第二讲生产函数

一、生产函数基础知识二、经济增长理论三、生产者行为理论四、消费者行为理论五、完全竞争市场和一般均衡六、不完全竞争市场七、博弈论八、要素市场九、市场失效和公共选择生产函数一、生产函数的概述（一）生产函数的概念生产函数是生产过程中投入与其产出之间的一种函数关系。

即，一定时期内，在技术水平不变的情况下，投入生产要素的某种组合与其所能产出的最大产量之间的关系，一般可以写为Y=f(K,L,A,…)其中，Y—产出；K—资本；L—劳动力；A—技术。

（二）生产函数的特性1.生产函数：y=f（x1，x2，…，222211212222212() n n n n n y y y x x x x x y x x y y y x x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥∂⎢⎥=∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦xn ），递增的凹函数/0i y x ∂∂>凹函数：H= 为负定对称阵2.齐次性与规模报酬为了简便，常常假定只有资本和劳动力两种投入要素，那么生产函数变为),(L K f Y =规模报酬：又称规模收益，研究当要素量扩大相同倍数，产出量扩大的情况。

，固定规模收益：对所有t 0f（tx）=tf（x）都成立，生产函数是一阶齐次的。

规模收益递减：如果产出增加的比例小于各投入要素增加的比例，对所有t>1都有f（tx）<tf(x)规模收益递增：如果产出增加的比例大于各投入要素增加的比例，对所有t>1都有f（tx）>tf(x)在长期生产过程中，企业的规模报酬一般都会经过这样三个阶段的变化，即：规模报酬递增→规模报酬不变→规模报酬递减。

3.等产量曲线等产量曲线是指在技术水平不变的条件下生产同一产量的两种生产要素投入量的所有不同组合的点的轨迹。

以常数Q表示既定的产出水平，则相应的生产函数为Y=f(K,L)=Q等产量曲线具有三个特点：①平面内有无数条曲线，且离原点越远代表产量水平越高；②各曲线不相交；③各曲线凸向原点，即曲线上各点的斜率为负且斜率的绝对值逐渐减小。

K等成本线是在既定的成本和生产要素的价格下，生产者可以购买到的两种生产要素的各种不同数量组合的点的轨迹，用方程可以表示为：K L C γω+=。

其中，C —既定的成本支出；ω—既定的劳动价格（工资率）；γ—既定的资本价格（利息率）。

等成本线是一组平行的直线，斜率为γω-，最优的生产要素组合条件为：γω-=∆∆-L K 。

4.总产量、平均产量、边际产量和边际生产力一定的生产要素的投入量所带来的最大产出量称为总产量（记作TP ），),(L K f TP =；平均产量为总产量与所使用的生产要素投入量之比（记作AP ），L TP AP L =，K TP AP K =；边际产量为一种生产要素不变的情况下，另一种生产要素增加一单位，产出的增加量（记作MP ），L f L TP MP L ∂∂=∆∆=，Kf K TP MP K ∂∂=∆∆= 。

随着一种生产要素投入量的增加，产出一般也会增加，即边际生产力大于零，0≥∂∂=Lf MP L ，0≥∂∂=K f MP K 。

但持续增加某生产要素所带来的产量的增量是减少的，也就是边际生产力递减规律，022≤∂∂L f ，022≤∂∂K f 。

5.边际技术替代率技术替代率（TRS ）在维持产量不变的条件下，增加一单位某种生产要素投入量时所减少的另一生产要素的投入数量称为K ∆在n 种投入要素的情形中，技术的边际替代率是等产量面的斜率。

两种投入要素时，y=f （x1，x2），技术的边际替代率是等产量线的斜率。

当要素x1变动时，怎样调整x2，能保持产出为常数技术替代率推导：隐函数法：设x 2是x 1的函数，则两种要素的生产函数可写为：121(,())y f x x x =，两边对x 1求导：21121()()()0f x f x x x x x x ∂∂∂+⨯=∂∂∂，整理得：2111122()()/()/x x f x x M P x f x x M P ∂∂∂=-=-∂∂∂ 全微分法：对生产函数y=f （x 1，x 2）进行全微分得：1212()()0f x f x dy dx dx x x ∂∂=+=∂∂解得：要素技术替代率： 2112()/()/dx f x x dx f x x ∂∂=-∂∂劳动替代资本的边际技术替代率，记为L K MRTS LK ∆∆-=；资本替代劳动的边际技术替代率，记为K L MRTSKL ∆∆-=；最优的生产要素组合为γω=LK MRTS 。

由于在维持产量不变的情况下，增加一种投入要素所带来总产量的增量与减少一种投入要素所带来的总产量的减少量必定相等，所以有L K MP L MP K ⋅∆=⋅∆，K L MP MP L K =∆∆-。

同时也有 K L LK MP MP MRTS = ，即两种要素的边际技术替代率等于边际产量之比。

γω==K L LK MP MP MRTS 。

6.替代弹性技术替代弹性：等产量线的曲率。

技术替代弹性是在产出量不变时，要素比率变动的百分比除以技术替代率变动的百分比。

设21(/)x x∆是要素比率的变化，TRS∆是技术替代率的变化，替代弹性：2121 (/)/x x x x TRS TRSσ∆=∆。

说明等产量线斜率变化时，要素比率如何变化。

若等产量线斜率的小变化引起要素比率的大变化，则等产量线是相当平坦的，也说明替代弹性是大的。

市场经济中，往往一种生产要素价格的提高会带来该种生产要素投入数量的减少和与之相应的另一种生产要素投入数量的增加，从而引起生产要素之间的替代。

希克斯（J.R.Hicks ）于1963年提出工资率（ω）对利息率（γ）之比变化百分之一所带来的资本数量对劳动数量之比变动的百分之几来衡量资本与劳动之间的替代弹性，可表示为)ln()ln()ln()ln()()()()(K L MP MP d L K d d L K d d L K L K d ===ωγωγωσ 一般情况下，ω增加带来资本数量K 增加，所以上式中分子大于0；同时，ω增加带来劳动数量L 的减少，所以L MP 增加，从而分母大于0，因此替代弹性σ大于0。

当替代弹性σ=0时，即任何情况下L K /不变，要素之间不可替代。

当替代弹性σ=∞时，即任何情况下K L MP MP 不变，要素之间具有无限替代性。

7.产出弹性产出弹性是指产量对某一种生产要素变化的反应程度，是在其他生产要素不变时，某一种生产要素增长百分之一所引起的产出变化的百分之几。

用K E 表示资本的产出弹性，Y K K Y K K Y Y E K ⋅∂∂=∆∆=；L E 表示劳动的产出弹性，YL L Y L L Y Y E L ⋅∂∂=∆∆=。

(三)生产函数模型的发展1928年，Cobb 和 Douglas 建立了 Cobb —Douglas 生产函数，简称C —D 生产函数，也是目前应用较为广泛的生产函数，即，βαK AL Y =，（1=+βα）；1937年，Douglas 等建立了C —D 生产函数的改进型，即，βαK AL Y = ，（1≠+βα）；1957年，Solow 建立了C —D 生产函数的改进型，即，βαK L t A Y )(=；1961年，Arrow 等建立了具有不变替代弹性的CES(Constant elasticity of substitution)生产函数，ρρρδδvL K A Y ----+=))1(( ，由于该生产函数的许多优点，目前应用也较为广泛；1968年，Sato 和 Hoffman 建立了具有可变替代弹性的VES(Variable elasticity of substitution)生产函数；1973年，Christensen 和 Jorgenson 建立了超越对数生产函数。

二、具体的生产函数1.线性生产函数模型(Linear P.F.)L K Y 10ββα++= 由于边际技术替代率01ββ=∂∂∂∂==K Y L Y MP MP MRTS K L LK 为常数，所以 )ln()ln(K L MP MP d L K d =σ=∞，即要素之间具有无限替代性，也就是说在保持产量不变的情况下，一种生产要素可以被另一种生产要素完全替代。

2.固定投入比例生产函数（列昂惕夫生产函数）固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上，任何一对要素投入量之间的比例都是固定的。

该生产函数的一般形式为),min(v K u L Y其中，u ，v 分别表示单位产出的劳动投入量和资本投入量，他们是投入对产出的固定比例。

产出量Y 所需要的劳动投入量为L=uY ，所需要的资本投入量为K=vY ，两者之比u v L K //=为常数，即)/(L K d =0，也就是)l n ()l n (K L MP MP d L K d =σ=0，也就是在保持产量不变的情况下两种生产要素之间完全不可以替代。

该生产函数的等产量曲线是直角的（如下图），点A 和点B 分别代表生产产量1Q 和2Q 的最小组合。

1. 3. 柯布-道格拉斯LK 1 2 1K K 固定投入比例生产函数（Cobb-Dauglas ）生产函数(C —D 生产函数)（1）模型形式y=A 12x x αβ（2）模型特点1）技术替代率。

1121y aAx x x αβ-∂=∂，1122y Ax x x αββ-∂=∂212121//dx y x x dx y x x αβ∂∂=-=-⨯∂∂2）产出弹性参数βα,具有明确的经济意义。

根据要素的产出弹性定义，αααβαβα===⋅∂∂=-YK AL Y L K L A Y L L Y E L ...1ββββαβα===⋅∂∂=-YK AL Y K K L A Y K K Y E K ...1 即βα,分别为劳动和资本的产出弹性，10≤≤α，10≤≤β。

3）规模报酬齐次函数：f （tx ）=t k f(x):k 次齐次函数。

位似函数：一阶齐次单调递增函数。

C-D 函数具有βα+阶齐次性，且βα+决定规模报酬),()()(),(K L f K AL K L A K L f βαβαβαβαλλλλλλ++===α＋β>1, 称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。

α＋β<1, 称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。

α＋β＝1, 称为不变报酬型，该生产函数具有一阶齐次性,表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。

4）要素替代弹性1=σ根据L Y K AL L f MP L ααβα==∂∂=-1 和KY K AL K f MP K βββα==∂∂=-1 ， 有L K K Y L Y MP MP MRTS K L LK ....βαβα===，即1))ln()(ln()ln()ln()ln()()()()(=+===L K d L K d L K d L K d MP MP MP MP d L K L K d K L K L βαβασ由于C —D 生产函数的参数具有明确的经济意义，并且与要素之间具有无限替代弹性的线性生产函数和要素之间完全不可以替代的固定投入比例生产函数相比较，C —D 生产函数的替代弹性为1，更加贴近现实生活，所以该生产函数应用广泛。