2019年高考数学压轴题小题
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一．选择题（共6小题） 1．（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ） A．﹣50 B．0 C．2 D．50
2．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．（2018•上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（ ）
A． B． C． D．0 4．（2018•浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（ ） A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣ 5．（2018•浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（ ） A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
6．（2018•浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（ ）
A． B． C． D． 7．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 ． 如文档对你有用，请下载支持！ 8．（2018•江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣
1，1]上的最大值与最小值的和为 ．
9．（2018•天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是 ． 10．（2018•北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ． 11．（2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则
+的最大值为 ． 12．（2018•上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a= ． 13．（2018•浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是 ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 14．（2018•浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大． 15．（2018•浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数．（用数字作答） 三．解答题（共2小题） 16．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x． （1）若f（x）为偶函数，求a的值； （2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解． 17．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值． 如文档对你有用，请下载支持！ 2018年高考数学压轴题小题
参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x）， ∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0， 则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， ∵f（1）=2， ∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， f（4）=f（0）=0， 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0， 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50） =f（1）+f（2）=2+0=2， 故选：C．
2．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0）， 直线AP的方程为：y=（x+a）， 由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c）， 代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c， ∴题意的离心率e==． 故选：D． 3．（2018•上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（ ） 如文档对你有用，请下载支持！ A． B． C． D．0
【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合． 我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B． 故选：B． 4．（2018•浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满
足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（ ） A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣ 【解答】解：由﹣4•+3=0，得， ∴（）⊥（）， 如图，不妨设， 则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上， 又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上． 不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1． 即． 故选：A． 5．（2018•浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（ ） A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．
过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N， 连接SN， 取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM， 则θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO． 如文档对你有用，请下载支持！ 显然，θ1，θ2，θ3均为锐角．
∵tanθ1==，tanθ3=，SN≥SO， ∴θ1≥θ3， 又sinθ3=，sinθ2=，SE≥SM， ∴θ3≥θ2． 故选：D． 6．（2018•浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数， 故排除A和B． 当x=时，函数的值也为0， 故排除C． 故选：D． 二．填空题（共9小题）
7．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 2 ． 【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，
可得：=b=， 可得，即c=2a， 所以双曲线的离心率为：e=． 故答案为：2． 如文档对你有用，请下载支持！ 8．（2018•江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣
1，1]上的最大值与最小值的和为 ﹣3 ． 【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点， ∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞）， ①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0， 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去； ②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，
∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增， 又f（x）只有一个零点， ∴f（）=﹣+1=0，解得a=3， f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]， f′（x）＞0的解集为（﹣1，0）， f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减， f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0， ∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1， ∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为： f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．
9．（2018•天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是 （4，8） ． 【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax， 得x2+ax+a=0， 得a（x+1）=﹣x2， 得a=﹣，
设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣， 由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增， 由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4， 当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax， 得x2﹣ax+2a=0，
专题11 隐圆问题-冲刺2019年高考数学压轴题微切口突破(原卷版)
专题11 隐圆问题直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题类型一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆典例1 如果圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________类型二 由圆周角的性质确定隐形圆典例2 已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点， 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．类型三 两定点A 、B ，动点P 满足(0,1)PA PBλλλ=>≠确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） 典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： sin17 5.7446︒≈≈ ）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．1．已知ABC ∆中， ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点， 点A(1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为_______3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆和两点()(),2,,2A a a B a a ---，且1a >，若圆C 上存在两个不同的点,P Q ，使得90APB AQB ∠=∠=︒，则实数a 的取值范围为__________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1-，0），B （1，0）均在圆C ：()()22234x y r -+-=外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP BP ⊥，则半径r 的值为____．5．已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式•PA PB λ=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_____．6.已知圆O ：x2＋y2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为____________．7.在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x2＋y2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为____________．8.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T ，与圆(x －a)2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为____________．9.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为__________．10.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．11.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x2＋y2＝r2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足OC →＝54OA →＋34OB →，则r 的值为________． 12.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．13.已知点A(0，2)为圆M ：x2＋y2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则实数a 的取值范围是________________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O1，圆O2均与x 轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为____________．15.已知直线l 过点P(1，2)且与圆C ：x2＋y2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________________．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x2＋(y －1)2＝5，A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过A 作圆C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M.若OA ＝OM ，则直线AB 的斜率为________．17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C2：(x －17)2＋(y －30)2＝r2.若圆C2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C1依次交于点A 、B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值范围是______________．18.直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________． 19平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA2＋MO2＝10，则实数a 的取值范围是________．20.平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为______________．。
专题08-1立体几何问题第一季-2019年领军高考数学(理)压轴题必刷题(解析版)
专题08-1立体几何问题第一季1．正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示，由，可得，由，则，解得，则，在直角中，，则，在直角中，，则，在直角中，，则，在中，，由余弦定理可得，即，所以截面的周长为，故选B.2．设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得，解得，故选B。
3．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A．B．1 C．D．【答案】C【解析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.4．已知四面体，，则该四面体外接球的半径为（）学科_网A．1 B．C．D．【答案】B【解析】设为的中点，由于三角形为直角三角形，故其外心为点，则球心在点的正上方，设球心为，作出图像如下图所示.其中，.由余弦定理得，.设外接球的半径为.在三角形中，由勾股定理得①.在三角形中，由余弦定理得②.在三角形中，由余弦定理可知，由于，则，所以，所以③.联立①②③可得.故选B.5．如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段P A长的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以C为原点，CD为轴，CB为轴，过C作平面BCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，6．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，CC1=3，长方体每条棱所在直线与过点C1的平面α所成的角都相等，则直线AC与平面α所成角的余弦值为（）A．或1 B．或0 C．或0 D．或1【答案】A在直角△EGC1中，，GC1＝2，，∴sin．∴直线AC与平面α所成角的余弦值为1，，故选：A．7．已知直三棱柱中的底面为等腰直角三角形，，点，分别是边，上动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹为A．双曲线的一支（一部分）B．圆弧（一部分）C．线段（去掉一个端点）D．抛物线的一部分【答案】C【解析】如图作平面PQRK∥平面BCC1B1，可得到点M，N为平面PQRK与边，的交点，取MN的中点D，由对称性可知，在梯形NQRM中，D到底面ABC的距离DF始终为三棱柱高的一半，故Q落在到底面ABC距离为三棱柱高的一半的平面上，且与底面ABC平行.又D在底面的投影F始终在底面BC的高线AE上，即Q落在过底面BC的高线且与底面垂直的平面上，所以Q在两个面的交线上，又只能落在柱体内，故为线段OH，又直线平面，所以去掉O点，故选C.8．已知点在同一个球面上，，若四面体体积的最大值为10，则这个球的表面积是A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可知，则球心在过中点与面垂直的直线上，因为面积为定值，所以高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，因为四面体的最大体积为10，所以，可得，在中，，，得，球的表面积为，故选B.学科_网9．已知过球面上三点、、的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（）A．B．C．D．【答案】C10．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：11．已知正三棱锥P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面△ADE周长的最小值是（）A．B．2C．D．2【答案】D【解析】将三棱锥的侧面展开,如图则将求截面周长的最小值,转化成计算的最短距离,结合题意可知=,,所以,故周长最小值为,故选D.12．过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是A．1 B．C．D．【答案】D【解析】如图：在正方体中，取的中点,连接,过的平面截得正方体的截面中，当截面为菱形时，截面面积最小，,故选D.学_科网13．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】画出图象如下图所示，其中是球心，是等边三角形的中心.根据等边三角形中心的性质有，，设球的半径为，在三角形中，由勾股定理得，即，解得，故最大的截面面积为.在三角形中，，由余弦定理得.在三角形中，,过且垂直的截面圆的半径，故最小的截面面积为.综上所述，本小题选B.14．正三棱锥的底面边长为，高为，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大【答案】D15．已知中，，，将绕BC旋转得，当直线PC与平面P AB所成角的正弦值为时，P、A两点间的距离是（）A．2 B．4 C．D．【答案】C【解析】画出图像如下图所示.设是的中点，则，过作交于，连接.由于，所以平面，所以，故平面，所以，结合，证得平面.故是直线与平面所成的角.故，.设，则，在直角三角形中，利用面积公式有，解得，即，故,.16．如图，在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，，，底面，得，平面，可得，平面，平面，且面，三棱锥的高为定值，平面平面，中，，，∴当，即时，有最大值为，此时，三棱锥的体积的最大值为，故选C．17．如图所示，四边形ABCD为边长为2的菱形，∠B=60°，点E,F分别在边BC,AB上运动(不含端点)，且EF//AC，沿EF把平面BEF折起，使平面BEF⊥底面ECDAF，当五棱锥B-ECDAF的体积最大时，EF的长为（）A．1 B．C．D．【答案】B【解析】由可知三角形为等边三角形，设，等边三角形的高为，面积为，所以五边形的面积为，故五棱锥的体积为.令，解得，且当时，单调递增，时，单调递减，故在时取得极大值也即是最大值.故选B. 18．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，以A1D1的中点为原点，以A1D1为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．由于动点P到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，所以点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上．由题意得，在平面内，抛物线的方程为，设点P的坐标为，则，所以，又，所以当时，有最小值，且．故选C．19．如图，设梯形所在平面与矩形所在平面相交于，若，，，则下列二面角的平面角大小为定值的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，在等腰梯形中,过作于，作于,连接,在梯形中,由，可得，由三角形直角三角形，且，可得，则，，即，则平面，为二面角的平面角，同理可得为二面角的平面角，平面平面，则二面角的平面角为，与均为等腰三角形，，，，即二面角为，故选D.20．如图，已知三棱锥，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】不妨设三棱锥D-ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE、CE、MN、EN，过D作DO⊥CE，交CE于O，连结AO，则∠DEC=α，∠DAO=β，∠MNE=γ，∴，，∴，取BC中点E，连结DE、AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，又DE∩AE=E，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AD，∴γ=90°．∴γ≥α≥β．学_科网故选：A．。
专题08 隐零点问题-冲刺2019年高考数学压轴题微切口突破(解析版)
专题08 隐零点问题有一种零点客观存在，但不可解，然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系实现消元、换元以及降次达到解题的目的.这类问题就是隐零点问题.类型一 根据隐零点化简求范围典例1. 已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =(其中e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3. （1）求实数a 的值； （2）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； 【答案】3【解析】解析：（1）()'1ln f x a x =++，由()3f e =解得1a =； （2）()ln f x x x x =+，()ln ()11f x x x xk g x x x +<=--，22ln '()(1)x xg x x --=-，令()2ln h x x x =--，有1'()10h x x=->，那么()(1)1h x h >=-. 不妨设0()0h x =，由(3)0h <，(4)0h <，则可知0(3,4)x ∈，且00ln 2x x =-. 因此，当()0h x >时，()'0g x >，0x x >；当()0h x <时，()'0g x <，0x x <； 即可知[]000000min 00(ln 1)(1)()()11x x x x g x g x x x x +-====--，所以0k x ≤，得到满足条件的k 的最大正整数为3.类型二 根据隐零点分区间讨论典例2 已知函数2()2ln (0)f x x t x t =->，t 为何值时，方程()2f x tx =有唯一解. 【答案】(,0){1}-∞ 【解析】222ln 22(ln )x t x tx t x x x -=⇔+=， 当ln 0x x +=时，有t R ∈； 设()ln u x x x =+，1'()10u x x =+>；又(1)10u =>，11()10u e e=-<，不妨设00ln 0x x +=， 则可知01(,1)x e∈. 当ln 0x x +≠时，得到22()ln x t g x x x=+； 2222ln (12ln )'()(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x -+-+==++， 令()12ln g x x x =-+，易知(1)0g =，且1x >时，()0g x >；1x <时，()0g x <；综上可知()g x 在区间00(0,),(,1)x x 上为减函数，在区间(1,)+∞上为增函数；画图函数图像：因此，可知所求t 的范围为(,0){1}-∞.类型三 根据隐零点构造新函数典例3 已知函数()21x f x e x ax =---，当0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围． 【答案】1(,]2-∞【解析】()'12x f x e ax =--，首先，当0a ≤时，在[0,)+∞上()'0f x ≥恒成立，则有()()00f x f ≥=． 其次，当0a >时，令()x g x e =，()21h x ax =+，由题1可知，当021a <≤，即102a <≤时，()()g x h x ≥．此时()'0f x ≥,同样有()0f x ≥．再者，当12a >时，函数()y g x =与()y h x =相交于点()0,1和()00,x y ．同时，当()00,x x ∈时，()'0f x <；当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >. 即可知()()02000min1x f x f x e x ax ⎡⎤==---⎣⎦，将0012x e ax =+代入得到：()00000112x x e f x e x x -=---⋅ ()00x >，令()112x xe F x e x x -=---⋅()0x >，则()()11'2x e x F x --=． 又由变式2可知()1xx e-+-≤，那么()1'02x x e e F x -⋅-≤≤，即()F x 在区间()0,+∞上递减，因此有()()000f x f <=，与()0f x ≥矛盾，故12a >不合题意． 综上可知，满足题意的实数a 的取值范围为1(,]2-∞．1．已知函数 ， .（ 且为常数， 为自然对数的底） （1）讨论函数 的极值点个数；（2）当 时， 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）当 时，无极值点；当 时，有且仅有1个极值点；（2） 【解析】（1） 的定义域为 ，，因为函数 在 上恒成立， 所以函数 在区间 上单调递增，且值域为 ， ①当 时， 在区间 上恒成立， 即 ，故 在 上单调递增， 所以无极值点； ②当 时，方程 有唯一解，设为 ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 所以 是函数 的极小值点， 即函数 只有1个极值点.（2）当 时，不等式 对任意的 恒成立， 即 对任意的 恒成立，即对任意的恒成立，记，，记，因为在恒成立，所以在上单调递增，且，，所以存在使得，且时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增；. 所以，即，又因为，，，所以，因此，所以，解得.综上，实数的取值范围是.2．已知.（1）若是上的增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.【答案】(1) (2) 三个零点【解析】（1）由得，由题意知恒成立，即，设，，时，递减，时，，递增；故，即，故的取值范围是.（2）当时，单调，无极值；当时，，一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点. 另一方面，，设，则，从而在递增，则，即，又在递增，所以在区间有一个零点.因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，，当时，即；当时，即；当时，即：从而在递增，在递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.下面证明：，由得，即，由得，令，则，①当时，递减，则，而，故；②当时，递减，则，而，故；一方面，因为，又，且在递增，所以在上有一个零点，即在上有一个零点.另一方面，根据得，则有：，又，且在递增，故在上有一个零点，故在上有一个零点.又，故有三个零点.3．已知函数，.（Ⅰ）令①当时，求函数在点处的切线方程；②若时，恒成立，求的所有取值集合与的关系；（Ⅱ）记，是否存在，使得对任意的实数，函数在上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数，若不存在，请说明理由.【答案】（1）①；②见解析；（2）2【解析】（1）①由题意，可得，则，所以，所以在处的切线方程为②由，即则，，因为在上单调递减，所以，存在，使得，函数在上单调递增，在上单调递减，，由得，，∴，所以的所有取值集合包含于集合.（Ⅱ）令，（1），，由于，，，，，由零点存在性定理可知，，函数在定义域内有且仅有一个零点.（2），，，，，同理可知，函数在定义域内有且仅有一个零点.（3）假设存在，使得，则，消，得.令，，所以单调递增.∵，，∴，此时，所以满足条件的最小正整数.4．已知函数（为自然对数的底数）．（1）记，求函数在区间上的最大值与最小值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）∵，∴，令，则，所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增，∴，．（2）∵对任意恒成立，∴对任意恒成立，∴对任意恒成立．令，则．由于，所以在上单调递增．又，，所以存在唯一的，使得，且当时，，时，．即在单调递减，在上单调递增．∴．又，即，∴．∴．∵，∴．又∵对任意恒成立，∴，又，∴．5．己知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，求的取值范围，并证明.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】（1）解：因为，函数的定义域为，所以．当时，，所以函数在上单调递增．当时，由，得（负根舍去），当时，，当时，，所以函数在上单调递减；在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）先求的取值范围：方法1:由（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，要使函数有两个零点，首先，解得．因为，且，下面证明．设，则．因为，所以．所以在上单调递增，所以．所以的取值范围是．方法2:由，得到．设，则．当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以由．因为时，，且，要使函数有两个零点，必有．所以的取值范围是．再证明：方法1:因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则．所以即．所以，即，，．要证，即证．即证，即证．因为，所以即证，或证．设，．即，．所以．所以在上单调递减，所以．所以．方法2:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．所以即．所以，即，，．要证，需证．即证，即证．因为，所以即证．设，则，．所以在上单调递减，所以．所以．方法3:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．所以即．要证，需证．只需证．即证，即证．即证．因为，所以，即．所以．而，所以成立．所以．方法4:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．由已知得即．先证明，即证明．设，则．所以在上单调递增，所以，所证不等式成立．所以有．即．因为（），所以，即．所以．方法5:要证，其中，，即证．利用函数的单调性，只需证明．因为，所以只要证明，其中．构造函数，，则．因为（利用均值不等式），所以在上单调递减．所以．所以在上恒成立．所以要证的不等式成立．6．已知函数．（无理数）（1）若在单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，设函数，证明：当时，．（参考数据）【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）在单调递增，在（1，＋∞）恒成立，设h（x）＝（x＋x2）e x－1－，由题意h（x）≥0在（1，＋∞）恒成立，h'（x）＝e x－1（x2＋3x＋1），当x∈（1，＋∞）时，x2＋3x＋1＞0，故h'（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）单调递增，所以h（x）＞h（1）＝2－，故2－≥0，≤2，综上∈（－∞，2]．（2）当＝0时，f（x）＝xe x－1，g（x）＝e x－x2－x，g'（x）＝e x－2x－1，设m（x）＝e x－2x－1，则m'（x）＝e x－2，令m'（x）＝0，解得x＝ln2，当x∈（0，ln2）时，m'（x）＜0，m（x）单调递减，当x∈（ln2，＋∞）时，m'（x）＞0，m（x）单调递增．因此m（x）≥m（ln2）＝e ln2－2ln2－1＝1－2ln2＜0，即g'（ln2）＝1－2ln2＜0，，又g'（0）＝0，，故存在x0∈（ln2，），使g'（x0）＝0，即，．当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，，由于x0∈（ln2，），函数单调递减，故所以，当x＞0时，．7．已知函数（1）若，求函数的极值和单调区间；（2）若，在区间上是否存在，使，若存在求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为极小值为3，无极大值(2)见解析【解析】（1）当时，，且时，时，有极小值故函数的单调递减区间为，单调递增区间为极小值为3，无极大值.（2）时，，时为函数的唯一极小值点又，当时在区间上若存在，使，则，解得当时，在为单调减函数，，不存在，使综上所述，在区间上存在，使，此时8．已知函数(1)若=1时，求函数的最小值；(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）0 （2）0【解析】解：（1）,,则，当时，，函数单调递减，当时，为增，在处取最小值0.（2）由，得2，∴当时，2函数在0，上单调递减，∴当时，在0，上最多有一个零点.∵有两个零点，∴ .令2，，显然有一正根和一负根，∴在0，上只有一个零点，设这个零点为，当时，；当x，时，；∴函数在上单调递减，在x，上单调递增，要使函数在0，上有两个零点，只需要函数的极小值，即,22，2可得在0，上是增函数，且 ，∴ 0由，得∴0 2 2,即0 .9．设函数，其中为自然对数的底数.（1）若，求的单调区间；（2）若，，求证：无零点.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）若，则，.当时，，单调递减，当时，，单调递增.的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由可知，，当时，，显然没有零点；当时，设，，在单调递增，又h（0）＝﹣a＜0，h（2）＝2e﹣a＞0，∴h（x）在（0，2）上存在唯一一个零点，不妨设为x0，则x0a，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x）的最小值为g（x0）alnx0，∵x0a，∴﹣1，两边取对数可得x0﹣1＝lna﹣lnx0，即lnx0＝lna+1﹣x0，∴g（x0）a（lna+1﹣x0）ax0﹣alna﹣a≥2a﹣alna﹣a＝a﹣alna，（当且仅当x0＝1时取等号），令m（a）＝a﹣alna，则m′（a）＝﹣lna，∴当a∈（0，1）时，m′（a）＞0，当a∈（1，e]时，m′（a）＜0，∴m（a）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减．∴当0＜a≤e时，m（a）≥0，当且仅当a＝e时取等号，由x0a可知当a＝1时，x0＝1，故当a＝e时，x0≠1，故g（x0）＞m（a）≥0，∴g（x0）＞0．∴当0≤a≤e时，g（x）没有零点．10．已知函数（其中是自然对数的底数，，）在点处的切线方程是.（I）求函数的单调区间；（II）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）递减区间为，单调递增区间为；（II）【解析】（I）由条件可知，对函数求导得，于是，解得.所以，，令得，于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故函数的单调递减区间为，单调递增区间为（II）由（I）知，解法1：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.令，则只需即可..令，则，所以在上单调递增，又，，所以有唯一的零点，且，在上单调递减，在上单调递增，因，两边同时取自然对数，则有，即，构造函数，则，所以函数在上单调递增，因，所以，即，所以，即，于是实数的取值范围是.解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.先证明，令，则.于是当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号）.所以当时，有，所以，即，当且仅当时取等号，于是实数的取值范围是.。
2019 高考数学全国一卷压轴题解析
如何学好数学 - 2019 高考数学全国一卷压轴题解析
今年高考数学结束后，许多考全国一卷的同学表示“震惊”，简直是不按照常理出牌，压轴题竟然是概率，不仅如此，还结合了数列的知识。
全国卷的压轴题近些年一直是导数题，概率出现在压轴题的确是少之又少。
然而，只要我们熟练掌握了概率的语言，再结合数学三招，解决压轴概率题也是完全没问题。
我们一起来看一看今年一卷的压轴题该怎么做吧！
如何学好高中数学 - 2019 全国一卷高考压轴题题目
如何学好高中数学 - 2019 全国一卷高考压轴题解析
如何学好数学—2019 全国一卷压轴题分析
首先，这次全国一卷的压轴题是概率题目，和近几年不一样。
但随便题目如何变化，解题的思维是一样的！随着高考题目越来越灵活的今天，希望同学们真正重视基础 + 数学思维。
靠题海，题型（模板）来死记硬背考好数学的时代会一去不复返。
高考数学选择填空压轴题45道(附答案)
,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（ ）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的 最大值为（ ）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考
2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用
23.已知函数()3223log 32a f x x x x =-+（0a >且1a ≠）． （Ⅰ）若()f x 为定义域上的增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）令a e =，设函数()()324ln 63g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求证：122x x +≥24.已知函数()2x f x e x ax =--. (1)R x ∈时，证明：1->x e x；(2)当2a =时，直线1y kx =+和曲线()y f x =切于点()(),1A m n m <，求实数k 的值； (3)当10<<x 时，不等式()0>x f 恒成立，求实数a 的取值范围.25.已知函数()ln af x a x x x=-+-(a 为常数)有两个不同的极值点. (1)求实数a 的取值范围；(2)记()f x 的两个不同的极值点分别为12,x x ，若不等式()()()21212f x f x x x l +>+恒成立，求实数l 的取值范围.26.已知函数()1ln f x ax x =--（a ∈R ）.（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若1x ∀>，()2xf x ax ax a <-+恒成立，求a 的最大整数值.27.已知函数()()()()221,2ln 1f x x x g x a x a R =-+=-∈. （1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）当0a >时，若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.28.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+. （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线()01x t t =-<<，把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.29.已知函数()1ln 2f x x x =+（a ∈R ）.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()2,3，求a 的值； （2）若()f x 在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求a 的取值范围；（3）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.30.已知函数()ln f x x a =+，()(),bg x x a b R x=-?. (1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点()()1,1f 处的切线方程相同，求实数,a b 的值； (2)若()()x g x f ≥恒成立，求证：当2≠a 时，1≠b .31.()2xf x e ax =--，其中e 是自然对数的底数，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若k 为整数，1a =，且当0x >时，()11k xf x x -'<+恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值.32.已知f （x ）=2x ln x ，g （x ）=﹣x 2+ax ﹣3． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若存在x ∈（0，+∞），使f （x ）≤g （x ）成立，求实数a 的取值范围．33.已知数列{x n }按如下方式构成：x n ∈（0，1）（n ∈N *），函数f （x ）=ln （x x-+11）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴交点的横坐标为x n +1 （Ⅰ）证明：当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2x （Ⅱ）证明：x n +1＜x n 3（Ⅲ）若x 1∈（0，a ），a ∈（0，1），求证：对任意的正整数m ，都有log n x a +log 1+n x a +…+log m n x +a ＜21•（31）n ﹣2（n ∈N *）34.已知函数f （x ）= ⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-]3,1[),1(55]1,0[,2x x f x x x（Ⅰ）求f （25）及x ∈[2，3]时函数f （x ）的解析式 （Ⅱ）若f （x ）≤xk对任意x ∈（0，3]恒成立，求实数k 的最小值．35.已知函数1()(2)a f x a x x a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0a ≠． （Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值．（Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >．36.若实数x ，y ，m 满足x m y m-<-，则称x 比y 靠近m ．（Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．（Ⅱ）（i ）对0x >，比较ln(1)x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由． （ii ）已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232e n a a a a <L ．37.已知函数2()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-（e 是自然对数的底数，a 为常数）． （1）若函数1()()()2g x f x x f x '=-⋅，在区间[1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围．（2）当(e 2,1)a ∈-时，判断函数()f x 在(0,1)上是否有零点，并说明理由．38.已知函数()ln f x x x =． （1）求函数()f x 的极值点．（2）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a ∈R ，求函数()g x 在[1,e]上的最小值．39.已知函数1()ln 2f x x x=-，(0,)x ∈+∞． （1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调递增区间．40.设m ∈R ，函数f （x ）=e x ﹣m （x +1）+41m 2（其中e 为自然对数的底数）（Ⅰ）若m =2，求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=1，对任意的m ＜0，不等式f （x 1）+f （0）＞f （x 2）+f （1）恒成立，求x 1的取值范围；（Ⅲ）若函数f （x ）有一个极小值点为x 0，求证f （x 0）＞﹣3，（参考数据ln6≈）41.已知函数f （x ）=x 2﹣x 3，g （x ）=e x﹣1（e 为自然对数的底数）． （1）求证：当x ≥0时，g （x ）≥x +21x 2； （2）记使得kf （x ）≤g （x ）在区间[0，1]恒成立的最大实数k 为n 0，求证：n 0∈[4，6]．42.设函数3211()(3)332f x x ax a x =++++，其中a R ∈，函数()f x 有两个极值点12,x x ，且101x ≤<．（1）求实数a 的取值范围；（2）设函数'1()()()x f x a x x ϕ=--，当12x x x <<时，求证：|()|9x ϕ<．43.已知14)(2+-=x tx x f 的两个极值点为α，β，记A （α，f （α）），B （β，f （β））（Ⅰ）若函数f （x ）的零点为γ，证明：α+β=2γ． （Ⅱ） 设点 C (m t -4,0)，D (m t+4,0)，是否存在实数t ，对任意m ＞0，四边形ACBD 均为平行四边形．若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由．44.已知函数ln (),xf x x=() (0)=>g x kx k ，函数{}()max (),(),F x f x g x =其中{}max ,a b ,,,.a ab b a b ≥⎧=⎨<⎩ （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）求()F x 在[]1, e 上的最大值(e 为自然对数底数).45.已知函数2()2ln ,f x x a x a R =+∈．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式()0f x >对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案23.（Ⅰ）()2123ln f x x x x a'=-+， 由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立，则由21230ln x x x a -+≥32123ln x x a⇒-≥-⇒，设()3223m x x x =-，则 ()266m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知 ()m x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11m x m ==-，所以11ln a-≥-， 当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a≤矛盾， 从而不能使()0f x '≥恒成立，所以1a e <≤． （Ⅱ）()322332g x x x =-+32ln 4ln 63x x x x --+233ln 62x x x =--+，因为()()120g x g x +=，所以211133ln 62x x x --++22223(3ln 6)02x x x --+=，所以 221212123()3ln()6()02x x x x x x -+-++=， 212121[()2]2x x x x -+--1212ln()2+=0x x x x +（）， 212121()+2x x x x -+1212ln()2()0x x x x -++=， 所以212121()+2()2x x x x -++1212ln()x x x x =-， 令12x x t =，()ln g t t t =-，()111tg t tt-'=-=，()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减， ()()11g t g ≤=-，所以212121()2()12x x x x -+++≤-，整理得21212()4()20x x x x +-+-≥，解得122x x +≥122x x +≤（舍），所以122x x +≥24.(1)记()1x F x e x =--， ∵()'1x F x e =-， 令()'0F x =得0x =， 当(),0x ??，()'0F x <，()F x 递减；当()0,x ??，()'0F x >，()F x 递增，∴()()min 00F x F ==， ()10x F x e x =--?，得1x e x ?.(2)切点为(),A m n ，()1m <，则21222m m n km n e m m k e m ì=+ïï=--íïï=--î，∴()2110m m e m --+=， ∵1m <，∴10m e m --=由(1)得0m =. 所以1k =-.(3)由题意可得20x e x ax --?恒成立，所以2x e x a x-£，下求()2x e x G x x -=的最小值，()()()()()22221111111'xxx x e x x e x x e x G x x xx 轾----------臌===，由(1)1x e x ?知10x e x --?且1x £. 所以()'0G x <，()G x 递减， ∵1x £，∴()()11G x G e ?-.所以1a e ?.25.(1)()()22'0x ax af x x x -+=>.由函数()ln af x a x x x=-+-(a 为常数)有两个不同的极值点. 即方程20x ax a -+=有两个不相等的正实根.∴121220040x x a x x a a a ì+=>ïï=>íïïD=->î，∴4a >.(2)由(1)知12x x a +=，12x x a =，4a >， ∴()()()2121212121212ln x x f x f x a x x x x a x x x x l ++=-++->+， 所以ln aal <-恒成立. 令()ln aF a a=-，4a >. ∵()2ln 1'0a F a a-=>，()F a 递增， ∴()()ln 242F a F >=-， ln 22l ?.26.（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()11ax f x a x x-'=-=. 当0a ≤时，()0f x '≤在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递减. ∴()f x 在()0,+∞上没有极值点； 当0a >时，令()0f x '=得()10,x a=∈+∞； 列表所以当1x a=时，()f x 取得极小值. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上没有极值点； 当0a >时，()f x 在()0,+∞上有一个极值点.（2）对1x ∀>，()2xf x ax ax a <-+恒成立等价于ln 1x x xa x +<-对1x ∀>恒成立，设函数()ln 1x x x g x x +=-（1x >），则()()2ln 21x x g x x --'=-（1x >），令函数()ln 2x x x =--ϕ，则()11x x'=-ϕ（1x >）， 当1x >时，()110x x'=->ϕ，所以()x ϕ在()1,+∞上是增函数， 又()31ln30=-<ϕ，()42ln 40=->ϕ，所以存在()03,4x ∈，使得()00x =ϕ，即()00g x '=，且当()01,x x ∈时，()0x <ϕ，即()0g x <，故()g x 在()01,x 在上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0x >ϕ，即()0g x >，故()g x 在()0,x +∞上单调递增； 所以当()1,x ∈+∞时，()g x 有最小值()00000ln 1x x x g x x +=-，由()00x =ϕ得00ln 20x x --=，即00ln 2x x =-， 所以()()00000021x x x g x x x -+==-，所以0a x <，又()03,4x ∈，所以实数a 的最大整数值为3.27.（I ）由题意得2()(1)2ln(1)h x x a x =---，1x >，∴22[(1)]'()1x a h x x --=-，①当0a ≤时，则'()0h x >，此时()h x 无极值；②当0a >时，令'()0h x <，则11x a <<+；令'()0h x >，则1x a >+； ∴()h x 在(1,1]a +上递减，在(1,)a ++∞上递增； ∴()h x 有极小值(1)(1ln )h a a a =-，无极大值；（II ）当0a >时，由（1）知，()h x 在(1,1]a +上递减，在(1,)a ++∞上递增，且有极小值(1)(1ln )h a a a =-.①当a e >时，(1)(1ln )0h a a a =-<，∴(1)(1f a g a <+， 此时，不存在实数k ，m ，使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立； ②当0a e <≤时，(1)(1ln )0h a a a =-≥，2()21f x x x =-+在1x a =+(2)y ax a a =-，令()()(2)]u x f x ax a a =--，1x >，则2()[(1)]0u x x a =-+≥，∴2(2)()ax a a f x -≤，令()2(2)()v x ax a a g x =-+-=2(2)2ln(1)ax a a a x -+--，1x >， 则2[(1)]'()a x a v x -+=，令'()0v x <，则11x a <<+；令'()0v x >，则1x a >+；∴()(1)v x v a ≥+=(1ln )0a a -≥，∴()2(2)g x ax a a ≤-+， ∴()2(2)()g x ax a a f x ≤-+≤，当2k a =，2m a a =--时，不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立， ∴0a e <≤符合题意. 由①，②得实数a 的取值范围为(0,]e . 28.（I ）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+． 由已知()22f x x '=+，得1a =，2b =．2()2f x x x c ∴=++．又方程220x x c ++=有两个相等的实数根，440c ∴∆=-=，即1c =．故2()21f x x x =++；（II ）依题意，得221(21)(21)ttx x dx x x dx ---++=++⎰⎰，3232011133ttx x x x x x ---⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得3226610t t t -+-=，即32(1)10t -+=，312t ∴=29.（1）对()f x 求导，得()1122f x xx'=+-. 因此()1122af '=+.又()11f a =+， 所以，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()11122a y a x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 将2x =，3y =代入，得()13122aa -+=+.解得1a =. （2）()f x 的定义域为()0,+∞.()112f x x'=+-212x x +=.设()f x 的一个极值点为m，则210m +=，即a =- 所以()f x '==.当()0,x m ∈时，()0f x '<；当(),x m ∈+∞时，()0f x '>. 因此()f x 在()0,m 上为减函数，在(),m +∞上为增函数. 所以m 是()f x 的唯一的极值点，且为极小值点. 由题设可知1,14m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为函数a =-1,14⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，a -<<11a -<<. 所以a 的取值范围是()1,1-.（3）当0x >时，()0f x >恒成立，则1ln 02x x +>恒成立，即1ln x x a ->0x ∀>恒成立.设()1ln x x g x -=()11ln x xg x --'=.设()11ln 2h x x x =--（0x >），显然()h x 在()0,+∞上为减函数. 又()10h =，则当01x <<时，()()10h x h >=，从而()0g x '>； 当1x >时，()()10h x h <=，从而()0g x '<. 所以()g x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数.所以()()max 11g x g ==-，所以1a >-，即a 的取值范围为()1,-+∞. 30.(1)由()1'f x x =，()2'1bg x x=--. 得()()()()'1'111f g f g ì=ïíï=î，解得3a =-，2b =-.(2)证明：设()()()ln bh x f x g x x a x x=-=+-+， 则()()2221'10b x x bh x x x x x ++=++=>，①当0b ³时，()'0h x >，函数()h x 在()0,+?上单调递增，不满足()()f x g x ³恒成立.②当0b <时，令20x x b ++=，由140b D=->，得0x >，或0x <(舍去)，设0x ()y h x =在()00,x 上单调递减，在()0,x +?上单调递增，故()()0min 0h x h x =?，即000ln 0b x a x x +-+?，得000ln b a x x x ?-.又由2000x x b ++=，得200b x x =--， 所以()2200000000ln 1ln ba b x x x x x x x x -?----=---+，令()21ln t x x x x =---+，()()()2211121'21x x x x t x x x x x+---=--==. 当()0,1x Î时，()'0t x <，函数()t x 单调慈善 当()1,x ??时，()'0t x >，函数()t x 单调递增；所以()()min 11t x t ==-，1a b -?即1b a -?， 故当2a ?时，得1b ?. 31.（1）()xf x e a '=-，x R ∈若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增 若0a >，当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()ln ,a +∞上单调递增 （2）由于1a =，所以()11k xf x x -'<⇔+()()11x k x e x --<+，当0x >时，10x e ->故()()11x k x e x --<+11x x k x e +⇔<+-，令()11x x g x x e +=+-（0x >） 则()()2111x xxe g x e-+'=+=-()()221x x xe e x e---函数()2x f x e x =--在()0,+∞上单调递增，而()10h <，()20h >， 所以()h x 在()0,+∞上存在唯一的零点. 故()g x '在()0,+∞上存在唯一的零点. 设此零点为0x ，则()01,2x ∈.当()00,x x ∈时，()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>； 所以()g x 在()0,+∞上的最小值为()0g x ，由于()00g x '=，可得002x e x =+所以()()0012,3g x x =+∈，所以整数k 的最大值为2. 32.【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题等价于a≥（2ln x+x+）min ，记h （x ）=2ln x+x+，x∈（0，+∞），根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞），f′（x ）=2（ln x+1）， 令f′（x ）=0，得x=，当x∈时，f′（x ）＜0，当x∈时，f′（x ）＞0， 所以f （x ）在上单调递减；在上单调递增．（2）存在x∈（0，+∞），使f （x ）≤g（x ）成立， 即2xln x≤﹣x 2+ax ﹣3在x∈（0，+∞）能成立， 等价于a≥2ln x+x+在x∈（0，+∞）能成立， 等价于a≥（2ln x+x+）min ．记h （x ）=2ln x+x+，x∈（0，+∞）， 则h′（x ）=+1﹣==．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，所以当x=1时，h（x）取最小值为4，故a≥4．33.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）＞2x即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，求出曲线方程，得到x n+1=ln（﹣1）+x n，从而证出结论即可；（Ⅲ）得到b k=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，问题转化为b0＜，根据（Ⅱ）证出即可．【解答】证明：（Ⅰ）设g（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x，则g′（x）=，故x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，1）递增，∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞2x；（Ⅱ）由f′（x）=+=，故曲线在点（x n，f（x n））处的切线方程是：y=（x﹣x n）+f（x n），令y=0，则x n+1=x n+f（x n）（﹣1），则x n+1=ln（﹣1）+x n，由（Ⅰ）及﹣1＜0得：x n+1＜（2x n）•（﹣1）+x n=x n3；（Ⅲ）令=b k，（k=0，1，2，…，m），∵x n+k＜，且a∈（0，1），x n∈（0，1），∴log a x n+k＞log a，从而b k=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，∴log a+log a+…+log a=b0+b1+…+b m＜b0（1+++）=b0（1﹣）＜b0，要证log a+log a+…+log a＜•（）n﹣2（n∈N*），只需b0＜，即证b0＜⇔a＜⇔x n＜，由（Ⅱ）以及x1∈（0，a）得：x n＜＜＜…＜＜，故原结论成立．34.【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=可求f（）的值，由x∈[2，3]⇒x﹣2∈[0，1]，可求得此时函数f（x）的解析式；（Ⅱ）依题意，分x∈（0，1]、x∈（1，2]、x∈（2，3]三类讨论，利用导数由f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，即可求得实数k的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（）=﹣f（）=f（）=×=．当x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]，所以f（x）= [（x﹣2）﹣（x﹣2）2]=（x﹣2）（3﹣x）．（Ⅱ）①当x∈（0，1]时，f（x）=x﹣x2，则对任意x∈（0，1]，x﹣x2≤恒成立⇒k≥（x2﹣x3）max，令h（x）=x2﹣x3，则h′（x）=2x﹣3x2，令h′（x）=0，可得x=，当x∈（0，）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，∴h（x）max=h（）=；②当x∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，所以f （x ）=﹣ [（x ﹣1）﹣（x ﹣1）2]≤恒成立 ⇔k≥（x 3﹣3x 2+2x ），x∈（1，2]．令t （x ）=x 3﹣3x 2+2x ，x∈（1，2]．则t′（x ）=3x 2﹣6x+2=3（x ﹣1）2﹣1， 当x∈（1，1+）时，t （x ）单调递减，当x∈（1+，2]时，t （x ）单调递增，t （x ）max =t （2）=0，∴k≥0（当且仅当x=2时取“=”）；③当x∈（2，3]时，x ﹣2∈[0，1]，令x ﹣2=t∈（0，1]， 则k≥（t+2）（t ﹣t 2）=g （t ），在t∈（0，1]恒成立．g′（t ）=﹣（3t 2+2t ﹣2）=0可得，存在t 0∈[，1]，函数在t=t 0时取得最大值． 而t 0∈[，1]时，h （t ）﹣g （t ）=（t 2﹣t 3）+（t+2）（t 2﹣t ）=t （1﹣t ）（2t ﹣1）＞0，所以，h （t ）max ＞g （t ）max ， 当k≥时，k≥h（t ）max ＞g （t ）max 成立，综上所述，k≥0，即k min =0． 35.见解析（Ⅰ）1a =，2()(2)(1)1f x x x x =-=--，()22f x x '=-， ∴x(0,1) 1 (1,3) ()f x ' -+()f x↓ 极小 ↑∴min (1)1f f ==-， max max[(3),(0)]f f f =，而(3)3(0)f f =>， ∴max 3f =． （Ⅱ）0a >时， 1(2)0a x x a -⎛⎫--> ⎪⎝⎭，∵1120a a a a-+-=>， ∴12a a-<， 此时()0f x >解集为：[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦， 0a <时，1(2)0a x x a -⎛⎫--< ⎪⎝⎭．①10a -<<，则12a a-<， ()0f x >解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦．②1a =-，无解．③1a <-，解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦． 综上：0a >，[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦． 10a -<<，1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦1a =-，∅．1a <-，12a x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦． 36.（1）|1(1)||(1)|x x --<---+ 22|2||1|(2)(1)x x x x <-⇔<-++， ∴12x <-．（2）①∵0x >，∴ln(1)0x >+， ∴|ln(1)0||0|ln(1)x x x x ---=-++， 记()ln(1)f x x x =-+， (0)0f =． 1()1011x f x x x-'=-=<++， ∴()f x 在(0,)∞+单减．∴()2(0)0f x f =，即ln(1)x x <+， ∴ln(1)x +比x 靠近0．②120n ->， 由①得：2323ln()ln ln ln n n a a a a a a =+++L L12111ln(12)ln(12)ln(12)22n n -----=+++<L L +++++111112(12)211212n ------=<=--，∴23e n a a a <L ． 又∵12a =， ∴1232e n a a a a <L ． 37.见解析．解：（1）由2()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-得()e 2(e 1)x f x ax a '=-+-+， ∴211()()()e (e 1)1[e 2e 1]22x x g x f x x f x ax a x x ax a '=-⋅=-+-+---+-+，即11()1e (e 1)122x g x x a x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭，∴11()(1)e (e 1)22xg x x a '=-+-+，∴1()e 2xg x x ''=-，[1,)x ∈+∞；∴()0g x ''<，∴()g x '在[1,)+∞上单调递减， 又()g x 在[1,)+∞上单调递减； ∴1()(1)(e 1)02g x g a ''=-+≤≤，∴e 1a -≤，即实数a 的取值范围是(,e 1]-∞-．（2）假设函数()f x 在区间(0,1)上有零点，即存在(0,1)x ∈，使得2e (e 1)10x ax a x -+-+-=，即2e (1e)1x x a x x +--=-，记2e (1e)1()x x h x x x+--=-．①若()1h x <，则2e (1e)110x x x x +---<-，即22e (2e)10x x x x x -+--<-， 由于(0,1)x ∈，有20x x -<，即证2e (2e)10x x x -+-->在(0,1)x ∈上恒成立， 令2()e (2e)1x H x x x =-+--，(0,1)x ∈， 则()e 22e x H x x '=-+-，()e 2x H x ''=-， 当(0,ln2)x ∈时，()0H x ''<， 当(ln2,1)x ∈时，()0H x ''>， ∴当(0,ln2)x ∈时，()H x '单调递减， 当(ln2,1)x ∈时，()H x '单调递增．而(0)102e 0H '=-+->，(1)e 22e 0H '=-+-=，ln 2(ln 2)e 2ln 22e 4e 2ln 20H '=-+-=--<，∴在(0,ln2)上存在唯一的实数0x ，使得0()0H x '=， ∴在0(0,)x 上()H x 单调递增，在0(,1)x 上()H x 单调递减， 而(0)0H =，(1)0H =，∴()0H x >在(0,1)上恒成立，即2e (1e)1()1x x h x x x+--=<-恒成立， ②若()e 2h x >-，则2e (1e)1(e 2)0x x x x +---->-，即22e (e 2)10x x x x x ---->-， 由于(0,1)x ∈，有20x x -<，即证2e (e 2)10x x x ----<在(0,1)x ∈恒成立， 令2()e (e 2)1x H x x x =----，则()e 2(e 2)1x H x x '=---，()e 2(e 2)x H x ''=--， 当(0,ln2(e 2))x ∈-，()0H x ''<，()H x '单调递减； 当(ln2(e 2),1)x ∈-，()0H x ''>，()H x '单调递增， 而(0)0H '=，(1)3e 0H '=->，∴在(ln2(e 2),1)-上存在唯一的实数x ，使得0()0H x '=， ∴在0(0,)x 上()H x 单调递减，在0(,1)x 上()H x 单调递增， 又(0)0H =，(1)0H =，故()0H x <在(0,1)上成立，即2e (1e)1()e 2x x h x x x+--=>--成立， 综上所述，当(e 2,1)a ∈-时，函数2()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-在区间(0,1)上有零点． 38.见解析．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，∴令()ln 10f x x '=+>，得1e x >，令()0f x '<，得10ex <<， ∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴1ex =是函数()f x 的极小值点，极大值点不存在． （2）由题意得()()(1)ln (1)g x f x a x x x a x =--=--， ∴()ln 1g x x a '=+-， 令()0g x '=得1e a x -=．①当1e 1a -<时，即1a <时，()g x 在[1,e]上单调递增， ∴()g x 在[1,e]上的最小值为(1)0g =；②当11e e a -≤≤，即12a ≤≤时，()g x 在1[1,e ]a -上单调递减，在1[e ,e]a -上单调递增， ∴()g x 在[1,e]上的最小值为11111(e )e lne e e a a a a a g a a a -----=-+=-； ③当1e e a ->，即2a >时，()g x 在区间[1,e]上单调递减， ∴()g x 在[1,e]上的最小值为(e)e (e 1)e e g a a a =--=-+， 综上所述，当1a <时，()g x 的最小值为0； 当12a ≤≤时，()g x 的最小值为1e a a --； 当2a >时，()g x 的最小值为e e a a -+． 39.见解析．解：（1）1()ln 2f x x x =-，得11()2f x x '=-，∴(2)ln21f =-，(2)0f '=，∴函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程为ln21y =-． （2）∵112()22xf x x x-'=-=，令()0f x '>，得2x <，令()0f x '<，得2x >， 又()f x 的定义域是(0,)+∞， ∴函数()f x 的单调增区间为(0,2)． 40.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可； （Ⅱ）问题转化为2（x 1﹣1）m ﹣（﹣）+e ﹣1＜0对任意m ＜0恒成立，令g（m）=2（x1﹣1）m﹣（﹣）+e﹣1，得到关于x1的不等式组，解出即可；（Ⅲ）求出f（x0）的解析式，记h（m）=m2﹣mlnm，m＞0，根据函数的单调性求出h （m）的取值范围，从而求出f（x0）的范围，证明结论即可．【解答】解：（Ⅰ）m=2时，f（x）=e x﹣2x﹣1，f′（x）=e x﹣2，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，故函数f（x）在[ln2，+∞）递增；（Ⅱ）∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，x1+x2=1，∴2（x1﹣1）m﹣（﹣）+e﹣1＜0对任意m＜0恒成立，令g（m）=2（x1﹣1）m﹣（﹣）+e﹣1，当2（x1﹣1）=0时，g（m）=0＜0不成立，则，解得：x1＞1；（Ⅲ）由题意得f′（x）=e x﹣m，f′（x0）=0，故=m，f（x0）=﹣m（x0+1）+m2=m2﹣mlnm，m＞0，记h（m）=m2﹣mlnm，m＞0，h′（m）=m﹣lnm﹣1，h′′（m）=﹣，当0＜m＜2时，h′′（m）＜0，当m＞2时，h′′（m）＞0，故函数h′（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，如图所示：[h′（m）]min=h′（2）=﹣ln2＜0，又当m→0时，h′（m）＞0，m→+∞，h′（m）＞0，故函数h′（m）=0有2个根，记为m1，m2（m1＜2＜m2＜6），（h′（6）＞0），故h（m）在（0，m1）递增，在（m1，m2）递减，在（m2，+∞）递增，又当m→0时，h（m）＞0，h（m）在m2处取极小值，由h′（m2）=0， m2﹣lnm2﹣1=0，lnm2=m2﹣1，故h（m2）=﹣m2lnm2=﹣m2（m2﹣1）=﹣+m2=﹣+1∈（﹣3，1），故f（x0）＞﹣3．41.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）构造函数h（x）=g（x）﹣x﹣，求出函数导函数，对导函数求导后可得导函数的单调性，进一步确定导函数的符号，得到函数h（x）的单调性，可得h（x）≥h（0）=0得答案；（2）由（1）知，当kf（x）时，必有kf（x）≤g（x）成立，然后利用分析法证明当x∈[0，1]时，4f（x），当k≥6时，取特值x=说明不等式kf（x）≤g（x）在区间[0，1]上不恒成立，从而说明n0∈[4，6]．【解答】证明：（1）设h（x）=g（x）﹣x﹣，即h（x）=，则h′（x）=e x﹣1﹣x，h″（x）=e x﹣1，当x≥0时，h″（x）≥0，h′（x）为增函数，又h′（0）=0，∴h′（x）≥0．∴h（x）在[0，+∞）上为增函数，则h（x）≥h（0）=0，∴g（x）≥x+；（2）由（1）知，当kf（x）时，必有kf（x）≤g（x）成立．下面先证：当x∈[0，1]时，4f（x），当x=0或1时，上式显然成立；当x∈（0，1）时，要证4f（x），即证4（x﹣x2），也就是证8x2﹣7x+2≥0．∵＞0．∴当k≤4时，必有kf（x）≤g（x）成立．∴n0≥4；另一方面，当k≥6时，取x=，kf（x）﹣g（x）=＞0，∴当k≥6时，kf（x）≤g（x）不恒成立．∴n0≤6．综上，n0∈[4，6]．【点评】本题考查利用等式研究函数的单调性，训练了分析法证明函数不等式，体现了特值思想方法的应用，是中档题．42.（1）;（2）见解析.试题解析：（1），由题可知：为的两个根，且，得或.而由（1）（2）得：，设，有而在上为减函数，则，即，即，综上，.（2）证明：由，，知，，由（1）可知，所以，所以.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.43.（Ⅰ）求出函数的导数，根据二次函数的性质证明即可；（Ⅱ）求出f（α）+f（β）的解析式，根据二次函数的性质以及ACBD均为平行四边形，求出t的值即可．解：（Ⅰ）证明：，即﹣4x2+2tx+4=0，△=4t2+64＞0，∴，，即4x﹣t=0，则零点，∴得证．（Ⅱ）要使构成平行四边形，由得，只需f（α）+f（β）=0，∴===，所以t=0．44.(Ⅰ) 解： 因为21ln ()xf x x -'=由 ()0f x '=，解得：e x =……………………………………………………3分 因为x (0, e) e (e, +)∞()f x '+-()f xZ1e]所以 ()f x 的极大值为1e，无极小值．………………………………………7分 (Ⅱ) 因为()f x 在[1, e]上是增函数， 所以 max 1()(e)ef x f ==……………………………………………………10分 ()g x 在[1, e]上是增函数所以 max ()(e)e g x g k ==……………………………………………………13分所以 2max211, 0<,e e ()1e, .e k F x k k ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩……………………………………………15分 45.（Ⅰ）2'22()()2a x a f x x x x+=+=由'(1)220f a =+=，得1a =-. 经检验，当1a =-时取到极小值，故1a =-.（Ⅱ）由()0f x >，即22ln 0,x a x +>对任意[1,)x ∈+∞恒成立.（1）当1x =时，有a R ∈；（2）当1x >时，22ln 0,x a x +>得22ln x a x>-令2()(1)2ln x g x x x =->，得'2(2ln 1)()2ln x x g x x-=-；若1x <<，则'()0g x >；若x >'()0g x <.得()g x在上递增，在)+∞上递减。
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。
1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。
2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。
1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。
3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。
1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。
4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。
1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。
专题14 概率统计解答题突破(第一季)-2019年领军高考数学(理)压轴题必刷题(解析版)
专题14-1概率统计解答题突破第一季1．某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【答案】（Ⅰ）150（Ⅱ）7（Ⅲ）14.68【解析】（Ⅰ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30=150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150.（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2=0.10．因为50×0.10=5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人的所有可能结果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p=（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19=14.68（小时）．由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．2．2018年“双十一”期间，某商场举办了一次有奖促销活动，顾客消费每满1000元可参加一次抽奖(例如：顾客甲消费930元，不得参与抽奖；顾客乙消费3400元，可以抽奖三次)。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)
高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。
答案：an = 2n + 1。
3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。
答案：三角形ABC的面积为12。
4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。
答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。
5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。
6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。
7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。
答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。
8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。
答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。
9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。
答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。
10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。
答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = e^x 2。
12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。
高考数学压轴题大全
高考数学压轴题大全高考数学压轴题大全1.(本小题满分14分)如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C 的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程.(2)证明PFA=PFB.解：(1)设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：因此△APB的重心G的坐标为，因此，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：(2)方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：①当因此P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即因此P点到直线BF的距离为：因此d1=d2，即得AFP=PFB.②当时，直线AF的方程：直线BF的方程：因此P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PF B.2.(本小题满分12分)设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(Ⅰ)确定的取值范畴，并求直线AB的方程;(Ⅱ)试判定是否存在如此的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)本小题要紧考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.(Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得①设是方程①的两个不同的根，且由N(1，3)是线段AB的中点，得解得k=-1，代入②得，的取值范畴是(12，+).因此，直线AB的方程为解法2：设则有依题意，∵N(1，3)是AB的中点，又由N(1，3)在椭圆内，的取值范畴是(12，+).直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+ 2=0，代入椭圆方程，整理得又设CD的中点为是方程③的两根，因此由弦长公式可得④将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得⑤同理可得⑥∵当时，假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为⑦因此，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN||DN|，即⑧由⑥式知，⑧式左边由④和⑦知，⑧式右边⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由(Ⅱ)解法1及12,∵CD垂直平分AB，直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得解③和⑤式可得不妨设运算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.(注：也可用勾股定理证明ACAD)3.(本小题满分14分)已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足(Ⅰ)证明(Ⅱ)推测数列是否有极限?假如有，写出极限的值(不必证明);(Ⅲ)试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有本小题要紧考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.(Ⅰ)证法1：∵当即因此有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，证法2：设，第一利用数学归纳法证不等式(i)当n=3时，由知不等式成立.(ii)假设当n=k(k3)时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由(i)、(ii)知，又由已知不等式得(Ⅱ)有极限，且则有故取N=1024，可使当nN时，都有4.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A 1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|=2∶1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若点P为l上的动点，求F1PF2最大值.本题要紧考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的差不多思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则5.已知函数和的图象关于原点对称，且.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)解不等式;(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范畴.本题要紧考查函数图象的对称、二次函数的差不多性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则∵点在函数的图象上(Ⅱ)由当时，，现在不等式无解.当时，，解得.因此，原不等式的解集为.6.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x),f(x)g(x) 当xDf且xDg规定: 函数h(x)= f(x) 当xDf且xDgg(x) 当xDf且xDg若函数f(x)=,g(x)=x2,xR,写出函数h(x)的解析式;求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+), 其中是常数,且[0,],请设计一个定义域为R的函数y=f (x),及一个的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.[解] (1)h(x)= x(-,1)(1,+)1 x=1(2) 当x1时, h(x)= =x-1++2,若x1时, 则h(x)4,其中等号当x=2时成立若x1时, 则h(x) 0,其中等号当x=0时成立函数h(x)的值域是(-,0] {1}[4,+)(3)令f(x)=sin2x+cos2x,=则g(x)=f(x+)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,因此h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x, =,g(x)=f(x+)= 1+sin2(x+)=1-sin2x,因此h(x)= f(x)f(x+)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x..(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),,Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, , AN为AN-1关于点PN的对称点.(1)求向量的坐标;(2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;(3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.[解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),={2,4}.(2) ∵={2,4},f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.因此,当x(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),因此x2-x=2,y2-y=4,若36,则0 x2-33,因此f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).当14时, 则36,y+4=lg(x-1).当x(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.(3) =,由于,得13分)如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C 的右焦点，O为坐标原点.(I)求证：;(II)若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程;(III)在(II)的条件下，直线过点A(0，1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判定的范畴，并用代数方法给出证明.解：(I)右准线，渐近线3分(II)双曲线C的方程为：7分(III)由题意可得8分证明：设，点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q11分，得的取值范畴是(0，1)13分2.(本小题满分13分)已知函数，数列满足(I)求数列的通项公式;(II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求;(III)在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立?若存在，则如此的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在，请说明理由.(IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出那个极限值.解：(I)1分将这n个式子相加，得3分(II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为16分(III)设满足条件的正整数N存在，则又均满足条件它们构成首项为2021，公差为2的等差数列.设共有m个满足条件的正整数N，则，解得中满足条件的正整数N存在，共有495个，9分(IV)设，即则明显，其极限存在，同时10分注：(c为非零常数)，等都能使存在.19. (本小题满分14分)设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.(I)求此双曲线的渐近线的方程;(II)若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线;(III)过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.解：(I)，渐近线方程为4分(II)设，AB的中点则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.(9分)(III)假设存在满足条件的直线设由(i)(ii)得k不存在，即不存在满足条件的直线.14分3. (本小题满分13分)已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.(I)求证数列是等比数列;(II)设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立?解：(I)由已知(2)由得：，即对任意都成立事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。