高考数学压轴小题抢分练(一)

压轴小题抢分练(一)

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一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)

1.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.角β满足sin(α+β)=,则cos β的值为( )

A.-或

B.

C.-

D.或-

【解析】选A.因为角α的终边过点P,

所以sin α=-,cos α=-,

因为sin(α+β)=,故角α+β的终边在第一或第二象限,

当角α+β的终边在第一象限时,

cos(α+β)===,

cos β=cos[(α+β)-α]

=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α

=×+×=-.

当角α+β的终边在第二象限时,

cos(α+β)=-=-=-.

cos β=cos[(α+β)-α]

=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α

=×+×=.

2.已知曲线y=sin向左平移φ(φ>0)个单位,得到的曲线y=g(x)经过点,则( )

A.函数y=g(x)的最小正周期T=

B.函数y=g(x)在上单调递增

C.曲线y=g(x)关于直线x=对称

D.曲线y=g(x)关于点对称

【解析】选D.由题意,

得g(x)=sin,且g=1,

即sin(2φ)=1,

所以2φ=2kπ+(k∈Z),

即φ=kπ+(k∈Z),故g(x)=sin,

故y=g(x)的最小正周期T=π,故选项A错;

因为y=g(x)的单调递减区间为(k∈Z),故选项B错;

曲线y=g(x)的对称轴方程为x=-+(k∈Z),故选项C错;

因为g=0,所以选项D正确.

3.已知函数f(x)=若f(m)>f(-m),则实数m的取值范围是

( )

A.(-1,0)∪(1,+∞)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(0,1)

D.(-∞,-1)∪(0,1)

【解析】选A.由函数的解析式可得函数为奇函数,绘制函数图像如图所示,

则不等式f(m)>f(-m),即f(m)>-f(m),

即f(m)>0,

观察函数图像可得实数m的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).

4.已知函数f(x)=-的图象关于(0,2)对称,则f(x)>11的解集为 ( )

A.(-1,0)

B.(-1,0)∪(0,1)

C.(-1,0)∪(0,+∞)

D.(-1,0)∪(1,+∞)

【解析】选A.依题意函数f(x)=-的图象关于(0,2)对称,

得f(-1)+f(1)=-+-=4,解得m=-9.

所以f(x)>11,即->11,

整理得到<0?<3x<1,

解得-1

5.已知a∈R且为常数,圆C:x2+2x+y2-2ay=0,过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C 相交于A,B两点,当弦AB最短时,直线l的方程为2x-y=0,则a的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】选B.圆C:x2+2x+y2-2ay=0化简为(x+1)2+(y-a)2=a2+1,

圆心坐标为C(-1,a),半径为,如图,

由题意可得,当弦AB最短时,过圆心与点(1,2)的直线与直线2x-y=0垂直.

则=-,即a=3.

6.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m;最后再根据统计数m估计π的值,假如统计结果是m=34,那么可以估计π的值约为( )

A. B. C. D.

【解析】选B.由题意,120对都小于1的正实数对(x,y),满足面积为1,两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对(x,y),满足x2+y2<1且

面积为-,因为统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数为m=34,则=-,所以π=.

7.已知一圆锥的底面直径与母线长相等,一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切,则球与圆锥的表面积之比为 ( )

A. B. C. D.

【解析】选B.设圆锥底面圆半径为R,球的半径为r,

由题意知,圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形,球的大圆是该等边三角形的内切圆,

所以r=R,S球的表面积=4πr2=4π·=R2,

S圆锥表面积=πR·2R+πR2=3πR2,

所以球与圆锥的表面积之比为=.

8.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的上下两个焦点,若椭圆上存在四个不同点P,使得△PF1F2的面积为,则椭圆C的离心率的取值范围是( )

A. B.

C. D.

【解析】选A.由题知a=2,b=,c=,设椭圆的右顶点为A(,0),△AF1F2的面积为|F 1F2|×=·,

所以△PF 1F2的面积的最大值为△AF1F2的面积,故·>,解得1

9.已知函数f(x)为R上的奇函数,且图象关于点(3,0)对称,且当x∈(0,3)

时,f(x)=-1,则函数f(x)在区间[2 013,2 018]上的( )

世纪金榜导学号

A.最小值为-

B.最小值为-

C.最大值为0

D.最大值为

【解析】选A.因为函数f(x)的图象关于点(3,0)对称,

所以f(6+x)=-f(-x).

又函数f(x)为奇函数,所以f(6+x)=f(x),

所以函数f(x)是周期为6的周期函数,

又函数f(x)的定义域为R,且为奇函数,

故f(0)=0,f(-3)=-f(3)=0,

依次类推,f(3n)=0(n∈N).作出函数的大致图象,如图所示,

根据周期性可知,函数f(x)在区间[2 013,2 018]上的图象与在区间[-3,2]上的图象完全一样,

可知函数f(x)在(-3,2]上单调递减,且f(-3)=0,

所以函数f(x)在区间[2 013,2 018]上的最小值为-.

10.设函数g(x)=e x+(1-)x-a(a∈R,e为自然对数的底数),定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=x2,且当x≤0时,f′(x)

f(1-x)+x},且x0为函数y=g(x)-x的一个零点,则实数a的取值范围为( ) 世纪金榜导学号

A. B.(,+∞)

C.[,+∞)

D.

【解析】选D.构造函数T(x)=f(x)-x2,

因为f(-x)+f(x)=x2,

所以T(x)+T(-x)=f(x)-x2+f(-x)-(-x)2

=f(x)+f(-x)-x2=0,

所以T(x)为奇函数,

当x≤0时,T′(x)=f′(x)-x<0,所以T(x)

在(-∞,0]上单调递减,

所以T(x)在R上单调递减.

因为存在x0∈, 所以f(x0)+≥f(1-x0)+x0,

所以T(x0)++≥T(1-x0)+(1-x0)2+x0,

化简得T(x0)≥T(1-x0),

所以x0≤1-x0,即x0≤.

令h(x)=g(x)-x=e x-x-a,

因为x0为函数y=g(x)-x的一个零点,

所以h(x)在x≤时有一个零点.

因为当x≤时,h′(x)=e x-≤-=0,

所以函数h(x)在x≤时单调递减,

由选项知a>0,-<0<,

又因为h=--a=>0, 所以要使h(x)在x≤时有一个零点,

只需使h=--a≤0,解得a≥,

所以a的取值范围为.

二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)

11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=,b=2,则△ABC周长的最大值是________.

【解析】因为b2=a2+c2-2accos,

所以12=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac

≥(a+c)2-3=,当且仅当a=c时取等号,

因此(a+c)2≤48,a+c≤4,a+b+c≤6,

即△ABC周长的最大值是6.

答案:6

12.圆锥Ω的底面半径为2,母线长为4.正四棱柱ABCD-A′B′C′D′的上底面的顶点A′,B′,C′,D′均在圆锥Ω的侧面上,棱柱下底面在圆锥Ω的底面上,则此正四棱柱体积的最大值为________.

【解析】设正四棱柱的底面边长为x,设棱柱的高h,

根据相似性可得:

=,

解得h=,(其中0

所以此正四棱柱体积为V=x2h=x2·,

V′=,

令V′=0,解得x=,x=0(舍去),

易得:V=x2·在上递增,

在上递减,

所以此正四棱柱体积的最大值为.

答案:

13.已知定义在R上的偶函数y=f(x+2),其图象连续不间断,当x>2时,函数y=f(x)是单调函数,则满足f(x)=f的所有x之积为________.

【解析】因为函数y=f(x+2)是连续的偶函数,所以直线x=0是它的对称轴,

从而直线x=2就是函数y=f(x)图象的对称轴.

因为f(x)=f,

所以x=1-或x+1-=4.

由x=1-,得x2+3x-3=0,设方程的两根为x1,x2,所以x1x2=-3;

由x+1-=4,得x2+x-13=0,

设方程的两根为x3,x4,所以x3x4=-13,

所以x1x2x3x4=39.

答案:39

14.已知数列{a n}满足a1=1,且点(a n,2a n+1)(n∈N*)在直线x-y-1=0上.若对任意的n∈N*,+++…+≥λ恒成立,则实数λ的取值范围为

________.

【解析】将点(a n,2a n+1)代入直线x-y-1=0可得:a n+1-a n=-1.

所以数列{a n}是以a1=1为首项,公差为-1的等差数列.

所以a n=a1+(n-1)d=1-(n-1)=2-n,

所以+++…+=+++…+≥,

当且仅当n=1时,等号成立,

要使得+++…+≥λ恒成立,

则≥λ,所以λ≤.

答案:λ≤