关于点和直线的对称问题
点 ,线关于直线对称问题
13 13
13
A(33 , 9 ) ； 13 13
例 2 已知点 A(x0 , y0 ) ，（1）求 A 关于直线 x y c 0 的对称点坐标；（2）求 A 关
于直线 x y c 0 的对称点坐标；
解（1）设对称点 B(x1, y1) ，则由求对称点公式得：
x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c ，
2
2
2
2
所以对称点是 ( y0 c,x0 c) ；
（2） x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c
2
2
2
2
即对称点是： ( y0 c, x0 c) ；
二 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1） 和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：
产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.
上有不同两点关于这条直线对称.
解：设存在两点 A（x1,y1）、B(x2,y2)关于 l 对称，中点为 C（x,y），则
3x12＋4y12=12,
3x22＋4y22=12,
得
y1－y2 x1－x2
=－
3(x1＋x2) 4(y1＋y2)
=－
3x 4y
=－
1 4
,
∴ y=3x.
联立 y=4x＋m,解的 x=－m,y=－3m,
一 点关于直线的对称点的一种公式求法
结论：设直线 l : ax by c 0 ，（ a 、 b 至少有一个不为 0），点 A(x0 , y0 ) 关于直线 l 的
点直线的对称问题课件
直线关于点的对称定义是几何学中的基本概念之一。如果一条直线上的任意一点关于某一定点对称的点都在该直 线上，则这条直线被称为关于该定点对称。这个定义是理解点、线、面对称关系的基础。
直线关于点的对称性质
总结词
根据对称的性质，直线关于点的对称具 有平移不变性、旋转不变性和反射不变 性。
VS
详细描述
详细描述
直线关于点的对称是几何学中的基本概念之一，它在解 析几何、光学、力学和机器人学等领域中都有广泛的应 用。例如，在光学中，光的反射和折射都涉及到对称的 概念；在力学中，物体运动轨迹的对称性可以用对称的 直线来表示；在机器人学中，机器人的运动路径规划和 姿态调整也需要用到对称的概念。因此，理解直线关于 点的对称性质和应用对于深入理解这些领域中的基本概 念和原理非常重要。
点关于直线的对称性质
总结词
点关于直线的对称具有一些重要的性质，如对称点的连线与 对称轴垂直，且被对称轴平分。
详细描述
如果点A关于直线l对称于点B，则线段AB与直线l垂直，且线 段AB的中点M位于直线l上。此外，对称轴上的任意一点到两 个对称点的距离相等。
点关于直线的对称应用
总结词
点关于直线的对称在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
详细描述
在几何学中，点关于直线的对称可用于研究图形的性质和变换。在物理学中，点关于直线的对称可用 于描述粒子的运动轨迹和电磁场的分布。在工程学中，点关于直线的对称可用于设计、分析和优化各 种结构。
03
直线关于点的对称
直线关于点的对称定义
总结词
根据对称的定义，如果一个直线上的任意一点关于某一定点对称的点都在该直线上，则该直线被称为关于该定点 对称。
美丽的图案。
点关于直线对称的二级结论
点关于直线对称的二级结论1. 嘿，你知道吗，点关于直线对称，那对称点的连线肯定垂直于这条直线呀！就像两个好朋友手牵手，互相依靠但又保持垂直。
比如给你个点(1,2)关于直线 y=x 对称，那对称点不就是(2,1)嘛！2. 哇塞，对称点到直线的距离还相等呢！这就好比是两端平衡的跷跷板，距离一样才稳定呀。
要是有个点(3,4)关于直线 x=2 对称，那对称点不就是(1,4)咯！3. 哎呀呀，一条直线上有两个对称点，那这两个对称点的横坐标或纵坐标之和的一半就是对称轴上的点呀！这就好像是把它们的特征平均一下。
像点(5,-3)和点(-1,-3)关于直线 x=2 对称，可不就是这样嘛！4. 嘿，你想想，要是有一组点都关于同一条直线对称，那它们的对称点之间是不是有某种规律呀！就像一群人按照特定的方式排队一样。
比如好多点都关于直线 y=-x 对称，那它们的对称点肯定有特别的联系。
5. 哇哦，点关于直线对称，这中间的关系可奇妙了。
就如同在一个神秘的几何世界里探索一样。
要是给你个复杂的图形，让你找对称点，是不是很有趣呀！6. 哈哈，对称点的性质就像是一把钥匙，能打开很多几何难题的大门呢！你不觉得很神奇吗？就像知道了点(2,5)关于某直线对称的点，就能解决大问题。
7. 哎呀，当你发现了点关于直线对称的这些结论，就像是找到了宝藏一样兴奋呢！比如说知道一个点关于 y 轴的对称点，是不是一下子就清楚了呀！8. 哇，点关于直线对称，这里面的奥秘可多了去了。
就像一个无尽的宝藏等着我们去挖掘。
要是让你找一个图形中所有点的对称点，你会很带劲吧！9. 嘿呀，你可别小看这点关于直线对称的结论，用处大着呢！就像一个小小的魔术，能变出很多奇妙的结果。
像知道了点(-3,6)关于直线的对称点，是不是很有成就感呀！10. 哇，点关于直线对称，真的是超级有趣呀！这可是几何世界里的精彩之处呢。
你想想，通过这些结论能解决多少难题呀！。
怎么求点关于直线的对称点
怎么求点关于直线的对称点
对称是几何学中的一个重要概念，它在很多领域都有着广泛的
应用。
在平面几何中，直线是一个基本的几何元素，而求点关于直
线的对称点是一个常见的问题。
首先，让我们来看看如何求点关于直线的对称点。
设直线的方
程为Ax + By + C = 0，点P(x1, y1)为平面上的一个点，我们要求
P关于直线L的对称点P'。
求P关于直线L的对称点P'的步骤如下：
1. 计算直线L的斜率k。
直线的斜率可以通过直线的方程求得，如果直线的方程为Ax + By + C = 0，则直线的斜率为-k = A/B。
2. 根据斜率k，可以得到直线L的法线方程。
直线L的法线方
程是垂直于直线L且通过点P的直线的方程。
法线方程的斜率为-
1/k。
3. 求直线L和其法线方程的交点，这个交点就是P关于直线L
的对称点P'。
4. 通过交点的坐标可以求得P'的坐标，从而得到P'的具体位置。
通过上述步骤，我们可以求得点P关于直线L的对称点P'的坐标。
在实际应用中，求点关于直线的对称点有着广泛的应用。
例如，在工程学和建筑学中，设计师需要确定物体的对称点来进行布局和
设计。
在数学和物理学中，对称点的概念也被广泛应用于研究和分
析中。
总之，求点关于直线的对称点是一个基本的几何问题，通过简
单的几何分析和计算，我们可以准确地求得点关于直线的对称点的
位置，这个问题有着广泛的实际应用和理论意义。
点到直线的对称点公式
点到直线的对称点公式在平面几何中，点到直线的对称点是一个经常用到的概念。
当我们需要确定一个点关于直线的对称点时，可以利用点到直线的对称点公式来求解。
点到直线的对称点公式可以用来求解以下问题：1. 已知直线上的一点P，求其关于直线的对称点P'的坐标；2. 已知直线上的一点P和直线的方程，求其关于直线的对称点P'的坐标；3. 已知直线上的两点A和B，求点A关于直线的对称点A'的坐标；4. 已知直线上的一点P和点A，求点A关于直线的对称点A'的坐标。
下面我们来详细介绍点到直线的对称点公式及其应用。
1. 已知直线上的一点P，求其关于直线的对称点P'的坐标。
设直线的方程为ax + by + c = 0，点P的坐标为(x0, y0)。
点P关于直线的对称点P'的坐标为(x', y')，则有以下公式：x' = x0 - 2 * (ax0 + by0 + c) * a / (a^2 + b^2)y' = y0 - 2 * (ax0 + by0 + c) * b / (a^2 + b^2)2. 已知直线上的一点P和直线的方程，求其关于直线的对称点P'的坐标。
设直线的方程为ax + by + c = 0，点P的坐标为(x0, y0)。
点P关于直线的对称点P'的坐标为(x', y')，则有以下公式：x' = x0 - 2 * (ax0 + by0 + c) * a / (a^2 + b^2)y' = y0 - 2 * (ax0 + by0 + c) * b / (a^2 + b^2)3. 已知直线上的两点A和B，求点A关于直线的对称点A'的坐标。
设直线的方程为ax + by + c = 0，点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)。
点A关于直线的对称点A'的坐标为(x1', y1')，则有以下公式：x1' = x1 - 2 * (ax1 + by1 + c) * a / (a^2 + b^2)y1' = y1 - 2 * (ax1 + by1 + c) * b / (a^2 + b^2)4. 已知直线上的一点P和点A，求点A关于直线的对称点A'的坐标。
有关点和直线间的对称问题
A'
B
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练习（2 P99.T 4）与直线l1 : 2x 3y 6 0,关于 点M（1,-1）对称的直线方程。
解：设其对称直线方程为l2： 2x 3y C 0（. C 6）
在l1上取一点A(3,0)，其关于O的对称点设为B(m，n), 则：
m3 1 2 n 1
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二、两直线关于一点的对称问题
例2、求直线l1 : x 2 y 1 0,关于点M（1,6）
对称的直线方程。
解：解法一：在直线l1上取两点A(0，12), B(1，0).
A, B两点关于M的对称点为A' (x1，y1), B' (x2，y2 ),则：
6
1
x1 2
y1 2
解：联立方程组，
x 2y 3 0 ① 2x y 3 0 ② ① 2 ②，得： 3y 3 0 y 1 即：x 1 直线l1与l2的交点为A(1，1) 点A在直线l上 1 a 0 即：a 1
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一、两点关于直线的对称问题
例1、已知点A（1，-2），B（m,2），且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y2=0，求实数m的值。
解：解法一：设AB中点为O（x0 , y0）,则：
l
x0
1 m 2
y0
2 2
2
x0
y0
1 m
2 0
O（1 m ,0） 2
AO B
将O（1 m ,0）代入直线l方程，则： 2
2
m 1
n
2
B(1,2)
点B(1,2)在直线l2上
直线的对称问题
三、规律方法： （一）常见的对称点结论
• 1. 点 ( a, b) 关于原点的对称点为
(-a,-b) (a,-b) (-a,b) (b , a ) (-b,-a)
;
• 2. 点 ( a, b) 关于点(m, n)的对称点为(2m-a,2n-b) ;
• 3. 点 ( a, b) 关于x轴的对称点为
• 4. 点 ( a, b) 关于y轴的对称点为
P
/
P
x
P ( x , y )在直线x y 2 0上
/ / /
o
4 x 3 y 9 3x 4 y 3 2 0 5 5
整理得： 7 x y 22 0
练习 1、已知直线l : y 3x 3, 求 (1)点A(5,3)关于直线l的对称点的坐标； (2)求直线l1 : x y 2 0关于直线l对称的直线方程l2 .
(2)设P( x, y)是直线l2上 任意一点
P / ( x / , y / )是点P关于直线y 3x 3的对称点
y
PP l
/
P
/
/
所以 k PP/
y y 1 1 即 / 3 x x 3
P
x
o
又 PP/的中点在直线 y 3x 3上
y y/ x x/ 3 3 2 2
7x 24y 6 24x 7 y 8 4 0 25 2
10
求L1关于 L2的对称直线L的方程的方法
解题要点：(先判断两直线位置关系)
（1）若两直线相交，先求交点P, 再在 L1上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求L方程 (2)若 L1 ‖ L ，设 L方程为x-y+m=0 2 则 L1与 L2距离等于L2 与 L距离 建立等量关系，解方程求m
高中数学点线对称问题(精选.)
答案：B
2.曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是
A.y2=8－4x
B.y2=4x－8
C.y2=16－4x
D.y2=4x－16
解析：设曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P（x，y），则 P（x，y）关
于直线 x=2 的对称点为 Q（4－x，y）.因为 Q（4－x，y）在曲线 y2=4x 上，
答案：（5，6） 10.已知△ABC 的一个顶点 A（－1，－4），∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为 l1：y+1=0，l2： x+y+1=0，求边 BC 所在直线的方程. 解：设点 A（－1，－4）关于直线 y+1=0 的对称点为 A′（x1，y1），则 x1=－1，y1=2×（－1）－（－ 4）=2，即 A′（－1，2）. 在直线 BC 上，再设点 A（－1，－4）关于 l2：x+y+1=0 的对称点为 A″（x2，y2），则有
即 (4 0)2 (5 3)2 =4 5 .
所以 ymin=4 5 .
12.直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若 A、B 坐标分别为 A（－4，2）、B（3，1），求点 C 的坐标，并判断△ABC 的形状.
解：由题意，点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A′在 BC 所在直线上，设 A′点坐标为（x1，y1），则 x1、y1 满足
y y0 ·k=－1， x x0
可求出 x′、y′.
y y0 =k· x x0 +b，
2
2
特殊地，点 P（x0，y0）关于直线 x=a 的对称点为 P′（2a－x0，y0）；点 P（x0，y0）关于直线 y=关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可
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单 击
化简得：x=2m-（2m-x0，2n-y0）
观 看
演
A’(x,y)
示
P(m,n)
动
A(x0,y0)
画
x 0
关于点、直线的对称
< 返回
对称问题——关于点的对称
那么这条任直取线一关条于直这线个，店设对其称方的程直为线a方x+程by如+c何=0求呢？
y
单
关于点、直线的对称
< 返回
对称问题——关于直线的对称
y
ax+by+c=0
单
击
鼠
标
P(m,n)
观
看
x
演
0
示
动
画
直线ax+by+c=0是一条固定直线，点P为平面内任意一点
关于点、直线的对称
继续 >
对称问题——关于直线的对称
设点P关于直线的对称点为点P’
单
击
y
鼠 标
P’
ax+by+c=0
观 看
演
示
动
P(m,n)
单 击
对称曲线的方程
鼠 标
观
y
看
演
P’(x,y) ax+by+c=0
示 动
画
P(x0,y0)
x 0
关于点、直线的对称
< 返回
画
x 0
关于点、直线的对称
继续 >
对称问题——关于直线的对称
设点P’的坐标为（x,y），线
y
段PP’与已知直线垂直，则它 单
P ’
ax+by+c=0 俩的斜率乘积为-1，即： ((y-n)/(x-m))*(-a/b)=-1;
再者线段PP’的中点在已知直
击 鼠 标 观 看
0
P(m,n)
线上，
x 所以又有：
观 看
x0,2n-y0)，
演
则x=2m-x0,y=2n-y0,即：
示 动
x0=2m-x,y0=2n-y，
画
同理：则任一曲线
因为(x0,y0)满足已知直线的
f(x,y)=0，关于点P(m,n) 方程，所以有：
对称的曲线方程为：
a(2m-x)+b(2n-y）+c=0,化简
f(2m-2,2n-y)=0
后就是所求直线的方程。
击
鼠
标
观
看
演
示
ax+by+c=0
P(m,n)
动 画
x 0
关于点、直线的对称
继续 >
对称问题——关于点的对称
y
现在在直线ax+by+c=0上任取
一点A，设其坐标为（x0,y0），
设它关于点P对称的点的坐标 单
ax+by+c=0 P(m,n)
为（x,y），
击 鼠
根据前面我们知道，它关于点 标
0
x P对称的点的坐标为(2m-
floryd
关于点的对称
点关于点的对称
单
击
鼠
曲线关于点的对称
标 观
看
关于直线的对称
演 示
动
画
点关于直线的对称
曲线关于直线的对称
关于点、直线的对称
对称问题——关于点的对称
所以点P是线段建设AA立点’的坐A中关标点于如，点图根P，的据点对中P称为点点平公为面式A内，’，
则有：my=(x+x0一其)/定坐2，点标n。为=(点（y+Axy是,0y)坐）/2标，平面内任 意一点。设其坐标为（x0,y0)
演 示 动
a*(x+m)/2+b*(y+n)/2+c=0
画
由这两个式子可以得到点P’
的坐标。
关于点、直线的对称
< 返回
对称问题——关于直线的对称
可以那在么曲对线于上任任意设一一条点曲，线再，设要它求关它于关直于线直对线称的的对点称的曲坐线标如何
为(求x,呢y)？，我利们用以x,一y和个直椭线圆方为程例表示出这一点，最后把表示 出来的坐标代入曲线方程中，化简得到的方程就是所求的