北师大版必修5高中数学第三章《简单线性规划的应用》word教案

简单线性规划的应用
教学目的：
1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题
2.增强学生的应用意识.培养学生理论联系实际的观点 教学重点：求得最优解 教学难点：求最优解是整数解 教材分析：
线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小 教学过程： 一、复习引入：
1．二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解 3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）; （2）设0=z ，画出直线0l ;
（3）观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解),(),,(1100y x B y x A ; （4）最后求得目标函数的最大值及最小值
4.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解
5．判断可行区域的方法： 由于对在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入C By Ax ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断0>++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 二、讲解新课：
例1：医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每g 10含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每g 10含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元。

若病人每餐至少需
要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
解：设甲、乙两种原料分别用xg 10和yg 10，需要的费用为y x z 23+=
病人第餐至少需要35单位蛋白质，可表示为 同理，对铁质的要求可表示为40410≥+y x
问题成为：在约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+≥+0,0404103575y x y x y x 下
求目标函数y x z 23+=的最小值
作出可行域，令0=z ，作直线023:0=+y x l 由图可知，把直线0l 平移至顶点A 时，z 取最小值 由)3,514
(40
4103575A y x y x ⇒⎩⎨
⎧=+=+，
5
72
325143min =⨯+⨯
=z 元 所以用甲种原料
g 28105
14
=⨯，乙种原料g 30103=⨯，费用最省 例2：某厂生产一种产品，其成本为27元/kg ，售价为50元/kg ，生产中，每千克产品产生
33.0m 的污水，污水有两种排放方式：
方式一：直接排入河流
方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有%85，污水处理站最大处理能力是h m /9.03
，处理污水的成本是5元/3
m
另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是6.17元/3
m ，，且允许该厂排入河流中污水的最大量是h m /225.03
，那么，该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每净收益最大？
分析：为了解决问题，首先要搞清楚是什么因素决定收益 净收益 = 售出产品的收入—生产费用
其中生产费用包括生产成本、污水处理、排污费等 设该厂生产的产量为h xkg /，直接排入河流的污水为h ym /3，每小时净收益为z 元，则
（1）售出产品的收入为x 50元/h （2）产品成本为x 27元/h
（3）污水产生量为h xm /3.03
，污水处理量为h m y x /)3.0(3-，污水处理费为)
3.0(5y x -元/h
（4）污水未处理率为15.0%851=-，所以污水处理厂处理后的污水排放量为
h m y x /)3.0(15.03-，环保部门要征收的排污费为])3.0(15.0[6.17y y x +-元/h
（5）y x y y x y x x x z 96.9708.20])3.0(15.0[6.17)3.0(52750-=+-----= 需要考虑的约束条件是：
（1）污水处理能力是有限的，即9.03.00≤-≤y x
（2）允许排入河流的污水量也是有限的即225.0)3.0)(85.01(≤--+y x y
解：根据题意，本问题可归纳为：在约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≥-≤+≤-0
,003.04517099.03.0y x y x y x y x 下，
求目标函数y x z 96.9708.20-=的最大值 作出可行域，令0=z
作直线096.9708.20:0=-y x l ， 由图可知，平移直线0l ，在可行域中的 顶点A 处，z 取得最大值
由)09.0,3.3(45
17099.03.0A y x y x ⇒⎩⎨⎧=+=- 故该厂生产该产品h kg /3.3，直接排入 河流的污水为h m /09.03
时，可使每小时
净收益最大，最大值为44.679.096.93.3708.20=⨯-⨯（元）
答：该厂应安排生产该产品h kg /3.3，直接排入河流的污水为h m /09.03
时，其每小时净收益
最大。

三、课堂练习：
已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?
解：设甲煤矿向东车站运l 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z =x
+1.5(200
－x )+0.8y +1.6(300－y )(万元) 即z =780－0.5x －0.8y .
x 、y 应满足：
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧≤-+-≤+≥-≥-≥≥360
)300(20028003000
20000y x y x y x y x 作出上面的不等式组所表示的平面区域
设直线x+y =280与y 轴的交点为M ，则M (0，280)
把直线l ：0.5x +0.8y =0向上平移至经过平面区域上的点M 时，z 的值最小 ∵点M 的坐标为(0，280)，
∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少 四、课堂小结：
求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 五、课后作业：
1、P109页 B 组第2题
2、要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：
今需A 、B 、C 钢管，且使所用钢管根数最少
解：设需截甲种钢管x 根，乙种钢管y 根，则
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0
01841631322y x y x y x y x 作出可行域(如图)：
目标函数为y x z +=，作出一组平行直线t y x =+中(t 为参数)经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4x+y =18和直线x +3y =16的交点A (
11
46
,1138)，直线方程为1184=
+y x .由于1138和11
46都不是整数，所以可行域内的点(
1146
,1138)不是最优解 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是8=+y x ，经过的整点是B (4，4)，它是最优解
答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根。