锐角三角比的意义
锐角三角比的意义
B
BC 2
tan A
.
AC 3
tan B AC 3
C
A
BC 2
B
当直角三角形的一个锐角的大小
确定时，这个锐角的邻边与对边 a
c
的比值也是确定的。
C
b
A
我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比
叫做这个锐角的余切(cotangent)。
如图，锐角A的余切记作cotA，这时
cot
A
锐角A的邻边 锐角A的对边
在Rt△_____中，∠B的邻边是BD. (3) ∠ACD的邻边是___________，
∠BCD的对边是___________。 C
A
D
B
2、在RtABC中，C 90，如果将这个三角形的各边 扩大2倍后得到ABC,那么tan A与tan A的关系是（）
（A）tan A 2 tan A （B）tan A 2 tan A （C）tan A tan A
B1C1 AC1 ，B1C1 AC1 B2C2 AC2 B3C3 AC3
C3 C2 C1
A
B1C1 B2C2 B3C3
AC1 AC2 AC3
结论1：如果给定直角三角形的一个锐角，那
么这个锐角的对边与邻边的长度的比值就是一
个确定的数。
锐角A的对边 锐角A的邻边
一个确定的值
问题2：当直角三角形中一个锐角的大小变化时，
鹿鸣学校 张仲炎
直角三角形
角的关系：有一个角是直角、两锐角互余
边的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方 （勾股定理）
A 边与角的关系：含30°角的直角三角形 含45°角的直角三角形
b
c
C
a
锐角三角比的意义(一)
锐角三角比的意义（一）古松学校顾卫标教学设计说明一、教材的地位与作用本节课是学生在学习了直角三角形和相似三角形有关性质后，通过研究直角三角形中的边、角关系建立锐角三角比的概念。
锐角三角比是初三数学中的重要数学槪念，概念的形成不仅为研究直角三角形提供了有用的工具，而且在数学学习与生活生产实际中都有广泛应用。
二、教学内容的编排1.概念的形成由于本课时是锐角三角比概念形成的第一节课，主要教学目标是掌握锐角的正切、余切的槪念及相互关系，因此我把锐角正切、余切的概念形成作为本节课的重点及难点。
在问题解决过程中不断反馈和分析信息，做到适时点拨，引导学生自己从问题解决过程中提炼岀超越问题情景的思想，并在前一章“相似形”所学知识的基础上寻找岀新知识的生长点，即直角三角形一个锐角大小确泄后，其直角边的比值也确疋，从而建立起新的数学概念一角的正切、余切的概念，并让学生感知学习这两个概念的实际意义。
这样既能突出重点、难点，又能符合学生的普遍接受能力。
2.概念的应用为了加强学生对锐角正、余切概念及相互关系的应用，本节课设计不同层次的例题和习题，并通过归纳和总结，帮助学生从知识到能力的迁移，进一步优化知识结构。
此外，从总体上这两组题目的内容是由注入深、循序渐进的。
三、教学方法本节课的课堂教学主要采用问题解决教学的方法。
在槪念学习时并没有把知识宜接传授给学生，而是让学生从问题解决过程中去发现、去探求，并通过教师适当、必要的引导对结论进行归纳。
在教学过程中还运用各种手段，从各个方而来帮助学生理解，使形象思维与抽象思维充分地、有机地结合起来，旨在学生对新概念的现解更深入、更准确、更有效。
四、教学策略1.以问题评价为主要形式，及时调控教学进程。
在教学过程的各环节中，通过设置富有开放性、挑战性且层层深入的问题来址壺学生思维进程，教师通过学生回答问题的积极性、主动性、正确性来灵活调控教学进程。
2.以多种训练形式为途径，增加教学反馈的层而。
九年级同步第10讲：锐角三角比的意义
acABCb锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．锐角三角比的概念是以相似三角形为基础建立起来的，本讲主要讲解锐角的正切和余切、正弦和余弦的概念，重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备．1、 正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b===锐角的对边锐角的邻边．2、 余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A 的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a===锐角的邻边锐角的对边．锐角的三角比的意义内容分析知识结构模块一：正切和余切知识精讲PNMQABCPNMQ【例1】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A ∠的对边是______，A ∠的邻边是______；B ∠的对边是______，B ∠的邻边是______．【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） 在Rt MNP ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______；在Rt MPQ ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______．（2） 在Rt ∆____中，N ∠的对边是MP ；在Rt ∆____中，N ∠的邻边是NQ ． （3） MPQ ∠的邻边是______，NPQ ∠的对边是______．【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） ()()tan NPM MQ==． （2）PQ QN =______，=MPPN______．（用正切或余切表示） 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析ABCDOyxABO 【例4】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，BC = 5，求tan A 、cot A 、tan B 、cot B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例5】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，AB = 5，求tan A 、cot A 、tan B 、cot B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例6】 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知OA = 2，AB = 3，求tan OAD ∠和cot ODC ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图，已知正比例函数2y x =的图像上有一动点A ，x 轴上有一动点B ，求tan AOB ∠和cot AOB ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 9，tan A =34． 求：（1）AB 的长；（2）tan B 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】acABCbPNMQ1、 正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ． sin A BC aA AB c===锐角的对边斜边．2、 余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c ===锐角的邻边斜边．【例9】 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） ()()sin NPM MP==． （2）PQ PN =______，=MQMP______．（用正弦或余弦表示） 【难度】★ 【答案】 【解析】【例10】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，AB = 5，求sin A ，cos A ，sin B ，cos B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】模块二：正弦和余弦知识精讲例题解析xyPO【例11】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，BC = 5，求sin A ，cos A ，sin B ，cos B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例12】 如图，在直角坐标平面内有一点P （2，3）．求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正弦和余弦的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例13】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 9，sin A =34． 求：（1）AB 的长；（2）sin B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例14】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin A =23，求sin B 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCABC1、 锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．【例15】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，BC = 4，求A ∠的四个三角比的值． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例16】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，tan A =34，求B ∠的四个三角比的值． 【难度】★ 【答案】 【解析】定义 表达式 取值范围 相互关系正 切 tan A A A ∠=∠的对边的邻边tan a A b= tan b B a=tan 0A > （A ∠为锐角） 1tan cot A A=余 切 cot A A A ∠=∠的邻边的对边cot b A a=cot a B b=cot 0A > （A ∠为锐角）正 弦 sin A A ∠=的对边斜边sin aA c =sin bB c=0sin 1A << （A ∠为锐角） ()sin cos 90A A =︒-∠ ()cos sin 90A A =︒-∠余 弦cos A A ∠=的邻边斜边cos b A c=cos a B c=0cos 1A << （A ∠为锐角）模块三：锐角的三角比知识精讲例题解析ABC DABCD【例17】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin B =34，求sin A 、cos A 、tan A 和cot A ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例18】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求sin A 、cos A 、tan A和cot A ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例19】 已知等腰ABC ∆中，底边BC = 20 cm ，面积为40 cm 2，求sin B 和tan C ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例20】 如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，若AB = 9，BC = 12，求sin A 、cos α、tan β、cot C 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在边BC 上，AD = BD = 5，4sin 5ADC ∠=，求cos ABC ∠和tan ABC ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABO xyAB CD E68【例22】 在直角坐标平面内有一点A （3，1），点A 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角为α，求sin α、cos α、tan α和cot α．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】 已知一次函数y = 2x -1与x 轴所夹的锐角为α，求tan α和sin α的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】 如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为（10，0），点B 在第一象限内，BO = 5，3sin 5BOA ∠=．求：（1）点B 的坐标；（2）cos BAO ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC ∆如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE ，求sin CBE ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDEABCDAB CA BC【例26】 如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 10，B ∠为锐角，sin B =45，1tan 2ACB ∠=，求AD 、AC 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】 如图，在ABC ∆中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求ACB ∠的四个三角比的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】 已知ABC ∆中，sin A = 513，tan B = 2，且AB = 29．求ABC ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例29】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，AB = 12，4cot 3ADB ∠=，求：（1）DBC ∠的余弦值；（2）DE 的长．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDA BCD CABMOxy【例30】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCB α∠=，若AD : BC= 16 : 15，求sin α、cot α的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例31】 如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，3sin 5A =，AB = 14，BD 是AC 边上的中线．求：（1）ABC ∆的面积；（2）ABD ∠的余切值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例32】 如图，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，已知A （1，0），B （0，3），M 为BC 中点，求tan MOA ∠．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABC【习题1】已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，AC = 4．则：（1）sin A = ______，cos A = ______，tan A = ______，cot A = ______； （2）sin B = ______，cos B = ______，tan B = ______，cot B = ______．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，cos A =25，则AB = ______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 已知90A B ∠+∠=︒，则sin A – cos B 的值为______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】如图，在ABC ∆中，AB = BC = 20，410AC =，求sin A 和tan A 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABC DEABC D【习题5】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD ⊥AB 于D ．已知AC = 8，BC = 15．求DCA ∠的三角比．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，sin A =23，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ⊥AC ，DE = 2，DB = 9，求DC 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】已知，锐角α的顶点在坐标原点，一边与x 轴正半轴重合，另一边经过点P （15）．求α的三角比． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDA BP xyO 【习题8】 已知一次函数y =43x – 4的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，求sin POB ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCA α∠=，AD : BC = 7 : 12，求sin α、tan α的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题10】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD = AB = CD = 4，1cos 4C ∠=． （1）求BC 的长； （2）求tan ADB ∠的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABC【作业1】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠的对边是a 、b ，则ba（ ）A ．A ∠的正弦值B ．B ∠的余弦值C ．A ∠的余切值D ．B ∠的余切值【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = c ，AC = b ，BC = a ，则下列关系不成立的是（）A ．b = c ·cos AB ．a = b ·tan BC ．c =cos aBD ．tan A ·tan B = 1【难度】★ 【答案】 【解析】【作业3】已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 16，cos A =34． 求：（1）AC 的长；（2）tan B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】已知ABC ∆的三边a 、b 、c 满足a : b : c = 5 : 12 : 13，则sin A + cos A=______．【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业ABCABCD EABC【作业5】若α是锐角，且1cot 3α=，则()cos 90α︒-=______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】已知ABC ∆中，BC = 10，cos C =18，AC = 8．求AB 的长和B ∠的正切值．【难度】★★【答案】 【解析】【作业7】如图，在ABC ∆中，AB = BC = 10，210AC =sin B 和tan B 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD 是斜边AB 上的高．若点E 在线段DB 上，联结CE ，24sin 25AEC ∠=．求CE 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】已知ABC ∆中，C ∠是锐角，BC = a ，AC = b ．求证：1sin 2ABC S ab C ∆=．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业10】 已知，在平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（2，1），点B 的坐标为（1，4），点C 的坐标为（8，3），求sin ACB ∠和tan ABC ∠的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】。
25.1 锐角三角比的意义
第一节 锐角的三角比§25.1锐角的三角比的意义教学目标(1)经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概念的体验。
(2)掌握锐角的三角比的定义，会根据直角三角形中两边的长求锐角的三角比的值。
(3)了解锐角的三角比的范围。
教学重点让学生经历锐角的正切概念的形成过程，掌握正切、余切的定义。
引进锐角的正弦和余弦，帮助学生掌握正弦和余弦的定义，了解三角比的含义和符号表示。
知识概要1.直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角大小的变化而变化。
锐角的大小确定，则对边与邻边的比值唯一确定。
2.我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切。
锐角A 的正切记作tan A ， tan =A BC a A A AC b==锐角的对边锐角的邻边。
注：在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边通常分别用,,a b c 表示。
在Rt ABC ∆中，090C ∠=，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边。
3.我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切。
锐角A 的余切记作cot A ， cot =A AC b A A BC a ==锐角的邻边锐角的对边。
根据正切与余切的意义，可以得到 1tan cot A A =。
在Rt ABC ∆中，090C ∠=，可知090A B ∠+∠=，cot tan B A =。
4.如果直角三角形的一个锐角是确定的，那么它的对边或邻边与斜边的比也是确定的。
我们定义： 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦。
直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦。
在Rt ABC ∆中，090C ∠=，锐角A 的正弦记作sin A ，这时 sin =A BC a A A AB c ==锐角的对边锐角的邻边； 锐角A 的余弦记作cos A ，这时 cos =A AC b A A AB c ==锐角的邻边锐角的邻边。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 25.1锐角三角比的意义教案
§25.1(1) 锐角三角比的意义(1)教学目标：知道直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，由此理解锐角的正切和余切的几何意义；会根据直角三角形的两条直角边的长度求锐角的正切、余切值；经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的体会，体会数学与生活的联系.教学重点：理解直角三角形中锐角的正切、余切的意义，会建立直角三角形这一模型.教学难点：体会锐角与边的比值的联系. 教学设计： 教学过程 设计意图 一、情景引入问题1 (1) 学校的操场有一个旗杆垂直于地面，现有一根皮尺，你能设计一个方案，测量旗杆的高度AB 吗？ (学生言之有理即可)(2)一名学生这样测量：某日的下午，让同伴测量他的身高和影长，当他的影长等于身高时，马上让同伴测出旗杆的影长，此时的影长就是旗杆的高度，你认为他的方法确切吗？为什么？(3) 思考：我们能不能在任意时刻用上述方法测出旗杆的高度？为什么？如图，阳光AC 与DF 可以看成AC//DF ，则∠C=∠F. ∴△ABC ∽△DEF ，得EFBC DEAB ，只要测得DE 、EF 、BC 的长，就可以求出AB 的长.(4) 从固定时刻到任意时刻，哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化？(5) 古希腊著名数学家泰勒斯曾用这个方法测得了埃及金字塔的高度. 二、探索新知小组合作探究1：（1）在学习单上取定一个锐角∠MAN利用实际问题引入一个直角三角形的两条边的比值与锐角之间的联系，体验数学与生活的联系.通过小组探究活动，获得直角三角形的两条直角边之比是一个定ABCDEF（2）在射线AM 上取一点B ，过点B 向射线AN 引垂线，垂足为C ，（3）问：ACBC的值是确定的吗？为什么？ 要求：1、小组合作探究； 2、汇报数据，交流、展示；3、师生共同简述理由.4、∠A 不变，虽然两条直角边长发生了变化，但它们的比值不变探究2：如果改变∠A 的大小，这个角的 对边与邻边的比会改变吗？为什么？ 要求：1、运用几何画板直观感受； 2、举反例说明； 3、归纳：在Rt △ABC 中，∠C=90°一个定值的邻边锐角的对边锐角=A A .规定∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c定义：(1) 直角三角形中，锐角A 的对边与邻边的比叫做锐角A 的正切，记为tanA..tan baAC BC A A A ===的邻边锐角的对边锐角说明：tanA 的值与∠A 的度数或直角边的比值有关. 思考：当∠A 确定时，的对边锐角的邻边锐角A A 是否是定值？为什么？(2) 直角三角形中，锐角A 的邻边与对边的比叫做锐角A 的余切，记为cotA. .cot abBC AC A A A ===的对边锐角的邻边锐角(AA cot 1tan =或1cot tan =⋅A A )三、课堂练习例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，求tanA 、tanB 、cotA 、cotB 的值.要求：1、要求学生画草图，教师规范格式求tanA ； 2、学生独立完成tanB 、cotA 、cotB ；3、归纳、小结：当∠A+∠B=90°时，tanA=cotB.值这一事实.理解直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，并引入正切、余切的概念.同一个锐角的正切值与余切值是一对倒数，让学生掌握.让学生知道互余的两个角，一个角的正切值等于另一个角的余切值.aC A B c bB 3B 1B 2C 3C 1 A C 2 MN CED AMNP例 2 在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AB=5，求tanA 、cotA 的值.要求：1、学生独立完成；2、归纳、小结：求锐角的三角比时， 常会用到勾股定理.书本P63—练习25.1(1)四、课堂小结(1) 通过今天的学习，你有什么收获和体会？ (2) 一个锐角的正切或余切的值与这个锐角的大小有确定的依赖关系；(3) 初中阶段锐角的三角比是在直角三角形里研究的，如果没有适当的直角三角形，可以构造直角三角形解决. 五、作业必做题 练习册 习题25.1(1) 选做题 已知：如图，在△ABC 中， tanB=1，cotC=2，BC=6，求△ABC 的 面积. 课堂小结，对本节课内容作简要回顾.作业分层，满足不同层次的学生；并渗透构造直角三角形的方法.教学设计说明：《锐角的三角比》是初三第一学期的几何教学内容，它在解决实际问题中有着重要的作用。
锐角的三角比的意义说课案
《锐角的三角比的意义》的说课本节课是《第二十五章锐角的三角比》的第一课时，是本章节的重点之一，也是学习正弦、余弦的准备。
教学大纲的目标是：让学生经历锐角的正切概念的形成过程，掌握正切和余切的定义；会根据直角三角形中两边的长求锐角的正切、余切的值。
按照教学大纲的目标，学生应该已经掌握直角三角形的定义、直角三角形中两锐角之间的关系、直角三角形的三边之间的关系，以及应该理解相似三角形的概念、掌握两个三角形相似的判定方法和相似三角形的性质；还应该有较强的几何识图能力、几何计算能力、几何逻辑思维能力，能够较熟练地对数学三种语言进行转换。
现授课的班级学生的知识掌握程度和能力与上述要求还有很大的差距。
以相似三角形证明中常见的图形为例，本班学生中只有三分之一的学生能够较准确、完整的证明△ABD∽△BCD,有一名学生至今还不能准确证明△ABC∽△ADB。
半数学生使用符号语言表述“直角三角形中两锐角互余”，和图形中找出所有的互余角存在困难，甚至直角边、斜边还会弄错。
根据学生的实际情况，我在教学设计中，把教学重点定为：“理解锐角的正切、余切的定义”。
降低要求。
力争让大多数的学生能够达成教学目标。
在课程中，我安排较多的锐角的正切的定义的运用练习，强化他们对锐角的正切的定义的理解：能在指定的直角三角形中找出锐角的对边、邻边，并能用符号表示锐角的正切。
在此基础上再进行计算,引出锐角的余弦的定义。
巩固练习题进一步的强化锐角的正切、余切的定义的理解，再采用逐步减少已知条件来提高难度，最后让学生自己来设计题目要求。
在这个过程中，能力强的同学通过自己提高题目的难度来展示自己的才华；能力差的同学始终围绕定义来看图、做题，培养他们的识图能力，并给他们一个挑战自我、提高自我能力的平台，激发他们学习的热情。
另外，教材中使用古希腊数学家泰勒斯测金字塔高度作为引入，由于要求较高，我只是作为情景引入，让学生感知数学来源于生活着一事实，不进一步展开。
【学科优学】初三冲刺——线段间的函数关系建立
【例1】 知识内容： （1）锐角三角比的意义：正切：tan A BC aA A AC b ===锐角的对边锐角的邻边．余切：cot A AC bA A BC a===锐角的邻边锐角的对边．正弦：sin A BC aA AB c ===锐角的对边斜边．余弦：cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．（2）同角、余角、等角的锐角三角比的关系： i. 当A ∠为锐角时，tan cot 1A A ⋅=，22sin cos 1A A +=； ii. 当A ∠与B ∠互余时，sin cos A B =，cot tanA B =；iii. 当两个角为锐角，且相等时，那么他们的锐角三角比的值相等． 【例2】 利用锐角三角比解题的基本条件：将所用锐角放进直角三角形中． 【例3】解题思路：判定需要确定解析式的两条线段是否在同一个直角三角形中，若在，直接利用锐角三角比列比例式；如若不在，再去判定两条线段是否分别在两个直角三角形中，再找到两个三角形中相等的角，利用锐角三角比来确定比例式，从而求出解析式．【例1】 如图1，梯形中，，对角线⊥，＝9，＝12，＝16．点E 是边上的一个动点，∠＝∠，交于点F ，交延长线于点G ，设BE x =．（1）试用x 的代数式表示；（2）设FGy EF=，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图【解析】解：（1）在△中，12，16，∴2222121620AC BC +=+=， 同理，在△中，9，12，∴222212915AC AD +=+=， 在△和△中， ∴∠∠．知识结构知识精讲 模块一：利用锐角三角比构造函数关系式例题解析两条线段间的函数关系问题∵∠∠， ∴∠∠．∴△∽△， ∴AB BE AC CF =，即2012x CF =．（2）由（1）得：△∽△，则AB AEAC AF=． 又∠∠，∴△∽△， ∴∠∠90°，∠∠． 解法一：∵∠∠∠∠， ∴∠∠，过E 作⊥，垂足为H ， ∵，解法二：∵∥，即339:15:55CG x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵∠∠，∠∠，∴∠ =∠，tan tan FEG CAG ∠=∠．【例2】 在Rt ABC 中，∠C ＝90°，＝2，Rt ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结．过点E 作直线与射线垂直，交点为M ． （1）若点M 与点B 重合（如图1），求∠的值；（2）若点M 在边上（如图2），设边长＝x ，＝y ，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．图1 图2【解析】解：（1）当点M 与点B 重合，由旋转得：2BC BD ==，AC ED =，CBA EBD ∠=∠， （2）设EM 与边AB 交点为G ．由题意可知：1290∠+∠=︒，390CBA ∠+∠=︒，又23∠=∠，∵EDG BDE ∠=∠， ∴△EDG ∽△BDE ． ∴ED DGBD ED=． 由题意可知：cos MB BCABC BG AB ∠==， ∴222444xy x x -=++，定义域为02x <<．1、 解题思路：判定需要确定解析式的两条线段是否在同一个直角三角形中，若在，直接利用勾股定理列出等AC B M E DG H 12 3模块二：利用勾股定理构造函数关系式知识精讲式，求出函数解析式来；如若不在，再去判定两条线段是否分别在两个直角三角形中，利用已知条件分别表示出两条线段的长来，再根据线段之间的关系列出相应等式，从而求出解析式．【例3】如图，在矩形中，＝9，＝15．将点B翻折到边上的点M处，折痕与相交于点E，与相交于点F．如果＝x，＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【解析】解：将矩形沿翻折后，点B与点M重合，＝x，＝y，＝9，又在Rt AEM中，222AE AM EM+=,当点E与点A重合时，此时9，解得：9x=；当点F与点C重合时，则15MF BC==，【例4】在Rt ABC中，∠＝90°，＝10，∠＝34，点O是边上的动点，以O为圆心，为半径的⊙O与边的另一个交点为D，过点D作的垂线，交⊙O于点E，联结、．（1）如图1，当时，求⊙O的半径；（2）设＝x，＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．图1 备用图备用图【解析】解：（1）∵⊥，过圆心O，∴垂直平分，∴，∴∠∠，∵，∴∠∠，∴∠∠，∴，∴，又∵⊥，⊥，∴，∴为平行四边形，∴，∴5，作⊥于H，则1252，∵3tan4ABC∠=，∴258，即⊙O的半径长是258．（2）联结，作⊥于M，作⊥于H，则，∵⊥，过圆心O，∴平分，∴是的中垂线，∴，在△中，∵，3 tan4ABC∠=，∴45x，∴85x，HEDCBAOMHEDCBAO例题解析则得245，325，∴32855x -， 在△中，222AD AM DM =+，即22224328()()555y x =+-，1、 知识内容：相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 2、解题思路：利用已知条件寻找题目中的相似三角形，根据相似三角形的性质列出相应的比例式，再去判定所要确定的线段函数关系式是否包含在所列的比例式中，若在就直接求出解析式；若不在先利用相似三角形的性质表示出相关线段的长度，然后再去利用线段和差或者其它等量关系等确定所求线段的函数关系式．【例5】 如图1，已知△是等边三角形，＝4，点D 是边上一动点（不与A 、C 重合），垂直平分，分别交、于点E 、F ．设＝x ，＝y ．（1）求证：△∽△；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域． 【解析】解：（1）∵△是等边三角形， ∴∠∠∠60°．∵垂直平分，∴，，∴∠∠，∠∠， ∴∠∠60°． ∵∠∠∠∠∠A ， ∴∠∠． ∵∠∠C ，∴△∽△．（2）∵△是等边三角形，∴． ∵垂直平分，∴，，∴4， 4，，4x -，． ∵△∽△，∴AEDDCFC AE CD C ∆∆= ． 知识精讲例题解析模块二：利用相似三角形的性质构造函数关系式【例6】 在△中，＝＝8，＝4，点P 是边上的一个动点，∠＝∠，，联结．（1）如图1，如果，求的长；（2）如图2，如果直线与边的延长线交于点E ，设＝x ，＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．图1图2【解析】解：（1）∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，（2）由（1）得：AP AD BC AC =， 即48AP AD=， ∴82xy x=-， 定义域是02x <<．【习题1】 如图1，在等腰梯形中，，＝，＝6，＝24，＝45，点P 在边上，＝8，点E 在边上，点F 在边上，且∠＝∠B ．过点F 作⊥交线段于点G ，设＝x ，＝y ． （1）求的长；（2）当⊥时，求y 的值；（3）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．图1 备用图【解析】解：（1）分别过点A 、点D 作⊥，⊥，垂足分别为点M 、N （如图1）．可得9．由4sin 5B =，可得3cos 5B =．在Rt ABM 中，15cos BMAB B==． （2）在等腰梯形中，AB CD =，CPF EPF BEP B ∠+∠=∠+∠，且EPF B ∠=∠，在Rt CPF 中，464sin 1655PF CP C =⋅=⨯=，在Rt PFG 中，644256sin 5525FG PF EPF =⋅∠=⨯=．（3）过点E 作⊥，垂足为点H （如图2）．在Rt BEH 中，4sin 5EH BE B x =⋅=，3cos 5BH BE B x =⋅=．在Rt PEH 中，222243()(8)55EP EH PH x x =+=+-．即 2243()(8)5516x x x PF+-=． 【习题2】 如图1，在梯形中，∠A ＝90°，， ＝2，＝3， ∠C ＝12，点P 是延长线上一点，F 为的中点， 联结，交线段于点G ．AB C D PB AC DPE随堂检测 图1NM DCBA H E G 图2FPD CBA（1）若以为半径的⊙B 与以为半径的⊙P 外切，求的长； （2）如图2，过点F 作的平行线交于点E ，①若设＝x ，＝y ，求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； ②联结和，若＝，求的长．图1 图2【解析】解：（1）∵在Rt ABP 中，2，3， x ， ∴22)2(3x ++．∵以为半径的⊙B 与以为半径的⊙P 外切， ∴，即x x +=++3)2(322，解得：2=x ．∴当的长为2时，以为半径的⊙B 与以为半径的⊙P 外切． （2）联结并延长交于点M ，过D 作⊥于点N （如图）．∵F 为的中点，∥， ∴，2．∵∥， ∴DEP M EB ≅，∴．∵1tan 2C =，3， ∴6．∵2， ∴8．∵x ，y ， ， （3）∵∥ ，当 时，四边形为平行四边形．当 ≠时，四边形为等腰梯形． 过E 作⊥于点Q ， 则2yx -． ∵∥，，∴22x+． ∴222-+x ．解得：4=x ． ∴的长为38或4．【作业1】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 是x 轴上的一个动点，平分∠，且∠＝90°．设点C 的坐标为(,)x y ，求y 关于x 的函数关系式．【解析】解：当点B 在x 轴的正半轴时，过点C 作⊥x 轴于点D （如图一）． 平分∠，即OB BC AO AB =． ∠＝90°，⊥x ，OAB DBC ∴，C 的坐标为(,)x y ，⊥x 轴，BD BOAO AO=，且A (0,4)， 12142xy x ∴=，当点B 在x 轴的负半轴时，过点C 作⊥x 轴于点E （如图二）．同理，可得2116y x =．∴y 关于x 的函数关系式为：2116y x =． 课后作业【作业2】如图1，等边三角形的边长为4，点P是线段的延长线上的一个动点，联结，作线段的垂直平分线交于点D，交射线于点Q，联结、．（1）求∠的度数，并求证△∽△；（2）设＝x，＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．图1 备用图【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，4AB=，∵DQ垂直平分BP，同理可得: QPB QBP∠=∠．∴60DPQ CBA∠=∠=，即1260∠+∠=．又∵1360∠+∠=，又∵120PCD QAP∠=∠=，（2）∵△DCP∽△PAQ，∴284x xyx+=-（0＜x＜4）．【作业3】如图，正方形的边长为1，点E是弧上的一个动点，过点E的切线与交于点M，与交于点N．（1）求证：∠＝45°；（2）设＝x，＝y，求y关于x的函数关系式．【解析】解：（1）连接BE．E是弧上的一个动点，过点E的切线与交于点M，正方形，（2）由（1）可得，ME AM x==，EN CN y==．在Rt DMN中，。
第一讲 锐角三角比的意义
九年级上册数学教案锐角三角比的意义第一讲锐角三角比的意义知识框架1 .正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．tanA BC aAA AC b===锐角的对边锐角的邻边．2 . 余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A．cotA AC b AA BC a ===锐角的邻边锐角的对边3 . 正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A．sinA BC aAAB c===锐角的对边斜边．4 .余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．5 .锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 例题解析【例1】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A ∠的对边是______，A ∠的邻边是______B ∠的对边是______，B ∠的邻边是______．【例2】 在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） 在Rt MNP ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______；在Rt MPQ ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______．九年级上册数学教案锐角三角比的意义（2）在Rt∆____中，N∠的对边是MP；在Rt∆____中，N∠的邻边是NQ．（3）MPQ∠的邻边是______，NPQ∠的对边是______．【例3】在Rt MNP∆中，90MPN∠=︒，PQ MN⊥，垂足为点Q．（1）()() tanNPMMQ==．（2）PQQN=______，=MPPN______．（用正切或余切表示）【例4】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，BC = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值．【例5】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，AB = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值．【例6】矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知OA = 2，AB = 3，求tan OAD∠和cot ODC∠的值．【例7】已知正比例函数y=的图像上有一动点A，x轴上有一动点B，求tan AOB∠和cot AOB∠的值．【例8】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 9，tan A = 34．求：（1）AB的长；（2）tan B的值．【例9】在Rt MNP∆中，90MPN∠=︒，PQ MN⊥，垂足为点Q．（1）()() sinNPMMP==．（2）PQPN=______，=MQMP______．（用正弦或余弦表示）【例10】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，AB = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值．【例11】在直角坐标平面内有一点P（2，3）．求OP与x轴正半轴的夹角α的正弦和余弦的值．【例12】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 9，sin A =34．求：（1）AB的长；（2）sin B的值．【例13】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，sin A =23，求sin B的值．【例14】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 5，BC = 4，求A∠的四个三角比的值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义【例15】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，tan A =34，求B ∠的四个三角比的值．【例16】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin B =34，求sin A 、cos A 、tan A 和cot A ． 【例17】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求sin A 、cos A 、tan A和cot A ．【例18】 已知等腰ABC ∆中，底边BC = 20 cm ，面积为40 cm 2，求sin B 和tan C ．【例19】在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，若AB = 9，BC = 12，求sin A 、cos α、tan β、cot C 的值．【例20】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在边BC 上，AD = BD = 5，4sin 5ADC ∠=， 求cos ABC ∠和tan ABC ∠的值．【例21】在直角坐标平面内有一点A（3，1），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为α，求sinα、cosα、tanα和cotα．【例22】已知一次函数y = 2x-1与x轴所夹的锐角为α，求tanα和sinα的值．【例23】在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO = 5，3sin5BOA∠=．求：（1）点B的坐标；（2）cos BAO∠的值．【例24】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC∆如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，求sin CBE∠的值．【例25】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC∆如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，求sin CBE∠的值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义【例26】 在平行四边形ABCD 中，AB = 10，B ∠为锐角，sin B =45，1tan 2ACB ∠=， 求AD 、AC 的长．【例27】 在ABC ∆中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求ACB ∠的四个三角比的值．【例28】 已知ABC ∆中，sin A =513，tan B = 2，且AB = 29．求ABC ∆的面积．【例29】 在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，AB = 12，4cot 3ADB ∠=，求：（1）DBC ∠的余弦值；（2）DE 的长．【例30】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCB α∠=，若AD : BC = 16 : 15，求sin α、cot α的值．【例31】 在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，已知A （1，0），B （0，3），M 为BC课堂练习题【习题1】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 5，AC = 4．则：（1）sin A = ______，cos A = ______，tan A = ______，cot A = ______；（2）sin B = ______，cos B = ______，tan B= ______，cot B = ______．【习题2】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 3，cos A =25，则AB = ______．【习题3】已知90A B∠+∠=︒，则sin A – cos B的值为______．【习题4】在ABC∆中，AB = BC = 20，AC=sin A和tan A的值．【习题5】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，CD⊥AB于D．已知AC = 8，BC = 15．求DCA∠的三角比．【习题6】在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，sin A = 23，点D、E分别在边AB、AC上，DE⊥AC，DE = 2，DB = 9，求DC的长．【习题7】已知，锐角α的顶点在坐标原点，一边与x轴正半轴重合，另一边经过点P（1）．求α的三角比．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义BDCABFE 【习题8】 已知一次函数y =43x – 4的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，求sin POB ∠的值．【习题9】 ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCA α∠=，AD : BC = 7 : 12，求sin α、 tan α的值．【习题10】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD = AB = CD = 4，1cos 4C ∠=． （1）求BC 的长； （2）求tan ADB ∠的值．课后作业【作业1】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠的对边是a 、b ，则ba（ ）A ．A ∠的正弦值B ．B ∠的余弦值C ．A ∠的余切值D ．B ∠的余切值【作业2】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = c ，AC = b ，BC = a ，则下列关系不成立的是（）A ．b = c ·cos AB ．a = b ·tan BC ．c =cos aBD ．tan A ·tan B = 1【作业3】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 16，cos A =34． 求：（1）AC 的长；（2）tan B 的值．【作业4】 已知ABC ∆的三边a 、b 、c 满足a : b : c = 5 : 12 : 13，则sin A + cos A =______．【作业5】 若α是锐角，且1cot 3α=，则()cos 90α︒-=______．【作业6】 已知ABC ∆中，BC = 10，cos C =18，AC = 8．求AB 的长和B ∠的正切值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义用心 细心 耐心 恒心 11【作业7】 如图，在ABC ∆中，AB = BC = 10，AC =sin B 和tan B 的值．【作业8】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD 是斜边AB 上的高．若点E 在线段DB 上，联结CE ，24sin 25AEC ∠=．求CE 的长．【作业9】 已知ABC ∆中，C ∠是锐角，BC = a ，AC = b ．求证：1sin 2ABC S ab C ∆=．【作业10】 已知，在平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，4），点C 的坐标为（8，3），求sin ACB ∠和tan ABC ∠的值．。
沪教版九年级上册数学25.1-25.2 锐角的三角比
25.1-25.2锐角三角比的意义及求值【学习目标】1、通过实验、观察、探究、交流、猜测等数学活动，探索锐角三角比的意义。
2、理解锐角三角比的意义，记住三角比的符号，会进行三角比的文字语言与符号语言的转化。
3、会求直角三角形中指定锐角的三角比。
4、应用锐角三角比的意义及运用特殊锐角三角比值进行计算。
【主要概念】【一】锐角的三角函数的意义【1】正切的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．【2】正弦和余弦的概念如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即【3】三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A 的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A 的三角函数．【二】同角的三角函数之间的关系 【1】平方关系：sin 2α＋cos 2α=1【2】商数关系：【三】互余的两角的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA·tanB=1．【四】特殊锐角的三角函数值0° 30°45°60°90° sinA1cosA 1tanA1—典型例题：例1、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，∵AC=3,BC=2∴tanA=32=AC BCtanB=23=BC AC .分析：(1)要求sinα与cosα的关系的值，而已知tanα的值，故可通过来求值．A B C(2)已知tanα的值，也可通过，把要求的式子的分子，分母同时除以cos 2α转化成关于tanα的关系，这样便可求出结论．点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．例3、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，由勾股定理得 AB 2=AC 2+BC 2 ∵BC=4,AB=5, ∴AC=3452222=-=-BC AB .∴cotA=43=BC AC cotB=34=AC BC . 例4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若，求cosB ，tanB 的值．分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解． 解：如图，设BC=3m ，则AB=5m ，AB C例5、如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（）分析：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°．因为BC=6，AC=8，所以AB=10．因为∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB中，故正确答案为D．答案：D例6、计算分析：这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义．解：点评：学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算．因此，特殊角的三角函数值必须牢记．例7、若α为锐角且sinα＞sinβ，那么（）A．tanα＞tanβB．tanα＜tanβC．tanα=tanβ D．tanα、tanβ大小关系不确定例8、求适合下列各式的锐角α．点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去．例9、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．分析：题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．点评：（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解．例10、如图所示．在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积．分析：由已知∠B=90°，∠A=60°这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形．例11、在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且，AB=4，求AD．分析：在矩形中AB=DC=4，可证∠α=∠1，于是条件转移到△DCE中来了，求出DE．解：在矩形中AB=DC=4，∠2＋∠α=90°又DE⊥AC，∠1＋∠2=90°∴∠1=∠α点评：注意把条件集中到一起．例12 、如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.求：sin A ，cos A ，tanB ，cotB 的值。
锐角三角比的意义
二、理解新知
【练习】
二、理解新知
【练习】
【点睛】 练习1告诉我们：已知直角三角形的两边长，可以求出相应的锐角三角 比的值； 练习2告诉我们：已知直角三角形的一边长及相应的锐角三角比的值， 可以求出相应的另一边长，进而通过勾股定理求出第三边长．
二、理解新知
【分析】根据锐角三角比的定义，计算或运用锐角三 角比时这个锐角必须在直角三角形中，否则应构造一 个直角三角形．
三、掌握新知
二、理解新知
【点睛】合理运用 参数法，可以简化 表达过程．
三、考】用上述方法，我们还 能求出哪些特殊角的三角比？
三、掌握新知
【变式】怎么求15°角的四个三角比的值？ 【分析】求解15°角的三角比时，应借助30°角在直 角三角形中特殊地位，化未知为已知．
【定义】锐角 的正弦、余弦、正切、余切 统称为锐角三角比．
二、理解新知
【记忆】四个三角比中， 1、分子：
1）分子均为“直角边”， 2）“正”的三角比的分子均为“对边”， 3）“余”的三角比的分子均为“邻边”，且符 号都以“co-”开头； 2、分母： 1）“弦”的三角比的分母均为“斜边”， 2）“切”的三角比的分母均为“直角边”．
四、小节与收获
【定义】锐角 的正弦、余弦、正切、余切统称为 的锐角三角比．
【方法】 1、计算或运用锐角的三角比时这个锐角必须在 直角三角形中，否则应构造一个直角三角形． 2、勾股定理发挥了很大的作用． 3、锐角三角比只要求得三边的比例关系即可求 出，不一定要求出每一条边的长度；故而可以 用参数法．
6.1 锐角三角比的意义
一、探究新知
一、探究新知
一、探究新知
【定义】锐角 的正弦、余弦、正切、余切 统称为锐角三角比．
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儒洋教育学科教师辅导讲义
课 题 锐角三角比的意义
教学目标
1、理解锐角的正切、余切、正弦、余弦的概念；
2、能正确使用锐角的正切、余切、正弦、余弦的符号语言；
3、培养观察、归纳、总结数学问题的能力。
教学内容
一、新课讲解：
1、操作：
（1）任作锐角∠。
（2）在上任取B 1、B 2、B 3，分别过B 1、B 2、B 3作的垂线。
垂足为C 1、C 2、C 3。
（3）量出B 1C 1和1，B 2C 2和2，B 3C 3和3的长度，并计算出111B C AC ，222B C
AC ，333
B C AC 的值。
2、探究：
由以上操作可得到：△1C 1、△2C 2、△3C 3。
显然有1C 12C 23C 3，
于是可得：331122123
B C B C B C
AC AC AC ==
3、结论：
在放大和缩小时，当锐角A 的大小固定不变后，无论△的边长怎么变化，两条直角边的比值总是不变的。
大写字母C 表示△的直角，小写字母a 表示∠A 的对边，b 表示∠B 的对边，c 表示斜边。
（如上图） 同理，通过分析可知在放大和缩小时，当锐角A 的大小固定不变后， 无论△的边长怎么变化，直角边与斜边的比值总是不变的。
二、知识要点：
锐角A 的对边（）与邻边（）的比叫做锐角A 的正切，记作。
如图△中，∠900
，b
a
AC BC A A A ===
的邻边锐角的对边锐角tan
锐角A 的邻边（）与对边（）的比叫做锐角A 的余切，记作。
如图△中，∠900
，a
b
BC AC A A A ===
的对边锐角的邻边锐角cot
锐角A 的对边（）与斜边（）的比叫做锐角A 的正弦，记作。
如图△中，∠900
，c
a
AB BC A A A ===
的斜边锐角的对边锐角sin
C
B
C 1B 3
B 2
B 1
C 3C 2A
b
a
c
A
C
B
锐角A 的对边（）与斜边（）的比叫做锐角A 的余弦，记作。
如图△中，∠900
，c
b
AB AC A A A ===的斜边锐角的邻边锐角cos
在直角三角形中，锐角A 的正切（）、余切（）、正弦（）、余弦（）统称为锐角A 的三角比，简称三角比。
注意：定义中应该注意的几个问题:
1、, 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2、, 是一个完整的符号,表示∠A 的正切，习惯省去“∠”号.
3、,是一个比值.注意比的顺序,且,均>0，无单位.
4、, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5、角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
三、例题讲解：
例1、（1）在△中，∠90°，178，求、、、？
（2）在△中，∠90°，6，4
3
sin =A ，求①的长；②、、？ （3）若α为锐角，且2
1
tan =α，求α、α、α？
相关练习：
1、求出图6－4所示的△中的、和、的值．
2、△中，∠900
，12，5，求：，，，的值。
3、△中，∠900，9，7，求：，，，的值。
例2：在△中，∠90°，12，7，求:(1) 和的值（2）和的值
结论：①同一锐角的正切与余切互为倒数，即：
1
tanA=
cotA
或tanA cotA1
•=
②两个互余的锐角中，一锐角的正切等于它的余角的余切。
即：若∠∠90°，那么，
思考：∠A为锐角，则、、、的值的范围。
相关练习：
1、如图：△中，∠900，⊥，3，5，求，，∠，∠的值。
2、如图：△中，∠900，⊥，5，3，求，，∠，∠的值。
例3：已知在直角坐标系内有一点P （2，3），求与x 轴的正半轴的夹角为α，求∠α的四个三角比的值？
相关练习： 1、直线44
3
+=x y 交x 轴于A ，交y 轴于B ，求∠的正弦.
2、已知∠α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，点P 在∠α的终边上，如果22tan =a ，且P 点横坐标为2，求P 点到原点的距离.
3、在菱形中，对角线的长为10，面积为30，求ABC 2
1
tan ∠的值
6．如图，在菱形中，⊥于E 点，＝1，＝13
5
.求四边形的周长。
7.已知：如图，在△中，是边上的高，E•为边•的中点，＝14，＝12，＝45
， 求：（1）线段的长；（2）∠的值．
8.如图，在△中，∠C ＝90°，D 为上一点，∠＝30°，＝2，＝23，求•的长．
A
D C B
五、课后练习：
1、在△中，∠C ＝90°，＝1，＝3，则＝，.
2、如图，在△中，∠C ＝90°， ＝9a ，＝12a ，＝15a ，,
3、在△中，若2，7，3，则．
4、在△中，∠90°，3，4，则，，．
5、在△中，∠90°，⊥于D ，5，12
5
，则，．
6、△中，∠90°，，，，则·．
7、若三角形三边长的比为5：12：13，则此三角形最小内角的正切值为．
8、在△中，∠90︒，AB BC 3
2
=,则
9、如图，菱形的对角线6，•8，•∠α， •则α=•，• α， α．
10、根据图示填空
（1）)
()(sin BC
AC A ==
（2）BC
BCD CD ACD )
(cos ,)(cos =∠=
∠
（3）)
()(tan ,)()(tan AC
BD B AC CD A ====
11、△中，各边长度都扩大两倍，那么锐角A 的各三角函数值（ ）
A ．都扩大两倍
B ．都缩小两倍
C ．保持不变
D ．无法确定 12、如图，△中，∠90°，⊥于D ，3，•4，•设∠α，•
则α的值为（ ）
A ．
34 B ．43 C ．35 D ．4
5
13、在△中，已知∠90°，周长为60，12
5
，则△的面积是（ ）
A ．30cm 2
B ．60cm 2
C ．120cm 2
D ．2402
14、如图，在直角△中，∠C ＝90o
，若＝5，＝4，则＝（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 15、在△中，∠90°，2，，则边的长是( )
A ．
B ．3
C ．
D ．
16、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则α的值是﹙﹚ A ．4
3 B ．3
4 C ．53 D ．5
4
17、（1）化简：1sin 2sin 2+-αα （2）若α为锐角，3
1
，求和
18、（1）在△中，∠C ＝90°，＝
4
3
，＝10，求和。
（2）在△中，＝，∠C ＝90°，求；当＝4时，求的长。
19、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。
C
B
A
α。