初中数学应用型综合问题专题讲解

初中数学应用型综合问题专题讲解
（第一讲）
教
案
吕亭中心学校张中新
2007年5月
教学目标
❖知识与技能
1、掌握代数应用型试题的分类与特点；
2、通过各种类型应用型问题的探索与练习，培养学生的创新意识与创新能力。

❖过程与方法
灵活运用所学的数学知识，针对生活中的问题，建立适当的数学模型，恰当选用转化思想、类比思想和数形结合等数学思想。

学会找知识与问题的结合点、解决问题的突破点，提高解题能力。

❖情感、态度、价值观
1、通过同学们熟悉的问题，激发学生进一步探求知识的激情。

感受到数学来源于生活。

2、在师生的共同活动中发展学生的探究意识和合作交流习惯。

教学重点与难点
❖教学重点：应用型问题的分析方法，注意数学知识与生活常识的联系，建立恰当的数学模型；
❖教学难点：怎样建立恰当的数学模型。

❖教学过程：
（幻灯片1）代数知识的应用
一、数与式的应用
二、方程（组）的应用
三、不等式（组）的应用
四、函数的应用
（幻灯片2）练习1：我国股市交易中，每买、卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时，全部卖出，该投资者实际赢利为（）
A、2000元
B、1925元
C、1835元
D、1910元
学生先思考练习，老师分析解答。

（幻灯片3）练习2. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4 －y4，因式分解的结果是(x－y) (x+y) (x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可)．
（幻灯片4）例1：某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其它商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元，请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？为什么？
分析：设此商场的投资为x 元，月初出售可获利两次分别为 15x%，(15%x+x)×10%
故月初出售可获利为
15x%+(15%x+x)×10%
月末出售可获利一次，为
30%x-700
（幻灯片5）解：设商场投资x 元，月初售，月末获利为y 1元，月末售，获利为y 2元
故y 1=15%x+(15%x+x) ×10%
=0.265x
y 2=30%x-700=0.3x-700
y 1-y 2=-0.035(x-20000)
y 1-y 2=-0.035(x-20000)
当x<20000时，y 1>y 2
当x=20000时，y 1=y 2
当x>20000时，y 1<y 2
答：当资金少于2万元时，月初出售获利多，当资金等于2万元时，月初、月末出售获利一样多，当资金多于2万元时，月末出售获利多。

（幻灯片6）总结：此题在比较的大小时，我选用的是比差法，同学们在做这一步时也可以借助一次函数的图象来完成。

（幻灯片7）例2：某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10%（相对于进价），另一台空调调价后售出则要亏本10%（相对于进价），而这两台空调调价后售价恰好相同，那么商场把这两台空调售出（ ）
A 、既不获利也不亏本
B 、可获利1%
C 、要亏本2%
D 、要亏本1%
（幻灯片8） 解：设甲、乙两台空调进价分别为x 元、y 元，售价为a 元，则由题意得
进价进价售价利润率分析-=:x x a -=%10y a y -=%101.1a
x =9
.0a y =
∴要亏本1%
答：应选D
（幻灯片9）例3：某城市平均每天生产垃圾700吨，由甲、乙两个处理厂处理。

已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，需费用495元。

（1）甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需几小时完成？
（2）如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不超过7３７0元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？
（幻灯片10）解(1)设甲、乙两厂同时处理垃圾，每天需
要x 小时，
解得x=7
答：甲乙两厂同时处理需7小时。

(2)设甲厂每天处理垃圾至少需要y 小时，则
55y ×55500+(700-55y)×45
495≤7370 y ≥6
答：甲厂每天处理垃圾至少需要６小时。

（幻灯片11）练习3.(05锦州) 九(3)班学生到阅览室读书，班长问老师要分成几个小组，老师风趣地说：
假如我把43本书分给各个小组,若每组8本,还有剩余;若每组9本,却又不够.你知道该分几个小组吗? 请你帮助班长分组 注意解题过程,不能光猜哟!
解:设分x 组:据题意有:
X 取整数, 所以应分为5组
（幻灯片11）例4.某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情的生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜例上市后市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如图甲，乙（注：9.01.129.01.1⨯=+=+∴a a a y x %101.09.01.129.01.122)(2-=-=⨯⨯-=++-a
a a y x y x a 700)4555(=+x 43943
8><x x 8
43943:<<x 解集为
甲，乙两图中的每个实心黑点对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本）生产成本6月份最低。

请根据图象提供的信息说明:
（幻灯片12）解：（1）3月份出售这种蔬菜每千克收益为1元
2）设图甲的函数的解析式为y 甲=kx+b
每千克收益为y 元，由图可知点(3,5),(6,3)在y=kx+b 的图象上 y 乙=a(x-h)2+k 的顶点为（6，1），又过点（3，4）
∴4=a(3-6)2+1
∴a=31 ∴y 乙
=3
1（x-6）2+1
∴y=y 甲-y 乙=-32x+7-3
1(x-6)-1 ∴y=-31(x-5)2+37 ∴当x=5时，y 有最大值，最大值为3
7 答：5月份出售这种蔬菜，每千克收益最大。

（幻灯片13）小 结
A 代数知识应用的类型:数与式的应用;方程(组)的应用;不等式(组)的应用;函数的应用。

B 应用型问题解决的方法：体验生活，了解一些生活常识，掌握问题中的基本原理，选择好数学模型，并运用模型解决问题。

C 应用型问题解决的关键：恰当的建立数学模型。

布置作业 ⎩⎨⎧+=+=∴b k b k 6335⎪⎩⎪⎨⎧=-=732b k 解得。