2020年高中数学第2章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
[解析] (1)令 e1 与 e2 的夹角为 θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.
又 0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0， ∴b 与 e1，e2 的夹角均为 30°，
3．向量数量积的性质
设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角． (1)a⊥b⇔ a·b＝0 . (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝ |a||b| . 当 a 与 b 反向时，a·b＝ －|a||b| . (3)a·a＝ |a|2 或|a|＝ a·a＝ a2.
a·b
(4)cosθ＝ |a||b| . (5)|a·b| ≤ |a||b|.课堂源自动探究 K师生互动 合作探究
题型一 向量数量积的运算 思考：要求 a·b，需要知道哪些量？
提示：需要知道|a|，|b|及 cosθ.
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b 的数量积.
[思路导引] 利用数量积的定义求解． [解] (1)a∥b，若 a 与 b 同向，则 θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos0° ＝4×5＝20；若 a 与 b 反向，则 θ＝180°， ∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当 a⊥b 时，θ＝90°， ∴a·b＝|a|·|b|cos90°＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30°时，a·b＝|a|·|b|cos30°
＝4×5× 23＝10 3.
求平面向量数量积的步骤是：(1)求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0°， 180°]；②分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即 a·b＝|a|·|b|·cosθ，要特 别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×” 连结，也不能省去．
[跟踪训练] 已知|a|＝4，|b|＝7，且向量 a 与 b 的夹角为 120°，求(2a＋ 3b)·(3a－2b)．
4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝ b·a (交换律)． (2)(λa)·b＝ λ(a·b)＝a·(λb) (结合律)． (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c (分配律)．
[自我诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．两个向量的数量积仍然是向量．( × ) 2．若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( × ) 3．若 a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ>0⇔a·b>0.( √ ) 4．若 a·b＝b·c，则 a＝c.( × )
第
二
平面向量
章
2.4
平面向量的数量积
2．4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
课前自主预习 K
教材为本 梳理新知
[教材研读] 预习课本 P103～105，思考以下问题 1．怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同 吗？
2．向量 b 在 a 方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义 是什么？
(2)由已知，|a＋b|＝4， ∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*) ∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9， 代入(*)式得 4＋2a·b＋9＝16， 即 2a·b＝3. 又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝ 10. [答案] (1)2 (2) 10
题型三 向量的夹角和垂直问题 思考 1：已知向量 a 与 b，如何求 a 与 b 的夹角？ 提示：利用 cosθ＝|aa|·|bb|，求出 cosθ，然后借助 θ∈[0，π]，求 θ.
规定：零向量与任一向量的数量积均为 0.
2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念 ①向量 b 在 a 的方向上的投影为 |b|cosθ . ②向量 a 在 b 的方向上的投影为 |a|cosθ . (2)数量积的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．
∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，
从而|b|＝cos130°＝23
3 .
(2)∵a，b 的夹角为 45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a||b|cos45°＝ 22|b|， |2a－b|2＝4－4× 22|b|＋|b|2＝10， ∴|b|＝3 2.
[答案]
23 (1) 3
(2)3 2
求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并 灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2，可以实现实数运算与向量运算的 相互转化．
[解] (2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7·cos120°－6×72 ＝－268.
题型二 向量的模 思考：如何求向量的模？
提示：|a|＝ a·a.
(1)已知 e1，e2 是平面单位向量，且 e1·e2＝12.若平面 向量 b 满足 b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
3．向量数量积的性质有哪些？ 4．向量数量积的运算律有哪些？
[要点梳理]
1．向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积
已知条件 向量 a，b 是非零向量，它们的夹角为 θ
定义 a 与 b 的数量积(或内积)是数量 |a||b|cosθ
记法
a·b＝|a||b|cosθ
(2)零向量与任一向量的数量积
[跟踪训练] (1)已知非零向量 a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1，若 a 与 b 的夹角为 π3，则|a|＝________； (2)已知向量 a、b 满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则|a－b|＝ ________.
[解析] (1)由于 c＝12a－b， 所以 c2＝14|a|2＋|b|2－2×12|a||b|×12， 整理得|a|2－2|a|＝0， 所以|a|＝2 或|a|＝0(舍去)．
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
|b|cos θ 的乘
温馨提示：投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为 负，也可为零．
3．向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． (1)a⊥b⇔ a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝ |a||b| ； 当a与b反向时，a·b＝ －|a||b| .
(3)a·a＝ |a|2 或|a|＝ a·a＝ a2. a·b
[规律方法] (1)非零向量共线的充要条件是a·b＝±|a|·|b|，因
此，当a∥b时，有0°或180°两种可能；(2)非零向量a⊥b⇔a·b
＝0；(3)两个向量的数量积a·b＝|a||b|cos θ，与它们的夹角有关， 夹角范围是[0°，180°]．
【活学活用2】 若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝ 1，|c|＝4，求a·b＋b·c＋c·a.
＝a2·b2cos2 θ≠a2·b2，选C.
答案 C
2．若a·b<0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )． A.0，π2 B.π2，π C.π2，π D.π2，π 解析 ∵a·b＝|a||b|cos θ<0，∴cos θ<0，又θ∈[0，π]， ∴θ∈π2，π.
于是有77aa22＋ －1360aa··bb－ ＋185bb2＝2＝00. ，
① ②
①－②得2a·b＝b2.
③
将③代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|. ∴cos α＝|aa|·|bb|＝2|b|b|2|2＝12.
∵0°≤α≤180°，∴α＝60°.
[规律方法] 要注意向量数量积性质的正确运用，以及向量夹角 的范围，这时由2a·b＝b2，不能推出2a＝b，同样由a2＝b2也不能 得出a＝b或a＝－b.
解 ①当a∥b时， 若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0； ③当a与b的夹角是60°时， 有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×12＝9.
2020_2021高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案含解析新人教A
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量数量积的概念及其物理意义b b平面向量投影的概念 a a平面向量数量积的性质及运算律 b b知识导图学法指导1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用．2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.向量的数量积定义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为0.几何意义|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积性质运算律C ．1D ．－12解析：由向量的数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ＝1×1×12＝12.答案：A3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( ) A.7 B.10C.13 D ．4解析：|a ＋3b |2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2 ＝1＋6×cos 60°＋9＝13，所以|a ＋3b |＝13.答案：C4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________． 解析：设a 与b 的夹角为θ， cos θ＝a ·b |a |·|b |＝21×4＝12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案：π3类型一 向量数量积的计算及其几何意义例1 (1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A.－58B.18C.14D.118(2)已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝－12，则a 在b 方向上的投影为________，b 在a 方向上的投影为________．【解析】(1)设BA →＝a ，BC →＝b ，则a ·b ＝12，|a |＝|b |＝1.DE →＝12AC →＝12(b －a )，DF →＝32DE→A.13B.12C.15D.14【解析】 (1)|a ＋2b |＝a ＋2b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4|a ||b |cos60°＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝23.(2)由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12.【答案】 (1)B (2)B求向量的模，先平方，利用公式求，再开方． 方法归纳求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2 (1)设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，|a |＝1，则|b |＝________； (2)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 解析：(1)因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．因为(a －b )⊥c ，所以c ·(a －b )＝0，所以－(a ＋b )·(a －b )＝0，所以a 2－b 2＝0，所以|b |＝|a |＝1.(2)因为α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，又|α|＝1，所以α·β＝12，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：(1)1 (2)10将所给向量式两边平方，然后利用向量数量积的运算律及向量数量积的定义求解．类型三 向量的夹角与垂直例3 (1)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝12.①求|b |；②当a ·b ＝12时，求向量a 与b 的夹角θ的值．【解析】 (1)设a ，b 的夹角为θ，因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝0，所以2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos θ＝0.因为|b |＝4|a |，所以2|a |2＋4|a |2cosθ＝0，所以cos θ＝－12，所以θ＝23π.(2)①因为(a －b )·(a ＋b )＝12，即a 2－b 2＝12，所以|b |2＝|a |2－12＝1－12＝12，故|b |＝22.②因为cos θ＝a ·b|a ||b |＝22，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.【答案】 (1)C (2)见解析(1)利用a →⊥(2a →＋b →)⇔a →·(2a →＋b →)＝0，化简求解．(2)利用(a →－b →)(a →＋b →)＝12化简，求|b →|，再利用数量积变形公式求角．方法归纳求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤：(2)注意：在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 跟踪训练3 (1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________；(2)已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )， ①求向量a 与b 夹角的大小． ②求|a －2b |的值．解析：(1)设a 与b 的夹角为θ，依题意有： (a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)①设a 与b 的夹角为θ，由已知得(a ＋2b )·(3a －b )＝3a 2＋5a ·b －2b 2＝3＋10cos θ－8＝0，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.②因为|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4＋16＝13， 所以|a －2b |＝13.答案：(1)π3(2)见解析(1)将等式(a →＋2b →)·(a →－b →)＝－6化简，求得夹角．(2)利用向量垂直的性质：a →⊥b →⇔a →·b →＝0求解．2.4.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为45°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2C ．－122 D ．－12解析：m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝24×22＝122.答案：B2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |＝( )A ．12B ．3C ．6D ．3 3解析：a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6.答案：C3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：因为|a |＝2，a ·(b －a )＝－1， 所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1，所以a ·b ＝3.又因为|b |＝3，设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.答案：C4．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12解析：(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2 ＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72. ∴|a |2－2|a |－24＝0.解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)． 答案：C5．若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角θ的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 解析：因为a ·b ＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是________． 解析：方法一 AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠B )＝－|AB →||BC →|cos ∠B ＝－|AB →||BC →|·|AB →||BC →|＝－|AB →|2＝－1.方法二 |BA →|＝1，即BA →为单位向量，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos ∠B ，而|BC →|·cos ∠B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1.答案：－17．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________． 解析：设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.答案：π38．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为________．解析：向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32.答案：32三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a 2－b 2；(2)(2a －b )·(a ＋3b )．解析：(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.(2)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3×42＝－60.10．(1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |；(2)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值；(3)如图，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．解析：(1)a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝25＋2×252＋25＝53，|a －b |＝a －b 2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝25＝5， |3a ＋b |＝3a ＋b 2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝325＝513.(2)∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ，又|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25，则a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a ＋b |＝20.(3)设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC →2 ＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， |DB →|＝DB →2 ＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.∴AC ＝13，BD ＝7.[能力提升](20分钟，40分)11．已知O 为平面内的定点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( )A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形解析：设BC 的中点为M ，则化简(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得到CB →·(AB →＋AC →)＝CB →·(2AM →)＝2CB →·AM →＝0，则CB →·AM →＝0，∴CB →⊥AM →，∴AM 是△ABC 的边BC 上的中线，也是高，故△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形．答案：B12．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题： ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0； ②(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直； ③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中为正确命题的是________(填序号)．解析：(a ·b )c 表示与向量c 共线的向量，(c ·a )b 表示与向量b 共线的向量，而b ，c 不共线，所以①错误；[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝0，即(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直，故②错误；显然③正确．答案：③13．已知向量a ，b 的夹角为30°，且|a |＝3，|b |＝1，求向量p ＝a ＋b 与q ＝a －b的夹角θ的余弦值．解析：p ·q ＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝3－1＝2.高考- 11 - / 11。
高中数学必修四课件：2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(共23张)
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc 得a=c.但是有 a b b c 不能得 a c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但 (a b)c a(b c)
(3)(a b) c a c b c.
等式 (a b)c a(b c)是否成立？
不成立
例2.我们知道，对任意 a, b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2 , (a b)(a b) a类似的结论？
(1)(a
b)2
谢 谢 指 导 ！
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
例3.已知 a 6, b 4, a与b的夹角为60，求(a 2b) (a 3b)
变式：已知 a 3, b 4,且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
小结
向量的数量积计算时， 一要找准向量的模； 二要找准两个向量的夹角。
a b 以及判断三角形的形状
4. a b a b
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º， 求 ab 。
2.已知 a 12, b 9,
a b 54 2, 求 a 与 b 的夹角.
数量积的运算规律：
(1)a b b a;
(2)(a) b (a b) a (b);
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即 a 0 0。
B
| OB1 || b | cos
2020年高中数学 (2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义)教案 新人教A版必修4
2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算: W =|F ||s|cosθ其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？ 推进新课 新知探究 提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替; (4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); ③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.图3(2)已知实数a 、b 、c(b≠0),则ab=bc ⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c 有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c)表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立. 讨论结果:①是数量,叫数量积. ②数量积满足a ·b =b ·a (交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); (a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).③(1)(a +b )2=(a +b )·(a +b )=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b =a 2-b 2. 提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积. 让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. 1°e ·a =a ·e =|a |cosθ. 2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=a a •.4°cosθ=||||b a ba •.5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.应用示例思路1 例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,|BC |=1,|CA |=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知AB 、BC 、CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.解:由已知,|BC |2+|CA |2=|AB |2,所以△A BC 是直角三角形.而且∠AC B=90°,从而sin∠ABC=23,sin∠B AC=21. ∴∠A BC =60°,∠B AC =30°.∴AB 与BC 的夹角为120°,BC 与CA 的夹角为90°,CA 与AB 的夹角为150°. 故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB=2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与BC 的夹角是120°,而不是60°. 变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ). 解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42 =-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0. ∴k=±43. 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a -k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9, ∴|a |=3.又∵a ·b =-12, ∴|a ·b |=12.∵|a ·b |≤|a ||b |, ∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2 例1 已知在四边形ABCD 中,AB =a ,BC =b ,CD =c ,DA =d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？ 解:∵AB +BC +CD +DA =0,即a +b +c +d =0, ∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB=CD,且BC=DA, ∴A BCD 是平行四边形. 故AB =CD ,即a =-c . 又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若=a ,CB =b ,则CA =a +b ,=a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠A BC =60°,b 与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --•作为切入点,进行求解.解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2. ∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2, ① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2,而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |. ② ∵cos〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --•代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=•b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］, ∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练设向量c =m a +n b (m,n∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4, ∴|b |·4·(21-)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b ,∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m. ①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12. ②联立①②得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4.知能训练课本本节练习.解答:1.p·q=24.2.a·b<0时,△A BC为钝角三角形;a·b=0时,△A BC为直角三角形.3.投影分别为32,0,-32.图略.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.作业课本习题2.4 A组2、3、4.设计感想本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教
A1
叫做向量 b 在 a
方向上的投影.
B
B
B
b
O
a
B1 A
当为锐角时
投影为正值;
b
B1 O a A 当为钝角时
投影为负值;
b
O(B1) a A
当为直角时
投影为0;
投影与数量积的结果都是数量.
什么时候为正，
什么时候为负？
a a b 例1、计算a • b 以及 在 b 上的投影。（ 为 和 的夹角）
人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修4
2.4.1 平面向量数量积 的物理背景及其含义
问题：物理中力对物体所做的功是 什么？
F
θ S
F W S | F || S | cos
2.4 平面向量的数量积
第一课时
平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标：
（1）理解平面向量数量积和投影的概念 及数量积的几何意义；
数量积性质与运 算律
1. (a b)c 与 a(b c)相等吗？
2. 若 a b 0, 则 a 0 或 b 0，对吗？ 或 a b.
3.若a c b c, c 0, 则 a b ，对吗？
（注意不能等号两边约去 c ）
(a b) c 0.
自主探究：
类似？
例2. (1)(a b)2
a 5
a b
0°
5 4
投影
2
30°
23
90° 120° 180°
0 -2 -4
b 4 数量积 20 10 3 0
-10 -20
0° 60° 90° 150° 180°
a 3 投影
6
3
0
数量积 18 9
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
思考8：对于非零向量a，b，c，若 a·b＝a·c，那么 b＝c吗？
思考9：对于向量a，b，等式(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是 否成立？为什么？
思考10：对于向量a，b，如何求它们的
夹角θ？
cos
ab | a || b |
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
思考6：对于向量a，b，c，(a＋b)·c有意 义吗？它与a·c＋b·c相等吗？为什么？
A
θ2
a
b
B
O θ1 θ a＋b
A1
B1
cC
思考7：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c
有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为
什么？
(a·b)·c≠a·(b·c) 最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的
夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
3
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义
思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的 数量积（或内积），记作a·b，即
a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的运算结
果是向量还是数量？
思考4：特别地，零向量与任一向量的数 量积是多少？
高中数学第二章平面向量2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
[正确解答] 过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，如图所示．
因为 AB＝AC，所以 BC＝2BD＝2×AB×cos B＝
2×1× 23＝ 3. 法一：A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos
a，∠ABC＝60°，则B→D·C→D＝( )
A．－32a2
Байду номын сангаас
B．－34a2
C.34a2
D.32a2
(2)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝t a＋
(1－t)b.若 b·c＝0，则 t＝________．
又因为|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，所以12t＋1－t＝0， 所以 t＝2.
第二章 平面向量
[知识提炼·梳理]
1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
已知 向量 a，b 是非零向量，它们的夹角为 θ
条件 定义 a 与 b 的数量积(或内积)是数量|a||b|cos_θ 记法 a·b＝|a||b|cosθ
类型 1 向量数量积的运算
[典例 1] (1)(2015·山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为
(180°－30°)＝1×
3 × －
3 2
＝
－
3 2
，B→C·
C→A＝|
B→C
||C→A
|cos(180°－30°)＝ 3×1×－ 23＝－32，
1．平面向量数量积的概念及其几何意义
(1)对数量积概念的两点说明： ①从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不 是向量，其数值可正、可负、可为零． ②从运算上看：两向量 a，b 的数量积称作内积，写 成 a·b，其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符 号，不可省略．
2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
1．两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可 以为正(当 a≠0，b≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当 a≠0，b≠0，90° ＜θ≤180°时)，还可以为 0(当 a＝0 或 b＝0 或 θ＝90°时)．
2．两非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公 式|a|＝ a2.
(2)由互相垂直的两个向量的数量积为 0 列方程，推出|a|与|b|的关 系，再求 a 与 b 的夹角．
(1)(0，1)∪(1，＋∞) [∵e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2 ＝2k＞0，∴k＞0. 当 k＝1 时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为 0°，不符合题意， 舍去． 综上，k 的取值范围为 k＞0 且 k≠1.]
的区别．(易混点)
升了学生数学运算和数据分析的
核心素养.
自主预习 探新知
1．平面向量数量积的定义 非零向量 a，b 的夹角为 θ，数量 |a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝ |a||b|cos θ ．特别地， 零向量与任一向量的数量积等于 0 ．
思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ [提示] 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向 量．
求平面向量数量积的步骤 (1)求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量 积，即 a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“·” 连接，而不能用“×”连接，也|cos θ(θ 为 a，b 的夹角)，a 在 b 方向 上的投影为|a|cos θ. (2)b 在 a 方向上的投影为a|a·b| ，a 在 b 方向上的投影为a|b·b| .
人教版高中数学第二章平面向量的数量积的物理背景及其含义(共19张PPT)教育课件
___|
a||
b|
当且仅当两向量
2021/4/1
共线时等号成立
17
投影定义:
acos(bcos)叫做向量a 在b
(向量 b 在 a 方向上)的投影.
方向上
平面向量数量积的几何意义:
数量积ab等于a的长度a与 b在a的
方向上的投影数量bcos的乘积 .
2021/4/1
18
平面向量数量积的运算率:
(1)交换律：
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
(
电
影
拍
摄
)
所
以
为
什
么
很
多
时
候
在
现
场
我
不
想
等
。
你
可
以
但是Biblioteka 当我拍完
一
个
镜
头
，
下
一
个
镜
头
试
完
镜
后
我
希
但
是
我
年
轻
时
有
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功