2017高考专项复习 函数的单调性
2017版高考数学课件：2.2 函数的单调性与最值(值域)
递增区间.
解析 f(x)=x2-2 x =1
2
间为
1,
1 2
,[1,+∞).
x2
x2
2x 2x
1, 1,
x x
结12 , 合图象可知,函数的单调递增区
1c . 2
2-2 (2014上海,18,5分)设f(x)= 取值范围是 ( )
(
x
a)2
,
x
若0f,(0)是f(x)的最小值,则a的
7(3 a) 3 a76 ,
4
第十七页，编辑于星期六：二十点 二十一分。
分段函数要具有单调性,既要每一段在各自的区间内具有相同的单调性,
同时要注意不同段在交界处的函数值的大小关系,从而保证函数整体的 单调性.
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2-1 (2015浙江温州十校联考改编)已知函数f(x)=x2-2 x 1,求f(x)的单调
x
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函数的值域(最值)
典例3 (2015稽阳联考,17,14分)设f(x)=|x-a|- 4+a,x∈[1,6],a∈(1,6).
x
(1)若a∈(1,2],求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)的最小值.
解析
(1)f(x)=
2a
x
4 x
,1
x
a,
因为当1<a≤2时,xf(x)4x在,a[1,xa]上6,是增函数c ,在[a,6]上也是增函数,
上 因为函增数函u=数lo,故gx1函在数y14=,(4l上o 为gx减)122-函4lo数,且xg+-1223≤在u区≤间2,而f(u18)上=, 14u为2-4减u+函3在数区. 间[-2,
高考数学导数单调性专题
类型一：不含字母，求单调区间1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋1)．讨论f(x)的单调性；(1) 解 f (x )＝e x －ln(x ＋1)⇒f ′(x )＝e x －11+xf ′（x)在()∞+，1-上单调递增，且f ′(0)=0,定义域为{x |x >－1}显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 2.设函数()()21x f x x e x =--(其中k ∈R ).,求函数()f x 的单调区间;解析：()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.3.已知函数 （Ⅰ）求函数f (x )的定义域（Ⅱ）确定函数f (x )在定义域上的单调性，并证明你的结论. （1）定义域（2）单调递减。
当，令，故在（－1，0）上是减函数，即，xx n x f )1(11)(++=),0()0,1(+∞⋃-,0)]1ln(11[1)(2时当>+++-='x x x x x f 0)(<'x f )0,1(-∈x 0)1(11)1(1)()1ln(11)(22<+=+++-='+++=x xx x x g x x x g 0)1(11)1(1)()1ln(11)(22<+=+++-='+++=x xx x x g x x x g )(x g 01)0()(>=>g x g故此时 在（－1，0）和（0，+）上都是减函数 类型二：讨论含字母函数的单调性。
4.已知函数f(x)=e x -ax(e 为自然对数的底数).求函数f(x)的单调区间。
2017年高考通关讲练导数(数学(文))：三、函数的单调性与导数 含解析
三、函数的单调性与导数考纲要求1．了解函数的单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．命题规律利用导数研究函数的单调性是高考考查的重点，具体形式为: (1）利用导数求函数（函数中常含有参数）的单调区间，或由函数的单调性求参数的取值范围。
一般以解答题的形式出现，有时也出现在选择题或填空题中.（2)利用函数的单调性比较大小、证明不等式、判断函数零点个数等，题目综合性强，有一定的难度，一般以解答题的形式出现.1．函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a，b）内：①如果()0f x'>，函数f （x）在这个区间内单调递增;②如果()0f x'<，函数f (x)在这个区间内单调递减；③如果()=0f x',函数f （x)在这个区间内是常数函数．2．单调性的应用（1）在某个区间内，()0f x'<）是函数f (x）在此区间内单调f x'>(()0递增（减）的充分条件，而不是必要条件。
例如,函数3=在定f x x()义域(,)-∞+∞上是增函数，但2'=≥。
()30f x x(2)函数f （x）在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()0f x'≤）f x'≥(()0在（a,b)内恒成立，且()f x'在（a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x'=,不影响函数f （x)在区间内的单调性。
如图所示是函数f (x)的导函数f ′（x)的图象,则下列判断中正确的是A．函数f (x）在区间（−3，0)上是减函数B．函数f (x)在区间(−3，2)上是减函数C．函数f (x）在区间（0,2）上是减函数D．函数f （x)在区间(−3，2)上是单调函数【答案】A【解析】由导函数的图象易判断在区间（−3,0）上f ′(x)〈0，所以f （x)在(−3，0)上单调递减，故选A。
2017高考一轮复习教案-函数的单调性
函数的单调性与最值一、函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A 上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的2.单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．3求函数单调区间的两个注意点：(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．4必记结论1．单调函数的定义有以下若干等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么①f x1－f x2x1－x2>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；f x1－f x2x1－x2<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0⇔f(x)在[a ，b]上是增函数； (x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]<0⇔f(x)在[a ，b]上是减函数．2．复合函数y ＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f(u)与u ＝g(x)若具有相同的单调性，则y ＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f[g(x)]必为减函数．考点一 函数单调性的判断1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f(x)＝3－x B ．f(x)＝x 2－3x C ．f(x)＝－1x ＋1D ．f(x)＝－|x|解析：当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.答案：C2．判断函数g(x)＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性． 解：法一：定义法任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则g(x 1)－g(x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2x 1－x 2x 1－1x 2－1，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g(x 1)－g(x 2)<0，即g(x 1)<g(x 2)． 故g(x)在(1，＋∞)上是增函数． 法二：导数法 ∵g′(x)＝－2x －1＋2xx －12＝2x －12>0，∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．给出解析式函数单调性的两种判定方法1．定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)． *2．导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)．考点二 函数的单调区间的求法|1求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x|＋1；(2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．[解] (1)由于y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋1，x≥0，－x 2－2x ＋1，x<0，即y ＝⎩⎨⎧－x －12＋2，x≥0，－x ＋12＋2，x<0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log 12u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.∴函数y＝log 12(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log 12u在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y＝log 12(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．函数单调区间的四种求法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．*(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．2函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )A ．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C ．[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：y ＝|x|(1－x) ＝⎩⎨⎧x 1－x x≥0，－x 1－xx<0＝＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14x≥0，⎝⎛⎭⎪⎫x －122－14x<0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．答案：B考点三 函数单调性的应用函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：1．求函数的值域或最值．2．比较两个函数值或两个自变量的大小． 3．解函数不等式． 4．求参数的取值范围或值．一 求函数的值域或最值1.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋2x －3，x≥1，lg x 2＋1，x<1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．二 比较两个函数值或两自变量的大小2．已知函数f(x)＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f(x 1)<0，f(x 2)<0B ．f(x 1)<0，f(x 2)>0C ．f(x 1)>0，f(x 2)<0D ．f(x 1)>0，f(x 2)>0三 解函数不等式3．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 3，x≤0，ln x ＋1，x>0，若f(2－x 2)>f(x)，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)四 利用单调性求参数的取值范围 4．已知f(x)＝⎩⎨⎧2－a x ＋1x<1，a xx≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32C ．(1,2)D ．(1，＋∞)1.解析：由题知，f(－3)＝1，f(1)＝0，即f(f(－3))＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)min ＝min{f(0)，f(2)}＝22－3.答案：0 22－32.解析：∵函数f(x)＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f(x 1)<f(2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f(x 2)>f(2)＝0， 即f(x 1)<0，f(x 2)>0. 答案：B3.解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x 3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x ＋1)也是增函数，且当x 1<0，x 2>0时，f(x 1)<f(x 2)，∴函数f(x)是定义在R 上的增函数．因此，不等式f(2－x 2)>f(x)等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x<1，故选D.答案：D4.解析：依题意，f(x)是在R 上的增函数，于是有⎩⎨⎧2－a>0，a>1，2－a ×1＋1≤a 1.解得32≤a<2，故选A.答案：A函数单调性应用问题的四种类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．1.确定抽象函数的单调性以及解含“f”的不等式【典例】函数f(x)对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，有f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(2t－1)－f(1＋t)<2.[规范解答] (1)证明：设x1，x2∈R且x1<x2，则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.(2分)根据条件等式有f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)是R上的增函数．(6分)(2)由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，得f(a＋b)－f(a)＝f(b)－1，∴f(2t－1)－f(1＋t)＝f(t－2)－1，(8分)∴f(2t－1)－f(1＋t)<2，即f(t－2)－1<2，∴f(t－2)<3.又f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴f(t－2)<3＝f(2)．(10分)∵f(x)是R上的增函数，∴t－2<2，∴t<4，故不等式的解集为(－∞，4)．练习A 组1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x C ．y ＝ln x D ．y ＝|x|2．下列四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝1x 2＋1； ③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎨⎧－xx≤0，－1xx>0.其中值域为R 的函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．若函数f(x)＝－x 2＋2ax 与函数g(x)＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)∪(0,1)B ．(0,1)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]4．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x≤0，－x 2－2x ＋3，x>0，则不等式f(a 2－4)>f(3a)的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)5．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数y ＝f x x在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f(x)＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]6．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则f(3)，f(－2)，f(1)的大小关系为________．7．设函数f(x)＝⎩⎨⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是________．8．已知函数f(x)＝|x ＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．9．已知f(x)＝xx －a(x≠a)．(1)若a ＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．10．已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1x ＋3，x ∈(－3，a]，其中a 为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f(x)的值域．练习B 组1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)*2． “a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若函数f(x)＝⎩⎨⎧－x ＋6，x≤2，3＋log a x ，x>2(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．4． a 为实数，函数f(x)＝|x 2－ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a)．当a ＝________时，g(a)的值最小．答案1.解析：因为定义域是R ，排除C ，又是增函数，排除A 、D ，所以选B. 答案：B2.解析：依题意，注意到y ＝3－x 与函数y ＝⎩⎨⎧－xx≤0，－1xx>0的值域均是R ，函数y ＝1x 2＋1的值域是(0,1]，函数y ＝x 2＋2x －10＝(x ＋1)2－11的值域是[－11，＋∞)，因此选B.答案：B3.解析：注意到f(x)＝－(x －a)2＋a 2；依题意得⎩⎨⎧a≤1，a>0，即0<a≤1，故选D.答案：D4.解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R 上是单调递减的．由f(a 2－4)>f(3a)，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a<4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：B5.解析：因为函数f(x)＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，fx x＝12x －1＋32x ，令g(x)＝12x －1＋32x (x≥1)，则g′(x)＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g′(x)≤0得1≤x≤3，即函数f x x＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]． 答案：D6.解析：由x 1，x 2∈(0，＋∞)时，fx 2－x 1x 2－x 1<0，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数． 又f(－2)＝f(2)，1<2<3， ∴f(1)>f(－2)>f(3)． 即f(1)>f(2)>f(3)． 答案：f(1)>f(－2)>f(3)7.解析：g(x)＝⎩⎨⎧x 2，x>1，0，x ＝1，－x 2，x<1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)8.解析：因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.答案：(－∞，1]9.解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)f(x)＝x x －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a， 当a>0时，f(x)在(－∞，a)，(a ，＋∞)上是减函数， 又f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴0<a≤1，故实数a 的取值范围为(0,1]． 10.解：(1)∵f(x)＝g(x)·h(x)＝(x ＋1)1x ＋3＝x ＋1x ＋3， ∴f(x)＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a](a>0)．(2)函数f(x)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，f(x)＝F(t)＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2. ∵t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F(t)单调递增，∴F(t)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.即函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.1.解析：y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 为减函数，t ＝x ＋1为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y ＝x ＋1为增函数，故选A.答案：A2.解析：由二次函数的图象和性质知f(x)＝|(ax －1)x|在(0，＋∞)内单调递增，只需f(x)的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a <0，整理得a≤0，而当a≤0时，结合图象(图略)可知f(x)在(0，＋∞)上为增函数．故a≤0是f(x)在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.答案：C3.解析：因为f(x)＝⎩⎨⎧－x ＋6，x≤2，3＋log a x ，x>2，所以当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a>1，3＋log a 2≥4.解得1<a≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案：(1,2]4.解析：f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫x －a 22－a 24，其在区间[0,1]上的最大值必在x ＝0，x ＝1，x ＝a2处产生，即g(a)＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f 0，f 1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，|1－a|，a 24＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫|1－a|，a 24，在同一坐标系中分别画出y ＝|1－a|，y ＝a 24的图象可知(图略)，在两图象的交点处，g(a)取得最小值，此时1－a ＝a 24，则a ＝22－2(－2－22舍去)．答案：22－2例题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f(x)＝1xB ．f(x)＝(x －1)2C ．f(x)＝e xD ．f(x)＝ln(x ＋1)2．函数f(x)＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．3．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2－ax －5，x≤1，ax ，x>1在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．[－3，－2]C ．(－∞，－2]D ．(－∞，0)1.解析：根据函数的图象知，函数f(x)＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，故选A.答案：A2.解析：要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x>－12，而y ＝log 5u为(0，＋∞)上的增函数，当x>－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞3.解析：要使函数在R 上是增函数， 则有⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥1，a<0，－1－a －5≤a，解得－3≤a≤－2，即a 的取值范围是[－3，－2]．答案：B。
2017高考数学必考点【函数的单调性和最值】整理.doc
2017高考数学必考点【函数的单调性和最值】整理高考数学想要取得好成绩必须要掌握好数学考点，很多考生在记忆数学考点的时候不够准确，因此在考试答题的时候就会模棱两可，为此下面为大家带来2017高考数学必考点【函数的单调性和最值】整理，希望大家能够认真掌握这些考点。
高考数学知识点：函数的单调性、最值单调性的定义：1、对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1，x2D，当x1f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D称为函数f(x)的单调区间。
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f(x)的单调增或减区间3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的xI，都有f(x)M;②存在x0I，使得f(x0)=M;那么，称M是f(x)的最大值.最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的xI，都有f(x)M;②存在x0I，使得f(x0)=M;那么，称M是f(x)的最小值判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法：(1)定义法：其步骤是：①任取x1，x2D，且x1②作差f(x1)-f(x2)或作商,高考英语，并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。
(2)复合法：利用基本函数的单调性的复合。
(3)图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
2017高考数学必考点【函数的单调性和最值】整理为大家带来过了，数学考点是我们解题的重要依据，希望大家在记忆数学考点的时候多下功夫。
全国高考数学复习：专题(含参函数的单调性讨论)重点讲解与练习(附答案)
全国高考数学复习：专题（含参函数的单调性讨论）重点讲解与练习【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．考点一 导主一次型【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】1．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．2．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．考点二 导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1是不是＋有没有＋在不在[例2](2021ꞏ全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．[例3](2018ꞏ全国Ⅰ节选)已知函数f(x)＝1x－x＋a ln x，讨论f(x)的单调性．[例4]设函数f(x)＝a ln x＋x－1x＋1，其中a为常数．讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】3．(2020ꞏ全国Ⅲ节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2．讨论f(x)的单调性．4．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．[例6] 已知函数f (x )＝x 2e －ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．[例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x －ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．[例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．[例9] (2016ꞏ山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．【对点训练】6．已知函数f (x )＝122－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性．10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x(x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．考点三 导主指对型 【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．[例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －122＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值； (2)求函数f (x )的单调区间．考点四 导主正余型【例题选讲】[例12](2017山东理)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e xꞏ(cos x－sin x＋2x－2)，其中e是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．【对点训练】13．(2017ꞏ山东)已知函数f(x)＝13x 3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性参考答案【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ， ①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．【对点训练】1．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．讨论函数f (x )的单调性． 1．解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减； 当a ＝0时，f (x )为常函数．2．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性． 2．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ， 当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0， 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 考点二 导主二次型 【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x 1，x 2都在定义域内，则讨论个零点x 1，x 2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1 是不是＋有没有＋在不在[例2] (2021ꞏ全国乙节选)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析 由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )． ①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3， 令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增．[例3] (2018ꞏ全国Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性． 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2． ①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42． 当x ∈⎝ ⎛⎪⎫0，a －a 2－4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0． 所以f (x )在⎝ ⎛⎪⎫0，a －a 2－4，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． 综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[例4] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性． 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．(1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a． 由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增． 【对点训练】3．(2020ꞏ全国Ⅲ节选)已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性． 3．解析 由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k 3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－k 3，k 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－∞，－k 3，⎝⎛⎭⎫k 3，＋∞上单调递增． 4．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．4．解析 由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2. 设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0．此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0． 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2， x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性． 5．解析 由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增； ②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a ，x 2＝－1＋1－1a ．x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性． 解析 因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x． 由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ， 若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a <x <1， 即函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a ，即函数f (x )在(0，1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．[例6] 已知函数f (x )＝x 2e －ax －1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解析 根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减． 当a ≠0时，f ′(x )＝2x e－ax ＋x 2(－a )e －ax ＝e －ax (－ax 2＋2x )． 因为e －ax >0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a(1)当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤0，2a 上有g (x )≥0，即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增． (2)当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤2a ，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减． 综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，2a ； 当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2a ，0． [例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x －ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－(x －1)(ax －1)x 2．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1a ． 当a ≤0时，ax －1＜0，f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减； 当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． [例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解析 f ′(x )＝a x ＋1－a －2x ＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋2＋a 2x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22，又f (x )的定义域为(－1，＋∞)，①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞上单调递减．[例9] (2016ꞏ山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3． 当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x －2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则2a ＞1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②若a ＝2，则2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 【对点训练】6．已知函数f (x )＝122－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．6．解析 函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x． ①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； ②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③当a >1时，0<1a <1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； 当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间． 7．解析 f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x (ax ＋2)e ax ＋1 ． ①当a ＝0时，x >0，f ′(x )>0；x <0，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，0，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－2a ，0． ③当a <0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，f ′(x )<0， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－2a ． 8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．8．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x． (1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a 2a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在(1－a 2a ，＋∞)上单调递增． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性． 9．解 因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k x －4－x 2x 2＝－(x －k )⎝⎛⎭⎫x －4k x 2(x >0，k >0)． ①当0<k <2时，4k k >0，且4k >2，所以当x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，当x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )<0在(0，2)上恒成立，所以f (x )在(0，2)上是减函数；③当k >2时，0<4k <2，k >4k ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，4k 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫4k ，2时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数．综上可知，当0<k <2时，f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；当k ＝2时，f (x )在(0，2)上是减函数；当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数． 10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x (x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性． 10．解析 函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1． ①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即32<a <2时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增．当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3，0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a <2时，f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0，2a －3)上单调递减．考点三 导主指对型【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．解析 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a ．当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2．当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0；故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． [例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析 易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)，令f ′(x )＝0得x ＝a 2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)．当a ＞0时，①若a 2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 2时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；②若a 2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a 2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫e ，a 2时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞时，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a 2． 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a 2． 【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．11．解析 ∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a ．易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －122＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．解析 (1)若a ＝0，f (x )＝x 2ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ln x ＋x 2×1x －x ＝2x ln x ，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，所以f (x )在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以f (x )的最小值为f (1)＝－12．(2)f ′(x )＝(2x －2a )ln x ＋(x 2－2ax )ꞏ1x －x ＋2a ＝(2x －2a )ln x ，①当a ≤0时，2x －2a ＞0，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；②当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜a 或x ＞1，由f ′(x )＜0可得a ＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)；③当a ＝1时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；④当a ＞1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜1或x ＞a ，由f ′(x )＜0可得1＜x ＜a ，此时f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a ＞1时，f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．考点四 导主正余型【例题选讲】[例12] (2017山东理)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x ꞏ(cos x －sin x ＋2x －2)，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．解析 (1)g′(x)＝(e x)′ꞏ(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(cos x－sin x＋2x－2)′＝e x(cos x－sin x＋2x－2－sin x－cos x＋2)＝2e x(x－sin x)．记p(x)＝x－sin x，则p′(x)＝1－cos x．因为cos x∈[－1，1]，所以p′(x)＝1－cos x≥0，所以函数p(x)在R上单调递增．而p(0)＝0－sin 0＝0，所以当x<0时，p(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>0时，p(x)>0，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．综上，函数g(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h(x)＝g(x)－af (x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，所以h′(x)＝2e x(x－sin x)－a(2x－2sin x)＝2(x－sin x)(e x－a)．由(1)知，当x>0时，p(x)＝x－sin x>0；当x<0时，p(x)＝x－sin x<0．当a≤0时，e x－a>0，所以x>0时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x<0时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．当a>0时，令h′(x)＝2(x－sin x)(e x－a)＝0，解得x1＝ln a，x2＝0．①若0<a<1，则ln a<0，所以x∈(－∞，ln a)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(ln a，0)时，e x－a>0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，e x－a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．②若a＝1，则ln a＝0，所以x∈R时，h′(x)≥0，函数h(x)在R上单调递增．③若a>1，则ln a>0，所以x∈(－∞，0)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(0，ln a)时，e x－a<0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(ln a，＋∞)时，e x －a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a<1时，函数h(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a，0)上单调递减；当a＝1时，函数h(x)在R上单调递增；当a>1时，函数h(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减．【对点训练】13．(2017ꞏ山东)已知函数f(x)＝13x 3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性．13．解析 (1)由题意得f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0．(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)．令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增．因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0．①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．综上所述，当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减；当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．。
函数的单调性
题型一直接求函数的单调区间1．(2017·浙江卷)函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是( )【答案】D【解析】 根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f (x )在这些零点处取得极值，排除A ，B 项；记导函数f ′(x )的零点从左到右分别为x 1，x 2，x 3，又在(－∞，x 1)上，f ′(x )<0，在(x 1，x 2)上，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，x 1)上单调递减，排除C 项．故选D ． 2．函数x x y ln 212-=的单调递减区间为( ) A ．)1,1(- B ．)1,(0 C ．)1(∞+， D ．)(∞+，0 【答案】B【解析】 (1)y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝x －1x ＋1x (x >0)．令y ′<0，得0<x <1，所以单调递减区间为(0,1)．3．已知定义在区间),(ππ-上的函数x x x x f cos sin )(+=，则)(x f 的单调递增区间是__________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 【解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2.题型二函数单调性的应用比较大小或解不等式：利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有：①)()(x g x f >→)()()(x g x f x F -=； ②)()(x f x f x +'→])(['x xf ；③)()(x f x f x -'→])(['x x f ；④)()(x f x f +'→])(['x f e x；⑤)()(x f x f -'→])(['x ex f 1. (1)函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 ．【解析】(1)令g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以f ′(x )－2>0，即g ′(x )>0，所以g (x )＝f (x )－2x －4在R 上单调递增． 又因为f (－1)＝2，所以g (－1)＝f (－1)－2＝0，所以g (x )>0⇔g (x )>g (－1)⇔x >－1， 所以f (x )>2x ＋4的解集是(－1，＋∞)．故选B ．（2）函数)(x f 的定义域为R ，2)0(=f ，对任意的R x ∈，1)()(>'+x f x f ，则1)(+>x x e x f e 的解集是 ．【答案】 {x |x >0}【解析】 令g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，则g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．因为f (x )＋f ′(x )>1，所以g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0，所以g (x )在R 上是增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0，所以e x ·f (x )>e x ＋1⇔e x ·f (x )－e x －1>0⇔g (x )>0⇔g (x )>g (0)⇔x >0.1. (1)已知函数)(x f y =为奇函数，且当)0,(-∞∈x 时，0)()(<'+x f x x f 成立(其中)(x f '为)(x f 的导函数)．若)3()3(3.03.0f a ⋅=，)3(log )3(log ππf a ⋅=，)91(log )91(log 33f a ⋅=，则c b a ,,的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b【解析】因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，所以y ＝f (x )为奇函数．令g (x )＝xf (x )，则g (x )＝xf (x )为偶函数，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0在(－∞，0)上恒成立，所以g (x )＝xf (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．因为c ＝⎝⎛⎭⎫log 319·f ⎝⎛⎭⎫log 319＝(－2)·f (－2)＝2f (2)，又0<log π3<30.3<2，所以g (log π3)<g (30.3)<g (2)，所以c >a >b .故选C ．(2)若1021<<<x x ，则( )A ．12ln ln 12x x e ex x ->- B ．12ln ln 12x x e e x x -<-C ．2112x x e x ex > D ．2112x x e x e x <【答案】C【解析】令f (x )＝e xx，则f ′(x )＝e x′·x －x ′·e x x 2＝e xx －1x 2.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0,1)上单调递减 ，因为0＜x 1＜x 2＜1，所以f (x 2)＜f (x 1)，即e x 2x 2＜e x 1x 1，所以x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C ．题型三 讨论参数的取值范围，确定函数的单调区间1．已知函数1)(23++-=x ax x x f （R a ∈），讨论函数)(x f 的单调性．分析：对)(x f '中∆讨论变式1：已知函数x x ax x f +-=23)(（R a ∈），讨论函数)(x f 的单调性． 变式2：已知函数x a a x a x x f )2(2131)(223----=（R a ∈），讨论函数)(x f 的单调性． 变式3：已知函数x a a x a x x f ln )()12(21)(22-+--=（R a ∈），讨论函数)(x f 的单调性．题型四 已知单调性，确定参数的值或取值范围，确定函数的单调区间(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(f ′(x )在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．(2)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．(3)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题． 1.已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )在(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (4)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值； (5)若f (x )在(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．【答案】见解析【解析】 (1)因为f (x )在R 上为增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在R 上恒成立．所以a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上为增函数， 所以a 的取值范围是(－∞，0]．(2)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]． (3)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在(－1,1)上为减函数， 所以f ′(x )≤0⇔3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， 所以a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为x ∈(－1,1)，所以3x 2<3，即a ≥3.所以a 的取值范围是[3，＋∞)． (4)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a >0时，由f ′(x )<0得3x 2－a <0， 所以x 2<a3，即－a 3<x <a 3. 故f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 3，a 3. 由题意得a3＝1，解得a ＝3. (5)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a >0时，因为f (x )在(－1,1)上不单调，所以f ′(x )＝0在(－1,1)内有解x ＝±a 3，所以0<a 3<1，解得0<a <3.所以a 的取值范围是(0,3)． 2．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若)()1()(x f x x m x -+-=1ϕ在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围． 【答案】见解析【解析】 (1)因为f ′(x )＝1x (x ＞0)，所以f ′(1)＝1＝12a ，解得a ＝2.又因为g (1)＝12a ＋b ＝f (1)＝0，所以b ＝－1，所以g (x )＝x －1.(2)因为φ(x )＝mx －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数，所以φ′(x )＝mx ＋1－m x －1x ＋12－1x ＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x在[1，＋∞)上恒成立．因为x ＋1x ∈[2，＋∞)，所以2m －2≤2，得m ≤2.所以实数m 的取值范围是(－∞，2]．。
函数的单调性(解析版)
考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0． 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )． 故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增； 当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、 函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】 因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间 例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】 根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． 变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
(完整版)2017高考一轮复习教案-函数的单调性
函数的单调性与最值一、函数的单调性 1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间A上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间A 上是增加的当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间A 上是减少的图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的2.单调区间的定义如果函数y ＝f(x)在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间．3求函数单调区间的两个注意点：(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 4必记结论1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x 1，x 2∈[a ，b]，那么 ①f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f(x)在[a ，b]上是增函数； f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在[a ，b]上是减函数．②(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0⇔f(x)在[a ，b]上是增函数； (x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]<0⇔f(x)在[a ，b]上是减函数．2．复合函数y ＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f(u)与u ＝g(x)若具有相同的单调性，则y ＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f[g(x)]必为减函数．考点一 函数单调性的判断1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f(x)＝3－x B ．f(x)＝x 2－3x C ．f(x)＝－1x ＋1D ．f(x)＝－|x|解析：当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.答案：C2．判断函数g(x)＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性． 解：法一：定义法任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则g(x 1)－g(x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2x 1－x 2x 1－1x 2－1，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g(x 1)－g(x 2)<0，即g(x 1)<g(x 2)． 故g(x)在(1，＋∞)上是增函数． 法二：导数法 ∵g′(x)＝－2x －1＋2xx －12＝2x －12>0，∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．给出解析式函数单调性的两种判定方法1．定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)． *2．导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)．考点二 函数的单调区间的求法|1求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x|＋1；(2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．[解] (1)由于y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋1，x≥0，－x 2－2x ＋1，x<0，即y ＝⎩⎨⎧－x －12＋2，x≥0，－x ＋12＋2，x<0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log 12u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.∴函数y＝log 12(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log 12u在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y＝log 12(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．函数单调区间的四种求法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．*(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．2函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )A ．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C ．[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：y ＝|x|(1－x) ＝⎩⎨⎧x 1－x x≥0，－x 1－xx<0＝＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14x≥0，⎝⎛⎭⎪⎫x －122－14x<0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．答案：B考点三 函数单调性的应用函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：1．求函数的值域或最值．2．比较两个函数值或两个自变量的大小． 3．解函数不等式． 4．求参数的取值范围或值．一 求函数的值域或最值1.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋2x －3，x≥1，lg x 2＋1，x<1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．二 比较两个函数值或两自变量的大小2．已知函数f(x)＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f(x 1)<0，f(x 2)<0B ．f(x 1)<0，f(x 2)>0C ．f(x 1)>0，f(x 2)<0D ．f(x 1)>0，f(x 2)>0三 解函数不等式3．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 3，x≤0，ln x ＋1，x>0，若f(2－x 2)>f(x)，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)四 利用单调性求参数的取值范围 4．已知f(x)＝⎩⎨⎧2－a x ＋1x<1，a xx≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32C ．(1,2)D ．(1，＋∞)1.解析：由题知，f(－3)＝1，f(1)＝0，即f(f(－3))＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)min ＝min{f(0)，f(2)}＝22－3.答案：0 22－32.解析：∵函数f(x)＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f(x 1)<f(2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f(x 2)>f(2)＝0， 即f(x 1)<0，f(x 2)>0. 答案：B3.解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x 3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x ＋1)也是增函数，且当x 1<0，x 2>0时，f(x 1)<f(x 2)，∴函数f(x)是定义在R 上的增函数．因此，不等式f(2－x 2)>f(x)等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x<1，故选D.答案：D4.解析：依题意，f(x)是在R 上的增函数，于是有⎩⎨⎧2－a>0，a>1，2－a ×1＋1≤a 1.解得32≤a<2，故选A.答案：A函数单调性应用问题的四种类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．1.确定抽象函数的单调性以及解含“f”的不等式【典例】函数f(x)对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，有f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(2t－1)－f(1＋t)<2.[规范解答] (1)证明：设x1，x2∈R且x1<x2，则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.(2分)根据条件等式有f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)是R上的增函数．(6分)(2)由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，得f(a＋b)－f(a)＝f(b)－1，∴f(2t－1)－f(1＋t)＝f(t－2)－1，(8分)∴f(2t－1)－f(1＋t)<2，即f(t－2)－1<2，∴f(t－2)<3.又f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴f(t－2)<3＝f(2)．(10分)∵f(x)是R上的增函数，∴t－2<2，∴t<4，故不等式的解集为(－∞，4)．练习A 组1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x C ．y ＝ln x D ．y ＝|x|2．下列四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝1x 2＋1； ③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎨⎧－xx≤0，－1xx>0.其中值域为R 的函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．若函数f(x)＝－x 2＋2ax 与函数g(x)＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)∪(0,1)B ．(0,1)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]4．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x≤0，－x 2－2x ＋3，x>0，则不等式f(a 2－4)>f(3a)的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)5．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数y ＝f x x在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f(x)＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]6．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则f(3)，f(－2)，f(1)的大小关系为________．7．设函数f(x)＝⎩⎨⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是________．8．已知函数f(x)＝|x ＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．9．已知f(x)＝xx －a(x≠a)．(1)若a ＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．10．已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1x ＋3，x ∈(－3，a]，其中a 为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f(x)的值域．练习B 组1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)*2． “a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若函数f(x)＝⎩⎨⎧－x ＋6，x≤2，3＋log a x ，x>2(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．4． a 为实数，函数f(x)＝|x 2－ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a)．当a ＝________时，g(a)的值最小．答案1.解析：因为定义域是R ，排除C ，又是增函数，排除A 、D ，所以选B. 答案：B2.解析：依题意，注意到y ＝3－x 与函数y ＝⎩⎨⎧－xx≤0，－1xx>0的值域均是R ，函数y ＝1x 2＋1的值域是(0,1]，函数y ＝x 2＋2x －10＝(x ＋1)2－11的值域是[－11，＋∞)，因此选B.答案：B3.解析：注意到f(x)＝－(x －a)2＋a 2；依题意得⎩⎨⎧a≤1，a>0，即0<a≤1，故选D.答案：D4.解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R 上是单调递减的．由f(a 2－4)>f(3a)，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a<4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：B5.解析：因为函数f(x)＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，fx x＝12x －1＋32x ，令g(x)＝12x －1＋32x (x≥1)，则g′(x)＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g′(x)≤0得1≤x≤3，即函数f x x＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]． 答案：D6.解析：由x 1，x 2∈(0，＋∞)时，fx 2－x 1x 2－x 1<0，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数． 又f(－2)＝f(2)，1<2<3， ∴f(1)>f(－2)>f(3)． 即f(1)>f(2)>f(3)． 答案：f(1)>f(－2)>f(3)7.解析：g(x)＝⎩⎨⎧x 2，x>1，0，x ＝1，－x 2，x<1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)8.解析：因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.答案：(－∞，1]9.解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)f(x)＝x x －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a， 当a>0时，f(x)在(－∞，a)，(a ，＋∞)上是减函数， 又f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴0<a≤1，故实数a 的取值范围为(0,1]． 10.解：(1)∵f(x)＝g(x)·h(x)＝(x ＋1)1x ＋3＝x ＋1x ＋3， ∴f(x)＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a](a>0)．(2)函数f(x)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，f(x)＝F(t)＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2. ∵t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F(t)单调递增，∴F(t)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.即函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.1.解析：y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 为减函数，t ＝x ＋1为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y ＝x ＋1为增函数，故选A.答案：A2.解析：由二次函数的图象和性质知f(x)＝|(ax －1)x|在(0，＋∞)内单调递增，只需f(x)的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a <0，整理得a≤0，而当a≤0时，结合图象(图略)可知f(x)在(0，＋∞)上为增函数．故a≤0是f(x)在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.答案：C3.解析：因为f(x)＝⎩⎨⎧－x ＋6，x≤2，3＋log a x ，x>2，所以当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a>1，3＋log a 2≥4.解得1<a≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案：(1,2]4.解析：f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫x －a 22－a 24，其在区间[0,1]上的最大值必在x ＝0，x ＝1，x ＝a2处产生，即g(a)＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f 0，f 1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，|1－a|，a 24＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫|1－a|，a 24，在同一坐标系中分别画出y ＝|1－a|，y ＝a 24的图象可知(图略)，在两图象的交点处，g(a)取得最小值，此时1－a ＝a 24，则a ＝22－2(－2－22舍去)．答案：22－2例题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f(x)＝1xB ．f(x)＝(x －1)2C ．f(x)＝e xD ．f(x)＝ln(x ＋1)2．函数f(x)＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．3．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2－ax －5，x≤1，ax ，x>1在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．[－3，－2]C ．(－∞，－2]D ．(－∞，0)1.解析：根据函数的图象知，函数f(x)＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，故选A.答案：A2.解析：要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x>－12，而y ＝log 5u为(0，＋∞)上的增函数，当x>－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞3.解析：要使函数在R 上是增函数， 则有⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥1，a<0，－1－a －5≤a，解得－3≤a≤－2，即a 的取值范围是[－3，－2]．答案：B。
201709年高考数学函数的单调性复习.doc
函数的单调性学习目标1、理解增函数、减函数的概念;2．掌握判断某些函数的单调性的方法;3. 通过对函数单调性的理论研究,增强学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.一、基础自主探究1、增函数、减函数的定义：2、如果函数)(x f y =在某个区间是 或 就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的） ，这一区间叫函数)(x f y =的 。
3.已知函数 f(x)为偶函数，在（0,+)∞上为减函数，若f()21﹥0﹥f(3)，则方程f(x)＝0的根的个数是 （ ）A 2B 2或1C 3D 2或34设)(x f 是R 上的减函数，则下列关系成立的是（ ）A 、)2()(a f a f >B 、)()(2a f a f <C 、)()(2a f a a f <+D 、)()1(2a f a f <+5、如果奇函数)(x f 在区间)0(],[>>a b b a 上是增函数，且最小值为m ，那么)(x f 在区间],[a b --上是（ ）A 、增函数且最小值为mB 、增函数且最大值为mC 、减函数且最小值为mD 、减函数且最大值为m6、当02π≤≤x 时，函数y ＝sinx －cosx 是 函数 （指单调性） 7、已知函数)1()(x x m x f +=的图象与函数2)1(41)(++=xx x h 的图象关于点)1,0(A 对称。
（1）求m 的值；（2）若xa x f x g 4)()(+=在区间]2,0(上为减函数，求实数a 的取值范围。
二、典例精解例1：求下列函数的单调区间（1）y ＝245x x --（2）)32(log 22+--=x x y（3）xx y +-=432例2： 定义在R 上的函数0)0(,)(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,，有)(·)()(b f a f b a f =+（1）证明：1)0(=f ；（2）证明：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ；（3）证明)(x f 是R 上的增函数；（4）若1)2(·)(2>-x x f x f ，求x 的取值范围例3：试判断函数)0)(1,1(,1)(2≠-∈-=a x x ax x f 的单调性例4：设函数)0(1)(2>-+=a ax x x f 其中，证明当1≥a 时函数fx ）在区间),0[+∞上是单调函数三、当堂达标1、在区间),0(+∞上不是增函数的是（ ）A ．12+=x yB ．132+=x yC ．xy 2= D ．122++=x x y 2、设函数f(x)是R 上的偶函数，且在()+∞,0上是减函数，若,01<x 且021>+x x ，则A 、)()(21x f x f ->B 、)()(21x f x f -=-C 、)()(21x f x f -<-D 、不能确定3、如果函数f(x)＝x 2＋2(a-1)x ＋2在区间（－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A.[)+∞-,3B.(]3,-∞-C. (]5,∞-D. [)+∞,34、下列命题正确的个数是 （ ）（1）x y sin = 在第一象限单调递增 （2）x y tan =在定义域内单调递增（3）x y sin =是周期函数． Ａ 0 Ｂ 1 Ｃ 2 Ｄ 35、设定义在]22[，-上的偶函数)(x f 在区间]2,0[上单调递减，若 )()1(m f m f <-，实数m 的取值范围是___________6、下列命题中不正确的是___________（填上所有不正确命题的序号） ①因为函数x y 1=分别在()()+∞∞-,0,0,内都是减函数，所以函数xy 1=在整个定义域内是单调递减的。
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函数单调性
一、知识回顾：
1、对于给定区间D 上的函数)(x f ，如果________， 则称)(x f 是区间D 上的增（减）函数.
2、判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法：
（2）导数法：
（3）利用复合函数的单调性：
3.关于函数单调性还有以下一些常见结论：
①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____
的单调性；
③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；
3、求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等
二、基本训练
1、下列函数中，在区间)2,0(上递增的是 （ ）
（A ）x
y 1= （B ）x y -= （C ）1-=x y （D ）122++=x x y 2、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ）
（A ）)(1x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2
1x f y = （D ）2)]([x f y = 3、已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且)(x f 在（0，+∞）上是减函数，如果01<x ， 02>x 且|,|||21x x <则有 （ ）
（A ）0)()(21>-+-x f x f （B ）0)()(21<+x f x f （C ）0)()(21>---x f x f （D ）0)()(21<-x f x f
4、已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λ
λλ++=-≠x x a λλβ++=
112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则 （ ）
A ．0<λ
B ．0=λ
C ．10<<λ
D ．1≥λ
5、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为增函数，0)3
1(=f ，则不等式0)(log 8
1>x f 的解集为 （ ）
（A ）)21,0( （B ）),2(+∞ （C ）),2()1,21(+∞⋃ （D ）),2()2
1,0(+∞⋃
变题：设定义在[-2, 2]上的偶函数()f x 在区间[0, 2]上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围。
6、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________；
（2）函数)34(log )(22
1-+-=x x x f 的递减区间为_________
变题：已知()log (2)a f x ax =-在[0, 1]上是减函数，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿。
三、例题分析：
1、例1、（1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围
是_________.
（2）对于给定的函数)0(1)(≠+=x x
x x f ，有以下四个结论： ①)(x f 的图象关于原点对称；②)(x f 在定义域上是增函数；
③)(x f 在区间]1,0(上为减函数，且在),1[+∞上为增函数； ④)(x f 有最小值2。
其中结论正确的是_____________.
例2、判断并证明函数)1,0(11log )(≠>+-=a a x
x x f a
的单调性
例3、设函数ax x x f -+=1)(2 ，其中0>a 。
求a 的取值范围，使函数)(x f 在区间),0[+∞上
是单调函数。
例4、设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，
1)(0<<x f 。
（1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ；
（3）求证：)(x f 在R 上是减函数；
（4）若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的范围。
四、作业 同步练习 函数单调性
1、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ）
（A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1
2+-
=x y （D ）x y -=1 2、已知)2(log ax y a -=在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ）
（A ）)10(， （B ）)2,1( （C ）)2,0( （D ）),2[+∞
3、)(x f 为),(+∞-∞上的减函数，R a ∈，则 （ ）
（A ）)2()(a f a f <（B ）)()(2a f a f <（C ）)()1(2a f a f <+（D ）)()(2a f a a f <+
4、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，那么在区间[－7，－3]上是（ ）
A ．增函数且最小值为－5
B ．增函数且最大值为－5
C ．减函数且最小值为－5
D ．减函数且最大值为－5
5、已知f(x)是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上递减，那么一定有
（ ） A ．)1()43(2+->-a a f f
B ．)1()4
3(2+-≥-a a f f C ．)1()43
(2+-<-a a f f D ．)1()43
(2+-≤-a a f f 6、已知y=f(x)是偶函数，且在),0[+∞上是减函数，则f(1－x 2)是增函数的区间是（ ）
A ．),0[+∞
B ．]0,(-∞
C ．),1()0,1[+∞⋃-
D ．(,1](0,1]-∞-
7、 若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1(-内单调递增，则a 的取值范围是 （ ）
A ．)1,41[
B ． )1,43[
C ．),49(+∞
D ．)4
9,1(
8、若f(x)=-x 2+2ax 与1)(+=
x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是（ ）
A ．)1,0()0,1(⋃-
B ．]1,0()0,1(⋃-
C ．（0，1）
D ．]1,0( 9、若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞]上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 .
10、已知偶函数)(x f 在]20[，内单调递减，若)1(-=f a ，)41(log 2
1f b =，)5.0(lg f c =，则a 、b 、c 之间的大小关系是_____________
11、已知)(x f 是R 上的增函数，A （0，－1），B （3,1）是其图象上的两点，则不等式1|)1(|<+x f
的解集为__________
12、已知函数2
1)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，试求a 的取值范围。
13、已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。
14、已知)1(1
1log )(>--=a x kx x f a
是奇函数。
（1）求k 的值，并求该函数的定义域； （2）根据（1）的结果，判断)(x f 在),1(+∞上的单调性，并给出证明。
15、设)(x f 是定义在+R 上的增函数，并且对任意的0,0>>y x ，)()()(y f x f xy f +=总成立。
（1）求证：1>x 时，0)(>x f ；
（2）如果1)3(=f ，解不等式2)1()(+->x f x f
基本训练：
1、D
2、C
3、C
4、A
5、D 变题：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
6(1)(],2-∞ (2)(]1,2 变题：（1,2）
例题：1(1) (],3-∞- (2)①③④ 2、当01a <<时，增函数；当1a >时，减函数 3、当1a ≥时，减函数；当01a <<时，不具备单调性 4(4)30x x ><或 作业：1—8、BBC BB DBD 9、a>0且b≤0 10、c a b >> 11、(-1,2) 12、1
2a > 13、1
2
23m -<< 14(1)
()()1,,11,k x =-∈-∞-+∞ (2)减函数 15(2)9
1<x<8。