第八节 无穷小的比较

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定义: 定义: 设α , β 是同一极限过程的两个 无穷小, 且α ≠ 0.
β (1) 如果 lim = 0，就说 β 是比 α 高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α )；
β ( 2) 如果 lim = C ≠ 0, 就说 β 与 α 是同阶的无穷小; α
β 特殊地， 特殊地， 如果 lim = 1, 则称 β 与 α 是等价的无穷小 ; α 记作 α ~ β;
即sin x ~ x (x →0).
sin ∴ 当 x → 0 时， x 与 x 是等价无穷小 ．
例1 证明 : 当x → 0时, tan x − sin x为x的三阶无穷小 .
sin x − sin x tan x − sin x 解 Q lim = lim cos x 3 3 x→0 x →0 x x
例3 解
( x + 1) sin x . 求 lim x → 0 arcsin x
当x → 0时, sin x ~ x , arcsin x ~ x . ( x + 1) x = lim( x + 1) = 1. 原式 = lim x →0 x →0 x
不能滥用等价无穷小代换. 注意 不能滥用等价无穷小代换 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换. 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
这里只证明两种等价的情形，其它情形请自己证明。 这里只证明两种等价的情形，其它情形请自己证明。
arcsin x 证明： 证明： lim = 1(即x与arcsin x等价 ) x →0 x 证： u = arcsin x , 则x = sin u, 显然当x → 0时， 令
u u → 0, 那么：原式 = lim 那么： =1 u→ 0 sin u
αf ( x ) 存在或为无穷大， 设α ~ α ' , β ~ β ' , 若 lim 存在或为无穷大，则： β α ' f ( x) αf ( x ) lim . = lim β' β
推论2 推论2：
推论1 推论1：
存在或为无穷大， 设α ~ α ' , 若 lim αf ( x )存在或为无穷大，则：
定理1(等价无穷小代换定理) 定理1(等价无穷小代换定理) 1(等价无穷小代换定理
β′ β β′ lim 存 , 则lim = lim . 设α ~ α′, β ~ β′且 在 α′ α α′
证
β β β′ α′ lim = lim( ⋅ ⋅ ) β′ α′ α α
β β′ α′ β′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim . β′ α′ α α′
lim α ' f ( x ) = lim αf ( x ).
时 总结：常用等价无穷小， 总结：常用等价无穷小，当x → 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ln(1 + x ) ~ x , e x − 1 ~ x , a x − 1 ~ x ln a (a > 0) , 1 2 1 − cos x ~ x , (1 + x ) a − 1 ~ ax (a ≠ 0) 2
β ( 3) 如果 lim k = C ≠ 0, k > 0, 就说 β 是 α 的 k 阶 α
无穷小.
例如， 例如，
x2 Q lim = 0， x →0 3 x
sin x Q lim = 1， x →0 x
即x = o(3x) (x →0).
2
∴ 当 x → 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;
ex −1 证明： 证明：lim = 1 (即 e x − 1 ~ 小 x ) x →0 x
证：令u = e x − 1, 则x = ln(1 + u),
显然当 x → 0时，u → 0, u 原式 = lim = lim u→ 0 ln(1 + u ) u→ 0
1 ln(1 + u)
1 u
1 = =1 ln e
1 sin x 1 − cos x ) = lim( ⋅ ⋅ 2 x → 0 cos x x x 1 sin x 1 − cos x 1 = lim ⋅ lim ⋅ lim = , 2 x → 0 cos x x → 0 x x →0 x 2
∴ tan x − sin x为x的三阶无穷小 .
二、等价无穷小代换
第八节 无穷小量的比较
一、无穷小的比较
1 例如, 例如 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x 2 x 观 2 lim = 0, x 比 x 要快得多 ; 察 x→0 x 各 sin x 极 sin x x ; = 1, lim x→0 x 限 1 2 x sin x = lim sin 1 0 lim . . 2 x→0 x→0 x x 0 , .
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？ 任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答
不能． 不能． 例当 x → +∞ 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) = , g( x ) = x x g( x ) = lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x → +∞ f ( x ) x → +∞
例2
tan 2 x . 求 lim x →0 1 − cos x
2
1 2 解 当x → 0时, 1 − cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 = lim = 8. x→0 1 → 2 x 2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积， 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限． 穷小代换，而不会改变原式的极限．
故当 x → +∞ 时 f ( x ) 和 g 例4 求 lim . 3 x →0 sin 2 x
错 解 当x → 0时, tan x ~ x , sin x ~ x .
x− x 原式 ×lim = x →0 3 = 0. (2 x )
解
当x → 0时, sin 2 x ~ 2 x , 时
1 3 tan x − sin x = tan x (1 − cos x ) ~ x , 2 1 3 x 2 = 1. 原式 = lim x→0 → ( 2 x )3 16
三、小结
1、无穷小的比较 、
反映了同一过程中, 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度 快慢. 快慢 阶无穷小; 高(低)阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 低 阶无穷小 等价无穷小; 无穷小的阶.
2、等价无穷小的代换: 、等价无穷小的代换
求极限的又一种方法, 注意适用条件. 求极限的又一种方法 注意适用条件