八年级数学下册17勾股定理171勾股定理勾股定理的应用2导学案新人教版
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
人教版八年级数学下册17.1勾股定理优秀教学案例
2.自主探究：让学生通过观察、实验、推理等方法，发现并证明勾股定理。
3.合作交流：组织学生进行小组讨论，分享学习心得，培养合作精神。
4.巩固练习：设计有针对性的练习题，让学生在实践中掌握勾股定理。
5.课堂讨论：组织学生分享自己的解题心得，丰富数学思维。
3.引导学生认识数学在生活中的应用，提高他们运用数学解决实际问题的能力。
4.培养学生团队协作、沟通交流的能力，增强他们的社会责任感。
三、教学重点与难点
1.教学重点：勾股定理的定义及其证明方法，勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学难点：勾股定理的推导过程，运用勾股定理解决复杂直角三角形问题。
四、教学过程
2.生活实例：展示一些生活中常见的直角三角形现象，如建筑物、家具等，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高他们运用数学解决实际问题的意识。
3.提问引导：教师提问：“你们知道什么是勾股定理吗？”“勾股定理在我国古代是如何被发现的？”引发学生的思考和讨论。
（二）讲授新知
1.勾股定理的定义：引导学生通过观察、实验、推理等方法，发现并证明勾股定理。例如，可以让学生分组讨论，每组设计一个实验来验证勾股定理。
2.自主探究，培养能力：在讲授新知环节，我引导学生通过观察、实验、推理等方法，自主发现并证明勾股定理。这种自主探究的学习方式，培养了学生的数学思维能力，提高了他们的问题解决能力。
3.小组合作，增强合作精神：在学生小组讨论环节，我将学生分成若干小组，让他们选择一个证明方法进行讨论。这种小组合作的方式，既能够提高学生的团队合作能力，又能够促进学生之间的沟通交流。
1.激发学生兴趣：通过故事、图片等素材，引发学生对勾股定理的好奇心，激发他们学习数学的兴趣。
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
17.1.2 勾股定理的应用 利用勾股定理计算旗杆高度课件-2024-2025学年人教版初中数学八下
谢谢！！！
重点与难点
重点: 利用勾股定理列方程计算旗杆高度 难点:结合实际问题，构造相应的直角三
角形模型
1、完全平方公式：a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
2、勾股定理
如图1，在Rt△ABC中，如果a,b分别 为直角边长，c为斜边长，那么
A
a2 b2 c2
c b
17.1.2 勾股定理的应用
---利用勾股定理计算旗杆高度
学习目标
通过动手操作，模拟情境，学会将实际问题抽象成数 学问题来解决，提高分析问题，解决问题的能力；
通过小组合作活动探究出旗杆高度的一般表达式,体验 从特殊到一般的探究方法；
学会利用勾股定理列方程解决实际问题，体会方程思想， 培养应用意识。
有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小 孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.8 m，问这根铁 棒有多长？
解:设伸入油桶中的长度为x m,则.5 所以最长是2.5+0.8=3.3(m). 最短时, x=1.5
所以最短是1.5+0.8=2.3(m).
有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形； 在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这 根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边 的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
┐
解：设水深为x尺，则芦苇长为(x 1)尺 根据勾股定理可得
x2 52 (x 1)2 解得：x 12 则x 1 13 答：水深为12尺，芦苇长为13尺。
a
x+a
x
b
A
x+a x
BbC
旗杆高度的一般表达式
解：设旗杆长为x 米,则绳长为（x+a） 米，
人教版数学八年级下册17.1.2《勾股定理的应用》教案
3.数学抽象：理解勾股定理的数学表达，提高学生的数学抽象思维能力。
4.问题解决：培养学生遇到问题时能主动运用所学知识进行解决的能力，提高数学问题解决技巧。
5.数据分析：通过实际案例分析，使学生能够从数据中提炼信息，培养数据分析素养。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，小组讨论的环节也让我有所启发。学生们在讨论中表现出了很高的热情，能够积极发表自己的观点，但有时候讨论的主题偏离了课程内容。为了使讨论更加有效，我应该在设置讨论主题时更加明确，同时在讨论过程中加强对学生的引导，确保讨论的方向与课程目标相符。
还有一个值得注意的问题是，在课堂总结环节，部分学生提出了疑问，但我没有足够的时间一一解答。我意识到在以后的教学中，需要合理安时间，预留出更多的时间来解答学生的疑问，确保他们对所学知识的掌握。
最后，针对本节课的教学，我认为在以下几个方面进行改进：
1.增加课堂互动，让学生多参与，提高他们的学习兴趣和积极性。
2.加强对学生的个别辅导，关注他们的学习进度，及时发现并解决问题。
3.丰富教学手段，利用多媒体、实物等资源，使抽象的概念更加直观易懂。
4.注重培养学生的动手操作能力，让他们在实际操作中感受数学的魅力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用(教案)
关于学生小组讨论环节，我发现学生在讨论过程中能够提出自己的观点，并进行有效交流。但在引导与启发方面，我觉得自己还可以做得更好。未来，我将更多地运用开放性问题，激发学生的思考，帮助他们发现问题、分析问题和解决问题。
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用。本节课主要内容包括：
1.理解并掌握勾股定理的应用场景，如直角三角形中，了解斜边与两个直角边的关系。
2.学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度、判断一个三角形是否为直角三角形等。
5.培养学生数学运算的核心素养，让学生熟练掌握勾股定理，并能灵活运用到各种计算和证明过程中，提高运算的准确性和速度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理及其在直角三角形中的应用。
-重点讲解：
-勾股定理的表述：直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
-勾股定理的证明：通过几何图形或代数方法，证明勾股定理的正确性。
其次，理论讲解环节，我尽量用简洁明了的语言解释勾股定理的概念和证明过程。从学生的反应来看，大部分同学能够跟上我的讲解，但仍有少数同学在理解上存在困难。针对这个问题，我考虑在今后的教学中，可以通过增加互动提问环节，让学生在课堂上及时反馈疑问，以便我更好地关注到每个学生的学习情况。
在案例分析环节，我选取了建筑物直角三角形结构作为例子，旨在让学生了解勾股定理在实际问题中的应用。从学生的讨论来看，这个案例取得了较好的效果。但在今后的教学中，可以尝试引入更多类型的案例，让学生从不同角度理解勾股定理的应用。
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理》教学设计2
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理》教学设计2一. 教材分析《勾股定理》是八年级下册数学的重要内容，也是学生学习几何学的基石。
本节课的内容主要包括勾股定理的发现、证明和应用。
通过学习勾股定理，学生可以培养逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、勾股定理的初步知识等。
但部分学生对勾股定理的理解和应用还不够深入，需要通过本节课的教学来进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握勾股定理的内容、证明方法和应用。
2.过程与方法：培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的发现、证明和应用。
2.难点：勾股定理的证明和灵活运用。
五. 教学方法1.启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考和探究欲望。
2.案例教学：通过具体案例，让学生更好地理解和掌握勾股定理。
3.小组讨论：培养学生的团队合作意识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和图片，用于教学演示。
2.准备练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个有趣的数学故事引入本节课的主题，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍勾股定理的发现和证明，让学生了解勾股定理的背景和意义。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，运用勾股定理解决实际问题，培养学生的应用能力和团队合作意识。
4.巩固（10分钟）讲解练习题，巩固学生对勾股定理的理解和应用。
5.拓展（10分钟）引导学生思考勾股定理在其他领域的应用，培养学生的创新精神。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调勾股定理的重要性和应用价值。
7.家庭作业（5分钟）布置相关练习题，让学生课后巩固和提高。
8.板书（5分钟）整理本节课的主要内容和关键点，方便学生复习。
教学设计中，每个环节的时间分配如上所示。
人教版八下数学17.1 课时3 利用勾股定理作图或计算教案+学案
人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算教案【教学目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2．灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【教学难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学过程设计】一、情境导入[过渡语] 上一节课,我们学会了利用勾股定理解决生活中的实际问题.本节课我们将继续研究勾股定理的综合运用.我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?[设计意图] 在七年级时,学生只能找到数轴上的表示有理数的点,而对于表示像,这样的无理数的点却找不到.学习了勾股定理后,这样的问题就可以得到解决.由旧入新,开门见山导入新课.[过渡语]同学们,我们一起来欣赏一幅图片:这个美丽的图案是怎么画出来的呢?它依据的是什么数学知识?[设计意图] 以图案导入,在直观形象的图案欣赏中吸引了学生的注意力,加上巧妙设问,为新课的展开做好了铺垫.二、合作探究1.利用勾股定理证明HL定理[过渡语]让我们一起来探究下面的问题:在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?师生共同画图,写出已知、求证.引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等.已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.〔解析〕要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C',难以找到锐角对应相等,只有找第三边相等,发现可以根据勾股定理得到BC=,B'C'=,容易得到BC=B'C'.证明:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,根据勾股定理,得:BC=,B'C'=.又AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).2.利用勾股定理在数轴上表示无理数思路一[过渡语]下面我们回到导入一的问题,一起来看:我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?学生回忆以前的作法,并运用勾股定理计算,长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.学生尝试在数轴上找到表示的点.OB是以数轴的单位长度为边的正方形的对角线,以数轴的原点为圆心、OB长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是.小组交流讨论:找到长为的线段所在的直角三角形.教师可指导学生寻找长为,……这样的包含在直角三角形中的线段.逐步引导学生得出,由于在数轴上表示的点到原点的距离为,所以只需画出长为的线段即可.设c=,两直角边为a,b,根据勾股定理得a2+b2=c2,即a2+b2=13,若a,b为正整数,则13必须分解为两个平方数的和,即13=4+9,a2=4,b2=9,则a=2,b=3.所以长为的线段是直角边长为2,3的直角三角形的斜边.学生在数轴上画出表示的点.教师根据巡视情况指导步骤如下:(1)在数轴上找到点A,使OA=3;(2)作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2;(3)连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点.学生自由作图,教师适当指导.利用勾股定理作出长为,,……的线段,按照同样方法,在数轴上画出表示,,……的点.[设计意图]利用勾股定理和数轴上的点表示实数,将数与形进一步联系在一起,渗透数形结合思想,加深对勾股定理、数轴和实数的理解.思路二引导学生观察图案发现:图形由若干个直角三角形形成,是根据我们所学的勾股定理来完成的.最后教师总结画图的方法:先构造出直角边长为1的等腰直角三角形,并以前一个三角形的斜边及长度为1的线段为直角边,以此向外画直角三角形,就可以得到问题中的图案了.提问:我们知道是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边的长,可是在数轴如何表示出?如何表示出呢?学生根据观察的结果思考在数轴上如何表示出,.教师根据情况指点.追问:你能在数轴上找出表示的点吗?学生讨论:利用勾股定理把长为的线段看成一个直角三角形的斜边,那么两条直角边长分别是哪两个正整数?学生发现()2=22+32后,尝试作图,教师讲解,师生再共同完成.作法:在数轴上找到点A,使OA=3;过点A作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2,连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C 即为表示的点.[设计意图]通过观察感知,讨论分析,规范作图,一步紧扣一步,让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点.[知识拓展]在数轴上表示无理数时,将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中两条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.3.例题讲解(补充)如图所示,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.学生讨论:如何构造直角三角形?比较发现:可以连接AC,或延长AB,DC交于F,或延长AD,BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.解:延长AD,BC交于E,如图所示.∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==4.DE2=CE2-CD2=42-22=12,DE==2.∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB·BE- CD·DE=6.[解题策略]不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差.三、课堂小结师生共同回顾本节课所学主要内容:1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在直角三角形中,有时是直角边,有时是斜边.2.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理.【板书设计】17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算1．利用勾股定理证明HL定理2.利用勾股定理在数轴上表示无理数3.例题讲解例题．【教学反思】在课堂教学中注重数学与生活的联系,注重数学知识的应用,从学生认知规律和接受水平出发,循序渐进地引入新课,成功地引导学生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边,再按照尺规作图的要求,在数轴上找出表示无理数的点.由于学生尺规作图的能力较差,学生在确定了作图思路之后,却难以按照尺规作图的步骤完成作图.教师指导在数轴上找出表示无理数的点,示范作图步骤.教学中,根据学生的基础情况,适当进行复习,帮助学生解决学习中的困难.人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算学案【学习目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【学习重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【学习难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【自主学习】一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长.二、合作探究知识点1：勾股定理与数轴呢？(提示：可以构造直角三角形想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？3.13.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5为线段,形成如图所示的数学海螺.【典例探究】例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.【跟踪检测】1.如图，点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3D.5--2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A.2B.5 1C.10 1D.53.你能在数轴上画出表示17的点吗？知识点2：勾股定理与网格综合求线段长【典例探究】第1题图第2题图例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.【跟踪检测】1.如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为5的线段？2.如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为2,2,10.知识点3：勾股定理与图形的计算【典例探究】例4 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.【跟踪检测】1.如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD 的面积．三、知识梳理利用勾股定理作图或计算在数轴上表示出无理数的点利用勾股定理解决网格中的问题通常与网格求线段长或面积结合起来利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算通常用到方程思想四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.25BA2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位第1题图第2题图第3题图长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.4．边长分别为2cm和3cm的长方形的一条对角线长为_______cm．5．如果等腰直角三角形的斜边长为_______cm，那么这个三角形的面积是_______cm2．6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．7. 如图，A是数轴上一点，以OA为边长作正方形ABCO，以OB为半径作半圆交数轴于P1、P2两点．(1)当点A表示的数是1时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______；(2) 当点A表示的数是2时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______．8. 边长为3的正方形的一条对角线长是_______．9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．10. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.11.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了多少米?12.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5103a、、,求这个三角形的面积．王琼同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)求△ABC的面积；a a a(a＞0)，请利用图②的正方形网格（每(2)若△ABC三边的长分别为5,22,17个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图①图②13.如图所示,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A和点B,则点A表示的数是,点B表示的数是.14.如图所示,在Rt△AOB中,OB=1,AB=2,以原点O为圆心,OA为半径画弧,交数轴负半轴于点P,则点P表示的实数是.15.如图所示,4×4方格中每个小正方形的边长都为1.(1)直接写出图(1)中正方形ABCD的面积及边长;(2)在图(2)的4×4方格中,画一个面积为8的格点正方形(四个顶点都在方格的格点上),并把图(2)中的数轴补充完整,然后用圆规在数轴上表示实数.。
第十七章勾股定理(教案)2023-2024学年人教版数学八年级下册
6.增强学生的合作交流意识，通过小组讨论和合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通技巧。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的表述及其在直角三角形中的应用，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
b.通过实际案例和练习题，指导学生识别直角三角形的特征，强调在实际问题中如何定位直角三角形，并准确应用勾股定理。
c.对于勾股定理逆定理的理解，教师可以通过构造非直角三角形和直角三角形的对比，让学生通过观察和分析，总结出直角三角形的特性，从而掌握判断方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量旗杆的高度或者计算建筑物与地面的距离。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述及其计算方法。对于难点部分，如定理的证明，我会通过直观的图形演示和逐步的逻辑推理来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
17_1_2 勾股定理在实际生活中的应用(优质学案)
学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学八年级下册17.1.2 勾股定理在实际生活中的应用 导学案一、学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. 重点：熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题. 难点：熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题. 二、学习过程： 课前热身_______________________ ______________________ ______________________ _______________________ ______________________ ______________________如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1，求AC的长．学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典例解析例1 一个门框尺寸如图所示，一块长3m ，宽2.2m 的长方形薄木板能否从门框内穿过？为什么？【针对练习】有一根长125cm的木棒，要放入长、宽、高分别是40cm、30cm、120cm的木箱中（如图），能放进去吗？试通过计算说明理由．例2 如图，一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？【针对练习】如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点，已知∠BAC =60°，∠DAE =45°．点D 到地面的垂直距离DE =4米，求点A到墙壁BC 的距离．学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【总结提升】利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）_____________________________________________________； （2）_____________________________________________________； （3）_____________________________________________________； （4）_____________________________________________________.例3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5)，B(1,2)求A,B 两点间的距离.【针对练习】如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4).求这两点之间的距离.例4.如图，有两棵树，一棵树高AC 是10米，另一棵树高BD 是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B 点处，则小鸟至少要飞行多少米？学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例5.如图，甲乙两船同时从A 港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C 、B 两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？例6.有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处,问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m,高AB 是5m,π取3）?【针对练习】如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A 处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B 处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.达标检测1.如图，书架上放了四个文件夹，已知∠ACB =90°，AC=24cm ， BC=7cm ， 则AB 的长为( )A.20cmB.23cmC. 25cmD.√47cm学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.如图，一根12米高的电线杆CD 垂直于地面，在其两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点A, B(点A 、D 、B 在同一直线上)之间的距离是( ) A.13米 B.9米 C.10米 D.18米3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( ) A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米4.如图，长方体的长为3,宽为2，高为4，则从点A 1到C 点(沿着长方体表面)的最短距离是( )A.√41B.√53C.9D.3√55.如图是一个育苗棚，棚宽a=6m,棚高h=2.5m,棚长d=10m ，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为______m 2.学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6.如果将一根细长木棒放进长为3cm 、宽为2cm 、 高为6cm 的长方体有盖盒子中，那么细木棒最长可以是_____cm.7.暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游,按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再折向北走6km 处往东拐,仅走1km 就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为______km.8.如图，池塘边有两点A 、B ，点C 是与BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得CB=60m ，AC=20m.求A 、B 两点间的距离(结果取整数).9.如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA =15km，CB =10km，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A站多少千米处？学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）11.如图，有一个圆柱体，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的B 处的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π的值取3)12.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇．公路PQ 上距离O 点240m的A 处与铁路MN 的距离是120m．如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72km/h的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？学习笔记记录区___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ 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第十七章勾股定理
课型: 新授课上课时间：课时： 1
【学习目标】
a)了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。
b)了解利用拼图验证勾股定理的方法。
c)利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边的长。
【重点难点】
重点：探索和体验勾股定理。
难点：用拼图的方法验证勾股定理。
【授课时数】四课时
勾股定理的应用（2）
【学习目标】
1．能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题。
2．通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用。
【重点难点】
重点：运用勾股定理解决实际问题。
难点：勾股定理的灵活运用。
【授课时数】三课时
【导学过程】
一、自主学习
1．由于台风的影响，一棵树在地面上6米处折断，树顶落在离树干底部8米处，则这棵树在折断前（不包括树根）的高度是。
2．小民为准备新年元旦晚会，布置拉花时搬来了一架高为2.5米的梯子靠在墙上，已知梯子上端离地面2.4米,则梯子离墙角的距离为 .
3．如下图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥BC于点D，求CD的长。
二、合作探究
先自主探究教材“探究2”，然后合作交流，并完成教材上的问题。
三、课堂展示
四、感悟释疑
五、课堂小结
今天你有什么收获？与同伴交流一下。
六、达标测试
a)教材练习第2题。
b)如下图，图中三个正方形围成一个直角三角形，三个正方形的面积分别是S1、
三者之间的关系是。
3、某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的水平距离时2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
【课后反思】。