当涂一中2018届高三第五次数学周考
2017-2018学年甘肃省高三(上)第五次月考数学试卷(理科)Word版含答案
2017-2018学年甘肃省高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，复数满足（1+i）z=1﹣i，则||=（）A．B．C．D．22．（5分）集合A={x|ln（x﹣l）＞0}，B={x|x2≤9}，则A∩B=（）A．（2，3）B．[2，3）C．（2，3] D．[2，3]3．（5分）设命题p：函数y=cos2x的最小正周期为；命题q：函数f（x）=sin（x+）的图象的一条对称轴是x=对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假4．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，在下列条件中，可得出α⊥β的是（）A．m⊥n，m⊥α，n∥βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m∥n，m∥α，n⊥β5．（5分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣的=1左、右焦点，P是双曲线上的一点，若|PF1|，|PF2|，|F1F2|构成公差为正数的等差数列，则△F1PF2的面积为（）A．24 B．22 C．18 D．126．（5分）已知sin（α﹣）=，则cos（）=（）A．﹣ B．C．﹣D．7．（5分）若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）8．（5分）过点（4，0）且斜率为﹣的直线交圆x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则•的值为（）A．6 B．8 C．D．49．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n是它的前n项和，若a1=2，S4=20，则S6=（）A．32 B．36 C．40 D．4210．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．11．（5分）实数x，y满足不等式组的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，1）C．（﹣1，1）D．12．（5分）设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解x i（i=1，2，3，4，5），则f（x1+x2+x3+x4+x5+2）=（）A．B．C．2 D．1二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是．14．（5分）已知抛物线 y2=8x的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为．15．（5分）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣3的等比数列a1+|a2|+a3+|a4|+a5= ．16．（5分）已知实数a，b满足2a+1+2b+1=4a+4b，则a+b的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；（2）BD⊥平面PAC．19．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．20．（12分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．21．（12分）设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4--1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．选修4--4：极坐标与参数方程选讲23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．选修4--5：不等式选讲24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．2017-2018学年甘肃省高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2016秋•鸡西期中）已知i为虚数单位，复数满足（1+i）z=1﹣i，则||=（）A．B．C．D．2【分析】利用复数的模的性质化简求解即可．【解答】解：因为||=|z|，（1+i）z=1﹣i，所以|1+i||z|=|1﹣i|，可得|z|=．则||=．故选：C．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）（2013•高陵县校级模拟）集合A={x|ln（x﹣l）＞0}，B={x|x2≤9}，则A∩B=（）A．（2，3）B．[2，3）C．（2，3] D．[2，3]【分析】集合A与B的公共元素构成集合A∩B，由此利用A={x|ln（x﹣l）＞0}={x|}={x|x＞2}，B={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，能求出A∩B．【解答】解：∵A={x|ln（x﹣l）＞0}={x|}={x|x＞2}，B={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，∴A∩B={x|2＜x≤3}=（2，3]．故选C．【点评】本题考查集合的交集的运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数的定义域的合理运用．3．（5分）（2015秋•柳州校级期末）设命题p：函数y=cos2x的最小正周期为；命题q：函数f（x）=sin （x+）的图象的一条对称轴是x=对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【分析】利用周期公式和对称轴公式计算两个函数的周期和对称轴，判断命题p，q的真假．【解答】解：函数y=cos2x的最小正周期为，所以命题p为假命题．f（）=sin=1，∴直线x=是f（x）的一条对称轴，即命题q为真命题．∴￢q为假，p∧q为假，p∨q为真．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，逻辑关系，属于基础题．4．（5分）（2013•绍兴一模）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，在下列条件中，可得出α⊥β的是（）A．m⊥n，m⊥α，n∥βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m∥n，m∥α，n⊥β【分析】根据面面垂直的判定定理分别进行判断即可．【解答】解：A．当m⊥n，m⊥α时，n∥α或n⊂α，若n∥β，则无法判断α⊥β成立，所以A错误．B．m∥n，m⊥α，则n⊥α，若n⊥β，所以α∥β，所以B错误．C．若m⊥n，m∥α，则n与α关系不确定，所以即使n∥β，则无法判断α⊥β成立，所以C错误．D．若n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m∥α，所以α⊥β，所以D正确．故选D．【点评】本题主要考查面面垂直的判断，利用空间直线和平面之间平行或垂直的性质是解决本题的关键．5．（5分）（2015秋•金凤区校级月考）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣的=1左、右焦点，P是双曲线上的一点，若|PF1|，|PF2|，|F1F2|构成公差为正数的等差数列，则△F1PF2的面积为（）A．24 B．22 C．18 D．12【分析】本题首先要根据双曲线的定义写出|PF1|，|PF2|所满足的条件，再根据|PF1|，|PF2|，|F1F2|依次成公差为正数的等差数列写出另一个等式，两式组成方程组，解出三角形三边的长度，问题转化为已知三边求面积的问题．【解答】解：∵|PF1|，|PF2|，|F1F2|依次成公差为正数的等差数列，∴2|PF2|=|PF1|+|F1F2|，∵|PF2|﹣|PF1|=2a，∴|PF2|=2（c﹣a）=8，|PF1|=2c﹣4a=6，|F1F2|=10，∴PF1⊥PF2，∴△F1PF2的面积==24，故选：A．【点评】本题是一个大型综合题，解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．6．（5分）（2016春•日喀则市校级期末）已知sin（α﹣）=，则cos（）=（）A．﹣ B．C．﹣D．【分析】运用﹣α、﹣α的诱导公式，计算即可得到．【解答】解：sin（α﹣）=，即为sin（﹣α）=﹣，即有sin[﹣（+α）]=﹣，即cos（）=﹣．故选A．【点评】本题考查三角函数的求值，考查三角函数的诱导公式的运用，考查运算能力，属于基础题．7．（5分）（2015春•沧州期末）若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）【分析】由题意和基本不等式可得x+2y的最小值，再由恒成立可得m的不等式，解不等式可得m范围．【解答】解：∵正实数x，y满足+=1，∴x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=8，当且仅当=即x=4且y=2时x+2y取最小值8，∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴8＞m2+2m，解关于m的不等式可得﹣4＜m＜2故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题．8．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）过点（4，0）且斜率为﹣的直线交圆x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则•的值为（）A．6 B．8 C．D．4【分析】直线方程为y=﹣（x﹣4），代入x2+y2﹣4x=0，可得x2﹣5x+4=0，求出AB，可得∠CAB=30°，利用向量的数量积公式，求出•的值．【解答】解：由题意，直线方程为y=﹣（x﹣4），代入x2+y2﹣4x=0，可得x2﹣5x+4=0，∴x=1或4，∴|AB|==2，∵圆的半径为2，∴∠CAB=30°，∴•=2=6，故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查向量的数量积公式，属于中档题．9．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）已知数列{a n}为等差数列，S n是它的前n项和，若a1=2，S4=20，则S6=（）A．32 B．36 C．40 D．42【分析】由等差数列的前n项和公式求出公差，由此能求出前6项和．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，S4=20，∴，解得d=2，∴S6=6×2+×2=42．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．10．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】利用全身心的渐近线方程，列出关系式，求解离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，可得=，可得，解得e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．11．（5分）（2012•河南模拟）实数x，y满足不等式组的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，1）C．（﹣1，1）D．【分析】确定不等式组表示的可行域，明确目标函数的几何意义，根据图形可得结论．【解答】解：不等式组表示的可行域如图，目标函数的几何意义是（x，y）与（﹣1，1）两点连线的斜率由（1，0）和（﹣1，1），可得斜率为=﹣直线x﹣y=0的斜率为1由图可知目标函数的取值范围为[﹣，1）故选A．【点评】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，确定不等式组表示的可行域，明确目标函数的几何意义是关键．12．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解x i（i=1，2，3，4，5），则f（x1+x2+x3+x4+x5+2）=（）A．B．C．2 D．1【分析】画出f（x）的图象，由图象可知，令f（x）=t，则t2+bt+c=0有两个不等的实数根，且其中一个为2，由于lg|x﹣2|的图象关于直线x=2对称，且其中一个解为2，即有x1+x2+x3+x4+x5=10，再由对数的运算性质即可得到答案．【解答】解：画出f（x）的图象，由于关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，令f（x）=t，则t2+bt+c=0有两个不等的实数根，且其中一个为2，画出直线y=m（m≠2），得到5个交点，其横坐标为x1，x2，x3，x4，x5，设x3=2，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5，由于y=lg|x﹣2|的图象关于直线x=2对称，则x1+x5=x2+x4=4，即有x1+x2+x3+x4+x5=10，则f（x1+x2+x3+x4+x5+2）=f（12）=lg10=1，故选：D【点评】本题考查分段函数及运用，考查函数的对称性，以及数形结合的思想方法，同时考查对数的运算，属于中档题．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是2+2．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，根据题意画出图形，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；所以，S△ABC=×2×2=2，S△PAC=S△PBC=××1=，S△PAB=×2×=；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+=2+2．故答案为：．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题14．（5分）（2013•扬州模拟）已知抛物线 y2=8x的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为．【分析】先确定抛物线的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）∵抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，∴a2+1=4，∴a=∴e==故答案为：【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线与双曲线的几何性质，属于基础题．15．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣3的等比数列a1+|a2|+a3+|a4|+a5= 121 ．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|+a5的值．【解答】解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣3的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣3）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣3，a3=9，a4=﹣27，a5=81，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+3+9+27+81=121．故答案是：121．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．16．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）已知实数a，b满足2a+1+2b+1=4a+4b，则a+b的取值范围是（﹣∞，2] ．【分析】由已知得（2a﹣1）2+（2b﹣1）2=2，借助圆的参数方程得到2a+2b=2+=2+2sin （），由此利用均值定理能求出a+b的取值范围．【解答】解：∵实数a，b满足2a+1+2b+1=4a+4b，∴2×2a+2×2b=（2a）2+（2b）2，∴（2a﹣1）2+（2b﹣1）2=2，∴，，∴2a+2b=2+=2+2sin（）．∴0＜2a+2b≤4，∴=，∴≤（）2=4=22．∴a+b≤2．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查代数和的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的参数方程和均值定理的合理运用．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17．（12分）（2016•商丘校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，从而cosBsinC=sinCsinB，由此能求出A+C的值．（2）由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，从而，当且仅当时“=”成立，由此能求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC因为在三角形中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C）所以sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC所以cosBsinC=sinCsinB因为C∈（0，π），sinC≠0，所以cosB=sinB即tanB=1，B∈（0，π）所以即．（2）由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，所以，所以即当且仅当a=c即时“=”成立，而，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题考查三角形两个内角和的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．18．（12分）（2016春•哈尔滨校级期末）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；（2）BD⊥平面PAC．【分析】（1）连接OE，根据三角形中位线定理，可得PA∥EO，进而根据线面平行的判定定理，得到PA∥平面BDE．（2）根据线面垂直的定义，可由PO⊥底面ABCD得到BD⊥PO，结合四边形ABCD是正方形及线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC【解答】证明（1）连接OE，在△CAP中，CO=OA，CE=EP，∴PA∥EO，又∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PO又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC∴BD⊥平面PAC【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键．19．（12分）（2015秋•淮安校级期末）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）利用抛物线y2=2px （p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4，根据抛物线的定义，可求t，p的值；（2）设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合，可求t的值，即可求出该定点P的坐标【解答】解：（1）由抛物线定义得，…（2分）所以抛物线方程为y2=4x，…（3分）代入点T（3，t），可解得．…（5分）（2）设直线AB的方程为x=my+n，，联立消元得：y2﹣4my﹣4n=0，则：y1+y2=4m，y1y2=﹣4n…（8分）由得：，所以：y1y2=﹣20或y1y2=4（舍去）即﹣4n=﹣20⇒n=5，所以直线AB的方程为x=my+5，所以直线AB过定点P（5，0）…（12分）【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．20．（12分）（2015•路南区校级模拟）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出．【解答】解：（1）由题意可得，解得．∴椭圆E的方程为．（2）有（1）可知：A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），则．则直线PA1的方程为，令y=0，得x N=；直线PA2的方程为，令y=0，得．由切割线定理可得：|OT|2=|OM||ON|===4，∴|OT|=2，即线段OT的长为定值2．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理是解题的关键．21．（12分）（2012•佛山一模）设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．【分析】（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数求出f′（1）=﹣1，得到切线方程．（2）当a≤0时，函数有零点；当a＞0时，极大值小于0，函数没有零点，由此可求实数a的取值范围．（3）由于f（x）有两个相异零点x1，x2，可知f（x1）=0，f（x2）=0，再原不等式x1•x2＞e2进一步整理得到，只要能证出上述不等式恒成立即可．【解答】解：在区间（0，+∞）上，．…（1分）（1）当a=2时，f′（1）=1﹣2=﹣1，则切线方程为y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0 …（3分）（2）①若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，∵f（1）=﹣a＞0，f（e a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）＜0，∴f（1）•f（e a）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点．…（6分）②若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．…（7分）③若a＞0，令f′（x）=0得：．在区间（0，）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；在区间（，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（）=．由于f（x）无零点，须使，解得：．故所求实数a的取值范围是（，+∞）．…（9分）（3）设x1＞x2＞0，∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2）原不等式x1•x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2⇔a（x1+x2）＞2⇔⇔令，则t＞1，于是⇔．…（12分）设函数，求导得：，故函数g（t）是（1，+∞）上的增函数，∴g（t）＞g（1）=0即不等式成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立．…（14分）【点评】本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，分类讨论的思想方法，属中档题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4--1：几何证明选讲22．（10分）（2016•丰城市校级二模）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（5分）（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）【点评】本题考查的知识点是切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键．选修4--4：极坐标与参数方程选讲23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．选修4--5：不等式选讲24．（2016•白山四模）设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（Ⅱ）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，当x时，f（x）≤4可化为3x﹣1+x+3≤4，解得；当x时，f（x）≤4可化为﹣3x+1+x+3≤4，解得．综上可得，原不等式的解集为{x|}，（Ⅱ）f（x）=|3x﹣1|+ax+3=函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．【点评】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，关键是去绝对值，需要分类讨论，属于基础题．。
2018年高三最新 高考复习广东省高三年级五校联考数学
广东省2018届高三年级五校联考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共50分）一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分） 把答案涂在答题卡上1．设x ，R y ∈，则0xy >是||||||y x y x +=+成立的 （ ） A ．充分条件，但不是必要条件； B ．必要条件，但不是充分条件； C ．充分且必要条件； D ．既不充分又不必要条件2．已知)2,1(=a ，)1,(x b =，且2+与-2平行，则=x （ ） A ．1； B ．2； C ．21； D 33．函数)4sin()4sin()(x x x f -+=ππ是 （ ）A ．周期为π2的奇函数；B ．周期为π2的偶函数；C ．周期为π的奇函数；D ．周期为π的偶函数4．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则xy= （ ） A ．―1； B ．2； C ．21； D ．―1或2 5．若}{n a 是各项为正的等比数列,且公比1≠q ,则)(41a a +与)(32a a +的大小关系是 （ ） A ．3241a a a a +>+； B ．3241a a a a +<+； C ．3241a a a a +=+； D ．不确定6．设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x M ，}112|{≥-=x x N ，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．}12|{<≤-x x ； B ．}22|{≤≤-x x ； C ．}21|{≤<x x ； D ．2|{<x x7．若21cos sin 1cos sin 1=-+++θθθθ，则θcos 的值等于 （ ）A ．53；B ．53-；C ．54；D ．54-8．若}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，083>+a a ，09<S ，则1S ，2S ，3S ，…，n S 中最小的是 （ ）A ．4S ；B ．5S ；C ．6S ；D ．S9．设)(x f 是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，)1(log )(21x x f -=，则)(x f 在)2,1(上 （ ）A ．是减函数，且0)(>x f ；B ．是增函数，且0)(>x f ；C ．是减函数，且0)(<x f ；D ．是增函数，且)(<x f10．在△ABC 中，︒>∠90C ，下列关系式中正确的是 （ ） A ．B A B A C sin sin cos cos sin +<+<；B ．B A B A C cos cos sin sin sin +<+<； C ．C B A B A sin sin sin cos cos <+<+；D ．B A C B A sin sin sin cos cos +<<+2018 届 高 三 年 级 五 校 联 考数学试卷第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）11．已知函数22()log (1)(0)f x x x =+≤，则1(2)f -将函数x x y co s sin +=的图象按向量),(k h （其中，2π<h ）平移后与1cos 2+=x y 的图象重合,则向量坐标=h ,=k13．已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，当(1,1)x ∈-时，均有1()2f x <，则实数a 的取值范围是14．设函数()sin()f x x ωϕ=+ )22,0(πϕπω<<->，给出下列四个论断：①它的周期为π；②在区间(,0)6π-上是增函数；③它的图象关于点(,0)3π成中心对称；④它的图象关于直线12x π=对称请以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出一个你认为正确的命题： （请用如下形式答题：①②⇒③④）三 解答题：（共6小题，共80分）15．（本小题满分12分）若A B C 是△ABC 的内角，cosB ＝21, sinC ＝53,求cosA 的值16．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足： ）（1 221+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n a a a a ，∈N n 求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式17 （本小题满分14分）已知函数：为常数，θθθθ,3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2R x x x x x f ∈-++++=（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值； （Ⅱ）3πθ=当时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合18 （本小题满分14分）设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中 （Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝214x+-,数列{n a }的前n 项和记为n S ,点n P (n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且11=a ， >n a（I ）求数列{n a }的通项公式; （II ）求证：∈++>N n n n S n ,1142（Ⅲ）数列{n b }的前n 项和为n T ，且满足：381622121--+=++n n a T a T n n nn设定1b 的值，使得数列{n b }是等差数列20 （本小题满分14分）若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式)2()]()([212121x x f x f x f +≤+成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的凸函数;（1）证明：定义在R 上的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 是凸函数； （2）对于（1）中的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f ，若3|)3(|,2|)2(|,1|)1(|≤≤≤f f f ,求|)4(|f 取得最大值时函数)(x f y =的解析式； （3）定义在R 上的任意凸函数*∈=N n m q p x f y 、、、),(,若n m q p q n m p +=+<<< ,且，证明：()()()(n f m f q f p f +≤+广东省2018届高三五校联合考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分），把答案涂在答题卡上1．（ A ）2．（ C ）3．（ D ）4．（ B ）5．（ A ） 6．（ C ）7．（ B ）8．（ B ）9．（ D ）10．（ B ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）11． 3- 12 ,4π-=k 1 13． 1[,1)(1,2⋃ 14． ①④⇒②③或 ①③⇒②④三 解答题：（共6小题，共74分）15．（本小题满分12分）若A B C 是△ABC 的内角，cosB ＝21, sinC ＝53,求cosA 的值解：∵ cosB ＝21, ∴sinB ＝23, 又sinC ＝53, cosC ＝±54, …………4分若cosC ＝－54, 则角C 是钝角,角B 为锐角,π－C 为锐角,而sin(π－C)＝53,sinB ＝23, 于是： sin(π－C)< sinB ……（5分） ∴ B >π－C, B ＋C>π,矛盾,∴ cosC ≠－54, …………7分 cosC ＝54,…………8分 π=++C B A故：cosA ＝－cos(B ＋C)＝－(cosBcosC －sinBsinC)＝10433-, …………12分 （说明：本题如果没有去掉cosC ＝54-，扣3分）16．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足： ）（1 221+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n a a a a ，∈N n 求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式16 解：⋅⋅⋅=,2,1,}{ n S n a n n 项和为前设数列 依题意得：+∈+=N n , 22n n a S …………2分 2211+=∴++n n a S)(2111n n n n n a a S S a -=-=∴+++ （n=1,2,…）…………5分++∈=∴N n ,21n n a a …………8分故数列{}n a 是等比数列 …………10分2 N n , 221-=∴∈+=+a a S n n ，又+-∈-=⨯-=N n a n n n ,2221 …………12分17 （本小题满分14分）已知函数：)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θθθx x x x f（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值；（Ⅱ）当θ=3π时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合17． 解：（Ⅰ）1)2(cos 2[3)2sin()(2-+++=θθx x x f ] ………………2分)2cos(3)2sin(θθ+++=x x ……（4分）= ))32sin(2)(()62cos(2πθπθ++=-+x x f x 或……………6分2 ,2max min =-=y y ………………8分（Ⅱ）由y =得：及3)62cos(2πθπθ=-+x 2162cos ,162cos 2,1)(≥+∴≥+⇒≥）（）（ππx x x f ……………………12分Z k k x k ∈+≤+≤-⇒,326232πππππ},124|{Z k k x k x x ∈+≤≤-∴ππππ的集合是所求…………14分18 （本小题满分14分）设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中 （Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数18．解：（Ⅰ）当时，1=a 1)(≤x f 111≤+-⇒x x ,化为012≤+-x ……（3分）,01>+⇒x 1->x 即：故，满足（Ⅰ）条件的集合为{}1->x x ……（5分）（Ⅱ）在区间),0(+∞上任取21,x x ，则1111)()(112212---+-=-x ax x ax x f x f ……（7分）)1)(1())(1(1212++-+=x x x x a ……（8分） 因12x x >故012>-x x ，又在),0(+∞上012>+x ,011>+x ……（10分）∴只有当01<+a 时，即1-<a 时才总有0)()(12<-x f x f , ……（12分）∴当1-<a 时,)(x f 在),0(+∞上是单调减函数 (14分)说明：本题若令0)()(12<-x f x f 求出1-<a ，没有考虑a 的充分性扣2分 19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝214x+-,数列{n a }的前n 项和记为n S ,点n P (n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且11=a ， >n a（I ）求数列{n a }的通项公式; （II ）求证：∈++>N n n n S n ,1142（Ⅲ）数列{n b }的前n 项和为n T ，且满足：381622121--+=++n n a T a T n n nn设定1b 的值，使得数列{n b }是等差数列19 解：（Ⅰ）由于y ＝214x+-∵点An(n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)∴11+-n a = f(n a )= 214na +- , 并且0>n a ……（2分）21141nn a a +=∴+ ， ),1(411221N n n a a nn ∈≥=-∴+∴数列{21na }为等差数列，并且首项为211a =1，公差为4 ……（4分）∴21na =1+4（n —1） ， ∴3412-=n a n∵ 0>n a ， ∴341-=n a n ……（5分）（II ）+∈-=N n n a n ，34123414341423422--+=-++>-=n n n n n a n ……（8分）+∈++=-+>-∑=∴N n n n n n S n ,1142)114(21341……（10分）（Ⅲ）由341-=n a n ，381622121--+=++n n a T a T n n nn得：)14)(34()14()341+-++=-+n n T n T n n n （134141+-=+⇒+n T n T nn ……（12分） =n c 令34-n T n，如果11=c ，此时11=b+∈=⨯-+=∴N n n n c n ，1)1(1 ……（13分） +∈-=-=N n n n n n T n ,34)34(2则： +∈-=⇒N n n b n ,89，此时，数列{n b }是等差数列 ……（14分）20 （本小题满分14分）若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式)2()]()([212121x x f x f x f +≤+成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的凸函数 ；（1）证明：定义在R 上的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 是凸函数； （2）对于（1）中的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f ，若3|)3(|,2|)2(|,1|)1(|≤≤≤f f f ,求|)4(|f 取得最大值时函数)(x f y =的解析式；（3）定义在R 上的任意凸函数*∈=N n m q p x f y 、、、),(,若n m q p q n m p +=+<<<且,，证明：()()()(n f m f q f p f +≤+20 证明：（1）任取x 1 x 2∈R,则2f(221x x +)－[f(x 1)+f(x 2)] =2[a(221x x +)2 + b 221x x ++c] －[a x 12+bx 1+c] － [a x 22+bx 2+c] =2a [(x 1+x 2)2－2(x 12+x 22)]= －2a(x 1－x 2)2 ……（2分） a<0 ∴2f(221x x +)－[f(x 1)+f(x 2)] ≥ 0 ∴)2()()([212121x x f x f x f +≤+ ∴由定义得 y = f(x)是R 上的凸函数 ……（4分）（2） ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=cb a fc b a f c b a f 39)3(24)2()1(解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-+-=+-=)3()2(3)1(3)3(23)2(4)1(25)3(21)2()1(21f f f c f f f b f f f a ……（5分）|f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)||f(1)| ≤1，|f(2)| ≤2,|f(3)| ≤3∴|f(4)| ≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)| ≤16 ……（6分）a<0时f(x)= ax 2+bx+c 开口向下，∴当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧-==-=3)3(2)2(1)1(f f f 时取等号，代入上式得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=12154c b a∴f(x)= －4x 2+15x －12 ……（8分）（3） p q m n R ∈且p<m<n<q不妨设m = p+i, 其中i *∈N p+q = m+n∴m －p = q －n = i由定义知，任意x 1 x 2∈R,有f(x 1)+f(x 2)≤ 2f(221x x +) ……（9分） 取x 1 = p x 2 = p+2则有f(p)+f(p+2) ≤ 2f(p+1) 变形得f(p) －f(p+1) ≤ f(p+1) － f(p+2) 同理有 f(p+1) －f(p+2) ≤ f(p+2) － f(p+3) f(p+2) －f(p+3) ≤ f(p+3) －f(p+4) f(p+4) －f(p+5) ≤ f(p+5) － f(p+6) … …f(p+k-2) － f(p+k －1) ≤ f(p+k －1) －f(p+k) 累加求和得：f(p)－f(p+k －1) ≤ f(p+1) －f(p+k)即 f(p)+ f(p+k) ≤ f(p+1)+ f(p+k －1) ……（11分） 递推i 次得f(p)+ f(p+k) ≤ f(p+1)+ f(p+k －1) ≤f(p+2)+f(p+k －2) ≤…≤ f(p+i)+f(p+k －i)∴ f(p)+ f(p+k)≤ f(p+i)+f(p+k －i)令p+k = q,得f(p)+f(q) ≤ f(p+i) + f(q －i) m －p = q －n = i∴f(p)+f(q) ≤f(m)+f(n) ……（14分）。
2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟(五)理
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）本试卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}12|{},02|{2+==<-=x y y N x x x M ，则=⋂N M （ ）A ．)2,0(B ．)2,1(C ．)1,0(D ．∅2.已知i 为虚数单位，复数iai i z ++=1)1(的虚部为2，则实数=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.函数x x y sin 22cos +=的最大值为（ ）A ．21B ．1C ．23 D ．2 4.如图，分别以C A ,为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．21B ．22-π C. 41 D ．42-π 5.已知O 为坐标原点，分别在双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 第一象限和第二象限的渐近线上取点N M ,，若MON ∠的正切值为34，则双曲线离心率为（ ） A ．55 B ．25 C. 45 D ．35 6.若点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥+3202y x x y y x ，则22)2(-+y x 的最小值为（ ）A ．552B ．55 C. 54 D ．51 7.按下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的x 的取值范围为（ ）A ．]4,3[-B ．]3,1[- C. ]9,3[- D ．]4,3[8.将函数)3cos(sin )(π+=x x x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 图象的一个对称中心是（ ）A ．)0,6(πB ．)0,3(π C. )43,6(-πD ．)43,3(-π9. )102()1(10101022101105x C x C x C x ++++ 展开式中，7x 项的系数是（ ）A ．50400B ．15300 C. 30030 D ．15001510.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）A ．425πB ．1625π C. 41125π D ．161125π 11.已知函数)(x f 是定义在R 内的奇函数，且满足)()2(x f x f =-，若在区间]1,0(上，x x f 1)(=，则=++++++)818()212()111(f f f （ ） A ．631 B ．1231 C. 635 D ．1235 12.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线l 交抛物线于点B A ,，若→→=FB AF λ，且)21,31(∈λ，则k 的取值范围是（ ） A ．)3,1( B ．)2,3( C. )22,2( D ．)22,3(第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
五校2018届高三第五次联考数学(文)试题含答案
2018—2018年度第五次五校联考数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知,a b R ∈，若3234bii a i--=+，则a b +等于 A.9- B.5 C.13 D. 92.已知集合{}()(){}0,1,2,3,4,|50,A B x x x m m Z ==+-<∈，若A B 有三个元素，则实数m 的值是A. -2B. 2C.-3D.33.已知向量()()2,2sin ,3cos ,1,sin 23a mb θθθ==-=，若//a b ，则实数m 的值为A. -4B. -2C. 2D. 44.某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[)[)[)[]80,82,82,84,84,86,,94,96，则样本的中位数在是单调函数的概率为A.第三组B. 第四组C. 第五组D. 第六组5.若在区间[]1,5-上任取一个数b ，则函数()()1xf x x b e =--在()3,+∞内A.12 B.13 C.23 D.256. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶为A,过F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于B,C 两点，若ABC ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为7. 我国古代数学名著《九章算术》有这样的问题“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢，各穿几何？”意思是“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠相向打洞窗墙.大老鼠第一天打洞1 尺，小老鼠第一天也打洞1尺.以后大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍，小老鼠每天穿墙尺数是前一天的12，问大、小老鼠几天后相遇？”若将题中条件“墙厚5尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍”分别改为“墙厚10尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的32”，问在第几天会出现“大鼠穿墙总尺数是小鼠穿墙总尺数的4倍”情况 A. 3 B. 4 C. 5 D. 68.执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的是 A. ()2,4a ∀∈，输出i 的值为5 B. ()4,5a ∃∈，输出i 的值为5 C. ()3,4a ∀∈，输出i 的值为5 D. ()2,4a ∃∈，输出i 的值为59.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为 A.13π B. 16π C.17π D.21π 10. 将函数()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位得到()g x 的图象，记函数()g x 在区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内的最大值为t M ,最小值为t m ，设函数()t t h t M m =-，若,42t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()h t 的最小值为1 B. 2111. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A,且被直线2px =MA ，若2MA AF=，则AF 等于A.1B. 2C. 3D.412.设{}min ,m n 表示,m n 二者中较小的一个，已知函数()2814,f x x x =++()()221min ,log 4,02x g x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，若[]()()125,4,0,x a a x ∀∈-≥-∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为A. -4B. -3C. -2D.0第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等差数列{}n a 中，若352588,18a a a a a +=++=，则1a = .14. 若实数,x y 满足不等式组20240250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，且()()321x a y -++的最大值为5，则a = .15.已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 是减函数，则不等式()()22log 23log 3f x f ->⎡⎤⎣⎦的解集为 .16.在长方体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD13,AA E =是1AA 的中点，过1C 作1C F ⊥平面BDE 与平面11ABB A 交于点F ，则1AFAA = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos 3.ac B bc A b -=（1）求sin sin AB的值； （2）若C角为锐角，3c C ==，求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分为正整数，满分100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布直方表（如图所示），解决下面问题.（1）求,a b 出的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.19.（本题满分12分）如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，//,//,,AB DC PE DC AD DC PD ⊥⊥平面ABCD ，2,AB PD DA PE F ===是CE 的中点.（1）求证：//BF 平面ADP ；（2）已知O 是BD 的中点，求证：BD ⊥平面AOF .20.（本题满分12分）已知()()12,0,,0F c F c -分别是椭圆()2222:103x y G b a a b+=<<<的左、右焦点，点(是椭圆G 上一点，且12.PF PFa -=.（1）求椭圆G 的方程；（2设直线l 与椭圆G 相交于A,B 两点，若OA OB ⊥，其中O 是坐标原点，判断O 到直线l 的距离是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.（本题满分12分） 已知函数()()()212221ln .2f x x a x a x =-+++ （1）若曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线的斜率小于0，求()f x 的单调区间； （2）对任意的35,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()()g x f x x λ=-在区间[]1,2上是增函数，求λ的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
当涂县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
当涂县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3=a 4﹣2，3S 2=a 3﹣2，则公比q=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62． 若函数y=|x|（1﹣x ）在区间A 上是增函数，那么区间A 最大为（ ）A ．（﹣∞，0） B．C ．[0，+∞） D．3． 设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤≤C. {}2,1,1,2--D. {}1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题． 4． 已知F 1、F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1，）B．（，+∞） C．（，2）D ．（2，+∞）5． 设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若b ⊂α，c ∥α，则b ∥cB ．若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β C ．若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α D ．若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6． 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ．2 B．C．D ．47． 过抛物线y=x 2上的点的切线的倾斜角（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°8． 已知二次曲线+=1，则当m ∈[﹣2，﹣1]时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[，]B ．[，]C ．[，]D ．[，]9． 某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即()2~100,X N a （0a >），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ） （A ） 400 （ B ） 500 （C ） 600 （D ） 800班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[] B[]C[]D[] 11．已知直线l 1 经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（ ） A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直 12．设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y轴上，则的值为（ ） A． B．C．D．二、填空题13．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{}的前10项的和为 ．14．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________．15．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.16．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ．17．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是 ．18．设α为锐角，若sin （α﹣）=，则cos2α= ．三、解答题19．如图，椭圆C 1：的离心率为，x 轴被曲线C 2：y=x 2﹣b 截得的线段长等于椭圆C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过点M 的两条互相垂直的直线l 1，l 2分别交抛物线于A 、B 两点，交椭圆于D 、E 两点， （Ⅰ）求C 1、C 2的方程；（Ⅱ）记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1、S 2，若，求直线AB 的方程．20．已知圆C 的圆心在射线3x ﹣y=0（x ≥0）上，与直线x=4相切，且被直线3x+4y+10=0截得的弦长为．（Ⅰ） 求圆C 的方程；（Ⅱ） 点A （1，1），B （﹣2，0），点P 在圆C 上运动，求|PA|2+|PB|2的最大值．21．已知数列{}n a 的前项和公式为2230n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求n S 的最小值及对应的值.22．已知cos （+θ）=﹣，＜θ＜，求的值．23．根据下列条件求方程．（1）若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，求抛物线的准线方程（2）已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆+=1有相同的焦点，求此双曲线标准方程．24．（本小题满分12分）已知点()()(),0,0,4,4A a B b a b >>,直线AB 与圆22:4430M x y x y +--+=相交于,C D 两点, 且2CD =,求.（1）()()44a b --的值； （2）线段AB 中点P 的轨迹方程； （3）ADP ∆的面积的最小值.当涂县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】B【解析】解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，3S 3=a 4﹣2，3S 2=a 3﹣2， 两式相减得 3a 3=a 4﹣a 3， a 4=4a 3， ∴公比q=4． 故选：B ．2． 【答案】B【解析】解：y=|x|（1﹣x ）=，再结合二次函数图象可知函数y=|x|（1﹣x ）的单调递增区间是：． 故选：B ．3． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及||2x ≤，得22x -≤≤，则{}|22A x x =-≤≤，所以{}1,2A B =，故选D.4． 【答案】D【解析】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x ，不妨设过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x ﹣c ），与y=﹣x 联立，可得交点M （，﹣），∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 2|，即有＞c 2，∴b 2＞3a 2，∴c 2﹣a 2＞3a 2，即c ＞2a ．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．5． 【答案】D【解析】解：对于A ，设正方体的上底面为α，下底面为β，直线c 是平面β内一条直线 因为α∥β，c ⊂β，可得c ∥α，而正方体上底面为α内的任意直线b 不一定与直线c 平行 故b ⊂α，c ∥α，不能推出b ∥c ．得A 项不正确；对于B ，因为α⊥β，设α∩β=b ，若直线c ∥b ，则满足c ∥α，α⊥β， 但此时直线c ⊂β或c ∥β，推不出c ⊥β，故B 项不正确； 对于C ，当b ⊂α，c ⊄α且b ∥c 时，可推出c ∥α． 但是条件中缺少“c ⊄α”这一条，故C 项不正确；对于D ，因为c ∥α，设经过c 的平面γ交平面α于b ，则有c ∥b 结合c ⊥β得b ⊥β，由b ⊂α可得α⊥β，故D 项是真命题 故选：D【点评】本题给出空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．6． 【答案】 C【解析】解：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|MF 1|=r 1，|MF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2∵∠F 1MF 2=，∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos ，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2，即=﹣1，②在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2，即=1﹣，③联立②③得，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，即（+）2≤×4=，即+≤，当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．故选C．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．7．【答案】B【解析】解：y=x2的导数为y′=2x，在点的切线的斜率为k=2×=1，设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），由k=tanα=1，解得α=45°．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．8．【答案】C【解析】解：由当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线为双曲线，双曲线+=1即为﹣=1，且a2=4，b2=﹣m，则c2=4﹣m，即有，故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的范围，属于基础题．9．【答案】A【解析】P（X≤90）＝P（X≥110）＝110，P（90≤X≤110）＝1－15＝45，P（100≤X≤110）＝25，1000×25＝400. 故选A.10．【答案】B【解析】当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。
高三数学-2018学年上学期高三五校联考数学参考答案 精品
2018学年上学期高三五校联考数学参考答案一．选择题1D ，2D ，3C ，4B ，5A ，6D ，7A ，8B ，9C ，10A二．填空题 11.π23； 12.π34； 13． 22;0=-y x （第一个空2分，第二个空3分）； 14.1000三．解答题15．解：（1）设两班交换的都是油画，则此时甲班恰有2幅油画为事件A 1，若两班交换的是素描，则此时甲班恰有2个幅油画为事件A 2，则：1122111451()5C C P A C C == ……. 2分 1123211453()10C C P A C C == ……. 4分 故甲班恰有2幅油画的概率为: 12131()()5102P A P A +=+=………. 6分 （2）设甲班拥有的油画作品为ξ, 则ξ的所有可能取值分别为1,2,3 其中, 3(1)10P ξ== , 1(2)2P ξ== , 1(3)5P ξ== …… 9分 ∴ ξ分布列为：…… 11分 ∴ ξ的期望为：31119123102510⨯+⨯+⨯= …… 13分2018学年上学期高三五校联考数学参考答案第1页共6页16．解（Ⅰ）在平面BCC 1B 1中，延长B 1E 交BC 于M ，作CT 垂直B 1M 于T ，连结DT ， ∵DC ⊥平面BCC 1B 1，∴DT ⊥B 1M∴∠DTC 就是二面角D —B 1E —B 的平面角 ……3分∵△CTE ∽△B 1C 1E ， ∴,111EB C B CECT =又B 1C 1=2a ，CE=a ，B 1E=a 5，∴CT=52111a EB CEC B =⋅∵CT ⊂平面BCC 1B 1， ∴DC ⊥CT ……6分 在Rt △DCT 中，tan ∠DTC=5=CTDC∴二面角D —B 1E —B 的大小为5arctan ……8分（Ⅱ）∵E 为CC 1的中点， ∴△CME ≌△C 1B 1E ∴CM=B 1C 1=AD ……10分 又CM//AD ， ∴ACMD 为平行四边形∴AC//DM ，且DM ⊂平面DB 1E ， 而AC ⊄平面DB 1E ， ∴AC//平面DB 1E ……13分17.解：（Ⅰ）45,14323241==+=+a a a a a a344,9,5032-=∴===∴>n a d a a d n …… 4分 n n s n -=22 …… 5分 （Ⅱ）cn n n c n s b n n +-=+=)12( 若{}n b 为等差数列 210-=∴≠c c此时n b n 2= …… 9分 （Ⅲ）361262512526)22)(25(2)(2≤++=++=++=nn n n nn n n n f当且仅当n=5时取等号 …… 13分2018学年上学期高三五校联考数学参考答案第2页共6页18.解（1）（方法一）设N （x ，y ），∵PM PN+=0，即P 是MN 的中点，∴M （－x ，0），P （0，2y）， …… 2分∵PF PM ⋅=0，∴PM ⊥PF ， …… 4分∴ayx y -⋅22=－1， ∴y 2=4ax 即为所求. …… 6分（方法二）设N （x ，y ），M （x 0，0），P （0，y 0） 则).,(),,(),,(0000y y x PN y a PF y x PM-=-=-=…… 2分由PM ·=0，得ax 0+y 02=0，①由PN +PM =0，得（x +x 0，y －2y 0）=0，…… 4分即⎩⎨⎧=-=+,02,000y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=,2,00y y x x代入①得，y 2=4ax 即为所求. 6分 （2）设l 的方程为y =k （x －a ），由⎩⎨⎧-==),(,42a x k y ax y 消去x ，得y 2－k a 4y －4a 2=0，…… 8分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1y 2=－4a 2， …… 9分KA =（x 1+a ，y 1），KB =（x 2+a ，y 2）， …… 10分KA ·KB =（x 1+a ）（x 2+a ）+y 1y 2=x 1x 2+a （x 1+x 2）+a 2+y 1y 2 =)44()4(222122221ay a y a a y y +⋅++a 2－4a 2 =41（y 12+y 22）－2a 2>41（2|y 1y 2|）－2a 22018学年上学期高三五校联考数学参考答案第3页共6页=21×4a 2－2a 2=0， ∴cos θ||||KB KA KB KA >0， ∴0<θ<2π.…… 13分19. 解：是R 上的奇函数10分列出表格又2018学年上学期高三五校联考数学参考答案第4页共6页20. 解：（1）由题意知：……2分2018学年上学期高三五校联考数学参考答案第5页共6页2018学年上学期高三五校联考数学参考答案第6页共6页。
2018届安徽省高三理科数学“五校”联考试题解析版
2018届安徽省高三理科数学“五校”联考试题解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|1},{|20}A x x B x x x =>=--<，则A B = （ ） A ．{|12}x x -<< B ．{|1}x x >- C ．{|11}x x -<< D ．{|12}x x << 答案：D2. 函数()ln(1)f x x =-的大致图象是（ ）答案：A3. 已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若85S S =，则10a =（ ） A ．6- B ．3- C ．3 D ．0 答案：C4.已知函数()2sin cos sin ,0f x wx wx wx w =+⋅≠，则“1w =”是“函数()f x 的最小正周期为π”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充要不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：B5. 函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，若()11f =，则满足(2)1f x -≤的x 的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．[1,1]-C ．[2,2]-D ．[0,4] 答案：A6. 为了得到函数22cos ()4y x π=+的图象，只需把函数sin 2y x =-的图象上所有的点（ ）A ．向右平移移动4π个单位B ．向左平移移动4π个单位C ．向上平行移动1个单位D ．向下平行移动1个单位 答案：C7. 已知非零向量,,a b c 满足0a b c ++= ，向量,a b 的夹角为0150a 与b的夹角为（ ）A ．060B ．090C ．0120D ．0150 答案：B8. 若函数()2ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,2)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．33(,)24-B ．1[,3)2C ．3(,3)2-D ．13[,)24答案：D9. 若函数()(),f x g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()(),f x g x 为区间[1,1]-上的一组正交函数，给出三组函数①()()11sin ,cos 44f x xg x x ==；②()()1,1f x x g x x =+=-；③()()22,0,,0x x f x g x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，其中为区间[1,1]-上的正交函数的组数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B10. 已知正项等比数列{}()n a n N +∈满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 14a =，则15m n+的最小值为（ ）A ．2B ．1+C ．74D ．114答案：C11. 已知()y f x =为(,0)-∞上的可导函数，()f x '为()y f x =的导函数且有()()f x f x x'>-，则对任意的,(,0)a b ∈-∞，当a b >时，有（ ）A ．()()af a bf b <B ．()()af a bf b >C ．()()af b bf a <D ．()()af b bf a > 答案：A12. 已知函数()221(),22(2),2416x x f x m mx x x -⎧<⎪⎪=≥⎨⎪≥⎪+⎩，若对任意1[2,)x ∈+∞，总存在2(,2)x ∈-∞使得12()()f x f x =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,4 B ．[3,4) C ．[3,4] D ．[2,4) 答案：D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)A B C D ---，则向量AB 在CD方向上的投影为 ．答案：14.已知变量,x y 满足约束条件203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则64x y x +--的最大值是 ．答案：13715.若函数()ln f x x ax =+的图象上存在与直线310x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(,3)-∞16.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin(),01421()1,14x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程()()25[](56)60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．答案：5(0,1){}4三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知是等比数列{}n a ，公比1q >，前n 项和为n S ，且3427,42S a a ==，数列{}n b 满足：1211log n b n a +=+ .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}1n n b b +的前n 项和为n T ，求证：1132n T ≤<.解：（1）331112341(1)771(1)222244S a q a a q q a q a a q ⎧-⎧⎧===⎪⎪⎪-⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪==⎩=⎩⎩，所以122212111122,2log log 221n n n n n n a b n a n n ---+=⨯====++-. （2）设11111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+，1211111111(1)(1)23352121221n n T c c c n n n =+++=-+-++-=--++ ， 因为1n n T T +<，所以11132n T T =≤<.18. 已知函数()2cos cos f x x x x a =++ . （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为1 ，求a 的值.解：（1）()1cos 212sin(2)262x f x x a x a π+=++=+++，所以最小正周期T π=， 由222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故函数()f x 的单调递增区间是[,],36k k k Z ππππ-++∈. （2）因为63x ππ-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤， 所以1sin(2)126x π-≤+≤，因为函数()f x 在[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为111(1)()1222a a +++-++=，所以14a =-.19.已知,,,ABC a b c ∆分别为角,,A B C 的对边，它的外接圆的半径为(R R 为常数），并且满足等式222(sin sin ))sin R C A b B -=-成立. （1）求A ；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.解：（1）由222(sin sin ))sin R C A b B -=-， 所以2224(sin sin )2)sin R C A R b B -=-，由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，代入222c a b -=-，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-==，所以4A π=. （2）由（1）知， 34B C π+=,所以22213sin sin sin sin sin()sin(2)2442R S bc A B C B B B ππ====-=-+,当且仅当38B C π==时，2max S R =.20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设(3)n n c n b =-，求数列的前n 项和为n T .解：（1）11()2n n a -=；（2）由111()2n n n b b -+-=，则101212131121111112()()()()()()31222212n n n n n n b b b b b b b b -----=+-+-++-=+++==-- ， 因为11b =成立，所以2132n n b -=-、（3）由已知21()2n n c n -=，则1021111()2()()222n n T n --=⨯+⨯++⨯ ，01111111()2()()2222n n T n -=⨯+⨯++⨯ ， 两式相减得1021211111111()()()()4()()2222222n n n n n T n n -----=+++-=-- ，所以3221288222n n n n n n T ---+=--=-.21.已知函数()()ln ,f x x a x a R =-∈ . （1）当0a =时，求函数()f x 的极小值；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. 解：（1）定义域为(0,)+∞，当0a =时，()()ln ln 1f x x x f x x '=⇒=+，令()0f x '=，得1x e=，当1(0,)x e ∈时，()()0,f x f x '<为减函数；当1(,)x e∈+∞时，()()0,f x f x '>为增函数，所以函数()f x 的极小值是11()f e e =-.（2）由已知得()ln x af x x x-'=+，因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 由()0f x '≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 设()ln g x x x x =+，要使得ln x x x a +≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，只要()min a g x ≤， 因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=，得21x e=， 当21(0,)x e ∈时，()()0,g x g x '<为减函数；当21(,)x e∈+∞时，()()0,g x g x '>为增函数， 所以()g x 的最小值为2211()g e e=-.故函数()f x 在(0,)+∞是增函数，实数a 的取值范围是21(,]e-∞-.22.已知函数()()ln ,(1)1x xf xg x a x x ==-+ .（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象恰好相切与点(1,0)P ，求实数a 的值； （2）当[1,)x ∈+∞时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：214ln(21)()41ni in n N i +=+≤∈-∑. 解：（1）12a =； （2）令()()()ln (1)1x xF x f x g x a x x =-=--+， 则()21ln (1)x xF x a x ++'=-+，因为()0F x =，所以()0F x ≤在[1,)+∞恒成立的必要条件为()0F x '≤，即204a -≤，所以12a ≥， 又当12a ≥时，()()ln ln 1(1)(1)112x x x x F x a x x h x x x =--≤--=++，()22222ln (1)2(1)x x x h x x ++-+'=+，令()2222ln (1)x x x x ϕ=++-+， 则()22(1)0x x x ϕ-'=≤，即()()10x ϕϕ≤=，所以()h x 在[1,)+∞递减， 所以()()10h x h ≤=，即()()0F x h x ≤≤， 所以()0F x ≤在[1,)+∞恒成立的充分条件为12a ≥，综上可得12a ≥. （3）设ln(21)n S n =+为{}n a 的前n 项和，则21ln 21n n a n +=-， 要证不等式，只需证：2214ln 2141n nn n +≤--， 由（2）知，12a =时，()()f x g x ≤，即21ln (1)2x x x ≤-（当且仅当1x =时取等号）， 令21121n x n +=>-，则22121121ln [()1]2121221n n n n n n +++≤----，即2212118ln 21212(21)n n n n n n ++≤---，即2214ln 2141n nn n +≤--， 从而原不等式得证.。
高三数学-2018年高三第五次间周考数学试卷(理复用) 精
2018-2018年高三第五次间周考数学试卷(理复用)这里是我们的战场，请记住：坚持就是成功，坚持就是胜利！心态影响行动，行动养成习惯，习惯成就个性，个性决定命运！ 一．选择题：每小题5分，共60分．1．已知i 为虚数单位，则2212211i i i i +-⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭A ．－3+4iB. 0C.－4+3iD.－4－3i2．节假日时，国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信问候的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别是8，15，14，3（人），通常情况下，小李应收到同事问候的信息条数为A ．27B ．37C ．38D ．８3．已知20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，其中,,a b c 是非零向量，且a 与b 不共线，则方程 A. 可能有无数个实数解 B. 至多有两个实数解 C. 至少有一个实数解D. 至多有一个实数解4．曲线f (x )=x 3－2在P 0点处的切线平行于直线y =3x －1,则P 0点的坐标为A.(1，0)B.(2，8)C.(1，－1)和(－1，－3)D.(2，8)和(－1，－4)15．已知在函数()xf x Rπ=的图象上，相邻的一个最大值和一个最小值点恰好在222x y R +=上，则()f x 的最小正周期为A 、1B 、2C 、3D 、46．已知函数)(x f y =的图象在点（1，f （1））处的切线方程是)1(2)1(,012f f y x '+=+-则的值是A ．21B ．1C ．23D ．27．315tan ︒等于()A 1 ()B ()C 1- ()D8．在空间，下列命题正确的是①若两直线a 、b 分别与直线l 平行，则a//b 。
②若直线a 与平面β内的一条直线b 平行，则a ∥β。
③若直线a 与平面β内的两条直线b 、c 都垂直，则a ⊥β。
④若平面β内的一条直线a 垂直平面,γ则βγ⊥。
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当涂一中2018届高三第五次数学周考（理科）班级学号 姓名 得分一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实数满足，若恒成立，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 2.已知，其中为常数． 的图象关于直线对称，则在以下区间上为单调递减的是（ ）A. B. C. D.3.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如104(mod 6)=．右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．17B ．16 C.15 D ．13（第3题图） (第4题图） （第5题图）4. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为（ ）,x y 2t y x ≤+t 13t ≤5t ≤-13t ≤-5t ≤()3sin2cos2f x x a x =+a ()f x 6x π=()f x 31,56ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦71,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A. B.C. D. 5. 若函数 的图象如图所示，则的范围为（ ）)2,1.()2,0.()2,1.()1,.(D C B A ---∞6.已知双曲线C ： (0,0)a b >>的离心率为2，左右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线C 上，若12AF F ∆的周长为10a ，则12AF F ∆的面积为（ ）A．2B2C.230a D ．215a7..设等差数列{}n a 的前项和为n S ，且满足0,020152014<>S S ，对任意正整数，都有||||k n a a ≥，则的值为（ ）A. 1006B. 1007C. 1008D. 10098. . 已知e 为自然对数的底数，若对任意的]1,0[∈x ，总存在唯一的]1,1[-∈y ，使得02=-+a e y x y 成立，则实数的取值范围是（ ）],11.[],1.(],11.(],1.[e eD e C e eB e A ++二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.已知向量()()2,3,1,3m n ==-，则2m n +在2m n -方向上的投影为 10.已知是定义在上周期为的奇函数，当时， ，则___________.11.. 已知 展开式的常数项为15， ．12. 22sin 2sin cos 3cos αααα-=，则cos2tan 2αα-=9π283π8π7π()f x R 4(]0,2x ∈()22log xf x x =+()2015f =m x x m x f +-=2)2()(2221x y a b 2-==-++⎰-dx x x x aa )4(226)(,0x xa a ->三、解答题 （本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13.已知数列为等差数列，首项，公差.若成等比数列，且， ， .(1)求数列的通项公式； (2)设，求和14.设直线l 的方程为(2)5x m y =++，该直线交抛物线2:4C y x =于,P Q 两个不同的点. （1）若点(5,2)A -为线段PQ 的中点，求直线l 的方程； （2）证明：以线段PQ 为直径的圆M 恒过点(1,2)B{}n a 11a =0d ≠123,,,,,n b b b b a a a a 11b =22b =35b ={}n b n b ()321n n c log b =-12233445212221n n n n n T c c c c c c c c c c c c -+=-+-+⋅⋅⋅+-15.已知()ln f x mx x =．（1）若关于x 的方程()1f x x ≥-在()0,+∞上恒成立，求m 的值；（2）证明：当*n N ∈时，2222111112344n n n n eeee+++<．当涂一中2018届高三第五次数学周考（理科）（答案）1. B 【解析】不等式组表示的平面区域是图中阴影部分（夹在两条平行线 和之间且在直线右侧的部分）， 作直线，平行直线，当它过点时，取得最小值－5，因此所求的范围是，故选B ．2.3.【答案】A4.B 【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为 底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以为高的正三 棱柱的外接球相同，如图所示：由底面边长为，可得底面外接圆的半径为，由棱柱高为，可得球心距为，故外，故选B. 5.【答案】D 【解析】试题分析：由图可知，定义域为，∴，又∵时，，∴，又∵是奇函数，∴时，，∴在()()102260x y x y x y -+≥⎧⎪⎨--+≤⎪⎩20x y -=260x y -+=10x y -+=:l 20y x +=2y x t +=(2,1)A --2t y x =+t 5t ≤-222332122232113⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭22843S r ππ==上单调递增，上单调递减，∴，综上，实数的范围是，故选D. 6.【答案】B7.【答案】C 【解析】试题分析：,所以，,且数列为等差数列，所以且，所以是数列中的最小值，故选C ．8.【答案】B 【解析】由成立,计算得出,∴对任意的,总存在唯一的,使得成立,∴,且,计算得出,其中时,y 存在两个不同的实数,因此舍去,a 的取值范围是.故选B.9.275- 10.-2【解析】的周期为，又是定义在上的奇函数， ，故答案为. 11.【答案】【解析】试题分析：由的展开式的通项公式为，令，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为12.120- 13. (1) ，……3分， ,……5分……7分()f x ()()4,201545041,20151f f =⨯-∴=-()f x R ()()12201512log 12f f ∴=-=--=-2-()()222151114a a a d d =⋅⇒+=⨯+212142=0d d d d d ++=+⇒=或（舍去）1211, 3.3b b a a a q ===∴=()11122113n n b n n a b b -=+-⨯=-=⨯1312n n b -+∴=(2) ，……8分……10分……13分14.解（1）联立方程组2(25)4x my m y x=++⎧⎨=⎩，消去x 得244(25)0y my m --+= ……3分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12124,820y y m y y m +==--……4分 因为A 为线段PQ 的中点，所以12222y y m +==-，解得1m =-，……5分 所以直线l 的方程为30x y +-=.……6分（2）证明：因为21212()2(25)4410x x m y y m m m +=+++=++，2222121212()(25)4416y y y y x x m =⋅==+……8分所以1212(1)(1)(2)(2)BP BQ x x y y ⋅=--+--，……9分 即12121212[()1][2()4]BP BQ x x x x y y y y ⋅=-+++-++所以22[(25)(4410)1][8202(4)4]0BP BQ m m m m m ⋅=+-++++---+=，……11分因此BP BQ ⊥，即以线段PQ 为直径的圆横过点(1,2)B .……13分 15.【解析】令()()()1ln 1,0,F x f x x mx x x x =-+=-+∈+∞，……2分 若()0,22ln 210m f m <=-<，与已知矛盾，……3分若0m =，则()1f x x =-+，显然不满足在()0,+∞上()0F x ≥恒成立，……4分 若0m >，对()f x 求导可得()ln 1F x m x m '=+-， 由()0F x '>解得1m mx e->，由()0F x '<解得10m mx e-<<，∴()F x 在10,e m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,mme -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……6分∴()11min1m mm m F x F e me --⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴要使()1f x x ≥-恒成立，则须使110m m me --≥()321n n c log b =-1n =-()()()()21343565722121n n n n T c c c c c c c c c c c c -+=-+-+-+⋅⋅⋅+-()2422n c c c =-++⋅⋅⋅+()22135212n n ⎡⎤=-+++⋅⋅⋅+-=-⎣⎦成立，……7分 即11m m me-≤恒成立，两边取对数得，11ln m m m -≤，整理得1ln 10m m+-≤，即须此式成立，令()1ln 1g m m m =+-，则()21m g m m-'=，显然当01m <<时，()0g m '<，当1m >时，()0g m '>，于是函数()g m 的()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，∴()()min 10g m g =，即当且仅当1m =时，()()()min 10,1F x F F x x ==≥-恒成立， ∴1m =满足条件，综上所述，1m =．……8分 （2）由（1）知1x >时，ln 1x x x >+，即1ln x x x->恒成立，……9分 令()2*21n x n N n +=∈，即2222211ln 111n n n n n +>-=++，……10分 即()2221ln 1ln 1n n n <+-+，同理，()()2221ln 2ln 12n n n <+-++， ()()()()22222211ln 3ln 2,ln 41ln 42341n n n n n n <+-+<---+-， ()()2221ln 4ln 414n n n<--，……12分 将上式左右相加得：()2222222211114ln 4ln ln ln 42ln 21234n n n n n n n n+++<-===+++……13分， 即2222111112344n n n ne ++++++<，即2222111112344nnnn e e e e +++<．……14分感谢您的阅读，祝您生活愉快。