件： x 2[3.75]=3 和 x 2[3.75]+1=4, 将（B0）分解成为两个子问题（B1）和（B2）．
值得指出的是，增加了约束条件x 2≤3和x 2≥4之 后，虽然缩小了可行解的范围，但原问题（A）的 整数可行解并没有改变，这是因为在 3<x 2<4内没有任何整数解，见图2。
(3) 重 复 步 骤 （ 2 ） ， 继 续 对 （ B2 ） 进 行 分 解．对（B2）增加约束条件： x 1[1.8]=1 和x 1[1.8]+1=2, 将（B2）再分解为两个子问题（B3)和（B4）：
n
j m 1
f
n
ij x j
yi 0
j m 1
f
ij x j
yi f i0 ,
称此方程为割平面方程． 可以证明：割平面（3）式割去了对应线性规划问题的 最优解，但末割去原整数规划问题的任一整数可行解． 下面举例说明割平面法的求解步骤．
例 用割平面法求解 ( I) max S 7 x1 9 x 2 ,
n aij x j bi , j 1 * x j [ x j ] 1, x j 0.
分别求解（Bl）和（B2）．如果某子问题有最优 整数解，且其目标函数值大于原来的下界（原问题(A) 的下界可看作0） ，则将其值作为下界，记作Z．
第三步 剪枝．在继续分枝的过程中，如果某分枝 的最优目标函数值有小于 Z ，则称这个分枝已被 “查清”。将该枝剪掉，不再计算。因为再算下去， 也不会得到更大的目标函数值。 若某分枝的目标函数值大于下界Z，且不符合整数 条件，则重复第二步骤，直到找到整数解X*． 例 求解问题
( B3 )
( B4 )
求解问题（B3）和（B4）。问题（B4）无可行解，这个子问 题也已查清．而问题（B3）的最优解为：
4 5 x1 1, x2 4 且Z 3 40 , 9 9
4 x2 4 , 且 9 Z3> Z，所以，继续对（B3）进行分解， 对问题（B3）分别增加约束条件：x 24和x 25，则有：
1 3 x1 x 2 2, 1 x1 x 2 5, 7 x1 , x 2 0, 且为整数. 解 （1）把约束条件 (II) max S 7 x1 9 x 2 , 中的系数化为整数， x1 3x 2 x 3 6, 加上松弛变量，去掉 整数约束，则得对应 7 x1 x 2 x 4 35, 的线性规划问题为
1 6 4 y 2 x4 y1 7 7 7
将割平面方程加在上面单纯形表中得下表 x1 x2 x3 Y2 32/7 3 11/7 -4/7 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1/7 0 1/7 -1/7* -1/7 1 -22/7 -6/7 0 0 0 1
-S
-59
0
0
( A)
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x , x 0, 且为整数. 1 2
( B0 )