第一章 生命表基础
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保险精算第二版习题及答案
4.某人从 50 岁时起 ,每年年初在银行存入 5000 元 ,共存 10 年 ,自 60 岁起 ,每年年初从银行提出一笔款作为生 活费用 ,拟提取 10 年。年利率为 10%, 计算其每年生活费用。
5000a&&10
10
1
x 1i
a&&10
x 12968.7123
5.年金 A 的给付情况就是 :1～ 10 年 ,每年年末给付 1000 元;11～ 20 年 ,每年年末给付 2000 元 ;21～30 年 ,每年 年末给付 1000 元。年金 B 在 1～ 10 年,每年给付额为 K 元 ;11～20 年给付额为 0;21～ 30 年 ,每年年末给付 K 元,
的利率为 i3 6% ,求该笔投资的原始金额。
A(3) 1000 A(0)(1 i1)(1 i2 )(1 i3) A(0) 794.1
5.确定 10000 元在第 3 年年末的积累值 :
(1) 名义利率为每季度计息一次的年名义利率
6%。
(2) 名义贴现率为每 4 年计息一次的年名义贴现率 6%。
1
10000 a(3) 10000 a(3)
D 、 58
4
P(50 X 60) s 50
s 50 s(60) 10 q50
s(50)
P( X 70) s(70)
20 p50
s 70 s(50)
s(60)
保险精算第二版习题及答案
2、 已知 Pr［ 5＜ T(60) ≤ 6］ =0、 1895,Pr［ T(60) ＞ 5］ =0、 92094,求 q60 。
1.1*1.086956522*1.061363551*1.050625
1.333265858
保保险精算基础
《保险精算基础》保险学专业03级讲义(中大岭南学院保险系宋世斌2005.2）1第一章精算基础知识1.1精算、精算师和精算职业制度精算—–应用各种数理模型来估计和分析未来不确定事件（风险）产生的影响（特别是财务方面）。
以保险业为基础产生的精算科学通常指处理保险业中的风险管理问题精算早已形成完整的体系，在社会保险、金融、投资、证券等领域广泛应用精算师——针对精算问题逐步形成的一种专门职业的从业人员，经过金融保险监管部门认可其从业资格。
资格认定：北美和英国体系，资格考试分寿险精算师、非寿险精算师、投资与资产管理精算师、养老金精算师、咨询精算师精算学起源——起源于人寿保费的计算。
1693年哈雷编制第一张生命表精算师职业组织——英国精算学会、SOA北美精算师协会、AAA美国精算职业学会、国际精算师学会、……中国精算职业制度——我国保险法规定：”经营人身保险业务的保险公司，必须聘用金融监督管理部门认可的精算专业人员，建立精算报告制度。
”1999年组织了中国首次精算师资格考试，有43人获中国精算师资格主要应用于寿险业务，而非寿险业务，精算学的应用还是空白。
中国精算师的职业制度基本思路在考试认可制度下，取得精算师考试合格证书仅是精算师职业制度的开端：①取得中国精算师资格证书者，若以精算师名义在商业保险机构执业，还需向中国保监会申请注册，在取得精算师执业证书后，方可执业;②执业的精算师应加入精算师的专业团体中国精算师协会，每年需参加中国精算师协会规定的职业培训，接受其监督管理；③保险公司聘请一名执业精算师作为公司的首席精算师，并报中国保监会备案(首席精算师需经中国保监会的资格审查认可)；④首席精算师离职应当报中国保险监督管理委员会备案。
保险公司解除其首席精算师的职务，应当向中国保险监督管理委员会陈述理由，并报中国保险监督管理委员会备案。
中国精算师考试课程中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为准精算师资格考试，第二层次为精算师资格考试。
第一章生命表2
1 = [l x +1 − l x + 2 + 2(l x + 2 − l x +3 ) + 3(l x +3 − l x + 4 )] + lx
1 = [l x +1 + l x + 2 + l x +3 + lx ]
lx+k =∑ k =1 l x
1-14
∞
习题
1、已知20岁的生存人数为1 000人，21岁 的生存人数为998人，22岁的生存人数为 992人，则 1 | q20 为（ ）。 A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005
1 1− t t = + , 0 < t <1 s ( x + t ) s ( x) s ( x + 1)
1-21
均匀分布假定(线性插值)
假设生存函数在x + t 的值可由在x 的值和 x + 1的值进行线性插值得到，即
s ( x + t ) = (1 − t ) s ( x) + ts ( x + 1) , 0 < t < 1
k
= 1 − (1 − q x )(1 − q x +1 )
k |m
q x = k p x ⋅m q x + k
1-5
生命表的构造
lx
: l 个新生生命能生存到年龄x的期望人数 0
lx = l0 ⋅ s ( x)
理解：对于每个新生儿来说，到x岁还活着的 概率是
x
p0 = s ( x )
到x岁还活着的人数就是一个随机变量。 这个随机变量服从参数为 l 0 和 s ( x) 的二项 分布，用 l x 表示它的期望值，则
《风险理论》第1章_效用理论与保险
• 如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B； • 如果B略微大一点，如500，那么P就可能 比5 稍大一些； • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。
结论：因为这么大的损失一但发生可 能导致破产，因此可以付出比期望值 高的费用为风险投保。
例 1.2.1(圣彼得堡悖论)
以价格 P 元参与如下的
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。 如果 E 那么保险人将以保 U W P X U W ， 费 P 承保损失 X 。 上述不等式意味着保险人选用的效益函数是 个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费， 可从反映保险人 状况的效用均衡方程中解出：
效用理论的几个基本假设
假设决策者使用函数值 u w （被称为效用函数）去衡量
其财富，而不是用财富 w 本身去衡量。 如果决策者必须在随机损失 X 和 Y 之间进行选择，他会 去比较 E u w X 和E u w Y ，并选择期望效用 较大的那个损失。 利用这个模型，对于随机损失 X，拥有财富 w 的被保险 人，就可以决定为此支付的最大保费 P 了。这可以由均 衡方程 E u w X u w P 求出。 保险人使用自己的效用函数和可能的附加费用，决定一 个最小的保费 P 。 如果保费介于被保险人的最大保费 P 和保险人的最小 保费 P 之间，保险人与被保险人双方的效用就都增加 了。
风险偏好者的效用函数 u x 的特点：
u ' x 0, u " x 0 ，凸函数
风险中性人的效用函数 u x 的特点： ：
u ' x 0, u " x 0 ，直线
初学生命表
生命表
生命表的基本概念
生命表是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它 是以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出 各年龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
生命表主要函数
1、尚存人数
lx
和死亡人数
dx
l 生命表基数：0 是指生命表的出生人数，也即0岁（确切年龄）的人 数，通常定 l 0 =100000。
静止人口
3. 基本性质
每年出生人数与死亡人数不变且相等 B=D 各年龄人数不变
Px B Lx, Lx表示出生婴儿活到 x岁的比例
出生率与死亡率相等且与平均预期寿命互为倒数
P
P
x 0
x
B L
x 0
x
B Lx B e0
x 0
B B 1 b d P B e0 e0
静止人口
4. 重新阐释生命表
l0 每年出生数及死亡数 lx 每日历年到达 岁的人数 x nLx 任何时间点存活的 到x n岁人数 N L x , Tx 任何时间点存活的 岁以上人数 x T0 总人口规模 ndx 每年x到x n岁死亡人数 e0 任何一年死亡人口的平 均年龄
静止人口
讨论：
静止人口是一种非常理想化的人口，在现实 中很难出现，那么研究静止人口的意义何在？
时期生命表
时期生命表
② 高龄组
l d m d a l a 1 m
时期生命表
7. 编制步骤
获取基础数据 mx n 选择一套nax 计算nqx n nmx n nmx nmx 1 选定l0 100000 计算lx
生命表的基本概念
生命表是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它 是以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出 各年龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
生命表主要函数
1、尚存人数
lx
和死亡人数
dx
l 生命表基数：0 是指生命表的出生人数，也即0岁（确切年龄）的人 数，通常定 l 0 =100000。
静止人口
3. 基本性质
每年出生人数与死亡人数不变且相等 B=D 各年龄人数不变
Px B Lx, Lx表示出生婴儿活到 x岁的比例
出生率与死亡率相等且与平均预期寿命互为倒数
P
P
x 0
x
B L
x 0
x
B Lx B e0
x 0
B B 1 b d P B e0 e0
静止人口
4. 重新阐释生命表
l0 每年出生数及死亡数 lx 每日历年到达 岁的人数 x nLx 任何时间点存活的 到x n岁人数 N L x , Tx 任何时间点存活的 岁以上人数 x T0 总人口规模 ndx 每年x到x n岁死亡人数 e0 任何一年死亡人口的平 均年龄
静止人口
讨论：
静止人口是一种非常理想化的人口，在现实 中很难出现，那么研究静止人口的意义何在？
时期生命表
时期生命表
② 高龄组
l d m d a l a 1 m
时期生命表
7. 编制步骤
获取基础数据 mx n 选择一套nax 计算nqx n nmx n nmx nmx 1 选定l0 100000 计算lx
生命表
国内的生命表
10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； 2、保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大 的改善； 3、保险精算技术获得了极大的发展，积累了一些死亡率 分析经验。 基于各方面的考虑，在中国保监会的领导和组织下， 2003年8月，正式启动了新生命表编制项目。新生命表编 制完成后，于2005年11月12日通过了以著名人口学专家、 全国人大副委员长蒋正华为主任的专家评审会的评审。于 2006年1月1日正式启用。
X=年龄 lx=在X岁生存的人数 dx=年龄在岁的人在一年内死亡的人数=lx-lx+1 qx=年龄在岁的人在一年内死亡的概率=dx/lx px=年龄在岁的人活过一年的概率 =lx+1/lx
生命表的分类
以死亡统计的对象为标准，生命表可分为 国民生命表和经验生命表。 国民生命表是根据全体国民或某一特定地 区人口的死亡资料编制而成的。 经验生命表是根据保险机构有关人寿保险、 社会保险的死亡记录编制而成的。
生命表概述
2009年10月
原理
现代保险学是建立在概率论和大数定律的基础上 大数法则：是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数 量规律的一系列定理的统称. 切比雪夫大数法则：在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保费与 其所能获得的赔款期望值相等。 贝努力定理大数法则：利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。 泊松大数法则：平均概率与观察结果所得的比例将无限接近。
国内的生命表
新生命表包括非养老金业务男女表和养老金业务男女表共 两套四张表，简称“CL(2000-2003)”。其结构与原生命表 相同，但取消了混合表。 之所以非养老金业务与养老金业务用表不同，是因为整体 而言，投保养老金的人群死亡的概率比投保非养老金的人 群要小。 本次非养老金业务表男性平均寿命为76.7岁，较原生命表 提高了3.1岁，女性平均寿命为80.9岁，较原生命表提高 了3.1岁。养老金业务表男性平均寿命为79.7岁，较原生 命表提高了4.8岁，女性平均寿命为83.7岁，较原生命表 提高了4.7岁。
生命表基础课件
t
（7） t qx FT (x) (t) 0 s px (x s)ds ；
（8）
qx
lim
t
FT
(
x
)
(t
)
0 t px (x t)dt 1；
（9）
d dt
t
px
d dt
(1
t qx )
d dt
t qx
t
px ( x
t)；
（10） lim xn ( y)dy . n x
上式中，当 u=1 时，则可简记为 t| qx 。 注：由前面的讨论，我们有，
（1）t qx
SX (x) SX (x t) SX (x)
；
（2）t
px
SX (x t) SX (x)
（3）t|u qx t px tu
； px
SX
(x
t) SX (x SX (x)
t
u)
)
S
X '( SX
x (
t x)
)
注：关于T（x）的概率都是已知 X x 时相应的 X 的条件概率。
类似地，我们定义一个x 岁的人在 t 年后活着的概率 ST (x) (t)为： ST (x) (t)=Pr(T(x)>t)=1 FT (x) (t)
=1 SX (x) SX (x t) SX (x)
例1-4. 对于例1-1中的 X ，求 (x) 。
解：黑板演示
第二节 生命表函数
一、生命表的概念 二、 lx 函数 三、d x函数
一、生命表的概念
ASA共有十一门必修课 (1)
ASA共有十一门必修课：1．微积分和线性代数（100）；2．概率论与数理统计（110）；3．应用统计方法（120）；4．复利数学（140）；5．精算数学（150）；6.风险理论（151）；7．生存模型（160）；8．经济保障计划概论（200）；9．精算实务概论（210）；10．资产管理和公司财务概论（220）；11．资产和负债管理原理（230）。
以上十一门课共255学分，其余45学分要在另外24门选修课（略）中任选三～四门获得。
考生在获得ASA资格证书后方可参加FSA课程考试，通常把FSA考试分为若干方向，如：团体和健康保险、个人寿险和年金、财务、投资等，每个方向下设若干门课程,取得FSA 资格必须通过某一专门方向的所有课程，再选考其它若干门课程，使学分达到150分，连同ASA共450学分即可成为FSA。
考试在每年五月、十一月进行，考生每次报考门数自定，考完为止。
有关考试信息推荐您去{环球网校-精算师}频道查询准精算师部分的考试内容包括：科目名称科目代码科目名称科目代码中国精算师资格考试数学基础Ⅰ 01 生命表基础 06中国精算师资格考试数学基础Ⅱ 02 寿险精算实务 07中国精算师资格考试复利数学 03 非寿险精算数学与实务 08中国精算师资格考试寿险精算数学 04 综合经济基础 09中国精算师资格考试风险理论 05精算师部分的考试内容包括：科目代码课程名称备注中国精算师资格考试011 保险公司财务管理必考中国精算师资格考试012 保险法及相关法规必考中国精算师资格考试013 个人寿险与年金精算实务必考中国精算师资格考试014 社会保障选考中国精算师资格考试015 资产负债管理选考中国精算师资格考试016 高级非寿险精算实务选考中国精算师资格考试017 团体寿险选考中国精算师资格考试018 意外伤害和健康保险选考中国精算师资格考试019 高级投资学选考中国精算师资格考试020 养老金计划选考中国精算师资格考试021 精算职业后续教育（PD）必修，精算师部分要求完成3门必考课程，2门选考课程及精算职业后续教育后，并具有三年以上的精算工作经验，方可具备资格。
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(2)由于s(0) = 1，s '( x) = −2(1 + x) < 0 ，lim s ( x ) = lim
−3 x→∞ x→∞
x→∞
1
(3).s(0) = 1，s′ ( x ) = e
( ) ( −2 x ) < 0 ，lim s ( x ) = lim e
−x 2 x→∞ x→∞
(1 + x )
剩余寿命的期望与方差
期望剩余寿命（完全余命）：( x) 剩余寿命的期 o 望值(均值),简记
ex
ex = E (T ( x)) =
o
ω−x
∫ td (1 −
0
ω−x
t
px ) =
∫
0
t
px dt
剩余寿命的方差
ω−x
Var (T ( x)) = E (T ( x) 2 ) − E (T ( x)) 2 = 2
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表.
生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写 过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表 对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形 式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表 的创始人。
生存函数的性质
lim ①s(0)=1， s ( x) = 0 ，ω为死亡的极限年龄； x→ω ②0≤s(x)≤1，x≥0； ③s’(x)=－f (x) <0，即s(x)是单调递减函数； ④s(x)是一个右连续的函数。
Example1.1
【例题1.1】下列函数表达式可以作为生存函数的有(
⎡ ⎤ （1）s ( x ) = exp ⎣ x − 0.7 ( 2 x − 1) ⎦ ，x > 0； （2）s ( x ) = 1
）。 E．1/3
剩余寿命
【例题1.2】已知： s ( x ) =
1 100 − x ， ≤ x ≤ 100 ，则年龄为19 0 10
岁的人在36岁至75岁之间死亡的概率为（ A．1/9 B．1/8 C．1/6 D．1/5
）。 E．1/3
【答案】E 【解析】
1 ( 64 − 25) s (36) − s (75) 10 1 = = 17|39 q19 = 1 3 s (19) 81 10
g (t )
d d ⎡ s ( x) − s( x + t ) ⎤ s ( x + t ) μ x +t g (t ) = G (t ) = ⎢ = t px ⋅ μ x +t ⎥= dt dt ⎣ s( x) s( x) ⎦
致命力
【例题1.3】（2008春季考试真题）已知：
（1） p70 = 0.95；（ 2） p71 = 0.96；（ 3） μ x dx = 0.107 3 2 ∫
第一节 生命函数
寿命的分布函数
定义X为一个0岁得初生婴儿将来的寿命。 F 则X的分布函数： ( x) = Pr( X ≤ x) 意义：新生儿在 x 岁之前死亡的概率。 dF ( x) f (x) = 与密度函数的关系： dx 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr(x < X ≤ z) = F(z) − F(x)
有关寿命分布的参数模型
Makeham模型(1860)
μx = A + Bc
x
s( x) = exp{− Ax − B(c x −1) / ln c} , B > 0,A ≥ -B,c > 1,x ≥ 0
Weibull模型(1939)
μ x = kx n
s ( x) = exp{− kx n +1 /(n + 1)} , k > 0, n > 0, x ≥ 0
71
75
计算 5 p70=（ A．0.85
）。 B．0.86
C．0.87
D．0.88
E．0.89
致命力
【例题1.3】（2008春季考试真题）已知：
（1） p70 = 0.95；（ 2） p71 = 0.96；（ 3） μ x dx = 0.107 3 2 ∫
71
75
计算 5 p70=（ ）。 A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 【答案】E 【解析】设s(x)为（x）的生命函数，则
)
(1 + x )
2
，x > 0；
（3）s ( x) = exp(− x 2 )，x > 0。
A．（1）（2）（3） C．（1）（3） B．（1）（2） D．（2）（3） E．（1）sol Nhomakorabeations
【答案】D 【解析】生存函数的性质有：s(0)=1；函数是单调递减的，且 lim s ( x ) = 0。 (1) 由 于 s’(x)=exp[x － 0.7(2x － 1)](1 － 0.7×2x×ln2) ， s’(0)=0.5148＞0，说明该函数不满足单调递减的性质，所以它 不能作为生存函数；
第二节 生命表
有关寿命分布的参数模型
De Moivre模型(1729)
μx =
1 ω−x x s( x) = 1 −
注：死亡年龄X在[0，ω]上服从均匀分布。 Gompertze模型(1825)
ω
,
0≤ x ≤ω
μ x = Bc x
s ( x) = exp{− B (c x − 1) / ln c} , B > 0,c > 1,x ≥ 0
solutions
(4) E (T ) = 2∫ tt px dt
2 0 ∞
= 2 ∫ te −0.05t dt
0
∞
= 2∫
∞
0
∞ t de −0.05t = −40∫ tde −0.05t 0 −0.05 −0.05t ∞ 0
= −40(te
∞ 0
| − ∫ e −0.05t dt )
0
∞
= 40 ∫ e −0.05t dt 1 = 40 × e −0.05t |∞ 0 −0.05 = 40 × 20 = 800 [ E (T )]2 = 400 Var[T (30)] = 800 − 400 = 400
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
生命表起源
第一章
生命表基础
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命（连续、离散） 死亡效力
生命表的构造
有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
有关分数年龄的三种假定
本章中英文单词对照
死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表 Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables
− x2
2
= 0.
= 0.
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。 T(x)=X-x，如新生儿的剩余寿 命T(0)=X。 剩余寿命的分布函数 t qx ：
t
qx = Pr(T ( x) ≤ t ) = Pr( x < X ≤ x + t X > x) s( x) − s ( x + t ) s( x + t ) = = 1− s ( x) s ( x)
ω−x
0
t d (1 − t px ) − ( ∫
2
ω−x
0
px dt ) 2 t
ω−x
0
= t (1 − t px ) |0
2
ω−x
−∫
ω−x ω−x
0
2t (1 − t px )dt − ( ∫ px dt ) 2 t
px dt ) 2 t
= 2∫
ω−x
0
t ⋅ t px dt − ( ∫
0
整值剩余寿命的期望与方差
qx = 1 qx
tu
qx ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之
tu
间去世的概率
qx =
t +u
qx − t qx = t px − t + u px
剩余寿命
【例题1.2】已知： s ( x ) =
1 100 − x ， ≤ x ≤ 100 ，则年龄为19 0 10
岁的人在36岁至75岁之间死亡的概率为（ A．1/9 B．1/8 C．1/6 D．1/5
2 2 k =0
∞
2
Example1.4
假设 S ( x) = e −0.05 x，x ≥ 0，求： (1)5|10 q30 (2) F (30) (3) e30 （4）Var[T (30)]
solutions
S (35) − S (45) e −1.75 − e −2.25 (1)5|10 q30 = = S (30) e −1.5 (2) F (30) = 1 − S (30) = 1 − e −1.5
E．0.89
3
p70 =
s ( 70 )
s ( 73)
= 0.95 ， p71 = 2 s ( 71)
−3 x→∞ x→∞
x→∞
1
(3).s(0) = 1，s′ ( x ) = e
( ) ( −2 x ) < 0 ，lim s ( x ) = lim e
−x 2 x→∞ x→∞
(1 + x )
剩余寿命的期望与方差
期望剩余寿命（完全余命）：( x) 剩余寿命的期 o 望值(均值),简记
ex
ex = E (T ( x)) =
o
ω−x
∫ td (1 −
0
ω−x
t
px ) =
∫
0
t
px dt
剩余寿命的方差
ω−x
Var (T ( x)) = E (T ( x) 2 ) − E (T ( x)) 2 = 2
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表.
生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写 过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表 对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形 式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表 的创始人。
生存函数的性质
lim ①s(0)=1， s ( x) = 0 ，ω为死亡的极限年龄； x→ω ②0≤s(x)≤1，x≥0； ③s’(x)=－f (x) <0，即s(x)是单调递减函数； ④s(x)是一个右连续的函数。
Example1.1
【例题1.1】下列函数表达式可以作为生存函数的有(
⎡ ⎤ （1）s ( x ) = exp ⎣ x − 0.7 ( 2 x − 1) ⎦ ，x > 0； （2）s ( x ) = 1
）。 E．1/3
剩余寿命
【例题1.2】已知： s ( x ) =
1 100 − x ， ≤ x ≤ 100 ，则年龄为19 0 10
岁的人在36岁至75岁之间死亡的概率为（ A．1/9 B．1/8 C．1/6 D．1/5
）。 E．1/3
【答案】E 【解析】
1 ( 64 − 25) s (36) − s (75) 10 1 = = 17|39 q19 = 1 3 s (19) 81 10
g (t )
d d ⎡ s ( x) − s( x + t ) ⎤ s ( x + t ) μ x +t g (t ) = G (t ) = ⎢ = t px ⋅ μ x +t ⎥= dt dt ⎣ s( x) s( x) ⎦
致命力
【例题1.3】（2008春季考试真题）已知：
（1） p70 = 0.95；（ 2） p71 = 0.96；（ 3） μ x dx = 0.107 3 2 ∫
第一节 生命函数
寿命的分布函数
定义X为一个0岁得初生婴儿将来的寿命。 F 则X的分布函数： ( x) = Pr( X ≤ x) 意义：新生儿在 x 岁之前死亡的概率。 dF ( x) f (x) = 与密度函数的关系： dx 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr(x < X ≤ z) = F(z) − F(x)
有关寿命分布的参数模型
Makeham模型(1860)
μx = A + Bc
x
s( x) = exp{− Ax − B(c x −1) / ln c} , B > 0,A ≥ -B,c > 1,x ≥ 0
Weibull模型(1939)
μ x = kx n
s ( x) = exp{− kx n +1 /(n + 1)} , k > 0, n > 0, x ≥ 0
71
75
计算 5 p70=（ A．0.85
）。 B．0.86
C．0.87
D．0.88
E．0.89
致命力
【例题1.3】（2008春季考试真题）已知：
（1） p70 = 0.95；（ 2） p71 = 0.96；（ 3） μ x dx = 0.107 3 2 ∫
71
75
计算 5 p70=（ ）。 A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 【答案】E 【解析】设s(x)为（x）的生命函数，则
)
(1 + x )
2
，x > 0；
（3）s ( x) = exp(− x 2 )，x > 0。
A．（1）（2）（3） C．（1）（3） B．（1）（2） D．（2）（3） E．（1）sol Nhomakorabeations
【答案】D 【解析】生存函数的性质有：s(0)=1；函数是单调递减的，且 lim s ( x ) = 0。 (1) 由 于 s’(x)=exp[x － 0.7(2x － 1)](1 － 0.7×2x×ln2) ， s’(0)=0.5148＞0，说明该函数不满足单调递减的性质，所以它 不能作为生存函数；
第二节 生命表
有关寿命分布的参数模型
De Moivre模型(1729)
μx =
1 ω−x x s( x) = 1 −
注：死亡年龄X在[0，ω]上服从均匀分布。 Gompertze模型(1825)
ω
,
0≤ x ≤ω
μ x = Bc x
s ( x) = exp{− B (c x − 1) / ln c} , B > 0,c > 1,x ≥ 0
solutions
(4) E (T ) = 2∫ tt px dt
2 0 ∞
= 2 ∫ te −0.05t dt
0
∞
= 2∫
∞
0
∞ t de −0.05t = −40∫ tde −0.05t 0 −0.05 −0.05t ∞ 0
= −40(te
∞ 0
| − ∫ e −0.05t dt )
0
∞
= 40 ∫ e −0.05t dt 1 = 40 × e −0.05t |∞ 0 −0.05 = 40 × 20 = 800 [ E (T )]2 = 400 Var[T (30)] = 800 − 400 = 400
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
生命表起源
第一章
生命表基础
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命（连续、离散） 死亡效力
生命表的构造
有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
有关分数年龄的三种假定
本章中英文单词对照
死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表 Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables
− x2
2
= 0.
= 0.
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。 T(x)=X-x，如新生儿的剩余寿 命T(0)=X。 剩余寿命的分布函数 t qx ：
t
qx = Pr(T ( x) ≤ t ) = Pr( x < X ≤ x + t X > x) s( x) − s ( x + t ) s( x + t ) = = 1− s ( x) s ( x)
ω−x
0
t d (1 − t px ) − ( ∫
2
ω−x
0
px dt ) 2 t
ω−x
0
= t (1 − t px ) |0
2
ω−x
−∫
ω−x ω−x
0
2t (1 − t px )dt − ( ∫ px dt ) 2 t
px dt ) 2 t
= 2∫
ω−x
0
t ⋅ t px dt − ( ∫
0
整值剩余寿命的期望与方差
qx = 1 qx
tu
qx ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之
tu
间去世的概率
qx =
t +u
qx − t qx = t px − t + u px
剩余寿命
【例题1.2】已知： s ( x ) =
1 100 − x ， ≤ x ≤ 100 ，则年龄为19 0 10
岁的人在36岁至75岁之间死亡的概率为（ A．1/9 B．1/8 C．1/6 D．1/5
2 2 k =0
∞
2
Example1.4
假设 S ( x) = e −0.05 x，x ≥ 0，求： (1)5|10 q30 (2) F (30) (3) e30 （4）Var[T (30)]
solutions
S (35) − S (45) e −1.75 − e −2.25 (1)5|10 q30 = = S (30) e −1.5 (2) F (30) = 1 − S (30) = 1 − e −1.5
E．0.89
3
p70 =
s ( 70 )
s ( 73)
= 0.95 ， p71 = 2 s ( 71)