人教版8上 第十一章 三角形 小专题(二) 与多边形的内角有关的计算技巧
八年级数学上册(人教课标)同步讲解：第十一章 三角形 内角转外角 解题快又巧
一、求多边形内角的度数
例1若二十边形的每个内角都相等，则它的每个内角的度数是______．
分析：利用多边形的每个外角与它相邻的内角互补，可知每个外角都相等，又多边形的外角和是360°，即可求出外角，再求内角.
解：这个多边形的外角的度数为=18°，所以每个内角的度数是180°-18°=162°.
二、求多边形的边数
例2 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是______．
分析：本题若通过内角来解，需要列方程进行求解，若利用多边形的每个外角与它相邻内角的互补关系，可快速求出边数.
解：这个多边形的每个外角是，又多边形的外角和是，所以这个多边形的边数是
．
三、求多边形的内角和
例3已知一个多边形的每一个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20º，试求这个多边形的内角和．
分析：由已知条件知这个多边形的每一个内角都相等，因此它的每一个外角也都相等.利用多边形的每个外角与它相邻内角的互补关系，结合已知条件，求出外角，然后用360º除以这个度数即得多边形的边数．解：设此多边形的一个外角为xº，由题意得180－x=3x+20，解得x=40．所以这个多边形的边数为=9，它的内角和为 (9-2)×180°=1260°．
四、有关角或边的最值
例4 在多边形中，小于的内角最多有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
分析：因为多边形的边数不知道，所以无法确定内角和是多少，但是外角和是360°，永远不变，所以可考虑大于72°的外角最多的个数.
解：当一个内角小于时，则与其相邻的外角大于，而多边形的外角和是，所以这样的外角的个数必定小于5，最多有4个．故选B．。
人教版八年级数学上册第十一章 11.3.2多边形的内角和2
2．下列说法正确的是( C ) A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外
角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
3．如图，D为△ABC中AC边上一点，AD＝1，DC＝2， AB＝4，E是AB上一点，且△DEC的面积等于△ABC面 积的一半，求BE的长． 【点拨】同(等)高的两个三角形 的面积比等于底边长的比．
对点训练
1.填空： (1)四边形的内角和等于 (2)五边形的内角和等于 (3)六边形的内角和等于 (4)八边形的内角和等于 (5)十边形的内角和等于
360° ； 540° ； 720° ； 1080° ； 1440° .
2.若一个多边形的内角和是 1800°，则它是 十二 边形． 3.(2020 封开一模)已知多边形每个内角都等于 144°，则这个多 边形是 十 边形．
＝48°.
(2)证明：∵∠1＝120°－∠DAF， ∠2＝360°－120°－120°－∠DAF＝120°－∠DAF， ∴∠1＝∠2，∴AB∥DE.
小结：(1)依据六边形 ABCDEF 的各内角相等，可得一个内角 的大小，再依据四边形内角和为 360°，即可得∠2 的度数； (2)先证明∠1＝∠2，可得到 AB∥DE.
4．如图，在△ABC中，E是边BC上一点，EC＝2BE，点D
是AC的中点．连接AE，BD交于点F.已知S△ABC＝12，
(2)解：∵∠ABC＝56°， ∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝124°， ∵DF 平分∠CDA， ∴∠ADF＝21∠ADC＝62°.
R版八年级上
第十一章 三角形
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小专题(二) 与多边形的内角有关的计算技巧
小专题(二) 与多边形的内角有关的计算技巧
技巧一：利用转化思想求不规则图形的内角和
类型1：利用外角与内角的关系进行“聚角”
1.如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
2.如图，求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
类型2：利用“8”字形转化角
3.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
4.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
技巧二：利用外角和的不变性计算
5.某社区有一个五边形的小公园，如图所示，张老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图形中的∠1=95°.张老师沿公园边由A点经过B→C→D→E一直到F时，他在行走过程中共转过的度数是( )
A.265°
B.275°
C.360°
D.445°
6.如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，小亮第一次回到出发点A时，他一共走了______米.
技巧三：利用方程或不等式解决多边形的问题
7.一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570°，求：
(1)这个多边形的边数；
(2)除去的那个内角的度数.
8.若一个多边形的内角和与一个外角的和是1 350°，求这个外角的度数.。
八年级数学上册第11章三角形11.3多边形及其内角和多边形的外角和教案新版新人教版
多边形的外角和课题：多边形的外角和第二教学设计课标要求探索并掌握多边形外角和公式教材及学情分析多边形的一个外角可以用相邻的内角表示，这样外角的问题就转化为内角的问题。
运用例2的思路，n边形的外角和是n个平角减去多边形的内角和。
多边形的内角和恒等于360°，与边数的多少无关，这一点与内角和不同，要让学生注意。
本节内容的展开运用了类比、推广的方法，以及把复杂问题转化为简单问题、化未知为已知的思想方法等，教学中应结合具体内容让学生加以体会。
学生以接触过类比思想，通过类比归纳总结对学生难度不大。
课时教学目标1、探索多边形外角和公式，并能运用公式解决简单的问题。
2、通过求三角形、四边形、五边形外角和，运用类比的方法得出多边形外角和计算公式。
3、经历探索类比总结规律的过程，激发学生学习的兴趣。
重点多边形外角和公式难点多边形外角和公式的推导教法学法指导教具准备教学过程提要环节学生要解决的问题或完成的任务师生活动设计意图引入新课创设情境1、什么是三角形的外角？外角有什么性质？2、三角形的外角是多少度？3、我们是如何计算三角形的外角和的呢？4、多边形的内角和是如何计算的呢？通过问题回顾三角形内角和定理，引导学生这个定理探索多边形的内角和教学过程探索多边形内角和如图，你能仿照上面的方法求四边形的外角和吗？四边形外角和=4个平角－四边形内角和=5×180°－(4－2) × 180°=360 °如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？1234ABCDEF56通过运用平角的定义和多边形内角和定理逐步推导多边形外角和，培养学生归纳总结规律的能力巩固练习n边形外角和3、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一4、正n边形的每一个外角等于___.每一个内角,倍，它是几边形？行综合运用，培。
人教版数学初二上册(八年级)11.3.2 多边形的内角和 课件
巩固练习
2. 根据多边形的内角和完成下列题目.
(1) 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是( C ) A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 (2) 若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是( C ) A．900° B．540° C．1080° D．360° (3) 若一个多边形增加一条边，那么它的内角和( A ) A．增加180° B．增加360° C．减少360° D．不变
注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边 其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数.
探究新知
考点探究2 利用多边形内角和公式求角度或边数 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°， 并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内
角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则 （n–2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （8–2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
分析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C， ∠D，∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数， 再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的 角度和，进一步求得∠P的度数．
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，
∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°–∠C–∠D–∠E=230°.
探究新知
问题5：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五
边形和六边形内角和吗?
E
A
A
F
B
D
B
E
C
八年级数学上册第十一章《三角形》11.3多边形及其内角和11.3.2多边形的内角和教案新人教版(2
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11.3.2多边形的内角和◇教学目标◇【知识与技能】了解多边形的内角、外角等概念，能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算.【过程与方法】经历合作、交流等过程,初步形成推理思维。
【情感、态度与价值观】经历猜想、探索、归纳等过程,学会多角度、全方位研究问题的方法，体会转化、类比等数学思想。
◇教学重难点◇【教学重点】多边形的内角和公式与外角和公式.【教学难点】多边形的内角和定理的推导以及对多边形外角和的理解。
◇教学过程◇一、情境导入如图所示,小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°，…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是多少米?你能计算吗？二、合作探究探究点1多边形的内角和典例1已知一个多边形的内角和是900°,则这个多边形是()A.五边形B。
六边形C。
七边形D。
八边形［解析］设这个多边形是n边形，内角和是（n—2)·180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值.［答案]C变式训练把n边形变为（n+x）边形,内角和增加了720°，则x的值为（)A.4B.6C。
人教版八年级上册数学精品教学课件 第11章 三角形 多边形及其内角和 多边形
的多边形指凸多边形．本节我们只讨论凸多边形.
典例精析 例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的 多边形的边数可能是多少？画出图形说明． 解：∵ 六边形截去一个角的边数有增加 1、减少 1、 不变三种情况，∴ 新多边形的边数有 7，5，6 三种 情况，如图所示.
总结 一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能 增加了一条，也可能不变或减少了一条.
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明 为什么？
(四条边都相等)
(四个角都相等)
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；
第二个图形不符合各边都相等.
注意 判断一个多边形是不是正多边形，就看“各边 都相等，各角都相等”这两个条件是否同时具备.
当堂练习
1. 下列多边形中，不是凸多边形的是（ B ）
解：设这个多边形为 n 边形，则有 (n - 3) 条对角线， 所分得的三角形个数为 (n - 2)， ∴ n - 3 + n - 2 = 21， 解得 n = 13． 答：该多边形的边数为 13．
画一画：画出下列多边形的全部对角线.
三 正多边形 定义： 像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形.
在平面内，由一些线段首尾顺次相接 组成的封闭图形叫做多边形.
思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要
强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？ 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个
平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不 在同一个平面内.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示. 字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时 针的顺序.
从同一顶点
引出的对角 0
1
2
八年级数学人教版上册第11章三角形11.3多边形及其内角和(图文详解)
八年级数学上册第11章三角形
正方形
正三角形
正六边形
八年级数学上册第11章三角形
用边长相同的正五边形 能否铺满地面？
13 2
啊!拼不了啦,为什么 呢?你能说说道理吗?
∠1+∠2+∠3=?
八年级数学上册第11章三角形
铺满地面满足的条件: 能铺满地面的正多边形,围绕某一点的内角和为（ 360）°
八年级数学上册第11章三角形
1.什么样的正多边形能够铺满地面? 要用正多边形铺满地面,关键是：这种正多边形内角的度 数能整除360°. 能单独铺满地面的正多边形有正三角形、正四边形、正 六边形.
八年级数学上册第11章三角形
2.用边长相等的两种正多边形铺地面，哪两种正多边形 能铺满地面？
八年级数学上册第11章三角形
正三角形和正方形
正十二边形和正三角形
60°
150° 150°
135°+135°+ 90°=360° 150°+150°+ 60°=360°
八年级数学上册第11章三角形
正方形和正六边形能否铺满地面？
【解析】正方形和正六边形不能铺满地面.
八年级数学上册第11章三角形
1．（茂名中考）下列命题是假命题的是 A．三角形的内角和是180°． B．多边形的外角和都等于360°． C．五边形的内角和是900°． D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 答案：选C
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n 边形的外角和．
n边形外角和=n个平角-n边形内角和
1
=n×180°-(n-2) × 180°
B
=360°
2
n边形的外角和等于360°
人教版八年级数学上册第十一章 多边形的内角和
根据题意，得3x＋x＝180，解得x＝45.
360°÷45°＝8.
故这个多边形的边数为8.
1.本节课我们学习了哪些知识？
（多边形的内角和与外角和）
2.我们是如何研究多边形的有关问题的？
（把多边形转化为三角形，将未知转化为已知
10
例5：一个正n边形的每一个外角都是36°，则n是_____.
【题型三】内角和与外角和的综合应用
例 6 ： 若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边
1260°
形的内角和等于_________.
例7：一个多边形的每个外角都相等，且它的内角与相邻外角的度
数之比为3∶1，求这个多边形的边数.
例2：如果一个多边形的内角和的 比一个四边形的内角和多
12
90°，那么这个多边形的边数是______.
例3：如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的
9
对角线的条数是______.
【题型二】多边形的外角和
例 4 ： 如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多
40°
边形的外角的度数为______.
3.五边形、六边形......n边形的外角和是多少？
（都是 360°）
知识点1：多边形的内角和（重难点）
1.公式：n边形的内角和为（n-2）×180° （n≥3）.
2.应用：
（1）已知多边形的边数，求其内角和.
（2）已知多边形的内角和，求其边数.
注：(1)多边形内角和的问题，实质就是通过添加辅助
以n边形的内角和加上外角的和为180°×n，外角和就等于180°×n（n-2）×180°=360°.
八年级数学上册第十一章三角形11.3多边形及其内角和11.3.2多边形的内角和备课资料教案
第十一章多边形的内角和知识点 1：多边形的内角和(1)多边形的内角和 :n 边形内角和等于 (n-2) × 180°.(2) 多边形的内角和的推导方法有很多 , 但都是将多边形问题转变为三角形问题来解决的, 即利用多边形对角线或对角线的一部分, 能够把多边形切割成若干个小三角形, 再经过三角形的内角和推导出多边形的内角和.这类转变是化归思想的表现, 也是解决多边形问题的基本思想. 下边供给三种方法 :(1)(2)(3)方法一 : 教材中所供给的方法如图 (1) 所示 , 以多边形的某一个极点为端点 , 与其余极点相连结组成多边形的对角线 , 把多边形切割成 (n-2) 个小三角形 .方法二 : 如图 (2) 所示 , 在 n 边形中 , 取某边上一点 ( 非极点 ) 为端点 , 与其余极点相连 , 把多边形切割成(n-1) 个小三角形 .方法三 : 如图 (3) 所示 , 在 n 边形的内部任取一点, 与多边形的各极点相连, 把多边形切割成n 个小三角形 .重点提示 : 多边形的内角和与边数相关, 边数每增添一条, 则内角和就增添180° .知识点 2：多边形的外角和(1) 多边形的外角和: 随意多边形的外角和都等于360° .(2) 多边形外角和定理的证明: 多边形每个内角与它相邻的外角都是邻补角, 所以 n 边形的内角和加外角和为n· 180 °, 外角和等于n· 180 ° -(n-2)180°=360° .概括整理 : 1.多边形外角和都等于360° , 与边数多少没关.2.外角和定理的作用 :(1)已知各相等外角度数求多边形边数;(2)已知多边形边数求各相等的外角度数.(3)往常与正多边形的知识连用求其内角度数或许外角的度数. 正 n 边形其外角和为360°, 所以正 n 边形外角度数都相等且为, 与外角相邻的内角的度数为180° -.考点1：多边形内角和的计算3∶ 8, 求这两个多边形的边数、内角和.【例 1】两个正多边形的边数之比为1∶2 , 内角和之比为解 : 设这两个正多边形的边数分别为n 和 2n 条 .依据多边形的内角和公式, 得两多边形的内角和分别为(n-2)· 180°和(2n-2)· 180° .3∶ 8, 所以=,因为两内角和度数之比为解得 n= 5.(n-2) · 180°=540° ,(2n-2)· 180° =1440° .所以这两个多边形分别是五边形和十边形, 内角和分别为540°和 1440 °.点拨 : 因为正多边形的每一个内角都相等, 进而可成立方程.考点 2：多边形内角和的应用【例 2】小华想 :2010 年世博会在上海举行, 设计一个内角和是2010°的多边形图案多存心义,她的想法能实现吗?谈谈原因 .解 : 小华的想法不可以实现. 因为多边形的内角和为(n-2) ·180°, 必定是180°的整数倍 , 而 2010.不能被180 整除 , 所以不行能有内角和为2010°的多边形, 所以她的想法是不可以实现的点拨 : 察看多边形的内角和公式(n-2)· 180° , 发现多边形的内角和必定是180°的整数倍.考点3：多边形外角和的应用【例 2】正多边形的一个外角等于30° , 则这个多边形的边数为().A.6B.9C.12D.15答案 :C.点拨 : 依据多边形的外角和为360° , 正多边形的每一外角都相等, 用 360÷ 30 即可求出边数﹒。
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小专题(二) 与多边形的内角有关的计算技巧
技巧一：利用转化思想求不规则图形的内角和
类型1：利用外角与内角的关系进行“聚角”
1.如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
2.如图，求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
类型2：利用“8”字形转化角
3.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
4.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
技巧二：利用外角和的不变性计算
5.某社区有一个五边形的小公园，如图所示，张老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图形中的∠1=95°.张老师沿公园边由A点经过B→C→D→E一直到F时，他在行走过程中共转过的度数是( )
A.265°
B.275°
C.360°
D.445°
6.如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，小亮第一次回到出发点A时，他一共走了______米.
技巧三：利用方程或不等式解决多边形的问题
7.一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570°，求：
(1)这个多边形的边数；
(2)除去的那个内角的度数.
8.若一个多边形的内角和与一个外角的和是1 350°，求这个外角的度数.
参考答案
1.∵∠AGF 是△GCE 的外角，∴∠AGF=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.在△AFG 中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
2.在四边形BEFG 中，∵∠EBG=∠C+∠D,∠BGF=∠A+∠ABC,∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°.
3.连接BE.由对顶角相等及三角形内角和为180°，可得∠C+∠D=∠CBE+∠DEB.又∵∠A+∠ABE+∠AEB=180°,∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠AED=180°.
4.连接BE.在△COD 与△BOE 中，∠D+∠C+∠COD=180°,∠OBE+∠OEB+∠BOE=180°,∴∠D+∠C=180°-∠COD,∠OBE+∠OEB=180°-∠BOE.∵∠COD=∠BOE,∴∠D+∠C=∠OBE+∠OEB.∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠OBE+∠OEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°.
5.B
6.120
7.(1)设这个多边形的边数为n ，则其内角和为(n-2)·180°.依题意，得2 570°<(n-2)·180°<2 570°+180°,解这个不等式组，得18516<n<18
517.∵n ≥3，且n 是整数，∴n=17.即这个多边形的边数为17.(2)除去的那个内角的度数为(17-2)·180°-2 570°=130°.
8.设这个多边形的边数为n ，这个外角的度数为x °，则180(n-2)+x=1 350.∵1 350=180×7+90，
n 为正整数，0<x<180，∴n-2=7，x=90，即这个外角为90°.。