实数知识点汇总及经典练习题
)(无限不循环小数负有理数
正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第二章 实数知识点汇总及经典练习题 一,知识点归纳
1.实数的分类
（1）按实数的定义分类：
（2）按实数的正负分类： ⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）
零（既不是正数也不是正无理数正分数
正整数正有理数正实数实数 2．实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．
实数的运算
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，其中常用的运算定律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律。
（2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。
3、实数的大小比较
常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。
（1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。
（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小。
（3）设a ，b 是任意两实数，
若a-b>0,则a>b;
若a-b=0,则a=b;
若a-b<0,则a<b 。
二、数轴
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（2）数轴的三要素为原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数一一对应，所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的不都是有理数。
三、相反数、倒数、绝对值
1、只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。
零的相反数是零。
若实数a 、b 互为相反数，则a+b=0。
2、1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。
零没有倒数。
若实数a 、b 互为倒数，则ab=1。
3、从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。
四、近似数、有效数字、科学计数法
（1）对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始到最末一位数字为止，都是这个近似数的有效数字；
（2）将较大的正数N （N>1）写成10n
a ⨯的形式，其中110a ≤<，指数n 为原数的整数位数减1的差；
（3）将将较小的正数N 表示为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，指数n 为第一位有效数字前零的个数的相反数。
3..算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。
0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。
4.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。
正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
5.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
6.())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b a b a b a ab b a
（2）若b 3=a ，则b 叫做a 的立方根。
（3）2(0)
(0).a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
二【典型例题】
例1若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( )
A. －a 2
B. －( a +1)2
C.－2a
D.－(a -+1)
例2 实数a 在数轴上的位置如图所示,
化简:2)2(1-+-a a =
例3 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）
A.
5－2 B. 2－5 C. 5－3 D.3－5
例4 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为 三【能力训练】
1.已知52-=a ,则a 的相反数是 ； a 的倒数是 ；若在数轴上表示a ,它在原点的 侧(填“左”或“右”)；且到原点的距离是 .
2. 10在两个连续整数a 和b 之间, a ﹤10﹤b ,那么a 、b 的值分别是
3. ，，，，已知：24
552455154415448338333223222222⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+ …，若符合前面式子的规律，则。
10102+=⨯+=b a b a
a b 4．下列结论正确的是（ ）
A.∵b a ，∴ a ﹥b
B. 22)(a a =
C. a 与a
1不一定互为相反数 D. a +b ﹥a －b 5．请你估算11的大小（ ）
A.1﹤11﹤2
B. 2﹤11﹤3
C. 3﹤11﹤4
D. 4﹤11﹤5
6．若数轴上表示数a 的点在原点的左边，则化简22a a +的结果是（ ）
A.－ a
B. －3a
C. a
D. 3a
7．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于1，求a +b +x 2－cdx 的值．
8．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 、y 满足04422
=+++-y y x ，求2008220092()()()2a b x cd y a b cd y xy +-+++-的值．
9．如图2，数轴上表示1和2的点分别为A 和B ，点B 关于点A 的对称点为C ．设C 点所表示的数为x ，求x+
x
2的值．
10.计算： (1) 46
1211)31()31()2(023-+÷+++⨯-- (2) 02
38(22010)(32)3
----+- 11. 已知：()320.125x -=- ，求x 的值
12. .已知：2
81250x -= ，求x 的值.
13. 给出下列说法：①6-是36的平方根；②16的平方根是4；③3322--=；④327是无理数；⑤一个无理数不是正数就是负数．其中，正确的说法有（ ）
Ａ．①③⑤ Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．①
14. 以下四个命题
①若a 是无理数，则a 是实数；②若a 是有理数，则a 是无理数；③若a 是整数，则a
是有理数；④若a ）
Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③
Ｄ．④
15. 已知实数a 满足1992a a -=，则21992a -的值是（ ）
Ａ．1991 Ｂ．1992 Ｃ．1993 Ｄ．1994
16. .已知x 、y 互为倒数，c 、d 互为相反数，a 的绝对值为3，z 的算术平方根是5，求
22c d xy -++。
实数知识点及典型例题
实数知识点及典型例题一、实数知识点。
（一）实数的分类。
1. 有理数。
- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
例如：5，0，-3。
- 分数：正分数、负分数统称为分数。
分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。
- 有理数：整数和分数统称为有理数。
2. 无理数。
- 无理数是无限不循环小数。
例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。
3. 实数。
- 有理数和无理数统称为实数。
（二）实数的相关概念。
1. 数轴。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。
2. 相反数。
- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
例如：3与-3互为相反数。
- 若a、b互为相反数，则a + b=0。
3. 绝对值。
- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。
例如：| 5| = 5，| -3|=3。
4. 倒数。
- 乘积为1的两个数互为倒数。
a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。
例如：2的倒数是(1)/(2)。
（三）实数的运算。
1. 运算法则。
- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。
- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。
2. 运算律。
- 加法交换律：a + b=b + a。
- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
- 乘法交换律：ab = ba。
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实数习题集【知识要点】1．实数分类：2．相反数：互为相反数b a ,0=+b a 4．倒数：互为倒数没有倒数.b a ,0;1=ab 5．平方根，立方根：±.==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2a 若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法.【课前热身】1、36的平方根是 ；的算术平方根是 ；162、8的立方根是 ；＝ ；327-3、的相反数是 ；绝对值等于的数是37-34、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是。
5、的绝对值是 ，的绝对值是 。
211-6、9的平方根的绝对值的相反数是 。
7的相反数是 ，的相反数的绝对值是。
+-8的相反数之和的倒数的平方为 。
--+【典型例题】例1、把下列各数分别填入相应的集合里：2,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---∙- 有理数集合：｛ ｝；无理数集合：｛ ｝；负实数集合：｛ ｝；例2、比较数的大小（1）（2）2332与6756--与例3．化简：实数有理数无理数整数（包括正整数，零，负整数）分数（包括正分数，负整数）正无理数负无理数)0(>a 3．绝对值：=a a0a -)0(=a )0(<a（1）233221-+-+-（2+例4．已知是实数，且有，求的值.b a ,0)2(132=+++-b a b a ,例5 若|2x+1|与互为相反数，则－xy 的平方根的值是多少？x y 481+总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例6．已知为有理数，且，求的平方根b a ,3)323(2b a +=-b a +例7. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图试化简：。
x zx y y z x z x z ---++++-【课堂练习】1．无限小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数.2．如果，则是一个 数，的整数部分是 .102=x x x 3．的平方根是 ，立方根是 .644．的相反数是 ，绝对值是 .51-5．若 .==x x 则66．当时，有意义；_______x 32-x 7．当时，有意义；_______x x -118．若一个正数的平方根是和，则，这个正数是 ；12-a 2+-a ____=a 9．当时，化简;10≤≤x __________12=-+x x 10．的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）.b a , A 、B 、C 、D 、b a +b a -ab ab -11．全体小数所在的集合是（ ）.A 、分数集合B 、有理数集合C 、无理数集合D 、实数集合12．等式成立的条件是（ ）.1112-=+⋅-x x x A 、B 、C 、D 、1≥x 1-≥x 11≤≤-x 11≥-≤或x 13．若，则等于（ ）.64611)23(3=-+x x A 、B 、C、D 、214141-49-14．计算：（1） （221--4-（3（4） 24+-+-++81214150232-+-ab15．若，求的值.054=-++-y x x xy16．设a 、b 是有理数，且满足，求的值(21a +=-b a17．若，求的值。
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a a a a 2x x 1- x1、平方根实数知识点总结平方根、算数平方根和立方根 （3—10 分）如果一个数的平方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数 a 的平方根记做“ ± ”。
2、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （ a ≥ 0）≥ 0= a =3、立方根- a （ a <0）；注意 的双重非负性：a ≥ 0如果一个数的立方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： 3 - a = -3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
实数（平方根）单元习题练习思维启动如图是一块由两个正方形并排放在一起而成的硬纸板，请你用两刀把它裁成四块，然后拼成一个正方形，拼后的正方形边长为多少？综合探究探究一 由平方根和算术平方根的意义确定字母的取值范围 1.中被开方数为，根号下的被开方数必须是 才有意义，因此可列出不等式，x 的取值范围是．2. + 有意义，需要列出不等式组为． x 的取值范围a 2⎩是 ．x3.x 的取值范围是 x +1答案：1． 2x ，非负数， 2x ≥ 0 ， x ≥ 0 ．⎧1- x ≥ 0,2． ⎨x ≥ 0. 3． x > -1 ．0 ≤ x ≤ 1． 探究二 根据非负数性质求未知数的值已知 x 、 y 3(y - 2)2= 0 ．1 3(y - 2)2+ 3(y - 2)2= 0 ，你能得到什么结论？．2．由 1，你能求出 x - y 的值吗？．答案：1．∵3(y - 2)2= 0 ．≥ 0 ， 3(y - 2)2≥ 0 ， 3(y - 2)2= 0 = 0 ，2．由 1 得， x -1 = 0 ， x = 1 ； y - 2 = 0 ， y = 2 ．∴ x - y = 1- 2 = -1． 探究三 平方根与简单的一元二次方程 1．由 x 2 -196 = 0 可得 ， 2．据 1 得， x 是 196 的，所以 x =．3．由 1，2 的启示，请你试着求等式16 (x + 2)2- 81 = 0 中的 x 值．．答案：1． x 2 = 196 ． 2．平方根， x = ±14 ．2 2 81 9 1 173．由16 (x + 2)-81 = 0 ，得(x + 2)=，∴ x + 2 =±16 4，∴x =或-．4 4探究四由平方根的意义确定字母的值3a - 22 和2a - 3 都是m 的平方根，求a 和m 的值．1.当3a - 22 与2a - 3 相等时，求a 和m 的值．．2.当3a - 22 与2a - 3 互为相反数时，求a 和m 的值．．3.讨论总结：m 的值为．答案：1．3a - 22 = 2a - 3 ，得a = 19 ，3a - 22 = 3⨯19 - 22 = 35 ，2a - 3 = 35 ，m = 352 = 1225 ．2．3a - 22 + 2a - 3 = 0 ，得a = 5 ，3a - 22 = 3⨯ 5 - 22 =-7 ，2a-3=2⨯5-3=7，m=(-7)2= 72= 49 ．3．m 的值为 1225 或49．探究五利用被开方数非负性求未知数的值已知x 、y 都是有理数，且y =+ 3 ，求y x+1 的平方根．1.表示x - 3 的，则x 的范围是．2.表示x - 3 的，则x 的范围是． 3．由1，2，得x =，y =． 4．讨论总结：y x+1 的平方根是多少？．答案：1．算术平方根，x ≥ 3 ．2．算术平方根，x ≤3．3．x = 3 ，y = 3 ．4．∵ y x+1 = 34 = 81，∴ y x+1 的平方根为±9 ．探究六算术平方根与绝对值相综合题已知2009 -a +=aa - 2010 a - 2010 a - 20092 +15 a - 20092 +15 a - 2010 a - 2010 1. 由式子可以得出 a 的取值范围是什么？．2. 由 1，你能将等式 2009 - a + = a 中的绝对值去掉吗？．3. 由 2，你能求出 a - 20092 的值吗？．4. 讨论总结：求的值．．答案：1．∵ a - 2010 ≥ 0 ，∴ a ≥ 2010 ．2．原式变形为 a - 2009 + = a = 2009 ．3． a - 2010 = 20092 ， a - 20092 = 2010 ．4． a - 20092 +15 = 2010 +15 = 2025 ，∴ = 45 ． 探究七 平方根的实际应用一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个 36cm 2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是 150cm 2，求原正方形的边长是多少？1. 由题意可知剪掉正方形的边长为cm ．2. 设原正方形的边长为 x cm ，请你用x 表示盒子的容积．．3. 由 1，2 的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的边长．．答案：1．6．2． 6 (x - 6)2．3． 6 (x - 6)2= 150 ， (x - 6)2= 25 ， x - 6 = ±5 ．∴ x = 11 或 x = 1 （舍去）．即原25 121 25 121x 2 4 - y 29 - a 29 - a x - 4 a + b a +1 5正方形的边长为 11cm ．随堂反馈251．的平方根的数学表达式是（ ）121A ． = ±B ．11= - 5 C ． 11=5D ． ± = ± 511112．9 的算术平方根是（ ）A ． -3B ．3C ． ±3D ．813. 当 x = -5 时，的值是（）A ．5B ． -5C ． ±5D ．254. 正方形 M 的面积是正方形 N 的面积的 64 倍，那么正方形 M 的边长是正方形 N 的边长的（ ）A ．4 倍B ．8 倍C ．16 倍D ．2 倍5．一个数的算术平方根是它的本身，则这个数是． 6.= - ，则 xy 的算术平方根为．7. 代数式-5的最大值为．8. 已知 a ， b+ b - 3a -1 = 0 ，求b 2 - 5a 的平方根．9. 如果 a的最大值及此时 a 的值．10. 已知2a -1 的平方根为±3 ， 3a + b -1的平方根为±4 ，求 a + 2b 的平方根．参考答案25 121 25 121a +1 a +1 29 - a 7 79 352(-4)229 - a 9 9 (- 2)2⎩ ⎩1．D 2．B 3．A 4．B 5．0，1 6．4 7． -58．∵ ≥ 0 ， b - 3a -1 ≥ 0 ，+ b - 3a -1 = 0 ，∴ 29 - a ≤ 29 ， ≤ 5 ．因此 的最大值为 5，此时 a 的值为 4．⎧2a -1 = 9,∴ = 0 ， a = -1 ；b - 3a -1 = 0 ， b - 3a -1 = 0 ，10．由题意，得⎨3a + b -1 = ⎧a = 5,⎨b = 2. 解得16. ∴ b = -2 ．∴ b 2 - 5a = 9 ， b 2 - 5a 的平方根为±3 ． 9．∵ a 为正数，∴ a + 2b = 9 ， a + 2b 的平方根为± 3．平方根跟踪练习（一）一、选择题1. 下列各式中无意义的是（）A. - B ． C. 12. 的算术平方根是（）D ． -41 111 A.B ．C ．16823. 下列运算正确的是（）D ． ±2A ． -3 = 3B ． -3 = -3C ． = ±D ． = -3二、填空题4. 若一个正方形的面积为 13，则正方形的边长为.5. 小明房间的面积为 10.8 米 2，房间地面恰好由 120 块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是.6. 计算：⑴=;⑵ =;⑶ =;⑷－ =;⑸ ( 3)2 = .7. 若下列各式有意义，在后面的横线上写出 x 的取值范围：a +1 - 7(- 7)2x2 4 25 4 25 0.9 b -3 24 25 4 25 179⑴ ⑵8．若 a - 2 + = 0 ，则a 2 -b = ．9. 一个正方形的面积扩大为原来的 4 倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的 9 倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的 n 倍，它的边长变为原来的倍.10.的算数平方根是它本身.三、解答题11. 求下列各数的算术平方根:⑴169⑵0.0256⑶124 25⑷ (- 2)212. 要种一块面积为 615.44 m 2 的圆形草地以美化家庭，它的半径应是多少米？（π 取3.14）平方根跟踪练习（二）一、选择题1. 下列说法中不正确的是（）A. - 是 2 的平方根B. 是 2 的平方根C.2 的平方根是 12.的平方根是（） D.2 的算术平方根是 41 111A.B.C.16 8 2423. “ 的平方根是± ”，用数学式子可以表示为（）D. ±225A.= ± 55B. ±= ± 2C. = 25 5D. - = - 2 54. 下列各式中，正确的个数是（）= ±42① = 0.3 ; ② ③ - 3 3 ;的平方根是－3; 5 - x222(- 5)216 (-9)21- a a -1 0.0004(- 0.1)20.81 0.04225713④ 的算术平方根是－5; ⑤ ± 是1 的平方根.6 36A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.若 a 是(- 4)2的平方根，b 的一个平方根是 2，则代数式 a ＋b 的值为（）A.8B.0C.8 或 0D.4 或－4 二、填空题6. 如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为．7. 如果正数m 的平方根为 x + 1和x - 3 ，则m 的值是． 8.的算术平方根是， 的平方根是.9. 若b =+ + 4 ，则ab 的平方根是.三、解答题10. 求下列各式的值:⑴ ⑵ - ⑶ ±⑷ - ⑸ - ⑹一、选择题 1．C ． 2．C ．3．A ． 二、填空题4．5．0.96．3；5；2；－4；3跟踪练习一答案7．x≥0；x≤58．19．2；3；10.0 和 1 三、解答题711．13；0.16； ；2512．14跟踪练习二答案12 1 4412 - 40213n一、选择题1．C2．D3．B4．A5.C二、填空题6．367．48.23 或-39．2 或-2三、解答题7 10．⑴15⑵-0.02⑶2⑷-0.1⑸0.7⑹9“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
七上实数经典例题及习题
1知识点总结及题型考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
初二(下)实数的知识点与练习题
第十三章 实数知识要点一： 1．实数的性质（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）；（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．3．实数的分类（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数4．实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数．【典型例题】2-1C B A 例1若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2a ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D例2 实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a －1+2－a =1.例3 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ） A. 5－2 B. 2－5 C.5－3 D.3－5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B 、C 两点关于点A 对称，因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的，点B 到点A 的距离是5－1，所以点C 到点A 的距离也是5－1，设点C 到点O 的距离为a ，所以a +1=5－1，即a =5－2．又因为点C 所表示的实数为负数，所以点C 所表示的实数为2－5．例4 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为分析：因为（a －2）2+3-b =0，所以a －2=0，b －3=0。
实数知识点及例题
实数习题集【知识要点】1．实数分类：2．相反数：b a ,互为相反数 0=+b a4．倒数：b a ,互为倒数0;1=ab 没有倒数.5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2±a . 若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法.实数易错题分类汇总典型例题一：计算1.计算()2010200902211-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-的结果是【答案】-1 2． ()()212321-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--π的值为【答案】13.下列计算中，正确的是（ ）A ．020= B ．2a a a =+C3=±D ．623)(a a =【答案】D4.下列运算正确的是（ ）A ．1331-÷＝ Ba = C ．3.14 3.14ππ-=- D ．326211()24a b a b =典型例题二：估算 1．82cm 接近于（ ）实数有理数无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数）正无理数 负无理数)0(>a 3．绝对值： =aa 0 a -)0(=a )0(<aA ．珠穆朗玛峰的高度B ．三层楼的高度C ．姚明的身高D ．一张纸的厚度 【答案】C2.如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是( )A ．0>abB ．0>-b aC ．0>+b aD ．0||||>-b a【答案】D典型例题三：应用题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（ ） A ．8人 B ．9人 C ．10人 D ．11人【答案】B.2.一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了 【注：销售利润率=（售价—进价）÷进价】 【答案】40%典型例题四：信息与推断题1.观察下列算式，用你所发现的规律得出20102的末位数字是（ ）21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B 2.观察下列算式：,65613,21873,7293,2433,813,273,93,1387654321========，通过观察，用你所发现的规律确定20023的个位数字是（ ）A.3B.9C.7D.1 【答案】B 3．观察下列各式：()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯……计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=（ ）A ．97×98×99B ．98×99×100C ．99×100×101D ．100×101×102 【答案】C4．已知：3212323=⨯⨯=C ，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ，154321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算=610C ． 【答案】210典型例题五：比较大小10 -1 a b B A1. 31.0与1.02.331与213. 215--与－2 4. 2003－2002与2002－2001作业：设2的整数部分为a ，小数部分为b ,则1＋2a b －2b =第三讲 平移、旋转与对称专题例题精讲1. 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D 点顺时针方向旋转90后，B 点的坐标为（ ）A ．(22)-，B ．(41)，C ．(31)， D ．(40)，随堂练习1下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ）．2.观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例题精讲2将图(六)的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另 一条对角线对折，如图(七)所示。
七年级下册实数重点总结及常见习题
七年级下册实数重点总结及常见习题本文档将对七年级下册实数的重点知识进行总结，并提供一些常见题供练。
内容概述1. 实数的概念和分类：- 说明实数的概念及其包含的数的种类（自然数、整数、有理数、无理数）。
- 举例说明每个数的特点和应用。
2. 实数的运算性质：- 解释加法、减法、乘法、除法的运算规则。
- 强调实数运算的封闭性和交换律、结合律、分配律等性质。
3. 实数的比较和大小关系：- 论述实数之间的大小关系，如大于、小于、等于。
- 介绍不等式的表示方法和解不等式的基本思路。
4. 实数的绝对值：- 定义实数的绝对值及其性质。
- 通过具体示例演示绝对值的应用。
5. 实数的乘方和开方：- 介绍乘方与开方的概念，以及它们在实数范围内的计算规则。
常见题示例1. 判断题：1. 自然数是实数。
2. 无理数是整数。
3. 有理数是整数的子集。
4. 加法满足交换律。
5. 减法满足结合律。
2. 选择题：1. 下列数中是无理数的是（A）。
- A. √2- B. 0- C. 3/4- D. -52. 若 a 是有理数，b 是无理数，则 a + b 一定是（B）。
- A. 整数- B. 无理数- C. 有理数- D. 自然数3. 对于任意正整数 n，下列哪个不是整数（D）。
- A. n + 1- B. n - 1- C. -n- D. √n以上题仅为示例，以帮助学生复和巩固所学的实数知识。
参考资料。
实数知识点总结及典型例题练习
实数知识点总结考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）0≥a==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
实数知识点及例题
实数知识点及例题一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数。
例如，π（圆周率）、根号 2 等都是无理数。
而像 3、－5、025 等则是有理数。
二、实数的分类1、按定义分类：有理数：整数和分数。
无理数：无限不循环小数。
2、按性质分类：正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
三、实数的基本性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定有 a ＞ b、a ＝ b 或a ＜b 三种关系之一成立。
2、实数的稠密性：两个不相等的实数之间总有另一个实数存在。
3、实数的四则运算：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算满足相应的运算律。
四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
例如，在数轴上表示 2 的点在原点右侧距离原点 2 个单位长度。
五、绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a。
绝对值的性质：1、｜a| ≥ 0，即绝对值是非负的。
2、若｜a| ＝｜b|，则 a ＝ ±b。
例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。
六、相反数实数 a 的相反数是 a，它们的和为 0，即 a ＋（a) ＝ 0。
例如，5 的相反数是－5，它们的和为 0。
若两个实数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。
非零实数 a 的倒数是 1/a。
例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。
八、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
实数11大必考考点精讲精练
C． a48 = a2b4
D．3 的平方根是 3
【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、若 a2 = ― a，则 a≤0，故本选项错误；
B、若 a2 = a，则 a≥0，故本选项错误；
C、 a48 = a2b4，故本选项正确；
D、3 的平方根是± 3，故本选项错误；
从而求得 m 的范围．
【解答】解：∵ + 2 + （3x+y+m）2＝0，
∴x+2＝0，3x+y+m＝0，
∴x＝﹣2，y＝6﹣m，
∵y 为正数，
∴6﹣m＞0，
解得：m＜6．
故选：B．
【考点 4】立方根
【例 4】（2021 春•定南县期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入 x 为 64 时，输出 y 的值是 ( )
2022-2023 学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】
专题 1.4 实数 11 大必考考点精讲精练
（知识梳理+典例剖析+变式训练）
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【知识梳理】
1． 平方根：
（1）定义：如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
解得：x＝4．
C．12
D．36
当 x＝4 时，2x﹣2＝6，6﹣3x＝﹣6，
a＝（±6）2＝36．
故选：D．
【变式 1.3】（2022•鼓楼区校级开学）用“★”规定新运算：对于任意实数 a，b，都有 a★b＝a2﹣b，如果 x
★13＝2，那么 x 等于（ ）