利用一元二次方程解决面积问题
17.5.1一元二次方程的应用(面积问题)
议探交流
1、对议
2、组议
1.例1中等量关系是什么？有几种列方程的方法？ 2.列一元二次方程解方程的一般步骤是什么？ 3.解决一元二次方程的应用题需要注意什么？
例1：某兴趣小组想制作一个无盖长方体纸盒，在长方形纸板的 四个角上截去四个大小相同的正方形，现有纸板长为40cm,宽 30cm，要求做成的无盖长方体盒子底面积为600cm2。同学们 想一想盒子的高是多少？
面积与数字问题
基本训练
如图，用长为18m的篱笆（实线部分），两面靠墙围成 矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该怎么设计?
解:设苗圃的一边长为xm,则另一边长为(18-x)m
由题意得：x(18 x) 81
化简得：x2 18x 81 0 (x9)2 0 x1 x2 9
例2：如图一个长方形鸡场，一边靠墙（墙的长度为 18m），另外三边用篱笆围成，篱笆总长为35m。 （1）当所围的面积为150m2，则长方形鸡场的长和宽分 别是多少？ （2）能够围成160m2的鸡场吗？
如图，一个长方形鸡场，一边靠墙（墙的长度为18m）， 墙对面有一个2m宽的门，另外三边（门除外）用篱笆 围成。篱笆总长为33m。 （1）当所围的面积为150m2，则长方形鸡场的长和宽分 别是多少？ （2）能够围成160m2的鸡场吗？
提示：截去的正方形的边长与盒子的高有什么 关系？
600cm2
40cm
30cm
一块长方形铁皮的长是宽的两倍，四个角各截去一个
正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的无盖长方体容
器，求这块铁皮的长和宽？
高
2xcm
长 xcm 宽
设：长方体的宽是 5(x-10)(2x-10)=500
列一元二次方程解有关面积问题
２ １．上 述 方 法 为 矩 形 面 积 的直 ４８ 接 表 示 方 法 ． 外 ， 图 还 可 将 三 另 此 条 小 路 进 行平 移 。将 阴影 部 分 的 矩 形 进 行平 移 得 如 下 几 何 图 形 ：
解
设道 路修 建 ｍ宽 ．
依题 意 ， （０ ）６ — ｘ ＝ ４ ８ 得 ４ （４ ２ ） ２ １ ．
・ ．
．
ｘ２
－
７ｘ ２ ＋７１ ＝Ｏ，
・
． ．
１ｌｘ＝ １ 舍 ） ＝ ，２７ （ ．
显然 空 白部 分 的长 和宽 分 别 为 （４ ） ６ 一 以及 （０ ）这 样 空 白 ４咄 ，
部 分 的 面 积 为 （４ ） （ ０ ｘ ， ６ 一 ・４ － ）
答 ： 路应 修建 １ 道 ｍ宽 ．
故 得方 程 （４ ２ ）４ － ）２ １． ６ —ｘ （０ ｘ＝ ４ ８
点缀 所 建 的 仓 库 只 有 三
如图所 示 ， 建一 个 面积为 １０ｍ 的仓 库 ， 库 的一边 要 ３ 仓
所 以 ６块
６ ２ ４－ ｘ
×
—
—
条边长为 二 ｍ 丝
．
３
三条 道路 ， 两条 纵 向 ，一条 横 向，并 且互相 垂直 ，把广 场 分成 大
－
—
面 积 总 和 为 ６×— ｘ ４ ０
２
：
３
小相等 的６ ，用来 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ草坪 ，如 图所 示． 草坪 的面积 ￣２ １ ｍ ， 块 要使 ４８
Ｕ 册
一
元二 次方 程
有 面积 问题
。
露
利用面积求线段的长度是一元二次方程的常见题型， 这
构造一元二次方程解决图形面积问题
构造一元二次方程解决图形面积问题天津 张琪列一元二方程解决面积问题是一元二次方程的实际应用中一个重点，也是中考的一个热点. 解题的关键是结合图形列出一元二次方程，从而解决问题.【课本原题】如图1，在一块长92 m 、宽60 m 的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为855的6个矩形小块，水渠应挖多宽？（北师大九年级上册教材P57复习题第15题）思路分析：设水渠的宽度为x m ，借助平移将水平的水渠移到矩形的上面，竖直的两条水渠平移到矩形的右边（如图2），可得空白部分为一个矩形，面积为6个原矩形小块的面积和，据此列方程求解.解答展示：设水渠的宽度为x m.根据题意，得（92-2x ）（60-x ）=885×6.解得x 1=105（不合题意，舍去），x 2=1.答：水渠的宽度为1 m.方法领悟：有些图形中涉及的基本图形比较分散，我们可以通过适当地平移将图形进行转化，可以方便我们求解． 变式1（2017•凉州区）如图3，某小区计划在一块长为32 m ，宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m 2．若设道路的宽为x m ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．（32-2x ）（20-x ）=570B ．32x+2×20x=32×20-570C ．（32-x ）（20-x ）=32×20-570D ．32x+2×20x-2x 2=570 解析：仿照上面的课本原题，通过平移后可知草坪的长为（32-2x ），宽为（20-x ），进而可知答案为A..变式2 如图4，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的41，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的61，求道路的宽． 解析：如图5，利用平移把不规则的图形转化为规则图形.设道路的宽为x 米，则AE =CH =x 米，EF =（20-4x ）米，HG =（12-4x ）米.根据题意，得x （12-4x ）+x （20-4x ）+16x2=16×20×12. 整理，得x 2+4x -5=0.解得x 1=l ，x 2=-5（舍去）．答：道路的宽为1米． 图5 FG H M E 图4。
24.4.1运用一元二次方程解决图形面积问题
利用一元二次方程解决图形问题
【例1】如图，某学校要在校园内墙边
的空地上建一个矩形的存车处，存车 处的一面靠墙（墙长22米），另外三 面用90米长的铁栅栏围起来．如果这 个存车处的面积为700平方米．求这 个矩形存车处的长和宽．
举一反三训练
1.〈2015，保定模拟〉在Rt△ABC中，∠B为直角，AB ＝6 cm，BC＝12 cm，动点P以每秒1 cm的速度匀速 自A点沿AB方向移动，同时点Q以每秒2 cm匀速自B 点沿BC方向移动，则( C )秒后△PQB的面积等于
员？
(1)设增长率为x， 根据题意，得10×(1＋x)2＝12.1，
解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)．
答：月平均增长率为10%. (2)6月份的投递任务为：12.1×(1＋0.1)＝13.31 (万件)． ∵13.31÷0.6≈22.18(名)，
∴现有的21名快递投递业务员不能完成任务，至少需
利润 ×100% 进价（或成本）
折扣数 ＝折扣后价格，如原价1 000元，打5.5折，现价550元． 10
谢谢
本题(2)属于典型的增长率问题，这类问题的等量关系 均为：原量×(1＋增长率)增长次数＝增加后的量，或原量
×(1－减少率)减少次数＝减少后的量．
举一反三训练
2．〈2015，湖南长沙〉现代互联网技术的广泛应用，催 生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型 “大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月 份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件． 现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公 司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快 递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
与一元二次方程有关的面积 问题(含答案)
1、如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路 (两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大 小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多 宽？ 解：设道路为x米宽，
由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=570， 整理得：x2﹣36x+35=0，
= 所以时，面积有最大值 但墙长15米,所观m能取的最大值为15米 当m=15时，鸡场面积最大为1515=225（平方面） （3）不能
理由：设围成的鸡场长为y米，则宽为 由题意得： 整理得： 解得均大于15米，不合题意 所以，围成的鸡场的面积不能达到250 m （本题也可以将鸡场面积表示出来，用配方法求出最大值是小于250 的，从而判断不能围成鸡场面积是250 m） （4）能， 理由：由（3）得 整理得 解得： 因为墙长为15米 所以y=5 当长为5米时，可围成的鸡场的面积能达到100 m 4、已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90，BC=7cm, AC= 5 cm,.点P从 点A开始沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿BC边向点 C以2cm/s的速度移动. （1）如果Q、P,分别从C、A,同时出发，那么几秒后，△PCQ的面积等 于4 m？ （2）如果Q、P,分别从C、A,同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于 5cm？ （3）在（1）中，△PCQ的面积能否等于7 m?说明理由 解：（1）设x秒后，△PCQ的面积等于4 m，由题意得： ，解得
Q B A C P
所以1秒后，△PCQ的面积等于4 m （2）设，y秒后 PQ的长度等于5cm 解得 所以，2秒后， PQ的长度等于5cm （3）在（1）中，若△PCQ的面积能否等于7 m，则 整理得： 原方程无解
一元二次方程应用题面积问题
一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。
别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。
比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。
在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。
那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。
2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。
3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。
3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。
那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。
你知道草坪的面积是 84 平方米。
我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。
首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。
根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。
简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。
因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。
从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。
因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。
这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。
3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。
一元二次方程应用 面积问题问题
实践收入 翻一翻，那么这两年中财政 收 入 的 平均年 增长率 应 是多少？翻二翻， 翻三翻呢？翻n翻呢？列 出方程即可
问题2： 某服装厂花1200元购进一批服 装，按40% 的利润定价，无人购买，决定 打折出售，但仍无人购买，结果又一次打 折才售完，经结算，这批服装共赢利280 元，若两次打折相同，每次打了几折？列 出方程即可
2.设体积为S，则S= (10-2x)2
3.折合成的长方体体积不随截去的正方 形的边长的增大而 增大，有最大值。
4.设体积为V，则V=x(10-2x)2
1、现有长方体塑料片一块，19cm, 宽15cm,给你锋利小刀一把，粘胶、 直尺、你能做一个底面积为77cm2 的无盖的长方体水槽吗？说说 你是 怎样做的？
D 1000(1+x)2=2500
2 某厂一月份的产值为10万元,第 一季度的总产值为70万元,设平均 每月的增长率为X,根据题意列出方 程是( C )
A 10(1-x) 2=70
B 10(1+x)+10(1+x)2=70
C 10+10(1+x)+10(1+x)2=70
D 10(1+x)2=70
例2、某药品经两次降价， 零售价为原来的一半。已知 两次降价的百分率一样，求 每次降价的百分率。（精确 到0.1℅）
C 1+2x=2
D (1+x)+2(1+x)2=4
例2，市场经济不仅让我们走上富裕之路， 而且让我们科学的经营方法，个体户张 某 原计划按600元每套销售一批西服，但 上市后销售不佳，为使资金正常运转， 减少库存积压，张某将这批西服连续两 次降价处理，调整价格到了384元，如两 次降价率相同，求每次降价率为多少？ 两次打折 标示多少折？
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如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点
P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点
Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果
P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形
APQCD的面积为64cm？
P
B
A
Q
D
C
课堂小结
审题
设未知数
利用一元二次方程解 决实际问题的步骤
宽都相等. 问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？
16m 解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
xm
12m
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解方程得 x1 = 4 , x2 = 24,
xm
将x =24 代入方程中不符合题意舍去
答：小路的宽为4m.
例2：如图所示,某幼儿园有一道长为16m的墙,计划 用32m长的围栏靠墙围成一个面积为120m2的矩形草 坪ABCD,求该矩形草坪BC边的长.
12m
小明设计：
如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通
过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.
你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
16m x
x
12m
即 x2 - 14x + 24 = 0. 解方程得 x1 = 2 , x2 = 12. 将x =12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为2m.
16m
A
D
草坪
B
C
快乐学习
几何与方程
如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三 条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面 积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽？
开启 智慧
运动与方程
某汽车在公路上行驶,它的路程s(m)和时间t(s)之 间的关系为:s=10t+3t2,那么行驶 200m需要多长 时间?
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
讲授新课
一 利用一元二次方程解决面积问题 例1：在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造上个花
园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16m
想一想，你会怎么 设计这片荒地？
看一看：下面几位同学的设计Hale Waihona Puke 法是否合理？列方程 解方程
检验方程
答
小亮设计： 如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.
问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？
解：设扇形半径为 xm, 根据题意得：
16m
12m
即 πx2 = 96.
解方程得 x1 =
, x2 =
答：扇形半径约为5.5m.
(舍去),
小颖设计： 如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的