信号与线性系统答案

f 2 (−τ )
1 2

0
1
f1(τ )
t
0
1
f2 (τ )
2
3
τ
2
3
1
0
1 2
−3
−2
−1
0
τ
1
0
1
t
f1(τ )
t < 0,图形向左移动; t > 0,图形向右移动
−3 + t −1 + t
f 2 (t −τ )
1 2
1
0
1
τ
0
τ
11
扫描
例1
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
f (t)
1 2
∞
0
1
2
3
4
t
f 2 (t −τ ) f1(τ )
1
0 −3 + t1
−1+ t
当 0 ≤ −3+ t <1即 3 ≤t < 4 时：
τ
f (t) = ∫
1 −3+t
f1(τ ) f2 (t −τ )dτ = ∫
1 1 1× dτ = (4 − t) −3+t 2 2
1
即为重叠部分的面积。 即为重叠部分的面积。 当 −3+ t ≥1即 t ≥ 4时： f 2 (t −τ )和 f1 (τ )没有公共的重叠部分， 没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = 0
6
求解卷积的方法 （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分 利用定义式，直接进行积分。 定义式 的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用卷积积分表计算（P60表2-1） 利用卷积积分表计算（P60表 卷积积分表计算 卷积性质。 （4）利用卷积性质。比较灵活。 利用卷积性质 比较灵活。 以上常常结合起来使用。 以上常常结合起来使用。
0
t <0
f (t) = f1 (t) ∗ f 2 (t) =
AB 2 t 4
AB (2t −1) 2
0 ≤t < 1
1 ≤t < 2
t ≥3
AB [4 − (t −1)2 ] 2 ≤t < 3 4
0
17
例3
已知线性非时变系统的冲激响应 h(t) = e−t ε (t， ) 激励信号为 e(t) = ε (t) 。试求系统的零状态响应
f (t)
1 2
∞
f 2 (t −τ ) f1(τ )
1
−3 + t −1 + t 0
1
τ
0
1
2
3
4
t
f 2 (t −τ ) f1(τ )
1
−3 + t
当 −1+ t < 0 即 t <1 时： f (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = 0
第K个脉冲函数： 个脉冲函数： 个脉冲函数
f (k∆t )[ε (t − k∆t ) − ε (t − (k + 1)∆t )] ∆t越小，f(t)、fb(t)越接近。当∆t无限趋 越小， 、 越接近。 越小 越接近 无限趋 ∆ε (t − k∆t ) = f (k∆t ) ∆t 小 dτ时，则不连续变量 ∆t变为τ 。即 则不连续变量k 变为 ∆t
即任意信号 e (t)可分解为无穷多个不同强度的 可分解为无穷多个不同强度的 冲激函数之和。 冲激函数之和。 也就是任意信号可以用函数 δ(t) 来表示。 来表示。 设系统的单位冲激响应为h(t),则系统对激励函 则系统对激励函 设系统的单位冲激响应为 数的总响应为
∞
rzs (t) = ∫ e(τ )h(t −τ )dτ
13
f 2 (t −τ ) f1(τ )
1
0
1 +t −3
−1+ t
τ
卷积积分的计算
• 运算过程的实质: 运算过程的实质 实质 参与卷积的两个信号中，一个不动， 参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后 随参变量t移动。对每一个t值，将e(τ)和h(t-τ) 对应 随参变量 移动。对每一个 值 移动 和 相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。 相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。 • 图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时 图解法一般比较繁琐， 还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。 还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。
−∞
H(p)
h(t = ) e (t )h(t e() rzs(τ)−τ∫ −ττ )h(t −τ )dτ
−∞
4
∞
卷积积分
rzs (t) = ∫ e(τ )h(t −τ )dτ
−∞
∞
= e(t) ∗ h(t)
e(t)
h(t)
r(t)
• 结论 结论——只要知道了系统的单位冲激响应 只要知道了系统的单位冲激响应h(t)，就 只要知道了系统的单位冲激响应 ， 可以求得系统对任何e(t)所产生的响应 。 可以求得系统对任何 所产生的响应r(t)。 所产生的响应 • 表明：系统的单位冲激响应 表明：系统的单位冲激响应h(t)可以完全表征一 可以完全表征一 系统。 个LTI系统。 系统 注意： 观察响应的时刻，是积分的参变量； 注意：t ：观察响应的时刻，是积分的参变量； τ ：信号作用的时刻，积分变量 信号作用的时刻， 从因果关系看， 从因果关系看，必定有 t ≥ τ
14
积分上下限和卷积结果区间的确定
的范围（区间） (1)积分上下限 (1)积分上下限 由f1(τ ) ⋅ f2 (t −τ ) ≠ 0的范围（区间）确定
上限取小， 上限取小，下限取大
(2)卷积结果区间 (2)卷积结果区间
上限 一般规律： 一般规律： f1(t )
f2 (t )
g(t )
下限 [A,B] [C,D] [A+C,B+D]
3τ −t t
1 3τ = e ∫ e dτ = e × e −∞ 3
−t
1 2t = e −∞ 3
8
ε (τ )
ε (−τ )
1
1
τ
0
e(t ε(t- −τ ) 1
0
例：利用定义式求 0
τ
t
τ
ε (t ) * ε ( t ) = ∫
+∞
−∞
+∞
ε (τ ) ⋅ ε (t − τ ) dτ = ∫ dτ = tε (t )
f1 (τ )的图形不动，2 (τ )倒置为 2 (− τ ), f 2 (− τ )再移动 的图形不动， f f
10
−∞
例1 卷积积分的图解计算
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
f1 (t)
f2 (t)
1 2
∞
步骤:
t
将f2 (τ )反折 f2 (−τ ) 得
2
0 −1 + t 1
f (t) = ∫
τ
当 0 ≤ −1+ t <1 即1≤ t < 2时：
−1+t 0
f1(τ ) f2 (t −τ )dτ = ∫
−1+t
f 2 (t −τ ) f1(τ )
1
−3 + t0
0
1 1 1× dτ = (t −1) 2 2
即为重叠部分的面积。 即为重叠部分的面积。
5
卷积积分的定义
已知定义在区间（ 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数 ， ） f1(t)和f2(t) ，则定义积分
f (t) = ∫ f1(τ ) ⋅ f2 (t −τ )dτ
−∞
∞
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 卷积； 与 的卷积积分，简称卷积 f(t)= f1(t)* f2(t) 即两函数f 和 即两函数 1(t)和 f2(t)在公共非零区间上乘积函数 在公共非零区间上乘积函数 f1(t)* f2(t)的代数净面积。 的代数净面积。 的代数净面积 注意：积分是在虚设的变量 下进行的 为积 下进行的， 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积 分变量， 为参变量 结果仍为t 的函数。 为参变量。 分变量，t为参变量。结果仍为 的函数。
t t
当 0 ≤ t < 1 时：
当 1 ≤ t 且− 2 + t < 0 即 1 ≤ t < 2 时：
f (t) = ∫ A×
0 1
A
0 −2 + t 1
t
B AB (t −τ )dτ = (2t −1) 2 4
τ
当 0 ≤ −2 + t <1 即2 ≤t < 3 时： 16 1 B AB 2 f (t) = ∫ A× (t −τ )dτ = [4 − (t −1) ] −2+t 2 4
+∞ −∞
1. f1(t) → f1(τ ), 积分变量改为τ 3.相乘： 1 (τ ) ⋅ f 2 (t − τ ) 相乘： f
4.乘积的积分： f1 (τ ). f 2 (t − τ )dτ 乘积的积分： ∫
+∞
对τ 时延 t − (τ − t) = t − τ 积分结果为 t的函数
时延 2. f 2 (t ) → f 2 (τ ) 倒置→ f 2 (−τ ) → f 2 (t − τ )