1.代数变形—基本公式
初中代数公式总结归纳
初中代数公式总结归纳代数是数学中的一个分支，它关注的是数与符号以及它们之间的运算关系。
在代数学习的过程中，我们经常会接触到一些常见的代数公式，这些公式不仅有助于我们解决具体问题，还能帮助我们加深对代数的理解。
本文将对初中代数中常用的公式进行总结和归纳。
一、整式的基本概念和运算法则1.1 代数式的定义代数式是由数、字母和运算符号经过加、减、乘、除等运算法则运算所得的式子。
例如：5x + 7y - 3z。
1.2 整式的基本运算法则（1）整式的加法将同类项相加，并合并同类项的系数。
例如：2x + 3x = 5x。
（2）整式的减法将减数取相反数，再按照整式的加法法则进行运算。
例如：4x - 2x = 2x。
（3）整式的乘法将每一个项相乘，并按照指数的加法法则进行化简。
例如：2x × 3y = 6xy。
（4）整式的除法先进行最高次项的除法，然后按照整式的乘法法则进行化简。
例如：（4x^2y^3 + 6xy^2）÷ 2xy = 2xy^2 + 3y。
二、一元一次方程与一元一次不等式2.1 一元一次方程的一般形式一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a、b为已知的实数，x 为未知数。
解一元一次方程的一般步骤是：移项、合并同类项、系数化为1、得到解。
2.2 一元一次不等式的一般形式一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0或ax + b < 0，其中a、b为已知的实数，x为未知数。
解一元一次不等式的一般步骤是：移项、合并同类项、系数化为1、得到解。
三、二次根式及其运算3.1 二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a≥0。
例如：√4、√9等。
3.2 二次根式的基本运算法则（1）二次根式的加减法将同类项相加、相减，并合并同类项的系数。
例如：√3 + √5。
（2）二次根式的乘法将每一个根式相乘，并按照指数的加法法则进行化简。
例如：√2 × √3 = √6。
代数式恒等变形法则归纳
代数式恒等变形法则归纳引言代数式是代数学中的基础概念之一，它用字母和常数通过运算符号相连而成。
在数学中，我们常常需要对代数式进行变形，以达到简化、分解、合并或者推导等目的。
代数式的变形是数学问题解决过程中重要的一环，它不仅能提高计算效率，还能揭示代数运算的本质。
在代数式的变形中，恒等变形法则是重要的基础工具，本文将对代数式的恒等变形法则进行归纳总结。
一、基本变形法则1. 加法法则：•加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c•加法交换律：a+b=b+a•加法零元：a+0=a #### 2. 乘法法则：•乘法结合律：$a \\cdot (b \\cdot c) = (a \\cdot b) \\cdot c$•乘法交换律：$a \\cdot b = b \\cdot a$•乘法零元：$a \\cdot 0 = 0$•乘法单位元：$a \\cdot 1 = a$二、分配律1. 左分配律：对于任意的a,b,c，有$a \\cdot (b + c) = a \\cdot b + a \\cdot c$ #### 2. 右分配律：对于任意的a,b,c，有$(a + b) \\cdot c = a \\cdot c + b \\cdot c$三、幂运算法则1. 幂运算与乘法运算：•幂运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•幂运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.幂运算的乘方法则：•幂运算的乘方法则1：$a^n \\cdot a^m = a^{n + m}$•幂运算的乘方法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•幂运算的乘方法则3：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$四、指数运算法则1. 指数运算与乘法运算：•指数运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•指数运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.指数运算的指数法则：•指数运算的指数法则1：$a^n^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则3：$(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$五、因式分解法则1. 公因式提取法则：•公因式提取法则1：ax+ay=a(x+y)•公因式提取法则2：$a \\cdot b + a \\cdot c = a \\cdot (b + c)$ ####2. 公式分解法则：•差的平方公式：a2−b2=(a+b)(a−b)•平方差公式：a2−b2=(a−b)(a+b)•完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2•完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2六、合并同类项法则合并同类项法则：将含有相同字母指数的项合并为一个项•合并同类项法则1：ax+bx=(a+b)x•合并同类项法则2：ax2+bx2=(a+b)x2•合并同类项法则3：ax n+bx n=(a+b)x n结论恒等变形法则在代数式的变形中起着重要的作用。
小学常见的代数表达式与公式
小学常见的代数表达式与公式在小学数学学习中，代数是一个重要的部分，也是孩子们必须掌握的基础知识。
代数表达式与公式是解决数学问题的有效工具，同时也培养了孩子们的逻辑思维和抽象能力。
在本文中，我们将探讨小学常见的代数表达式与公式，帮助孩子们更好地理解和应用。
一、代数表达式代数表达式是用字母和数字表示的数学表达式，代表了数学关系。
它由变量、常量和运算符构成。
1.1 变量与常量变量是一个代表未知数的符号，通常用字母表示，如x、y等。
它可以代表数的任何值。
常量是已知的数值，如2、5等。
1.2 运算符加法、减法、乘法和除法是常见的四则运算，它们在代数表达式中也起着重要的作用。
加法用符号"+"表示，减法用符号"-"表示，乘法用符号"*"表示，除法用符号"/"表示。
1.3 代数表达式的例子(1) x + 2：这个表达式表示了一个未知数x与常量2的和。
(2) 3y - 4：这个表达式表示了常量3与未知数y的乘积减去常量4。
(3) 2x + 3y：这个表达式表示了两个未知数x和y的乘积，然后再加上常量3。
二、代数公式代数公式是用代数表达式表示的等式，它描述了特定的数学关系。
代数公式可以通过代数表达式推导得出，也可以通过实际问题归纳总结。
2.1 一次方程一次方程是具有形如ax + b = c的形式，其中a、b和c都是已知的数。
在小学阶段，我们主要以整数为例，如2x + 3 = 7。
解一次方程的关键是通过移项和合并同类项的方法，将未知数x的系数和常数项分别移到等号的两侧，得到解x的数值。
2.2 代数公式的例子(1) 面积公式：长方形的面积等于长乘以宽，可以表示为A = l * w。
(2) 周长公式：矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，可以表示为C = 2l + 2w。
(3) 等差数列求和公式：等差数列的前n项和等于首项与末项之和乘以项数的一半，可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2。
代数部分常用公式
代数部分常用公式1、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2．②(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2．③(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3．④(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3；注：a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ． 2、幂的运算性质：①a m ×a n ＝a m ＋n ．②a m ÷a n ＝a m －n ．③(a m )n＝a mn ．④(ab )n ＝a n b n ．⑤n nn ba b a =)(．⑥a －n ＝1n a ，特别：()－n＝()n ．⑦a 0＝1(a ≠0)科学记数法：n a 10⨯（1≤a ＜10,n 是整数） 3、二次根式：①()2＝a (a ≥0)，②＝丨a 丨，③＝×，④＝(a ＞0，b ≥0)注：＝丨a 丨4、分式: nnn ba b a =)( cb ac b c a ±=± bc cdab b d c a ±=± 注：由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程 ②将增根带入化简后的整式方程，求出参数的值。
5、一元二次方程：对于方程：ax 2＋bx ＋c ＝0：①求根公式是x ＝24b b ac-±-b 2－4ac 叫根的判别式．⇔>∆0方程有两个不相等的实数根； ⇔=∆0方程有两个相等的实数根； ⇔<∆0方程没有实数根；注意：当△≥0且a ≠0时，一元二次方程有实数根．②若方程有两个实数根x 1和x 2，并且二次三项式ax 2＋bx ＋c 可分解为a (x －x 1)(x －x 2)．③以a 和b 为根的一元二次方程是x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝0． ④一元二次方程根与系数的关系：设1x 、2x 是方程02=++c bx ax （a ≠0）的两个根，那么1x +2x =ab -，1x 2x =ac； ⑤常用等式：2122122212)(x x x x x x -+=+ 212212214)()(x x x x x x -+=-6、二次函数的图象：函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线； ①开口方向：当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，开口向下； ②对称轴：直线abx 2-=； ③顶点坐标（)44,22ab ac a b --； ④增减性：当a>0时，如果abx 2-≤，则y 随x 的增大而减小，如果abx 2->，则y 随x 的增大而增大；当a<0时，如果abx 2-≤，则y 随x 的增大而增大，如果abx 2->，则y 随x 的增大而减小；注： 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，则12AB x x =- 7、概率与统计 (1)平均数的两个公式① n 个数1x 、2x ……, n x 的平均数为：nx x x x n+++=-......21；② 如果在n 个数中，1x 出现1f 次、2x 出现2f 次……, k x 出现k f 次，并且1f +2f ……+k f =n ，则nf x f x f x x kk +++=- (2211)(2)频率分布直方图频率=总数频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。
初中数学变形公式
初中数学变形公式初中数学中，变形公式是解决问题的重要工具之一。
通过变形，可以对数学式子进行等价转换，从而解决各种数学问题。
本文将介绍几个常见的初中数学变形公式，并结合实际问题进行解析。
一、代数式的变形公式1. 同底数幂相除：对于任意正整数a和b，以及任意正整数m和n，有a^m / a^n = a^(m-n)。
这个公式可以用来简化同一底数的幂的计算。
例如，计算2^5 / 2^3，根据公式，可以将分子和分母的指数相减，得到2^(5-3) = 2^2 = 4。
2. 同底数幂相乘：对于任意正整数a和b，以及任意正整数m和n，有a^m * a^n = a^(m+n)。
这个公式可以用来简化同一底数的幂的计算。
例如，计算3^2 * 3^4，根据公式，可以将指数相加，得到3^(2+4) = 3^6 = 729。
3. 同底数幂的乘方：对于任意正整数a，以及任意正整数m、n和k，有(a^m)^n = a^(m*n)。
这个公式可以用来简化幂的乘方的计算。
例如，计算(2^3)^2，根据公式，可以将指数相乘，得到2^(3*2) = 2^6 = 64。
4. 二次根式的化简：对于任意非负实数a和b，有√(a*b) = √a * √b。
这个公式可以用来简化二次根式的计算。
例如，计算√(9*16)，根据公式，可以将根号内的乘积分解为两个独立的根号，得到√9 * √16 = 3 * 4 = 12。
二、方程的变形公式1. 移项法则：对于任意方程a*x + b = c，可以将等式两边同时加上（或减去）一个数，从而改变方程的形式。
例如，对于方程2*x + 3 = 7，可以将等式两边同时减去3，得到2*x = 4。
2. 相等法则：对于任意方程a*x = b，如果两边分别加上（或减去）相同的数，仍然保持相等。
例如，对于方程2*x = 4，可以将等式两边同时加上3，得到2*x + 3 = 7。
3. 倍数法则：对于任意方程a*x = b，如果两边同时乘以（或除以）相同的非零数，仍然保持相等。
高中数学代数部分常用公式及常用结论
高中数学代数部分常用公式及常用结论1.2.3.四种命题的相互关系：4.充要条件：（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.5.函数的单调性：(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.6. 如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.7．奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．8.函数()y f x =的图象的对称性：函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.9.两个函数图象的对称性：(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.10．互为反函数的两个函数的关系：a b f b a f =⇔=-)()(1.11. 若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-], 而函数)([1b kx fy +=-]是])([1b x f ky -=的反函数.12.几个常见的函数方程：(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==.13．根式的性质：（1）n a =.（2）当n a =；当n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.14．有理指数幂的运算性质：(1) (0,,)r s r sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rsa a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.15.指数式与对数式的互化式：log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.16.对数的换底公式 ：log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).17．对数的四则运算法则：若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.18.等差数列的通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-.19.等比数列的通项公式：1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.20．常见三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.21.同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=， tan θ=θθcos sin ， tan 1cot θθ⋅=.22.正弦、余弦的诱导公式：212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩23.和角与差角公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= .22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=).24.二倍角公式：sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.25. 三倍角公式：3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.26.三角函数的周期公式：函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R (A , ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A ,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.27.正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===. 余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.28. 简单的三角方程的通解：sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.29.最简单的三角不等式及其解集：sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.30.组合数公式：m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).31.组合数的两个性质：(1)m n C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .32.组合恒等式：（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C .(6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)1425312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C .(8)1321232-=++++n nn n n n n nC C C C .(9)rn m rn rm n r m n rm C C C C C C C +-=+++011. (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=.33.复数的相等：,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）34.复数z a bi =+的模（或绝对值）：||z =||a bi +35.复数的四则运算法则：(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++;(2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++.36.实系数一元二次方程的解：实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ∆=->,则1,2x =②若240b ac ∆=-=,则122b x x a==-;③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.。
代数式变形与技巧讲稿
A 、1B 、2C 、3D 、4代数式变形与技巧（一）徳阳二中邓正健如果两个代数式对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，那么 这两个代数式恒等。
把一个代数式换成和它恒等的代数式，称为代数式的恒等变 形（或恒等变换）。
整式、分式、根式的运算及因式分解等都是恒等变形。
代数式 的恒等变形广泛应用于计算.化简.求值、证明、解方程之中，是数学中非常重 要的变形（运算）的方式。
能否将代数式进行适当、巧妙的变形，使问题获解，也是衡量学生数学能力 的标志之一。
因此，掌握恒等变形无论是对参加数学竞赛，还是进一步学好数学, 提高运算能力，都必将起到积极的促进作用。
代数式的变形方法灵活多变，技巧性强，即要求学生牢固掌握代数式运算的基本 法则，又要注意学习代数式恒等变形的方法和技巧。
下面将通过具体实例介绍一些代数式常用的变形方法和技巧。
一、利用因式分解进行代数式的变形因式分解本身就是恒等变形的一种形式。
常用的方法除提取公因式法、运用 公式法、分组分解法、十字相乘法之外，还有添（拆）项法、配方法、换元法、待 定系数法等。
山于后面还要专门探索代换法、配方法、待定系数法在代数式的变 形中的使用，所以这里不再展开。
例 1、计算:1991X 19921992-1992X 19911991 解：1991X 19921992-1992 X 19911991 =1991X1992X10001-1992X1991X10001分析：此题主要考察因式分解与约分的内容，已知条件首先要化成与所求式 相关的X 2 + 4 = 11的形式，然后将所求式的分子与分母同时变形，直到化成只含 X 2+4=H 时为止，再把X 2+-L=H 代入即可。
解：Vx-- = 3, •"+丄=11x H (x 2+ l) + (x 2+l) _ (x 2+l)(x 8 + l) x 6(x 4 +1) + (x 4 +1) _ (x 4 + l)(x 6 + 1)x(x + —)^x 4(x 4 + —) (2 +r 广 一2x x — __________ 疋 “LX H—V + —)X —)X + r -1)对对对例3、满足等式：还+曲-丁2003兀- j2OO3y + 丁2003貯=2003的正整数对（如刃 的个数是（ ）o分析：等式左边虽然很复杂，但通过观察分析知，它是仮、"的代数式， 因而可例2、当兀一丄=3时,x X 104-X 8+X 2+l x ,0 + x 6+x 4 + l严+/+宀 1 严+.{+F+l代入得,原式=「7 =丄11x(11-1) 110考虑用因式分解方法来解。
线性代数必备知识点公式
1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C ABC B O B ==、(1)m n C A O AA B B O B C==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0；⇔TA A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、 若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C a b Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑ ；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====- m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）；④、1122n n a x a x a x β+++= （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A = ααα； m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββ 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义： ①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα 线性相关，则121,,,,s s αααα+ 必线性相关；若12,,,s ααα 线性无关，则121,,,s ααα- 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论） 8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P = ；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯ 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯ 线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K = （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴= ；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= 成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα< ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ- 为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ- 线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i ja a i j n i j=⎧==⎨≠⎩ ； ②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=---- ; 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆；⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0； 0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
代数变形总结知识点
代数变形总结知识点一、代数基本变形法1. 分配律分配律是代数中一个非常重要的运算法则，它是代数变形中的基本法则之一。
分配律规定了乘法和加法之间的运算规则，即(a+b)*c = a*c + b*c，其中a、b、c为任意实数，这个规则对于代数的各种运算起着非常重要的作用。
在代数变形中，利用分配律可以简化表达式，化简复杂的式子，从而更方便地进行计算和求解。
2. 合并同类项合并同类项是代数变形中的一个基本操作，它是将具有相同变量的项合并为一个新的项的过程。
例如，3x+2x=5x，这里3x和2x都是x的项，将它们合并为5x。
合并同类项不仅可以简化代数表达式，还可以帮助我们更好地理解和分析式子的结构，从而更方便地进行进一步的计算和求解。
3. 移项变换移项变换是代数变形中的一个重要技巧，它是将方程中的项移至等号的另一侧的过程。
通过移项变换，我们可以将方程的各个项重新排列，从而更方便地对方程进行分析和求解。
在代数变形中，移项变换是一种非常常用的技巧，可以帮助我们简化和化解复杂的方程，使得求解过程更加直观和方便。
4. 化简化简是代数变形中一个非常重要的方法，它可以将复杂的代数表达式化简为简单的形式，从而更方便进行计算和分析。
在代数变形中，化简是一个非常常见的操作，它可以帮助我们更好地理解和分析问题，同时也可以使得求解过程更加有效和简便。
二、代数变形中的常见错误与解决方法1. 漏项、错项在代数变形中，漏项和错项是一个非常常见的错误，这种错误可能会导致整个计算的结果出现偏差或者错误。
为了避免这种情况发生，我们需要在代数变形过程中对各个步骤进行反复检查和核对，确保每一个步骤的正确性。
2. 符号计算错误代数变形中，符号计算错误也是一个比较常见的问题，很多时候可能是因为计算过程中没有按照正确的规则进行计算，或者是对符号计算规则理解不够清楚所导致。
为了避免符号计算错误，我们需要在代数变形的过程中认真对待每一步的计算，确保按照正确的规则进行计算。
第一讲：代数式与恒等变形
第1章 代数式与恒等变形1.1 四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二 利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
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代数变形一（基本公式）
话说天下代数式分久必合，合久必分。
高中数学解题的本质就是通过不断的代数变形将问题划归转化为一个很简单、一般性的问题。
因此，代数变形能力的高低直接决定你高中数学成绩。
今天我们介绍一些基本的代数变形公式。
分久必合、合久必分、左右平移、上下求索。
1．化简下列代数式 （1）．2
2
(1)(1)(2)(24)x x x x x x +-++-++；
（2）．3
22322233])())[(2(b a b b a a a ab a b a b a ----++-++；
（3）．333
33333
(21)(31)(41)(101)(21)(31)(41)(101)----++++
． 解：（1）22333
(1)(1)(2)(24)129x x x x x x x x +-++-++=++-=。
（2）．22232233333
(2)[()()]33()()a b a b a ab a a a b b a b a b a a b a ++-++----=++-+=。
（3）．因为33(1)1
(1)12
a a a a --=+++，从而有
333333333
3(21)(31)(41)(1001)(21)(31)(41)(1001)3367
(21)(31)(41)(1001)(21)(21)(31)(991)5050
--------==++++++++ 2．（1）已知1=-y x ，求4
2233433y xy y x y x xy x ++---；
（2）．自然数y x <，且满足x y y x 19193
3+=+，求y x +的值．
解：（1）3
3
3
3
3
3
2
2
()()3()321x x y y y x xy x y x y xy x y xy -+---=--=+-= （2）．3
3
19()0x y x y ---=．即2
2
()(19)0x y x y xy -++-=。
又y x <有2
2
19x y xy ++=。
法1：上式视为关于x 的一元二次方程，有2
2
4(19)0y y ∆=--≥ 法2：2
19y ≤
3．（1）已知)12(3)1)(1(2
2-=++ab b a ，求)1
(a a
b -． （2）．解方程2
2
2
(3)()3x y x y +++-=．
解：（1）法1：由题意有22
2
2
640a b a b ab ++-+=，即
22224240a b a b ab ab ++--+=，从而22(2)()0ab a b -+-=，得1
()1b a a
-=-
法2：由题意有2222
640a b a b ab ++-+=视其为关于a 的一元二次方程即222(1)640a b ab b +-++=，由2224222364(1)(4)416164(2)0b b b b b b ∆=-++=-+-=--≥
（2）解法同（1）
4．（1）已知实数c b a 、、满足3;3222=++=++c b a c b a ，求200820082008
c b a
++； （2）．已知实数d c b a 、、、满足：,1=-bc ad 12
222=+-+++cd ab d c b a ， 求311
3
a b c d ---．
解（1）法1：由题意有2222()3a b c a b c ++-++=-，即222
()()()0a b b c c a -
+-+-=，
从而1a b c ===，即200820082008c b a
++。
法2：()()()2
2
2262a b c a b c ab bc ac =++-++=++,又222
a b c ab bc ac ++≥++，
而由题意可知2223a b c ab bc ac ++=++=，从而1a b c === 法3：2
2
2
(3)3a b a b ++--=，展开利用0∆≥可解 （2）
5．已知0)(41
)1)(1(
2=-+++c b c a b a ，求ac ab +． 解法1：22111()()()04b c bc b c a a ++++-=，从而有22111
()()()04
b c b c a a ++++=，
即21()02
b c a ++=。
解法2：222111()0244b c bc b c a a a +++++=，即21()022
b c
a ++=
6．实数,,x y z 满足：4(543)x y z x y z ++=-+-+-，则x = 9 ，y = 8 ，
z = 7 ．
解：由题意有(
)
2
2
2
(52)(42)320x y z --+--+
--=
7．如果1
21423352
a b a b c c +----=--
-，那么a b c ++= 20 ． 解：原式等价于1
12112424[3639]02
a a
b b
c c ---++---++---+=
即222
1(11)(22)[33]02
a b c --+--+--=。
得2,6,12a b c ===。
8．已知2
2
25152x x ---=，则2
2
2515x x -+-= 。
9．已知0a b c ++=，22
24a b c ++=，则444
a b c ++= 。
10.当x 分别取值111
,,,,1,2,,2011,2012201220112
时，计算代数式
2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于 。
11.已知222
127512||4||1616a b c a b b c c ++≤---，则a = ，b = ，c =
思考题：设n 为任意正整数，m 是任意正奇数，,321m
m m m
n S ++++= 试证2+n 不能整除S ．
解：
123(1)(1)321
m m m m m
m
m
m
m
m
S n n S n n =++++-+=+-++++ 相加即得
22[2][3(1)][(1)3][2]2(2)m m m m m m m S n n n n n M =++++-++-+++=++ 。
同步练习
1．已知a b c =，则,,a b c 的大
小关系为
2.对任意实数,,a b c ，代数式2
2
2225a b ab a b ++--+的最小值。
解：2
2
2
2225(1)44a b ab a b a b ++--+=+-+≥。
当且仅当10a b +-=时，有最小值4。
3．（10分）已知5
2
x =。
（1） 求2
51x x ++的值；
（2） 求(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x x +++++的值。
解：（1）由方程2
510x x ++=的根为
52-知当52
x =时，2
510x x ++=； （2）()()()222
5545615x x x x x x +++++=-；
4． （10分）已知实数,,x y z 满足222
(2811)(1029)(31832)60x x y y z z ++-+-+≤。
求实数,,x y z 。
解：由2
2
2
[2(2)3][(5)4][3(3)5]60x y z ++-+-+≤。
易知2,5,3x y z =-==。
5．已知整数,,a b c 使等式()()(10)(11)(1)x a x b c x x x +++-=-+对任意x 均成立，求c 的值。
6．设
x =
a 是x 的小数部分，
b 是x -的小数部分。
则33
3a b ab ++=
变式．已知实数,,a b c 满足：2222
4,8a b b c +=+=，求2
2
ab bc ++的最小值。
解：2
2
ab bc ac ++≥。