正切函数和余切函数的图像与性质(二)(学生版)
三角函数公式和图像大全[2]
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初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin （A+B ） = sinAcosB+cosAsinB sin （A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos （A+B ） = cosAcosB —sinAsinB cos(A-B ） = cosAcosB+sinAsinBtan （A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A —B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot （A-B ） =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA •CosACos2A = Cos 2A —Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA —4（sinA)3 cos3A = 4(cosA ）3-3cosAtan3a = tana ·tan （3π+a ）·tan(3π—a)半角公式sin （2A）=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A）=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=AA cos 1cos 1-+ tan （2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba -sina —sinb=2cos2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = —2sin 2b a +sin 2b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差sinasinb = —21［cos(a+b ）—cos （a-b)］ cosacosb = 21[cos(a+b ）+cos （a —b ）] sinacosb = 21［sin （a+b ）+sin(a-b ）] cosasinb = 21［sin （a+b)-sin （a —b ）] 诱导公式sin(-a) = —sinacos （—a ） = cosasin （2π—a) = cosa cos(2π-a) = sinasin （2π+a ） = cosa cos(2π+a ） = -sina sin(π—a ） = sinacos(π—a) = -cosasin(π+a) = —sinacos （π+a） = -cosa tgA=tanA =aa cos sin万能公式 sina=2)2(tan 12tan2a a+ cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2)2(tan 12tan 2a a -其它公式a •sina+b •cosa=)b (a 22+×sin(a+c ） ［其中tanc=ab ］a •sin （a ）—b •cos （a ） = )b (a 22+×cos （a —c ） ［其中tan(c ）=b a ] 1+sin （a) =(sin 2a +cos 2a )21-sin （a ） = （sin 2a —cos 2a ）2其他非重点三角函数csc （a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -a acosh （a ）=2e e -a a tg h （a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos(2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot(2kπ＋α）= cotα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin （π＋α）= -sinαcos(π＋α）= —cosαtan （π＋α）= tanαcot （π＋α）= cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （—α）= —sinαcos （-α）= cosαtan （-α)= -tanαcot （-α）= —cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π—α)= sinαcos （π—α）= -cosαtan(π—α)= -tanαcot （π-α)= —cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin （2π-α）= —sinαcos （2π—α）= cosαtan （2π—α）= -tanαcot(2π-α）= -cotα公式六2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= —sinα tan （2π+α）= -cotα cot(2π+α）= -tanαsin （2π-α）= c osαcos （2π-α）= sinαtan （2π-α）= cotα cot(2π-α)= tanα sin(23π+α)= —cosα cos(23π+α）= sinαtan （23π+α）= -cotα cot(23π+α)= —tanαsin （23π-α）= -cosα cos(23π—α）= —sinαtan （23π-α）= cotα cot(23π-α）= tanα（以上k∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A •sin （ωt+θ)+B •sin(ωt+φ） =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部)公式表达式乘法与因式分解a2—b2=（a+b ）（a-b) a3+b3=(a+b)(a2—ab+b2） a3-b3=(a-b)（a2+ab+b2）三角不等式|a+b｜≤｜a｜+｜b｜|a-b｜≤|a｜+|b｜|a｜≤b〈=〉-b≤a≤b｜a-b｜≥|a|-｜b｜—|a|≤a≤|a｜一元二次方程的解-b+√(b2-4ac）/2a —b-b+√(b2-4ac）/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/aX1＊X2=c/a注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2—4ac〉0 注：方程有一个实根b2—4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin（A—B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A—B)=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=（tanA+tanB)/（1-tanAtanB) tan（A-B)=（tanA-tanB)/(1+tanAtanB）ctg（A+B）=(ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA） ctg(A-B)=（ctgActgB+1）/（ctgB—ctgA) 倍角公式tan2A=2tanA/（1-tan2A) ctg2A=（ctg2A—1）/2ctgacos2a=cos2a—sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin（A/2)=√((1-cosA）/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos（A/2)=√（（1+cosA)/2) cos(A/2)=-√（(1+cosA）/2)tan(A/2）=√((1—cosA）/（（1+cosA)) tan（A/2）=-√（（1-cosA）/(（1+cosA））ctg(A/2）=√（（1+cosA）/((1—cosA)) ctg（A/2）=—√((1+cosA)/（(1—cosA））和差化积2sinAcosB=sin(A+B）+sin(A—B) 2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A—B)2cosAcosB=cos（A+B）-sin(A-B） -2sinAsinB=cos（A+B)-cos(A—B）sinA+sinB=2sin(（A+B）/2)cos((A-B）/2 cosA+cosB=2cos（(A+B)/2)sin（(A-B)/2）tanA+tanB=sin(A+B）/cosAcosB tanA—tanB=sin(A—B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B）/sinAsinB —ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n（n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1)(2n+1）/613+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1）2/41＊2+2*3+3*4+4*5+5*6+6＊7+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2—2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[（a+b）/(a—b)］=｛［Tan（a+b)/2］/[Tan(a—b)/2]}圆的标准方程（x-a）2+（y—b)2=r2 注：（a，b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2—4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=—2py直棱柱侧面积S=c＊h斜棱柱侧面积S=c'＊h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2（c+c’）l=pi（R+r)l 球的表面积S=4pi＊r2圆柱侧面积S=c＊h=2pi＊h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r 〉0 扇形面积公式s=1/2*l*r(直打版)三角函数公式和图像大全(word版可编辑修改) 锥体体积公式V=1/3＊S*H圆锥体体积公式V=1/3＊pi＊r2h斜棱柱体积V=S’L注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi＊r2h。
学案5：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（二）
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（二）|目 标 索 引|1．能借助单位圆中的正切线画出y ＝tan x 的图象．2．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，并掌握其应用.函数y ＝tanx 的图象与性质解析式 y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性单调性在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内都是1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.( )(4)函数y ＝tan x 为奇函数，故对任意x ∈R 都有tan(－x )＝－tan x .( ) 2．函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点π12，0，则φ可以是( )A ．－π6 B.π6C ．－π12D.π123．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为________． 题型探究题型一 求函数的定义域例1 函数f (x )＝tan x －1＋4－x 2的定义域为________．【知识点拨】 求定义域时，一定要注意正切函数自身的定义域．另外，这类问题都是由构造三角不等式来确定自变量的范围．解三角不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．变式训练1-1 求下列函数的定义域． (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6；(2)y ＝tan x 2sin x －2.题型二 函数的性质例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．【知识点拨】 1.正切函数的单调性表现为在每一单调区间内只增不减，这一点必须注意． 2．正切函数的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z)，而不是(k π，0)(k ∈Z)，它没有对称轴． 3．y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.变式训练2-1 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z题型三 正切函数的图像例3 函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(0<φ<π)的图象与x 轴相交的两邻点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－π2，0，⎝⎛⎭⎫π6，0，且过点(0，－3)，求此函数的表达式．变式训练3-1 将函数y ＝tan2x 的图象上所有的点向右平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，则所得函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π16，0中心对称B ．关于直线x ＝7π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0中心对称 D ．关于直线x ＝3π4对称随堂练习1．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2上的交点个数是( ) A ．3 B.4 C ．5D.62．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是( ) ①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减；②最小正周期为2π；③是奇函数． A ．y ＝－sin xB.y ＝cos xC ．y ＝tan x D.y ＝sin2x 3．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则( ) A ．f (－1)>f (0)>f (1) B.f (0)>f (1)>f (－1) C ．f (1)>f (0)>f (－1)D.f (1)<f (－1)<f (0)4．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期为πC ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称5．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3的值域．【参考答案】奇函数 增函数1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×【解析】(1)如x 1＝π4，x 2＝2π3，但tan π4>tan 2π3.(2)正切函数在每个单调区间上都为增函数． (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为半周期π2.(4)当x ＝π2＋k π(k ∈Z )时，tan x 没有意义，此时式子tan(－x )＝－tan x 不成立．2．答案：A【解析】∵y ＝tan(2x ＋φ)过⎝⎛⎭⎫π12，0. ∴tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，当k ＝0时，φ＝－π6，故选A. 3．答案：π3题型探究例1 ⎣⎡⎭⎫－2，－π2∪⎣⎡⎭⎫π4，π2 【解析】 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≥0，4－x 2≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－2≤x ≤2，∴－2≤x <－π2或π4≤x <π2，∴f (x )的定义域为⎣⎡⎭⎫－2，－π2∪⎣⎡⎭⎫π4，π2. 变式训练1-1 解：(1)要使y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6有意义，则2x －π6≠k π＋π2，∴x ≠k π2＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z . (2)要使y ＝tan x 2sin x －2有意义，则⎩⎨⎧x ≠k π＋π2k ∈Z ，2sin x －2>0⇔2k π＋π4<x <2k π＋3π4k ∈Z ，∴2k π＋π4<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋3π4(k ∈Z )，∴函数的定义域为2k π＋π4，2k π＋π2∪2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．例2 【解】 由12x －π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋4π3，k ∈Z . ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠2k π＋4π3，k ∈Z ； T ＝π|ω|＝π12＝2π；由k π－π2<12x －π6<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－2π3<x <2k π＋4π3，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z . 变式训练2-1 C【解析】由k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z ，故选C. 例3 答案：A【解】 由题意知函数的周期为T ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π2＝23π，所以ω＝πT ＝32，故y ＝A tan ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ.又函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，则有32×π6＋φ＝k π，k ∈Z ，故φ＝k π－π4，k ∈Z .故φ＝34π.又图象过点(0，－3)，则有－3＝A tan ⎝⎛ 32×0＋⎭⎫34π，得A ＝3.故函数的表达式为y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫32x ＋34π. 变式训练3-1 【解析】y ＝tan2x 的图象上所有的点向右平移π8个单位长度，得y ＝tan2⎝⎛⎭⎫x －π8＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得y ＝tan ⎝⎛⎭⎫4x －π4，由4x －π4＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π8＋π16，k ∈Z ，当k ＝0时，函数的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π16，0.故选A. 随堂练习1．A【解析】如图，函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2上的交点个数是3.2．A【解析】y ＝cos x 为偶函数，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2为增函数，y ＝sin2x 的最小正周期为π，故A 正确． 3．答案：D【解析】f (－1)＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－1，f (0)＝tan π4，f (1)＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋1＝tan ⎝⎛⎭⎫1－3π4， －π2<1－3π4<π4－1<π4， ∴tan ⎝⎛⎭⎫1－3π4<tan ⎝⎛⎭⎫π4－1<tan π4，∴f (1)<f (－1)<f (0)．故选D. 4．B【解析】由k π－π2<x ＋π3<π2＋k π，k ∈Z ，得k π－5π6<x <π6＋k π，k ∈Z ，∴函数在⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上不单调，A 错； 函数的周期为π，B 正确，故选B.5．解：由x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，得tan x ∈[1， 3 ]， ∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24.由于1≤tan x ≤3，∴8≤y ≤103－4，∴函数的值域是[8,103－4]．。
§6.2 正切函数的图像与性质(2)余切函数
❖1.定义域： x | x k, k z
❖ 2.值域：R
❖3.周期性：T
❖4.奇偶性：cot(x) cotx 奇函数.
❖5.单调性：在开区间 k, k k Z
内，函数单调递增.
说明：在考虑余切函数单调性的时候，一
定要讲在 k,k k Z 的每一个单调
区间上是减函数，而不能讲它在定义域 上是减函数.
❖ 2.进行数学建模，把一个实际问题转化 为数学问题，把握好三种语言的转化： 文字语言→图形语言→符号语言。
❖例4：设足球场宽65米，球门宽7米， 当足球运动员沿边路带球突破，距 底线多远处射球门，对球门所张的 角最大.（保留两位小数）
三、例题分析
例1：比较 cot81 与 cot191 的大小;
例2：求函数 f (x) 并指出单调性;
tan(
1 2
x
)
4
的单调区间，
例3.：求函数 f (x) 1 tan2x 的最小正周期; 1 tan2x
四、课堂练习
五、课堂小结
❖1.主要是 f (x) Atan(x )（ A 0, 0） 型（要注意的正负）函数奇偶性、 单调 性的应用。
§6.2 正切函数的图像与性质 （2）余切函数
桐柏高级中学 朱晓萍
一、 复习
❖回忆前一节中学习的正切函数的图 像及性质
二、学习新课
❖ 1、探究余切函数的图像及性质
❖余切函数 y cotx(x k , k Z ) 的图像
y2 320 Nhomakorabea2
2
3 2 x
2
❖ 观察余切函数的图像，引导学生得余切函数 的性质：
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
(完整版)正切函数的性质与图像.ppt
2
2
正
渐
切
近 线
函
数
渐
图
近 线
像
性质 :
渐近线方程： x k , k Z 2
对称中心
( kπ,0) 2
正切函数有对称轴吗？ 无对称轴
问题5： (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会在某一区间内是减函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
5、周期性
最小正周期是
3
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
22 右呈上升趋势，向上与直线 x
k
,k
Z
无限接近但
永不相交；向下与直线
x
2
k , k
Z无限接近但永不
2
相交。
将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。
2
题型一 求与正切函数有关的函数的定义域
例1.求下列函数的定义域.
(1) y tan(x );
3 (2) y lg tan x 16 x2 .
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴： x
2
k
,
5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类(学生版)2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教必修一
5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类一、正切函数的图象二、正切函数的性质1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，2．值域：R3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-．5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增三、正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质1、定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2、值域：(),-¥+¥3、单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．4、周期：T πω=（一）正切函数的定义域、值域问题(1)求正切函数定义域的方法①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z.②求正切型函数y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x . (2)求正切函数值域的方法①对于y ＝Atan (ωx ＋φ)的值域，可以把ωx ＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．②对于与y ＝tan x 相关的二次函数，可以把tan x 看成整体，利用配方法求值域（二）正切函数的图象问题熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． 题型3：正切函数的图象及应用3-1．（2024高一上·宁夏银川·期末）函数()2tan f x x x =×（11x -<<）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3-2．（2024高二下·浙江丽水·期中）函数3()3tan f x x x =-在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3-3．（2024高一上·全国·课后作业）画出函数|tan |y x =的图象．(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；(2)求不等式|tan |1x £的解集．3-4．（2024高一上·广东·期末）若函数tan()(0)y x ϕϕ=-³的图象与直线πx =没有交点，则ϕ的最小值为（ ）A ．0B ．π4C ．π2D ．π3-5．（2024高一·全国·课堂例题）观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x 的集合．(1)满足tan 0x =的集合．(2)满足tan 0x <的集合．(3)满足tan 0x >的集合．（三）正切函数的单调性及其应用(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的单调区间的方法y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．题型4：正切函数的单调性及其应用4-1．（2024高一下·全国·单元测试）函数tan 36y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调区间是（ ）A ．πππ,π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．2,()99k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z C ．2,()3939k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．2,()3939k k k ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭Z 4-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是严格减函数，则实数ω的取值范围是 ．4-3．（2024高一·全国·课堂例题）函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为．4-4．（2024高三·全国·专题练习） π3tan 64x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为 .4-5．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数π()tan()(0)3f x A x ωω=+>，若f x （）在区间ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，（四）正切函数的奇偶性与周期性与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．A ．cos y x=B ．sin y x =C ．sin2y x =D ．tan2y x=6-4．（2024高一上·全国·课后作业）已知()tansin 42xf x a b x =-+（其中a b 、为常数且0ab ≠），如果()35f =，则2010()3f π-的值为（ ）A ．3-B ．3C ．5-D ．56-5．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知函数()5tan 3f x x x =+-，且()2f m -=-，则()f m =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．46-6．（2024高一下·山东潍坊·期中）已知()2023sin 2024tan 1f x x x =+-，()()()()()21012f f f f f -+-+++=.（五）正切函数的对称性正切曲线的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z)，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围．题型7：正切函数的对称性7-1．（2024高一下·辽宁铁岭·阶段练习）函数1π()3tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心为.7-2．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为2π3，其图像的一个对称中心的坐标为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，则曲线()()tan g x x ωϕ=+的对称中心坐标为（ ）A ．ππ,0312k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈ZB ．ππ,0612k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．ππ,0312k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．ππ,0612k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z7-3．（2024·江苏扬州·模拟预测）以点π,0()2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z 为对称中心的函数是（ ）．A ．sin y x =B ．cos y x =C ．tan y x=D ．|tan |y x =一、单选题1．（2024高一上·福建漳州·期末）函数ππ()tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调区间是（ ）A ．512,2(Z)33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭B ．512,2(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．514,4(Z)33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．514,4(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦2．（2024高一下·内蒙古包头·期末）函数πtan 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是（ ）A ．5ππ,Z 122k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．5ππ,Z 12x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．ππ,Z 32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭3．（2024高三上·山西晋中·阶段练习）函数()πtan 2xf x =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．4πC ．2D ．44．（2024高二下·湖南·学业考试）函数tan y x =在一个周期内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2024·河南·模拟预测）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2=-+f x f x ，且函数()1f x +的图象关于()1,0-对称，当[]1,1x ∈-时，()tan =f x x .则下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 对称B ．函数()y f x =的图象关于直线()2x k k =∈Z 对称C ．函数()y f x =的最小正周期为2D ．当[]2,3x ∈时，()()tan 2f x x =-6．（2024高一下·北京·期中）函数()tan sin tan sin f x x x x x =--+-|在区间（π2，3π2）内的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2024高一·全国·课后作业）下列各式中正确的是（ ）A ．tan1tan 2>-B ．tan 735tan 800°>°C ．5π4πtantan 77>D ．9ππtantan 87>8．（2024高一下·河南平顶山·阶段练习）函数()πtan 27f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的对称中心可能是( )A ．π,07⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,07⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π,014⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,014⎛⎫- ⎪⎝⎭9．（2024高一下·上海·课后作业）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围为（ ）A ．()2,0-B ．[)1,0-C ．(]0,1D ．[]1,210．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数()π2sin 2πZ 3=πtan πZ3x x k k f x x x k k ⎧≠+∈ïï⎨ï=+∈ï⎩，，，，，若方程()f x =在()0m ，上恰有5个不同实根，则m 的取值范围是（ ）A ．7463⎛⎤⎥⎝⎦ππ，B ．71936⎛⎤ ⎥⎝⎦ππ，C ．51336⎛⎤ ⎥⎝⎦ππ，D ．13763⎛⎤⎥⎝⎦ππ，11．（2024高三·全国·对口高考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当()0,1x ∈时，()t πan 2f x x=，则()f x 在[0,5]上的零点个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．（2024高二下·湖南·阶段练习）若π0,3q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2tan q + ）A ．B 2+C 52D 13．（2024·宁夏银川·模拟预测）若π()tan3n f n =，（*n ∈N ），则(1)(2)(2023)f f f ++×××+=（ ）A ．BC ．0D ．-14．（2024高一下·河北衡水·阶段练习）函数()π26f x x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在π,12n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1-，则mn =（ ）A ．π6B ．π3C ．π6-D ．π3-15．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 二、多选题16．（2024高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的定义域为ππ,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．ππ44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减17．（2024高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数()tan 2f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期是πC ．函数()f x 在ππ(,)44-上单调递增D ．函数()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈18．（2024高三上·山东·开学考试）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．π3π510f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭19．（2024高一下·四川成都·期中）已知函数()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列描述中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的图象关于点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．函数()f x 的最小正周期为2C ．函数()f x 的单调增区间为514,433k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．函数()f x 的图象没有对称轴20．（2024高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为πC ．把()f x 向左平移π6可以得到函数()tan 2g x x =D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增21．（2024高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数()πtan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列叙述中，正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点0π4,⎛⎫⎪⎝⎭-对称B ．函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称D ．函数()y f x =是偶函数22．（2024高一下·安徽芜湖·期中）下列坐标所表示的点是函数πtan 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的对称中心的是（ ）A ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭23．（2024高一下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）A ．对于定义在实数R 上的函数()f x 中满足()()2f x f x +=，则函数()f x 是以2为周期的函数B ．函数()πtan 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为5πππ,π66k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．角a的终边上一点坐标为(-，则cos a =24．（2024高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A．π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．()f x 图象的对称中心为()ππ,0Z 68k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣三、填空题25．（2024高一下·辽宁锦州·期中）()tan sin 1f x x x =++，若()22f =，则()2f -= ．26．（2024高一下·广东阳江·期末）已知πtan 4a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭a = ．27．（2024高一下·上海徐汇·期中）函数2()tan tan 2,,44f x x x x ππ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦的值域是28．（2024高二上·广西崇左·开学考试）若函数πtan 23y x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为 .29．（2024高一下·上海·课后作业）函数2tan 2tan ,,64⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ的值域为．30．（2024高一·全国·课后作业）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．31．（2024高一·上海·专题练习）函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为32．（2024高一下·上海静安·期中）函数ππtan 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是．33．（2024高一下·湖北·期中）已知函数()πππ,222ππtan ,22a x x x f x x x ⎧+£-³ïï=⎨ï-<<ï⎩或，若函数()3π2y f f x ⎡⎤=-⎣⎦有5个零点，则实数a 的取值范围是 ．34．（2024高一下·全国·课后作业）已知函数tan y x ω=-在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围是 ．35．（2024高一上·江苏徐州·期末）已知函数()()tan 4f x nx n π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Z 在区间3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则n 的取值集合为 .（用列举法表示）36．（2024·全国·模拟预测）若函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为ω=.37．（2024高一下·上海浦东新·期中）若函数tan()y x ω=在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为严格减函数，则实数ω的取值范围是 ．四、解答题38．（2024高一·全国·课后作业）已知()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x ϕ+是奇函数，则ϕ应满足什么条件？并求出满足||2ϕπ<的ϕ值.39．（2024高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数()()π2tan 08f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π2，(1)求()f x 图象的对称中心；(2)求不等式()2f x >-在5π3π,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭上的解集．40．（2024高一·全国·课堂例题）画出函数1π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0,2π] x ∈上的简图．41．（2024高一下·江西抚州·阶段练习）设函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点π,08M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.(1)求()f x 的单调区间；(2)求不等式()1f x -££的解集.42．（2024高一·全国·课后作业）已知函数()y f x =，其中()()tan f x A x ωϕ=+，（0ω>，π2ϕ<），()y f x =的部分图像如下图．(1)求A ，ω，ϕ的值；(2)求()y f x =的单调增区间，43．（2024高一下·上海·课后作业）已知函数()()0xf x πωω=>．（1）当4ω=时，求()f x 的最小正周期及单调区间；（2）若()3f x …在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，求ω的取值范围．44．（2024高一·全国·课后作业）已知函数π()tan 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω>．(1)若2ω=，求()f x 的最小正周期与函数图像的对称中心；(2)若()f x 在[]0,π上是严格增函数，求ω的取值范围；(3)若方程()f x =在[],a b 上至少存在2022个根，且b －a 的最小值不小于2022，求ω的取值范围．45．（2024高一下·上海虹口·期末）已知函数()πtan 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>.(1)若2ω=，求函数()f x 的最小正周期以及函数图象的对称中心；(2)若()f x 在闭区间[]0,π上是严格增函数，求正实数ω的取值范围.。
三角函数的图像与性质(6)—正切函数的图象和性质(2)
1.3.2 三角函数的图象和性质(6)一、课题：正切函数的图象和性质（2）二、教学目标：1．熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；2．渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。
三、教学重点：正切函数的图象和性质的运用。
四、教学过程： （一）复习：1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
（二）新课讲解：例1：求下列函数的周期：（1）3tan 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭答：T π=。
（2）tan 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭答：3T π=。
说明：函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω=．【练习】P71．练习4．例2：求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
解：由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ，∴所求定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且，值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数，在区间()z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。
将tan y x =图象向右平移3π个单位，得到tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），就得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的图象。
例3：用图象求函数y =解：由tan 0x 得tan x ≥利用图象知，所求定义域为(),32k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，五、课堂练习： 1．“tan 0x >”是“0x >”的 既不充分也不必要 条件。
2．与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ D ）()2A x π= ()2B x π=- ()4C x π= ()8D x π=3．函数y (),24k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦．4．函数2tan tan 1,2y x x x k k Z ππ⎛⎫=++≠+∈ ⎪⎝⎭的值域是 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 5．函数tan cot y x x =-的奇偶性是 奇函数 ，周期是2π．六、小结： 正切函数的性质。
高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)
(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。
（工 W R ）7Tcos 卯=。
=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。
5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。
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年级：高一辅导科目：数学课时数：课题正切函数和余切函数的图像与性质
1、让学生掌握正切函数的图像，性质
教学目的
2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等
教学内容
【知识梳理】
正切函数y tan x x R ，且 x k k z 的图象，称“正切曲线”
2
余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的图象（余切曲线）
正切函数的性质：
1．定义域：x | x k , k z ，
2
2．值域： R
3．当xk , k k z 时y0 ，当x k, k k z 时y 0
22
4．周期性：5．奇偶性：T
tan x tan x 奇函数
6．单调性：在开区间k ,k k z内，函数单调递增
22
余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的性质：
1．定义域：x R且x k , k z
2．值域： R，
3．当 xk , k k z 时 y 0 ，当 x k
, k k z 时 y 0
2
2
4．周期： T
5．奇偶性：奇函数
6．单调性：在区间
k , k 1
上函数单调递减
【典型例题分析】
例 1、用图象解不等式
tan x 3 。
变式练习： tan x
1。
例 2、作出函数 y
tan x , x 0,2 且 x ,
3
的简图
1 tan
2 x
2 2
例 3、求下列函数的定义域。
cot x cot x csc x
1、 y
2、 y
tan x
1
变式练习：求下列函数的定义域。
（1）y cos x tan x；
（2）
y log2 (cot x1)
1
（ 3）y
1 tan x
例 4、求函数y tan 3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性
3
变式练习：画出函数y cot( x)tan x 的图像，并指出其定义域，值域，最小正周期和单调区间。
2
例5、
（ 1）求y tan2 x 4tan x1的值域；
（ 2）若x,时，y k tan(2x) 的值总不大于零，求实数k 的取值范围。
633
变式练习：求函数 y tan2x tan x 1
的最大值、最小值，并求函数取得最大值最小值时自变量x 的集合。
tan2x tan x1
例 6、判断下列函数的奇偶性。
（ 1）x tan 2 x x4
tan 2x tan x
（ 2）y
tan x
1
【课堂小练】
1、利用单位圆中的三角函数线：
（ 1）证明当0＜ x＜时tanx＞ x，（ 2）解方程tanx＝ x，（－＜ x＜）．
222
2、已知 f(x)=tanx，对于 x1，x2∈（ 0，）且 x1≠ x2试证f (x1)
f ( x2 ) f (
x
1
x
2)
222 3、求函数 y＝ tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π ，π］内的图象
【课堂总结】
1、函数y A tan( x)(0) 的性质小结：
（ 1）函数y A tan(x)(0)的最小正周期是 T；（ 2）函数y A tan(x)(0) 的单调区间的确定：
由k
2x k
2
解得 x 的范围，即为所求单调区间，若0 则由诱导公式转换后再求解。
（ 3）函数y A tan(x)(0)的单调区间由 A 决定。
A>0 则为增区间， A<0 则为减区间。
2、求下列两类函数的值域的求法
（ 1）y A tan( x), x D
先求 x的取值范围，再根据函数y tan x 的单调性求出值域；
（ 2）y f (tan x), x D
令 t tan x, x D 先求出t的范围 D,再求y f (t), t D 的值域。
11
【课后练习】
1、函数 y＝log 1 tan x 的定义域是()
2
A ｛ x｜ 0＜x≤）
B ｛ x｜ 2kπ＜ x≤ 2kπ＋， k∈Z
44
C ｛ x｜ kπ＜ x≤ kπ＋， k∈Z
D ｛ x｜ kπ－＜ x≤ kπ＋， k∈Z
424
2、求函数 y＝cot xsin x 的定义域
3、如果 α 、 β ∈ ( ， π )且 tan α＜ cot β ，那么必有 (
)
2 A α ＜β
C α ＋β ＜
B β ＜ α
3 D α＋ β ＞
3
2
2
4、函数 y ＝ lg(tan x)的增函数区间是 (
)
A (k π －
， k π ＋ )( k ∈ Z )
B (k π ， k π＋
)(k ∈ Z )
2 2
2
C (2k π － ， 2k π ＋ )(k ∈ Z )
D (k π ， k π ＋π )( k ∈Z )
2
2
5、试讨论函数 y ＝log a tanx 的单调性
6、已知函数 y 3tan(
x
) b, x [0, ] 是增函数，值域为 [ 2 3,0] ，求 a,b 的值。
a
3
3。