第一轮复习自己整理绝对经典不等式--第一轮
高考数学第一轮不等式复习资料
不等关系与不等式知识梳理1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a < b (a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b ⇔a <b (ab ≠0)．( × ) (3)a >b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b <0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1a C ．|a |>－b D.－a >－b答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a不成立． 2．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．log 12b <log 12a <0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab <1答案 C解析 取a ＝12，b ＝13验证可得．3．若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( )A ．a －b >0B ．a 3＋b 3>0C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b <0答案 D解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．4．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab(1＋a )(1＋b )>0.5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 (1)A (2)B解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m ≤nD ．m <n(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为____________________________________． 答案 (1)B (2)a <b解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1) ＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立．故选B. (2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1，∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b . 题型二 不等式的性质例2 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确．∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确，故选C. 方法二 取特殊值．题型三 不等式性质的应用例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数，∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2 ＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立． 故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2，可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A. 思维升华 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b >1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C. (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b ，又c <0，所以c a >cb ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c ，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．7．不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎪⎨⎪⎧ a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c⇒a －d <x －y <b －c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． 2．倒数关系在不等式中的作用．⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a >b ⇒1a <1b ；⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b ⇒1a >1b .3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法． [失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立． 2．a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b ，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n >b n 对于正数a 、b 才成立． 4.ab>1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立． 5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎨⎧a >bb >c.6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －d D ．a ＋c >b ＋d答案 D解析 由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .2．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B答案 A解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋a 2－4， 显然A 2>B 2， 故选A.3．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b >1a B.1a >1b C ．|a |>|b | D ．a 2>b 2答案 A解析 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a 不成立，选A.4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇒/(a －b )·a 2<0，必要性不成立． 5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是( )A ．(0，5π6)B ．(－π6，5π6)C ．(0，π)D ．(－π6，π)答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．不确定答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0，∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.7．设a>b>c>0，x＝a2＋(b＋c)2，y＝b2＋(c＋a)2，z＝c2＋(a＋b)2，则x，y，z的大小关系是__________．(用“>”连接)答案z>y>x解析方法一y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.同理，z>y，∴z>y>x.方法二令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝18，y＝20，z＝26，故z>y>x.8．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题①若ab>0，bc－ad>0，则ca－db>0；②若ab>0，ca－db>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，ca－db>0，则ab>0.其中正确的命题是________．答案①②③解析∵ab>0，bc－ad>0，∴ca－db＝bc－adab>0，∴①正确；∵ab>0，又ca－db>0，即bc－adab>0，∴bc－ad>0，∴②正确；∵bc－ad>0，又ca－db>0，即bc－adab>0，∴ab>0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．解(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？ 解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2， t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2，s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2，∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1.∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立． 由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 当c ＝0时，可知A 不正确； 当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0， 所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．12．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >ab答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a－1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 13．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3答案 A解析 由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b ＋1.14．已知a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，则下列选项中不一定成立的是( ) A.c a <b a B.b －a c >0C.b 2c <a 2cD.a －c ac <0 答案 C解析 因为c <b <a 且ac <0，所以c <0，a >0， 所以c a <b a ，b －ac >0，a －c ac <0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c不一定成立． 15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．一元二次不等式及其解法知识梳理1．“三个二次”的关系2.常用结论(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ ) (2)不等式x －2x ＋1≤0的解集是[－1,2]．( × )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (5)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )1．(教材改编)不等式x 2－3x －10>0的解集是( ) A ．(－2,5) B ．(5，＋∞)C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－2)∪(5，＋∞)答案 D解析 解方程x 2－3x －10＝0得x 1＝－2，x 2＝5，由y ＝x 2－3x －10的开口向上，所以x 2－3x －10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)． 2．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N 等于( ) A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[－1,0) D ．(－1,0]答案 B解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，∴M ∩N ＝[0,4)．3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．4．(教材改编)若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________． 答案 2解析 因为m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}． 所以1,2一定是m (x －1)＝x 2－x 的解，∴m ＝2.5．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________． 答案 (－1,1)解析 由题意可知，Δ>0且x 1x 2＝a 2－1<0，故－1<a <1.题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)．命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0，∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}． 引申探究将原不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R 上恒成立例3 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)(2)设a 为常数，∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，4)答案 (1)D (2)B解析 (1)2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0， 解之得－3<k <0.(2)∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4.命题点2 在给定区间上恒成立例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}．方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．答案 {x |x <1或x >3}解析 x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (1)A (2)(－22，0) 解析 (1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (m ＋1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 题型三 一元二次不等式的应用例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x 10－80≥0.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)y ＝[(1＋0.75x )×12－(1＋x )×10]×(1＋0.6x )×10 000＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000，即y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)．(2)上年利润为(12－10)×10 000＝20 000.∴y －20 000>0，即－6 000x 2＋2 000x >0，∴0<x <13，即x 的范围为(0，13)．13．转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系；(2)将恒成立问题转化为最值问题求解．解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24. ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ， 即－a 2－c <x <－a 2＋c . ∴⎩⎨⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立． 即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3.∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}．答案 (1)9 (2){a |a >－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．(2)注意函数f (x )的值域为[0，＋∞)与f (x )≥0的区别．[方法与技巧]1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．2．f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．[失误与防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( )A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2} 答案 A解析 由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0， 则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]答案 A解析 方法一 当x ≤0时，x ＋2≥x 2，∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4} 答案 D解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0， 得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.4．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3答案 A解析 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.5．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1 答案 B解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎨⎧－b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎨⎧ b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3. 6．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为( ) A.－1－52B.1－52C.－1±52D.1±52答案 D解析 若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52，所以选D. 7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是________________． 答案 {x |a <x <1a} 解析 原不等式即(x －a )(x －1a)<0， 由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－12，则实数a ＝________. 答案 －2 解析 ax －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(ax －1)<0， 依题意，得a <0，且1a ＝－12.∴a ＝－2. 9．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1，23) 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1. ∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0，∴－1<a <23. 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A ．(－∞，－32)∪(12，＋∞) B ．(－32，12) C ．(－∞，－12)∪(32，＋∞) D ．(－12，32) 答案 A解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( )A.52B.72C.154D.152答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )， 即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.14．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 {m |m ≤－32或m ≥32} 解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0， 解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．一元二次不等式（组）与简单的线性规划问题知识梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C ，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可判断Ax ＋By ＋C >0表示的直线是Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念3.重要结论(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．(3)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(×)(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(√)(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×)(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．(√)1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－3)答案C解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )答案 C解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C. 3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52\ C ．2 D ．22答案 C解析 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)， 故|AB |＝2，|AC |＝22， 其面积为12×|AB |×|AC |＝2.4．(2015·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1C.32 D ．2答案 D解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34 答案 (1)C (2)C解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C.命题点2 含参数的平面区域问题 例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是__________________________________．答案 73解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可． (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(0,3] B ．[－1,1] C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2答案 (1)D (2)A解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D.(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求． 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1， 且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 B 解析画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，。
高考数学一轮复习知识点大全-不等式
特别注意：（1）用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立，注意0n 不一定为1；（2）在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，并且一定要用到假设，尤其要弄清由k 到k+1时命题的变化；（3）两个步骤中，第一步是基础，第二步是递推.在第二步证明中，关键是利用假设，推出结论.第七部分 不等式1. 不等式的基本性质：（1）同向不等式可以相加，异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d ><，则a c b d ->-；注意：异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减.（2）左右同正不等式：① 同向的不等式可以相乘，但不能相除.若0,0a b c d >>>>，则ac bd >.② 两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>.（4）不等式的两边同乘（或除）一个数时，一定要考虑该数的符号：若0ab >，a b >， 则11a b <. 若0ab <，a b >，则11a b>. 22a b ac bc >⇔> 是否正确？（否）注意：特值法是判断不等式是否成立的一种方法，尤其适用于不成立的命题.2. 比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.（2）作商：常用于分数指数幂的代数式.（3）分析法.（4）利用函数的单调性.（5）寻找中间量或放缩法.（6）图象法.3. 均值不等式：若0,>b a ，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号）.基本变形：若,a b R +∈，则222a b ab +≥，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，222a b ab +≤. 运用均值不等式时，不要忘记检查条件（,0a b >），最后一定不要忘记注明等号成立的条件.4. 证明不等式的方法：（1）比较法：作差比较（作商）：B A B A ≤⇔≤-0注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.（2）综合法：由因导果.（3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……（4）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的，常用放缩的方法有： ①添加或舍去一些项，如：a a >+12.n n n >+)1(②将分子或分母放大（或缩小）③利用基本不等式，如：2)1()1(++<+n n n n 利用常用结论：k kk k k 21111<++=-+. k k k k k111)1(112--=-< . 111)1(112+-=+>k k k k k .)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k . 5. 不等式的解法：（1）一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，要注意讨论0,0a a ><及0a =的情况.（2）一元二次不等式的解集（联系图象）：设0a >，12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且12x x <，则20ax bx c ++>的解集为()()12,,x x -∞+∞. 20ax bx c ++<的解集为()12,x x .当0∆<和0∆=时的解集你会正确表示吗？（3）对于方程20ax bx c ++=有实数解的问题:首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0a ≠，才考虑判别式.（4）一元二次方程根的分布理论：方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、 在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？（考虑判别式、对称轴、端点函数值、有时也考虑韦达定理）（答案依次为：0()02f k b k a ⎧⎪∆≥⎪>⎨⎪⎪->⎩，0()0()02f m f n b m n a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩，()0f k <）.根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．有时候为了控制参数的取值范围，我们也可以先把端点的值代入，看是否可以减少讨论.（5）不等式解区间的端点往往就是相应方程的根或与函数的定义域相关.（6）简单的一元高次不等式的解法：数轴标根法（7）简单的分式不等式：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用数轴标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.6. 不等式恒成立问题的常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用函数的性质，数形结合.第八部分 直线和圆1、直线方程（1）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其y (a>0) O k x 1 x 2 x。
高三一轮复习不等式知识点汇总
3
(C) −3
(D) − 7 2
()
7) 若 2a + b = 3，求 4a + 2b 的最小值为
.
8) 已知 log2 a + log2 b ⩾ 1, 则 3a + 9b 的最小值为
.
9) 设 x, y 为正数，则 (x + y) 1 + 4 的最小值为
.
xy
10) 若实数 x, y 满足 x2 + y2 + xy = 1, 则 x + y 的最大值是
t
t
y = t + 1 在区间 [1, +∞) 单调递增，所以在其子区间 [2, +∞) 为单调递增函数，故 y ⩾ 5 . 所以所求
t
2
函数的值域为 5 , +∞ . 2
技巧 6) 整体代换: 多次连用最值定理求最值时，注意取等号的条件的一致性.
例 6: 已知 x > 0, y > 0, 且 1 + 9 = 1，求 x + y 的最大值. xy
ba
ba
ba
7. 若 x > 0，则 x + 1 ⩾ 2 当且仅当 x = 1 时取 = ; x
8. 若 x < 0，则 x + 1 ⩽ −2 当且仅当 x = −1 时取 = ; x
9. 若 x 0，则 x + 1 ⩾ 2，即 x + 1 ⩾ 2 或 x + 1 ⩽ −2 当且仅当 x = ±1 时取 = ;
() ()
(D) (−∞, −2]
3) 设正实数 x, y, z 满足 x2 − 3xy + 4y2 − z = 0. 则当 xy 取得最大值时， 2 + 1 − 2 的最大值为
2021届高三数学总复习第一轮—不等式
2021届高三数学总复习第一轮—不等式专题考纲知识框图讲义导航知识点梳理：一：不等式性质及其应用1.不等式的概念：用不等号（<、>、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫做不等式．2.不等式的性质：不等式性质1：（对称性）如果>a b ，那么<b a ；如果<a b ，那么>b a ． 不等式性质2：（传递性）如果>a b ，且>b c ，则>a c ．不等式性质3：加法法则（同向不等式可加性）()a b a c b c c >⇔+>+∈R ； 推论：,a b c d a c b d >>⇒+>+.不等式性质4：乘法法则 若a b >，则000.c ac bc c ac bc c ac bc >⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩，，推论1: 0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；推论2：()*2200a b n a b >>∈⇒>>N ；推理3：()*00>>∈⇒>>n na b n N a b ；推理4：()01且+>>∈>a b n N n 3．两个实数的大小比较：（1）数轴法：对于任意两个实数a 和b ，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．（2）作差比较法：,0>a b ；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=；0->⇔>a b a b （作差与0比较） （3）作商比较法：,0>a b ：1>⇔>a a b b ；1=⇔=a a b b ；1<⇔<aa b b（作商与1比较） （4）特殊值法 （5）函数的性质 （6）分子有理化例题讲解考点1：不等式性质及其应用【例1】（2019秋•海淀区校级期中）已知0a b <<，则下列不等式正确的是( )A ．2a a b >+B ．a b b +>C ．2a ab >D ．2b ab >【例2】（2018秋•东城区期末）已知0a <，0b >，那么下列不等式中一定成立的是( )A ．0b a -<B ．||||a b >C ．2a ab <D ．11a b<【例3】（（2018秋•朝阳区期中）已知0x y >>，则下列不等关系中正确的是( )A ．cos cos x y >B ．33log log x y <C ．1122x y < D ．11()()33x y <【例题4与的大小为 （用“=”，“ >”或“<”填空）二、解不等式（一）绝对值不等式1.绝对值的几何意义：设a 是一个实数，在数轴上|a |表示实数a 对应的点与原点的距离；|x -a |表示实数x 对应的点与实数a 对应的点之间的距离.2.关于绝对值的几个结论定理：对任意实数a 和b ，有||a b a b +≤+推论： ①.a b a b -≤+；②.a b a c c b -≤-+-；3.绝对值不等式的解法①含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集②含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集 ()()0f x c c ≥>⇔()()f x c f x c ≥≤-或；()()0f x c c ≤>⇔()c f x c -≤≤.（二）分式不等式1.分式不等式的概念：分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.2.分式不等式的解法：① 不等式两边同乘以分母的平方，将之化为两个一元一次不等式组处理.② 两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式组求解．（三）一元二次不等式1．一元二次不等式概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．2.一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）：注：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决． 其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式；②参数大于最大值或小于最小值； ③变更主元利用函数与方程的思想求解．3..解一元二次不等式：通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；例题讲解考点1：绝对值不等式【例1】（2019秋•西城区校级期中）解下列关于x 的不等式|21|3x -<；考点2：分式不等式【例1】（2018秋•东城区期末）不等式103x x --的解集为 ．【例2】（2018秋•东城区校级期中）下列选项中，使不等式1x x<成立的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1)(0-⋃，1)B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(0,1)D ．(1,)+∞考点3：一元二次不等式解法【例1】（2019•北京模拟）不等式2230x x +->的解集为( )A ．{|31}x x -<<B ．{13}x x -<<C ．{3xlx <-或1}x >D ．{|1x x <-或3}x >考点4：一元二次方程根的分布【例1】（2019秋•海淀区校级期中）关于x 的方程2(3)70x m x m +-+-=的两根都大于3，则m 的取值范围是()A ．(-∞，1(1-+⋃，)+∞B ．7(2-，1-C ．(-∞，7)(12--⋃，)+∞D ．(-∞，1-【例2】若关于x 的不等式22840x x a --->在{|14}x x <<内有解，则a 的取值范围是( )A ．4a <-B ．4a >-C ．10a >-D ．10a <-五、均值不等式1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a b+，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式． 2.常用的均值不等式（1）若,∈a b R ，则222+≥a b ab （当且仅当=a b 时，取=号）若,∈a b R ，则22+≤a b ab （当且仅当=a b 时，取=号）（2）若*,∈a b R，则2+≥a b=a b 时，取=号） 若*,∈a b R，则+≥a b =a b 时，取=号） 若*,∈a b R ，则22+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭a b ab （当且仅当=a b 时，取=号）（3）若0>x ，则12+≥x x（当且仅当1=x 时，取=号） 若0<x ，则12+≤-x x（当且仅当1=-x 时，取=号） （4）若0>ab ，则2+≥a bb a（当且仅当=a b 时，取=号） （5）若,∈a b R ，则222()22++≤a b a b （当且仅当=a b 时，取=号）3. 均值不等式的几何解释：对于任意正实数a b ，，以AB a b =+的线段为直径做圆，在直线AB 上取点C ，使,AC a CB b ==，过点C 作垂直于直线AB 的弦DD '，连接AD 、DB 、如图已知Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2DC AC BC =⋅，即CD 2a b +，显然2a b+，当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．4.求最小值的步骤：一正、二定、三相等 一正：*,∈a b R二定：+a b 或ab 为定值（和或积为定值） 三相等：a 式子等于b 式时取最值abb aD 'D C BA例题讲解考点1：均值不等式【例1】（2019秋•丰台区期中）已知a ，b R +∈，且2ab =，那么下列结论一定成立的是( )A ．4a b +B ．4a b +C ．224a b +D ．224a b +【例2】（2019秋•朝阳区校级期中）已知0a >，那么42a a-+的最小值是( ) A ．1B ．2C ．4D ．5【例3】（2019秋•海淀区校级期中）下列不等式正确的是( )A ．22323x x + B ．224a b ab + C 2a b+ D ．44a a+【例4】已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为考点2：对勾函数【例1】已知4≥x ，那么4+x x的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．【例2】设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数练习A【练1】已知0a b >>，则下列不等式中正确的是( )A ．||||a b <B ．11a b< C ．a b ->- D ．22a b <【练2】（2018•东城区一模）已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是( )A ．220a b ->B ．cos cos 0a b ->C ．110a b-< D ．0a b e e ---<【练3】（2017春•西城区校级期末）若非零实数a ，b ，c 满足a b c >>，则一定成立的不等式是( )A ．ac bc >B ．ab ac >C ．||||a c b c ->-D ．111a b c<<【练4】已知11()()a b ππ<，则下列关系正确的是( )A ．10a b >>>B ．a b <C ．a b >D ．10b a >>>【练5】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则( ) A ．110x y-> B ．sin sin 0x y ->C ．11()()022x y -<D ．0lnx lny +>【练6】（2018秋•通州区期中）某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和()b a b <，其全程的平均速 度为v ，则( )A ．2a bv += B ．v =C ．a v << D 2a bv +<【练7】（2018•北京模拟）不等式220x x +-<的解集为( )A ．{|21}x x -<<B ．{|12}x x -<<C ．{|2x x <-或1}x >D ．{|1x x <-或2}x >【练8】（2019秋•海淀区校级期中）若0a >，0b >，2ab =，则2a b +的最小值为( )A ．B ．4C ．D ．6【练9】（2019•北京模拟）已知0a >，0b >，4ab =，那么a b +的最小值是( )A ．B ．3C ．4D ．6【练10】（2018春•海淀区校级期末）已知0lga lgb +=，则()lg a b +的最小值为( )A ．lg 2B ．C ．lg - 2D ．2【练11】（2018秋•海淀区校级期中）比较大小：0.31()2 > 0.51()2【练12】若1P =，Q =P 与Q 的大小关系是 ．【练13】（2018秋•东城区校级期中）不等式1012x x--的解是 ．【练14】（2019•石景山区一模）已知集合{5A =-，1-，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式， 使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是 ．【练15】（2019秋•朝阳区校级期中）函数41(0)y x x x=-+>的最小值为 ．此时x = ．【练16】（2019秋•西城区校级期中）函数2()(1)1f x x x x =+>-的最小值是 ；取到最小值时，x = ．【练17】（2019秋•西城区校级期中）若x 、y R +∈，且134y x +=，则yx的最大值为 ．【练18】（2019秋•海淀区校级期中）已知a ，b 是正实数，且2a b +=，则41a b+的最小值为 ．【练19】（2019秋•海淀区校级期中）求下列不等式的解集．（1）213422x x -<---；（2）22(3)(12)x x +-． （3）52321x x ->+【练20】（1）求2y =的最小值．（2）求函数2y =的最值．练习B【练1】若01m <<，则( ) A ．log (1)log (1)m m m m +>- B ．log (1)0m m +>C ．21(1)m m ->+ D ．1132(1)(1)m m ->-【练2】（2018春•海淀区校级期中）设a ，b R ∈，下列不等式中一定成立的是( ) A ．232a a +> B ．220a b +> C ．3322a b a b ab ++ D ．12a a+【练3】（2017秋•海淀区校级期中）关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{|14}x x -<<，则不等式||5bx a +>的解集为( ) A ．1(2-，2)B ．(-∞，1)(22-⋃，)+∞C ．1(2,)2-D ．(-∞，12)(2-⋃，)+∞【练43x >-的解集为 ．【练5】（2017秋•海淀区校级期中）已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个 大于1，则实数a 的取值范围是 ．【练6】（2018春•海淀区期中）不等式1x lnx >+的解集为 ．【练7】（2018春•海淀区期中）不等式11x lnx->的解集为 ．【练8】（2019•北京模拟）已知0x >，0y >，且411x y +=，若23x y m m +++恒成立，则实数m的取值范围是 ．【练9】（2019秋•海淀区校级月考）函数()(x x f x ae be a R -+=+∈，)b R +∈，已知()f x 的最小值为4，则点(,)a b 到直线20x y +=距离的最小值为 ．【练10】设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．【练11】（2018•朝阳区二模）已知0x >，0y >，且满足4x y +=，则lgx lgy +的最大值为 ．【练12】（2017•朝阳区模拟）已知1a >，1b >，且22()ab a b +=+，则ab 的最小值为 ．【练13】函数22425(1)1x x y x x x ++=>++的最小值是 ．【练14】（2019秋•海淀区校级期中）已知a 、b+【练15】（2019秋•海淀区校级期中）已知一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|}x x αβ<<，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集．【练16】（2017秋•海淀区校级期中）已知一元二次方程2210ax x ++=． （1）写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”充要条件．（2）写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”一个必要而不充分条件，并给予证明．【练17】（2019秋•海淀区校级期中） （1）已知0x >，0y >，且满足811x y+=．求x y +的最小值． （2）若把（1）中的“811x y +=”改为“21x y +=”，其他条件不变，求81x y+的最小值．【练182()a b c ++．【练19】求实数a 的取值范围，使得关于x 的方程22(1)260x a x a +-++=分别满足下列条件：（1）有两个不同的，且都大于1的实数根； （2）至少有一个正实数根．【练20】（2017秋•海淀区校级期中）已知函数2(1)(1)f x ln x-=-．（1）求函数()f x 的解析式，并判断()f x 的奇偶性；（2）解关于x 的不等式()(21)f x ln x +．【练21】已知集合2{|log (3)2}A x x =-，集合2|12B x x ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，求AB ．【练22】求函数2y =作业【题1】（2018秋•西城区校级月考）0a b <<，下列不等式中正确的是( )A ．22b a <B ．11a b< C ．1b a> D <【题2】下列选项中正确的是( ) A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d <，则a b c d> C ．若0ab >，a b >，则11a b< D ．若a b >，c d >，则a c b d ->-【题3】（2018秋•西城区期末）如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是( )A ．2b ab >B ．2ab a >C ．22a b >D ．||||a b <【题4】（2018春•西城区期末）如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( )A ．||||a b >B ．33a b >C ．11a b< D ．22a b <【题5】（2019•石景山区一模）若1x y a b >>>>，则下列各式中一定正确的是( )A ．x y a b >B ．lnx lny <C ．sin sin x y >D ．a bx y<【题6】（2019秋•海淀区校级期中）若1x 和2x 分别是一元二次方程22530x x +-=的两根．则12||x x -= ．【题7】若不等式220ax bx +->的解集是(-∞，2)(1-⋃，)+∞，则a b += ．【题8】（2018秋•海淀区校级期中）不等式22x x -<的解集为 ．【题9】如果方程22320x ax a -+=的一根小1，另一根大于1，那么实数a 的取值范围是 ．【题10】（2018秋•西城区期末）不等式111x >-的解集为 ．【题11】（2017秋•西城区校级期中）集合{|||3A x x a =-，}x R ∈，21{|1}4x B x x -=<+．若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【题12】求实数a 的取值范围，使得关于x 的方程22(1)260x a x a +-++=分别满足下列条件：（1）有两个不同的，且都大于1的实数根； （2）至少有一个正实数根．【题13】（2018秋•东城区期末）若实数x ，y 满足21x y +=，则x y 的最大值为( ) A ．1 B ．14C ．18D ．116【题14】（2018秋•海淀区期中）已知函数()log a f x x =，()x g x b =，的图象都经过点1(,2)4，则ab的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【题15】（2018•北京模拟）已知0a >，0b >，且28a b +=，那么ab 的最大值等于( ) A ．4 B ．8C ．16D ．32【题16】（2019秋•丰台区期中）已知0x >，0y >，3x y +=，则xy 的最大值为 ．【题17】函数42(0)y x x x=++>的最小值为 6 ．【题18】已知3x >，那么函数133y x x =+--的最小值是 2 ；【题19】（2017春•东城区校级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知两点(3,0)A ，(0,4)B ，点(,)M x y 为直线AB 上的动点，则xy 的最大值是 ．【题20】（2017春•朝阳区期末）已知正实数m ，n 满足3m n +=，则mn 的最大值为 ．【题21】（2017秋•海淀区校级月考）函数21x y x=-在(1,)x ∈+∞上的最大值为 ．【题22】（2019秋•海淀区校级期中）（1）已知0x >，求函数254x x y x++=的最小值；（2）已知103x <<求函数(13)y x x =-的最大值．【题23】（2019秋•海淀区校级期中）（1）已知54x <，求14245y x x =-+-的最大值；（2）已知102x <<，求1(12)2y x x =-的最大值．【题24】（2019秋•海淀区校级期中）已知0a >，0b >，21a b +=，求11t a b=+的最小值．【题25】（2019秋•海淀区校级期中）若0x >，0y >，且280x y xy +-=，求x y +的最小值．。
高三一轮复习绝对值不等式
绝对值不等式一、知识归纳：1．绝对值三角不等式：||||||a b a b +≤+，当且仅当：_________时，等号成立||||||a b a b -≤+，当且仅当：_________时，等号成立.||||||a b a c b c -≤-+-，当且仅当：_________时，等号成立2．含绝对值不等式的解法①②||ax b c +≤与||ax b c +≥型的解法：②||||x a x b c -+-≤与||||x a x b c -+-≥型的解法：解含绝对值不等式的主要思路是去掉绝对值号，转化为不含绝对值号的不等式。
而含有多个绝对值号的可采用零点分区间的方法去掉绝对值号。
二、练习题：1．解下列不等式：（1）3|52|9x ≤-<；（2）0212<---x x {|11}x x -<< （3）|24||3|10x x -++≥（3）31,3()|24||3|7,3231,2x x f x x x x x x x -+≤⎧⎪=-++=-+-<≤⎨⎪->⎩，故有3x ≤或113x ≥ 2．已知不等式7|98|<+x 和不等式22>+bx ax 的解集相同，则实数,a b 的值分别为B ．A ．－8、－10B ．－4、－9C ．－1、9D ．－1、23．若关于x 的不等式62<+ax 的解集为()2,1-，则实数a 的值等于 -4 ．4．已知()1f x x x =+-，则1()2f = 1 ，()2f x <的x 取值范围为 1322x -<< ． 5．若()5f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是________.答案： 由()()()5553f x x t x x t x t =-+-≥-+-=-=，得2t =或86．不等式2|3||1|3x x a a -++≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为A ．A ．[1,4]-B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．(,1][4,)-∞-+∞D ．(,1][2,)-∞+∞解析：因为|3||1|4x x -++≥对任意恒成立，所以234a a -≤，则14a -≤≤7．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围 （5，7） .8．若不等式R x a x x ∈≥-++对|1||2|恒成立，则实数a 的取值范围是D ．A ．),3(+∞B ．),3[+∞C ．（－∞，3）D ．]3,(-∞9．若不等式|4||3|x x a -+-<的解集为非空集合，则实数a 的取值范围是C ．A ．7a >B ．17a <<C ．1a >D ．1a ≥10．设函数()|1|||fx x x a =-+-，（1）若1a =-，解不等式()3f x ≥； （2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围10．解：（1）当1a =-时，()|1||1|f x x x =-++，由()3f x ≥得：|1||1|3x x -++≥， （法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为33{|}22x x x ≤-≥或。
高三数学 第一轮复习 04：基本不等式
高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。
2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。
4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。
不等式(一轮复习总结基础)
不等式（基础）一、 基本不等式中基本问题1、 若a 、b ∈+R ，证明：2≥+abb a 。
问题1的变形练习：求下列函数值域 （1）、)(1+∈+=R x x x y ；（2）、)(1-∈+=R x x x y ；（3）、xx y 1+=； （4）、22213x x y +=；（5）、54124-+-=x x y （x ＞45）；（6）、1122-+=x x y ； （7）、2322++=x x y ；（8）、x x x y 1332--=（x ＞0）；（9）、12++=x x xy （x ＞0）；（10）、x ＞21，1212-++=x x x y ；（11）、点),(y x P 在直线x y 24-=上运动，求yxy x f 39),(+=的值域； （12）、已知点)0,3(A ，)3,0(B ，点),(y x P 在线段AB 上运动，求xy 最大值。
2、0＜x ＜1，求)1(x x y -=的值域。
问题2变形练习： （1）、0＜x ＜1，求)23(x x y -=的值域；（2）、0＜x ＜2，求24x x y -=的值域； （3）、x 、y +∈R ，且1222=+y x ，求21y x t +=的最大值； （4）、已知m ＞1，n ＞1，mn =9，求n m 33log log ∙的最大值； （5）a 、b ∈+R ，且3++=b a ab ，求b a +的范围。
3、a 、b 、c ∈+R ，1=++c b a ，求证：9111≥++cb a 。
问题3变形练习：（1）、已知正数x 、y 满足12=+y x ，求yx 11+的最小值。
（2）、正数x 、y 满足632=+y x ，求yx 32+的最小值。
（3）、正数x 、y 满足291=+yx ，求y x +的最小值。
（4）、在括号内填上和为1的正数x 、y ，使()9()1+得值最小，则这两数积为 。
（5）、不等式9)1)((≥++yax y x 对任意正数x 、y 恒成立，则正数a 的最小值为 。
高三一轮不等式部分
高三一轮——不等式一、不等式的解法1.一元二次不等式的解法需要充分理解三个二次之间的关系，记住技巧，二次项系数总可以化为正数，口诀是：“大于取两边，小于取中间。
” 2.含参数的一元二次不等式要注意分类讨论 （1）基本的方法和步骤：①要确定讨论对象以及所要讨论对象的全体的范围； ②确定分类便准，正确进行合理分类；③对分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果； ④进行总结归纳，综合得出结论。
（2）讨论的一般顺序：①讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式； ②当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；③当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向； ④判断二次不等式两根的大小。
3.不等式恒成立问题 （1）根的分布 （2）最值法 （3）分离参数法 4.典型例题 例1.解不等式（1）x 2+（1-a ）x-a ＜0；（2）ax 2-（2a+1）x+2＜0例2.已知f(x)=x 2-2ax+2，当x ∈[-1，+∞)时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围.例3.（2010安徽）设a 为实数，函数()22,xf x e x a x =-+∈R 。
(Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+。
（2011浙江）设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立二、线性规划只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x 0 , y 0)，从00A B C y ++x 的正负即可判断不等式Ax By C 0++>表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法． 概括为： “直线定界，特殊点定域”．特别地，当0≠C 时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”． 1.转化为在y 轴上的截距例1.在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为 ，如图（1）所示．其次，将目标函数2P x y =+变形为2y x P =-+的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y 轴上的截距为P ．平移直线2y x P =-+，当它经过两直线410x y +=与4320x y +=的交点5(,5)4A 时，直线在y 轴上的截距最大，如图（2）所示．因此，当5,54x y ==时，目标函数取得最大值5257.54⨯+=，即当甲、乙两种产品分别生产54t 和5t 时，可获得最大利润7.5万元．这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为 问题．其中5(,5)4使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的 ．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决． 说明：平移直线2y x P =-+时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．例2.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。
高三第一轮复习 一元二次不等式及常见不等式的解法
∴－ <x< .
∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，
∴ ∴
∴a∶b∶c＝a∶ ∶ ＝2∶1∶3.
答案B
4．已知集合P＝{x| >0}，集合Q＝{x|x2＋x－2≥0}，则x∈Q是x∈P的( )
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)
【解析】：由题意得 或 解得－3<x<1或x>3.
答案A
3．设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，则a∶b∶c等于( )
A．1∶2∶3B．2∶1∶3
C．3∶1∶2D．3∶2∶1
答案(－2,3)
三．解答题
9．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a、b的值．
【解析】：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，
即a2－6a－3<0，解得3－2 <a<3＋2 .
答案C
二． 填空题
3．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， 为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为________________．
高考数学(不等式)第一轮复习
高考数学（不等式）第一轮复习资料知识小结不等式的性质1．两个实数比较大小的依据：0a b -> ⇔ a b > 0a b -= ⇔ a b = 0a b -< ⇔ a b <2．反对称性：如果a b >，那么b a <；如果a b <，则b a >． 3．传递性：如果a b >，且b c >，那么a c >． 4．加法性质：如果a b >，那么a c b c +>+． 推论1：如果a b c +>，那么a c b >-． 推论2：如果a b >，c d >，那么a c b d +>+． 推论3：如果a b >，c d >，那么a d b c ->-． 5．乘法性质：如果a b >，0c >，那么ac bc >； 如果a b >，0c <，那么ac bc <． 推论1：如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >． 推论2：如果0a b >>，那么n n a b >(n N ∈，且1)n >．推论3：如果a b >，0ab >，那么11a b<． *推论4：如果0a b >>，0c d >>，那么a bd c>．6．开方性质：如果0a b >>>(n N ∈，且1)n >．7．222a b ab +≥(,)a b R ∈；a b +≥(,0)a b >． 注：⑴ 当且仅当a b =时取到等号；⑵ 222a b ab +≤；2()2a b ab +≤．8．绝对值不等式的性质：||||||||||-≤±≤+．a b a b a b不等式的解法：1．一元一次不等式：2、一元二次不等式：3.高次不等式：穿线法：例如：23()(3)(1)(1)(2)(5)0f x x x x x x =++--->第1步：将()f x 的最高次项的系数化为正数，并分解为若干一次因式的乘积，即： 0)5()2)(1()1)(3(32<---++x x x x x第2步：将方程()0f x =的根标在数轴上，并从右上方依次穿过各点画曲线，且奇穿过，偶回头。
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不等式题型分类解析(2016版)一．不等式的性质：1.应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)c b a >>,0(6)(7)2. 3.例1①a 若③a 若⑤a 若⑦c 若例2：a >b A ．a +a 1例3：下列不等式一定成立的是（）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x xB ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+D ．)(1112R x x ∈>+ 真题：【2012湖南卷文】设a ＞b ＞1，0c <，给出下列三个结论：① ca ＞c b；②c a ＜c b ；③log ()log ()b a a c b c ->-，其中所有的正确结论的序号是____________例4：已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是__________。
例5：2()(0)f x ax bx a =+≠，已知函数满足1(1)2f ≤-≤，2(1)5f ≤≤，则(3)f -的取值范围_____二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法； 5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
例6：设a 11⎫⎫例7：设a 例8：设a 例9：设a 、G 、H 、Q 的大小．真题：【2012A ．【2012A ．三.题型1设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆则不等式的解一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R例10：一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－21,31)，则a ＋b 的值是__________ 例11：关于x 的不等式()1log 22++-=ax ax y 对所有实数x ∈R 都成立，则a 的取值范围__________ 例12：若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 真题：【2012江苏】已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，,若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，,则实数c 的值为________.【2015．上海理17】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（）A ．16B .18 C.25 D .812题型2：高次不等式的解法 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；例13：若c a >且0>+c b ，则不等式0))((>-+-a x b x c x 的解集为. 例14：不等式0)1()10)(3(2≥---x x x x 的解集是___________. 【2015高考上海，文16】下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（）. A.2)32)(8(2<+++x x x B.)32(282++<+x x xC.823212+<++x x x D.218322>+++x x x 题型3：分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
例15：不等式x x --213≥1的解集是___________.例16：不等式012≤+-x x 的解集是_________，不等式0412>--x x 的解集是__________. 题型4：绝对值不等式解法 例17：不等式112<--x x 的解集是例18：设函数312)(++-=x x x f ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围是例19：（选做）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是__________. 题型5：指数不等式与对数不等式例20：若关于x 的方程0124=++⋅+a a x x 有实数解，求实数a 的取值范围。
例21：若不等式x 2－log a x ＜0在(0,21)内恒成立,则a 的取值范围是() A ．161≤x ＜1B ．161＜a ＜1C ．0＜a ≤161D ．0＜a ＜161真题：【2013年安徽】已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为___．题型6：含参不等式的解法例22：已知集合{}045|2≤+-=x x x A 与{}022|2≤++-=a ax x x B ，若A B ⊆，求a 的取值范围。
例23：解下列不等式：1.01)1(2<++-x a ax2.0)2)(2(>--ax x例24：关于x 的不等式0>-b ax 的解集为()+∞,1，求02>-+x bax 的解集。
真题：【2014浙江理15】设函数22(0)()(0)x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是______.【2014安徽】设函数()11f x x x =-+，若(())3f f m ≤，则实数m 的取值范围是______.四．均值不等式相关题型结论：（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a bab +≤（当仅当a=b 时取等号）一正、二定、三相等.3,3a b c a b c R abc +++∈≥(4)若、、则（当仅当a=b=c 时取等号） （5）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 常用不等式（1）2222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用)； （2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
题型1：一正、二定、三相等的应用例25：下列各函数中，最小值为2的是()A ．y=x ＋x 1B ．y=sinx ＋xsin 1,x ∈(0,2π)C ．y=2322++x x D ．y=x ＋12-x例26：已知函数()0,4<+=x xx y ，求函数的最大值。
真题：下列函数中，最小值为4的是（ ）A ．4y x x =+B ．4sin sin y x x=+(0)x π<< C ．e 4e x x y -=+ D ．3log 4log 3x y x =+ 题型2：直接应用形式例27：若21x y +=，则24x y +的最小值是______【2015高考重庆，文14】设,0,5a b a b ,则1++3a b 的最大值为________.【2014?福建】若122=+yx，则x+y 的取值范围是题型3：配凑项与系数例28：已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值例29：当时，则(82)y x x =-的最大值例30：已知x ，y 为正实数，且x 2＋＝1，求x 的最大值.例31：已知，则2a +4b+1的最小值题型4：已知,c ybx a =+求ey dx +的最小值问题 例32：函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则+m 1n2的最小值为 例33：设x 、y ∈R +且yx 91+=2,则2x+3y 的最小值为________ 真题：【15年福建文科】若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（） A ．2B ．3 C ．4D ．5【2013年江西】若正数x ，y 满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是_________ 【12年浙江文科】直线ax+by+c ﹣1=0（b 、c ＞0）经过圆x 2+y 2﹣2y ﹣5=0的圆心，则的最小值是【2014开封模拟】设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是________． 题型5：双勾函数及其变形 例34：函数4522++=x x y 的最小值为________例35：函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为________ 题型6：利用换元法可以化为一元二次函数型 例36：函数y ＝2x ＋1+x 的值域是______________例37：函数,3412++-=x x y 则函数的最小值为______________ 题型7：参数方程方法求最值问题（型如c bx ax =+22的形式） 例38：如果122=+y x ,则y x 43-的最大值是______________例39：已知2222=+y x ，则y x 2+的取值范围_______，222y x +的取值范围_________题型8：型如ab nb ma =+，求ab 取值范围问题（整体思想的运用）例40：已知a ，b 为正实数，10432=++ab b a ，求函数ab y =的范围_________例41：已知x ＞0，y ＞0，且4xy ﹣x ﹣2y=4，则xy 的最小值为________例42：若x 2+xy+y 2=1且x 、y ∈R ，则n=x 2+y 2的取值范围是____________例43：若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30.(1)求xy 的取值范围；(2)求x ＋2y 的取值范围．例44：若正实数x ，y 满足，则x+y 的最大值是【2011浙江】设x,y 为实数，若4x 2+9y 2+xy=1,则2x+3y 的最大值为_____． 【2012重庆】已知x,y ﹥0,x+2y+xy=8,则x+2y 的最小值为______ 【2014上海】若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.【2015高考湖南，文7】若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为()A 2B 、2C 、22D 、4 题型9：同时平方法例44：已知x ，y 为实数，1023=+y x ，则函数y x w 23+=的最值为__________例45：函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+-=2521,2512x x x y 的最值__________题型10：对偶式（所有字母互换之后式子不会变化，当字母全部相等时取最值） 例46：若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 例47：若44log log 2x y +=，则11x y+的最小值是. 例48：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=，则⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111111c b a 的最小值为.例49:若实数a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2=8，则a+b+c 的最大值为 真题：【2011北京卷文】设1,0,0=+>>b a b a ，则ab b a 111++的最小值为.⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 11的最小值为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值为.五．证明不等式的方法比较法、分析法、综合法、反证法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。