2020届高考数学(文)二轮复习过关检测：选考系列三十六

过关检测（三十六）
1．(2019·岳阳高三二检)已知f (x )＝|2x －3|＋ax －6(a 是常数)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；
(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －3|＋x －6＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －9，x ≥3
2
，－3－x ，x ＜3
2，则原不等式等价
于⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥32，
3x －9≥0
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜32，
－3－x ≥0，
解得x ≥3或x ≤－3，
故原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤－3}． (2)由f (x )＝0，得|2x －3|＝－ax ＋6. 令y ＝|2x －3|，y ＝－ax ＋6， 作出它们的图象，如图．
显然，当－2＜a ＜2时，
这两个函数的图象有两个不同的交点， 所以函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点时，
a 的取值范围是(－2,2)．
2．已知函数f (x )＝|x －a |－2.
(1)若a ＝1，求不等式f (x )＋|2x －3|＞0的解集；
(2)关于x 的不等式f (x )＞|x －3|有解，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，原不等式等价于|x －1|＋|2x －3|＞2. 当x ≥3
2时，3x －4＞2，解得x ＞2；
当1＜x ＜3
2时，2－x ＞2，无解；
当x ≤1时，4－3x ＞2，解得x ＜2
3
.
∴原不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
xx ＞2或x ＜23.
(2)f (x )＞|x －3|⇔|x －a |－|x －3|＞2. 令g (x )＝|x －a |－|x －3|， 依题意知，g (x )max ＞2.
∵g (x )＝|x －a |－|x －3|≤|(x －a )－(x －3)|＝|a －3|， ∴g (x )max ＝|a －3|，
∴|a －3|＞2，解得a ＞5或a ＜1，
∴实数a 的取值范围是(－∞，1)∪(5，＋∞)．
3．已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|，g (x )＝|x －a |－|x ＋a ＋1|. (1)解不等式f (x )＞4；
(2)若∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 2)＝g (x 1)，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋3，x <－2，
－3x －1，－2≤x ≤12，
x －3，x >1
2
.
若f (x )>4，则当x <－2时，由－x ＋3>4，解得x <－2；当－2≤x ≤1
2
时，由－3x －1>4，
解得－2≤x <－5
3
；
当x >1
2
时，由x －3>4，解得x >7.
综上，不等式f (x )>4的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫xx <－5
3或x >7.
(2)因为∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 2)＝g (x 1)， 所以g (x )的值域是f (x )值域的子集．
由(1)易知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－52，＋∞.
因为g (x )＝|x －a |－|x ＋a ＋1|的值域为[－|2a ＋1|，|2a ＋1|]， 所以－|2a ＋1|≥－52，即|2a ＋1|≤5
2，
则－52≤2a ＋1≤52，－74≤a ≤3
4
，
即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－74，34.
4．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *
，存在实数x 使f (x )<2成立． (1)求实数m 的值；
(2)若α≥1，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1
β
≥3.
解：(1)因为|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |. 所以要使不等式|x －m |＋|x |<2有解，则|m |<2， 解得－2<m <2.因为m ∈N *
，所以m ＝1. (2)证明：因为α≥1，β≥1，
所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3， 所以4α＋1β＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫
4α＋1β(α＋β)
＝13⎝
⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5＋2
4βα
·αβ＝3.
当且仅当4βα＝α
β
，即α＝2，β＝1时等号成立，
故4α＋1
β
≥3.
5．(2019·广东六校第一次联考)已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋2|. (1)若不等式f (x )≤|a ＋1|恒成立，求a 的取值范围； (2)求不等式|f (x )－|x ＋2||＞3的解集．
解：(1)f (x )＝|x －1|－|x ＋2|≤|(x －1)－(x ＋2)|＝3， 由f (x )≤|a ＋1|恒成立得|a ＋1|≥3， 即a ＋1≥3或a ＋1≤－3，得a ≥2或a ≤－4. ∴a 的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞)．
(2)不等式|f (x )－|x ＋2||＝||x －1|－2|x ＋2||＞3等价于|x －1|－2|x ＋2|＞3或|x －1|－2|x ＋2|＜－3，
令g (x )＝|x －1|－2|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x －5，x ≥1，－3x －3，－2≤x ＜1，
x ＋5，x ＜－2.
由x ＋5＝－3得x ＝－8， 由－3x －3＝－3得x ＝0， 作出g (x )的图象如图所示，
由图可得原不等式的解集为{x |x ＜－8或x ＞0}． 6．(2019·陕西模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；
(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2
＋1≥3t
＋3t .
解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－3x ，x ≤－1，
2－x ，－1<x <12，
3x ，x ≥1
2
，
于是f (x )≤3⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≤－1，
－3x ≤3或⎩⎪⎨
⎪⎧
－1<x <12，
2－x ≤3
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥12，
3x ≤3，
解得－1≤x ≤1.
故不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．
(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号， ∴M ＝[3，＋∞)．
t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3
t
≥0，
t 2
－3t ＋1－3t ＝t 3
－3t 2
＋t －3t ＝(t －3)(t 2
＋1)
t
.
∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2
＋1>0， ∴(t －3)(t 2
＋1)t
≥0，
∴t 2
＋1≥3t
＋3t .。