第6章弯曲变形
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第6章 弯曲变形(土木)
w x 0 0, w x l 0 A, B
M Fs
x 0 x 0 x 0
0,
xபைடு நூலகம்l
0 B, D 0 B, D 0 A, B, C , D
0, M 0, Fs
x l x l
例题 画挠曲线大致形状
依据 1. 约束条件； 2. 荷载情况； 3. 凹凸情况——由w″即M的正负号决定； 4. 光滑连续特性。
~
A
~
A
~
~~
~
A
~
~
~
A
AA
wA = 0
wA 0
A 0
wA
弹簧变形 －
挠曲线必受边界约 束限制。
AA
~ ~
AA
~ ~
光滑连续条件
在挠曲线的任意点处要 保持光滑和连续。
w AL = w AR
w AL = w AR
AL AR
~
A A
A A A
边界条件 A A
A
A
A A
~
~
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解
1）由梁的整体平衡分析可得：
L
F
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
2）写出x 截面的弯矩方程
)
y
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d 2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 积分一次 EI EI F ( x l )2 C dx 2 1 再积分一次 EIw F ( x l )3 Cx D 6
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
第6节(弯曲变形)
材料力学
Mechanics of Materials
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第六章 弯曲变形 第一节 概述
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
EI
d2v dx2
Fx Fl
EI(x)1Fx2FlxC
2
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
⑶ 确定积分常数
EI(0)1F02Fl0C0
2 E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0
EI(x)b2F l x2C1
E I(x)b 2 F l x2F 2(xa)2C 2
挠度方程
EIv(x)b6F l x3C1xD1 E Iw (x ) b 6 F lx 3F 6(x a )3 C 2xD 2
⑶ 确定积分常数
v(0)E 1 I(b 6 F l03C 10D 1)0
v (l) E 1 I[ b 6 F ll3 F 6(l a )3 C 2 l D 2 ] 0
max
(0)
Fl2 3EI
(x) 0
x (3 3)l 3
(33)l F l3
F l3
vm a xv(
) 0 .0 6 4 2
3 93E I
E I
例：简支梁AB如图所示（图中a > b），承受集中载荷F作 用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程， 并确定挠度的最大值。
Mechanics of Materials
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第六章 弯曲变形 第一节 概述
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
EI
d2v dx2
Fx Fl
EI(x)1Fx2FlxC
2
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
⑶ 确定积分常数
EI(0)1F02Fl0C0
2 E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0
EI(x)b2F l x2C1
E I(x)b 2 F l x2F 2(xa)2C 2
挠度方程
EIv(x)b6F l x3C1xD1 E Iw (x ) b 6 F lx 3F 6(x a )3 C 2xD 2
⑶ 确定积分常数
v(0)E 1 I(b 6 F l03C 10D 1)0
v (l) E 1 I[ b 6 F ll3 F 6(l a )3 C 2 l D 2 ] 0
max
(0)
Fl2 3EI
(x) 0
x (3 3)l 3
(33)l F l3
F l3
vm a xv(
) 0 .0 6 4 2
3 93E I
E I
例：简支梁AB如图所示（图中a > b），承受集中载荷F作 用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程， 并确定挠度的最大值。
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
工程力学第6章 弯曲变形_gs
1
M (x) EI
z
[1 (
d y dx dy dx
2 3
2
数学公式
以上两式消去
1
(x)
) ]2
2
，得：
[1 ( d
2
y
2 3
dx dy dx
M (x) EI
z
) ]
2
2
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程 小挠度情形下：
d
2
dy dx
1
[1 (
x L 代入得：
B 2
材料力学
xL
Fab ( L a ) 6 LEI
弯曲变形/用积分法求梁的变形 5、求 y max 。
由 dy dx
A
Fb ( L b )
2 2
0 求得 y max 的位置值x。
0,
C 1
6 LEI
xa
Fab ( a b ) 3 LEI
弯曲变形/变形的基本概念
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
材料力学
弯曲变形/变形的基本概念
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
材料力学
弯曲变形/变形的基本概念
对于拉伸（压缩)、扭转变形定积分 对于梁的位移不定积分
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
二、挠曲线的近似微分方程
力学公式
1
(x)
11 ql
4
384 EI
材料力学
48 EI
384 EI
弯曲变形/梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 四、梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 刚度条件：
M (x) EI
z
[1 (
d y dx dy dx
2 3
2
数学公式
以上两式消去
1
(x)
) ]2
2
，得：
[1 ( d
2
y
2 3
dx dy dx
M (x) EI
z
) ]
2
2
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程 小挠度情形下：
d
2
dy dx
1
[1 (
x L 代入得：
B 2
材料力学
xL
Fab ( L a ) 6 LEI
弯曲变形/用积分法求梁的变形 5、求 y max 。
由 dy dx
A
Fb ( L b )
2 2
0 求得 y max 的位置值x。
0,
C 1
6 LEI
xa
Fab ( a b ) 3 LEI
弯曲变形/变形的基本概念
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
材料力学
弯曲变形/变形的基本概念
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
材料力学
弯曲变形/变形的基本概念
对于拉伸（压缩)、扭转变形定积分 对于梁的位移不定积分
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
二、挠曲线的近似微分方程
力学公式
1
(x)
11 ql
4
384 EI
材料力学
48 EI
384 EI
弯曲变形/梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 四、梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 刚度条件：
弯曲变形——精选推荐
第六章弯曲变形判断弯曲变形1、“平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线”2、“由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比”3、“只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程”4、“两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相同”5、“梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。
”6、“最大挠度处的截面转角一定为0”7、“最大弯矩处的挠度也一定是最大”8、“梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。
”9、“只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求”10、“两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关”11、“一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同”选择弯曲变形1、圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大正应力是原来的倍；最大挠度是原来的倍。
若梁的长度增大一倍，其他条件不变，最大弯曲正应力是原来的倍，最大挠度是原来的倍。
A：2； B：16 C：8 D：4；2、y’’=M(x)/EI在条件下成立。
A：小变形； B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在xoy面内； D：同时满足A、B、C；3、等直梁在弯曲变形时，挠曲线最大曲率发生在处。
A：挠度最大； B：转角最大 C：剪力最大； D：弯矩最大；4、在简支梁中，对于减少弯曲变形效果最明显。
A：减小集中力P； B：减小梁的跨度；C：采用优质钢； D：提高截面的惯性矩5、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①σ=My/I Z,②y’’=M(x)/EI Z哪一个会得到正确的计算结果？A：①正确、②正确；B：①正确、②错误； C:①错误、②正确； D：①错误、②错误；6、应用叠加原理求横截面的挠度、转角时，需要满足的条件是。
工程力学六 弯曲变形解析
当x1 x2 a时,
w1 w2 (1 2 )
w1 w2
EIw2
Pb l
x2
P( x2
a)
CB段：
EIw2
EI2
Pb l
x22 2
P
( x2
a)2 2
C2
EIw2
Pb l
x23 6
P
( x2
a)3 6
C2 x2
D2
由连续性条件，可求得
C1 C2
D1 D2
由边界条件，可求得
C1
C2
M pa
P PL
2
PL 2
x
P
qa2
2
q
M
qa
x qa 2 2
x
pa
§6.2 挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程的导出
力学公式 数学公式
1 M z (x)
EIz
d 2w
1
dx2
[1 ( dw)2 ]3/2
dx
纯弯曲梁变形后中性层的曲率 公式，对于横力弯曲（l>5h） 可近似使用。EIZ称为梁的抗 弯刚度。
最大转角和最大挠度分别为：
得：
ql 3 C ,
D0
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx2 4x3 l 3 )
24 EI
w qx (2lx2 x3 l3) 24EI
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w
x l 2
5ql 4 384EI
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方
确定积分常数： （1）边界条件
固定端：w = 0,θ = 0
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
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(2) 考虑边界条件和连续性条件，确定积分常数 边界条件
x1 0, y1 0; x2 l , y2 0
连续性条件
y A
a P
C
x1 x2
b
B
x
x1 x2 , y1 y2 ,1 2
将上述条件用以确定积分常数，得到关 于C1, C2, D1, D2的一个四元一次方程组，解此 方程组得
6.6 提高弯曲刚度的措施 由梁的挠度和转角方程
EIy
EI EIy M ( x)dx C
M ( x)dx dx Cx D
转角方程 挠度方程
影响梁的挠度或转角的因素有 梁的内力M(x) 梁的抗弯刚度EI
支承情况(系数C和D)
谢谢大家
Pb 2 2 D1 D2 0; C1 C2 l b 6l
代换积分常数，得转角和挠度方程（如下表）
AC段
0 x1 a
CB段
2
a x2 l
Pb 2 2 1 l b x12 6 EIl
Pb 2 2 3l 2 2 l b 3 x2 x2 a 6 EIl b
同时，由挠曲线近似方程可写成
d3 y dM EI 3 Fs dx dx
挠度方程
d 4 y dFs 或 EI 4 q dx dx
6.4 用叠加法求梁的挠度和转角
例题 图示简支 梁受集中力P和 集中力偶m共同 作用，梁的刚度 为EI，求梁中点 的挠度yc和A截 面的转角A。
解：梁在载荷P单独作用时，由表6.3⑨查得
12 2 2ab b 4a a l a 2 b 2 b x2 6a
2
以上考虑的是梁的抗弯刚度EI为常数的情况， 若EI为变量，则其挠度和转角方程成为
M x y dx C EI
转角方程
M x y dx dx Cx D EI
上述转角和挠度方程 中的积分常数要依靠 边界条件确定。本梁 的边界条件是
q
mA
A
RA
B
x 0, y 0, 0
代入上述方程得C=0,D=0，从而得
1 1 1 EIy EI qx 3 qlx 2 ql 2 x 6 2 2 1 1 1 EIy qx 4 qlx 3 ql 2 x 2 24 6 4
现在确定自由端B的挠度与转角
B x x l
ql 6 EI
3
（顺时针）
4
y B y ( x ) x l
ql 8EI
（向下）
例2 图示简支梁AB受集中力P作用，试讨论该梁 的弯曲变形。
y
a P
C
x1 x2
A
b
B
x
解：（1）求梁的挠曲线方程和 转角方程。 在外力P作用下， 支座A、B处的支反力分别为
y A
a P
C
x1 x2
b
B
x
(4) 求梁上的最大挠度 显然最大挠度应该在梁挠度的极值截面或边 值截面上。由挠度与转角之间的关系
dy tan f '( x ) dx
梁的极值挠度应在转角为零的截面上。
对AC段（假定a>b）
Pb 2 2 2 令1 ( x1 ) 0，即 (l b 3x0 ) 0 6 EIl
0 x l
A
RA
B
所以AB梁的 挠曲线近似微分方程为
1 1 qx 2 qlx ql 2 EIy 2 2
积分得
1 3 1 1 2 2 EIy EI qx qlx ql x C 6 2 2
1 4 1 3 1 2 2 EIy qx qlx ql x Cx D 24 6 4
M x y EI
根据坐标选取以及弯矩和曲线二阶导数的意义，上 式中应取正号。即
d2 y M 2 EI dx
y
M 0
d2 y 0 2 dx
——挠曲线近似微分方程
M 0
d2 y 0 2 dx
o
x
6.3 积分法求梁的挠度和转角
假定梁的抗弯刚度EI为常数，对挠曲线近似微分方程
连续性条件
x1 x2 a, y1 y2 ,1 2
x2 x3 a b, y2 y3 0, 2 3
例1 图示等直悬臂梁AB长度为l，受均布载荷q作用， 试求AB梁的最大挠度和转角。
q
A
mA RA
B
解：梁的弯矩方程为
mA
q
1 1 M x qx 2 qlx ql 2 2 2
转角——横截面A在弯曲变形过程中，绕中性轴 转过的角度A ，称作该截面的转角。规定转角逆时针 为正，顺时针为负。 挠度与转角之间的关系
dy tan f '( x ) dx
转角
挠度
y
6.2.2 挠曲线近似微分方程 第七章推导弯曲正应力时，曾得梁的中性层 的曲率表达式
1 M ( x) ( x) EI
第6章
弯曲变形
Deformation of Bending
6.1 工程实际中的弯曲变形问题 6.2 挠曲线的近似微分方程、刚度条件
6.3 积分法求梁的挠度和转角
6.4 用叠加法求梁的挠度和转角
6.6 提高弯曲刚度的措施
6.1 工程实际中的弯曲变形问题
机床主轴
加工工件
车辆叠板弹簧
6.2 挠曲线的近似微分方程、刚度条件
Pbx1 2 y1 l b 2 x12 6 EIl
y2
Pb 2 2 l 3 2 l b x 2 x 2 x2 a 6 EIl b
(3) 求梁的A、B 截面的转角
Pab(l b) A 1 ( x1 ) x 0 1 6 EIl Pab(l a ) B 2 ( x2 ) x l 2 6 EIl
边界条件——梁在支承点处，由于周围约束所确 定的该处的挠度或转角值（即由约束所规定的广 义位移）。 连续性条件——在梁的载荷突变处，由于连续性 公理的约束，相邻两力区之间广义位移所满足的 关系，因为在外力或内力突变的地方，其位移是 不会出现突变的。
边界条件
y
a P
x1 x2
b
c x
x 0, y 0; x a b, y 0
6.2.1 挠度和转角(deflection and angle of rotation) 挠曲线方程
y
y f x
挠度——梁上某一横截 面的形心（即挠曲线上 某一点A），在垂直于x 轴的方向上发生的线位 移y，称为梁在截面A的 挠度。
o x
y
P
x
y f ( x)
挠度向上为正，向下为负。
l 2 b2 l b l b l b 得x0 a a a a 3 3a ( a b) a l a
可见，x0在(0,a)范围内，即存在极值。其值为
f 极值 [ y1 ( x1 )]x1 x0 Pb (l 2 b 2 )3 9 3EIl
而在CB段，
Pb 2 2 3l 2 x2 a 2 0 2 l b 3 x2 b 6 EIl 3l 2 3 x2 2ax2 l 2 a 2 b 2 0 b 3l 2 2 2 2 3 x2 2ax2 l a b 0 b
b a RA P, RB P l l
y A
a P
C
x1 x2
b
B
x
AB梁的AC、CB段的弯矩方程分别为
M 1 x1 b 0 x1 a Px1 l b a x2 l M 2 x2 Px2 P x2 a l
AC段
0 x1 a
由高等数学知，曲线 y=f (x) 上任一点的曲率为：
1 ( x)
y 1 ( y ) 2
3 2
比较上两式，可得
y
3 2
M x EI
——挠曲线微分方程
1 ( y ) 2 其中正负号与所选择的坐标系有关。
梁的挠度y和转角数值都很小，因此(y )2与1相 比也很小，可以忽略不计。于是上式又可简化为
yCP Pl 3 Pl 2 , AP 48EI 16EI
梁在集中力偶m单独作用时
ycm ml 2 ml , Am 16 EI 6 EI
叠加P和m共同作用得C截面挠度和A截面转角为
PL3 ml 2 yC yCP yCm 48EI 16 EI PL2 ml A AP Am 16 EI 6 EI
d2 y M 2 dx EI M x dy 或 d d dx EI dx
分别作一次和二次不定积分，度方程
EIy M x dx dx Cx D
其中C和D为任意积分常数，它们要通过梁的边界条 件或连续性条件来确定。
CB段
EIy 2
a x2 l
Pb EIy1 x1 l
Pb x 2 P x 2 a l
EIy1
Pb 2 x1 C1 2l
EIy 2
Pb 2 P 2 x2 x2 a C 2 2l 2
Pb 3 Pb 3 P EIy1 x1 C1 x1 D1 3 EIy 2 x 2 x 2 a C 2 x 2 D2 6l 6l 6