2021-2022学年上海市松江区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|=___ ．2.（填空题，4分）函数f （x ）= √x +1的反函数为f -1（x ），则f -1（3）=___ ．3.（填空题，4分）已知cosθ=- 35 ，则cos2θ的值为 ___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 ___ ．6.（填空题，4分）三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式的值为 ___ ． 7.（填空题，5分）数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n (n ≥11) ，则 n→∞a n =___ ． 8.（填空题，5分）方程log 2（x+1）+log 2（x-1）=1的解为 ___ ．9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，若f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．10.（填空题，5分）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 ___ .（用数字作答）11.（填空题，5分）已知A （-1，0）、B （1，0）、P （1， √3 ），点C 是圆x 2+y 2=1上的动点，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 12.（填空题，5分）已知实数x 、y 满足 x|x|4+y|y|=1，则|x+2y-4|的取值范围是 ___ ． 13.（单选题，5分）已知直线a 在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的（ ）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要14.（单选题，5分）（x-1）10的二项展开式中第4项是（ ）A. C 103x 7B. C 104x 6C. −C 103x 7D. −C 104x 615.（单选题，5分）若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. 2√kB. 2√−kC. √kD. √−k（x∈[t，t+40]）零点的个数不可能是（）个16.（单选题，5分）函数f（x）=sinx- 12A.12B.13C.14D.1517.（问答题，14分）已知三棱锥P-ABC中，PA、BA、CA两两互相垂直，且长度均为1．（1）求三棱锥P-ABC的全面积；（2）若点D为BC的中点，求PD与平面PAC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（x＞0），写出函数g（x）的单调递增区间并用定义证明．（2）若函数g（x）= f(x)x19.（问答题，14分）某水产养殖户承包一片靠岸水域，如图，AO、OB为直线岸线，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB̂，过弧OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3AB̂上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB= 2π．3（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；（2）如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益，记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）20.（问答题，16分）已知斜率为k的直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F，且与抛物线C 交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．和3，求|AB|；（1）若点A和B到抛物线准线的距离分别为32（2）若|AF|+|AB|=2|BF|，求k的值；（3）点M（t，0），t＞0，对任意确定的实数k，若△AMB是以AB为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M有几个，并说明理由．21.（问答题，18分）已知数列{a n}，若存在A∈R使得数列{|a n-A|}是递减数列，则称数列{a n}是“A型数列”．是否为“A型数列”；（1）判断数列π、- √3、-1、12（2）若等比数列{a n}的通项公式为a n=q n（n∈N*），q＞0，其前n项和为S n，且{S n}是“A型数列”，求A的值和q的取值范围；（3）已知k＞0，数列{a n}满足a1=0，a n+1=k|a n|-1（n∈N*），若存在A∈R，使得{a n}是“A型数列”，求k的取值范围，并求出所有满足条件的A（用k表示）．2021-2022学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √5【解析】：直接利用复数的模的求法公式，求解即可．【解答】：解：复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|= √12+22 = √5．故答案为：√5．【点评】：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2.（填空题，4分）函数f（x）= √x +1的反函数为f-1（x），则f-1（3）=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：直接利用反函数的关系式的定义域和函数的值的对应关系求出结果．【解答】：解：∵已知函数y=f（x）存在反函数y=f-1（x），设f（x）=3，则√x +1=3，解得x=4，则f-1（3）的值是4．故答案为：4．【点评】：本题考查了反函数的性质的应用，利用原函数与反函数的定义域和值域恰相反，求出反函数的函数值．3.（填空题，4分）已知cosθ=- 3，则cos2θ的值为 ___ ．5【正确答案】：[1]- 725【解析】：由题意利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．【解答】：解：∵cosθ=- 35 ，则cos2θ=2cos 2θ-1=2× 925 -1=- 725 ，故答案为：- 725 ．【点评】：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1）【解析】：求出集合A ，B ，由此能求出A∩B ．【解答】：解：∵集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}={x|0＜x ＜2}， ∴A∩B={x|0＜x ＜1}=（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 ___ ．【正确答案】：[1]12π【解析】：利用圆柱体的体积公式求解即可．【解答】：解：因为底面半径长为2，母线长为3，所以圆柱的体积为V=Sh=π×22×3=12π．故选：12π．【点评】：本题考查了圆柱的体积公式的理解与应用，属于基础题．6.（填空题，4分）三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式的值为 ___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：根据已知条件，结合代数余子式的定义，即可求解．【解答】：解：在三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式A 12=（-1）1+2 |1336| =-（1×6-3×3）=3．故答案为：3．【点评】：本题主要考查代数余子式的求解，考查计算能力，属于基础题．7.（填空题，5分）数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n (n ≥11) ，则 n→∞a n =___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】：解：数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n(n ≥11) ， 则 n→∞a n = lim n→∞ (2−1n) =2-0=2． 故答案为：2．【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．8.（填空题，5分）方程log 2（x+1）+log 2（x-1）=1的解为 ___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：利用对数的性质及运算法则直接求解．【解答】：解：∵log 2（x+1）+log 2（x-1）=1，∴log 2（x+1）（x-1）=1=log 22，∴（x+1）（x-1）=2且x+1＞0，x-1＞0，故x= √3 ，故答案为： √3 ．【点评】：本题考查对数方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，若f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][-6，+∞）【解析】：将问题转化为x 2+2x+3≥-m 对任意的x∈[1，2]恒成立，构造g （x ）=x 2+2x+3，利用二次函数的图象与性质，求解函数的最值，即可得到答案．【解答】：解：函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，且f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立， 则x 2+2x+3≥-m 对任意的x∈[1，2]恒成立，令g （x ）=x 2+2x+3，函数g （x ）在[1，2]上单调递增，所以g （x ）min =g （1）=6，则6≥-m ，即m≥-6，所以实数m 的取值范围为[-6，+∞）．故答案为：[-6，+∞）．【点评】：本题考查了二次函数图象与性质的应用，利用函数单调性求解函数最值的应用，不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．10.（填空题，5分）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 ___ .（用数字作答）【正确答案】：[1] 45【解析】：由排列组合的知识易得总数为120，不符合的有24，由古典概型概率公式求解即可．【解答】：解：从10人中任选3人有 C 103 =120种选法，这3人中只有女生的共有 C 43 =4种，这3人中只有男生的共有 C 63 =20种， ∴这3人中必须男女生都有的共96种，∴所求概率P= 96120 = 45 ．故答案为： 45 ．【点评】：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．11.（填空题，5分）已知A （-1，0）、B （1，0）、P （1， √3 ），点C 是圆x 2+y 2=1上的动点，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1][4，12]【解析】：设点C 坐标（c osθ，sinθ），将 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 用θ函数表示，用正弦函数取值范围求解．【解答】：解：设C （cosθ，sinθ）， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，- √3 ）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，- √3 ）， PC⃗⃗⃗⃗⃗ =（cosθ-1，sinθ- √3 ），PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ = PC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=（cosθ-1，sinθ- √3 ）•（-2，-2 √3 ）=-2（cosθ-1+ √3 sinθ-3）=8-4（ √32 sinθ+ 12 cosθ）=8-4sin （θ+ π6 ），因为sin （θ+ π6 ）∈[-1，1]，所以 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[4，12]， 故答案为：[4，12]．【点评】：本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．12.（填空题，5分）已知实数x 、y 满足x|x|4 +y|y|=1，则|x+2y-4|的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1][4-2 √2 ，4）【解析】：把 x|x|4 +y|y|=1等式变形，画出图形，利用线性规划知识求出x+2y-4的范围，取绝对值得答案即可．【解答】：解答】解：由 x|x|4+y|y|=1， 得 {x ≥0，y ≥0x 24+y 2=1 或 {x ＞0，y ＜0x 24−y 2=1 或 {x ＜0，y ＞0y 2−x 24=1 ， 如图，令z=x+2y-4，得y=- 12 x+ 12 z+2，由图可知，当直线y=- 12 x+ 12 z+2与第一象限的椭圆相切时，直线在y 轴上的截距最大， 联立得 {y =−12x +12z +2x 24+y 2=1 ，即2x 2-（2z+8）x+z 2+8z+12=0，∵相切，∴Δ=（2z+8）2-4×2×（z 2+8z+12）=0，∴z 2+8z+8=0，∴z=-4±2 √2 ，∵椭圆的图象只在第一象限，∴z=-4 +2√2 ，根据双曲线的方程知，两条双曲线的渐近线方程都是y=- 12 x ，当直线y=- 12 x+ 12z+2无限靠近y=- 12x时，12z+2趋于0，即z趋于-4，∴-4＜z≤-4 +2√2，∴|x+2y-4|的取值范围是[4-2 √2，4），故答案为：[4-2 √2，4）．【点评】：本题考查简单的线性规划，考查直线与椭圆相切，双曲线的渐近线，考查数形结合思想，是中档题．13.（单选题，5分）已知直线a在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：B【解析】：“直线l⊥a”成立时，“直线l⊥β”不一定成立；“直线l⊥β”⇒“直线l⊥a”，由此能求出结果．【解答】：解：直线a在平面β上，则“直线l⊥a”成立时，“直线l⊥β”不一定成立；“直线l⊥β”⇒“直线l⊥a”，∴直线a在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的必要非充分条件．故选：B．【点评】：本题考查充分条件、必要条件的判断，考查空间中线与面的位置关系等基础知识，考查空间立体感和推理论证能力，属于中档题．14.（单选题，5分）（x-1）10的二项展开式中第4项是（）A. C103x7B. C104x6C. −C103x7D. −C104x6【正确答案】：C【解析】：写出（x-1）10的二项展开式的通项公式，令r=3，可得所求项．【解答】：解：（x-1）10的二项展开式的通项公式为T r+1= C10r x10-r（-1）r= C10r（-1）r x10-r，r=0，1，2， (10)令r=3，T4=- C103 x7，故选：C．【点评】：本题考查二项式定理的运用，考查运算能力，是一道基础题．15.（单选题，5分）若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. 2√kB. 2√−kC. √kD. √−k【正确答案】：B【解析】：根据双曲线标准方程直接求解．【解答】：解：方程4x2+ky2=4k，即为x2k +y24=1，由方程表示双曲线，可得y 24−x2−k=1，所以a=2，b=√−k，所以虚轴长为2b=2√−k．故选：B．【点评】：本题主要考查双曲线的几何性质，由双曲线方程求解虚轴的长度等知识，属于基础题．16.（单选题，5分）函数f（x）=sinx- 12（x∈[t，t+40]）零点的个数不可能是（）个A.12B.13C.14D.15【正确答案】：D【解析】：f（x）的零点个数，即为y=sinx的图象与直线y= 12的交点个数，在正弦函数的一个周期内，即在区间[t，t+2π）上总有两个交点，然后考虑，40减去个周期后，在区间[t，t+0.74π]中的交点个数，根据的不同取值可确定结论．的交点个数，【解答】：解：f（x）的零点个数，即为y=sinx的图象与直线y= 12≈6.37，易知在[t，t+2π）上它们有两个交点，而402π所以前6个周期共有交点12个，因此我们主要研究它们在区间[t，t+0.74π]中的交点个数，＜t＜-π时，它们在区间[t，t+0.74π]上无交点，当- 7π6＜t＜0时，它们在区间[t，t+0.74π]有1个交点，当- π3时，它们在区间[t，t+0.74π]上有2个交点，当0＜t＜π6因此交点个数可能为12，13，14，不可能是15．故选：D．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．17.（问答题，14分）已知三棱锥P-ABC中，PA、BA、CA两两互相垂直，且长度均为1．（1）求三棱锥P-ABC的全面积；（2）若点D为BC的中点，求PD与平面PAC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【正确答案】：【解析】：（1）由已知易得△PAB≌△PAC≌△BAC且为直角三角形，则可得△PBC为边长为√2的等边三角形，进而可求全面积；（2）取AC的中点H，连接HD和HP，进而证明DH⊥平面PAC，可得∠DPH是PD与平面PAC所成角；在△PDH中求解即可．【解答】：解：（1）由题意知△PAB≌△PAC≌△BAC且为直角三角形，则可得△PBC为边长为√2的等边三角形，所以三棱锥P-ABC的全面积S= 12 ×1×1×3+ 12× √2 × √2 ×sin60°= 3+√32；（2）取AC的中点H，连接HD和HP，因为PA、BA、CA两两互相垂直，所以PA⊥平面ABC，DH在平面ABC内，所以PA⊥DH，又因为DH⊥AC，所以DH⊥平面PAC，所以∠DPH是PD与平面PAC所成角；因为DH= 12，PH= √52，所以tan∠DPH= √55，∠DPH=arctan √55，所以PD与平面PAC所成角的大小为arctan √55．【点评】：本题考查表面积的问题和线面角的求法，属中档题．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数g（x）= f(x)x（x＞0），写出函数g（x）的单调递增区间并用定义证明．【正确答案】：【解析】：（1）分a=0和a≠0两种情况，分别利用奇函数与偶函数的定义分析判断即可；（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可．【解答】：解：（1）当a=0时，函数f（x）为偶函数，证明如下：函数f（x）=x2+1，定义域为R，因为f（-x）=x2+1=f（x），所以当a=0时，函数f（x）为偶函数；当a≠0时，f（-1）=2-a，f（1）=2+a，则f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），函数f（x）为非奇非偶函数．（2）函数g（x）的单调递增区间为[1，+∞），证明如下：g（x）= f(x)x =x+1x+a，设1≤x1＜x2，则g(x1)−g(x2)=x1+1x1+a−(x2+1x2+a) = (x1−x2)(1−1x1x2) = (x1−x2)(x1x2−1)x1x2，由于1≤x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2−1x1x2＞0，所以f（x1）＜f（x2），则函数g（x）的单调递增区间为[1，+∞）．【点评】：本题考查了函数单调性和奇偶性的判断与证明，考查了函数奇偶性与单调性的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）某水产养殖户承包一片靠岸水域，如图，AO、OB为直线岸线，OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB̂，过弧AB̂上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB= 2π3．（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；（2）如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益，记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．（2）根据已知条件，结合正弦定义，以及三角函数的恒等变换，即可求解．【解答】：解：（1）∵OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3，∴AB= √OA2+OB2−2×OA×OB×cosπ3 = √15002+10002−2×1500×1000×12=500√7，故岸线上点A与点B之间的直线距离为500√7米．（2）∵在△PAB中，500√7sin2π3=PAsin(π3−θ)=PBsinθ，∴ PA=√7√3(π3−θ)，PB= √7√3（0＜θ＜π3），设两段网箱获得的经济总收益为y元，则y=40PA+30PB= √7√3(π3−θ) + √7√3= √7√3(π3−θ)+3sinθ]= √7√3√3cosθ+sinθ)=10000√91√3sin(θ+arctan2√3) ，当 θ+arctan2√3=π2，即 θ≈π2−arctan2√3 ∈（0， π3）时， y max =10000√91√3≈55076 （元），故两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，掌握正弦定理，余弦定理是解本题的关键，属于中档题．20.（问答题，16分）已知斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线C 交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．（1）若点A 和B 到抛物线准线的距离分别为 32 和3，求|AB|； （2）若|AF|+|AB|=2|BF|，求k 的值；（3）点M （t ，0），t ＞0，对任意确定的实数k ，若△AMB 是以AB 为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M 有几个，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据抛物线的定义求得焦点弦长；（2）直线l 的方程为y=k （x-1），代入抛物线方程后应用韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，利用焦半径公式及已知|AF|+|AB|=2|BF|，得出x 1，x 2的关系，与韦达定理结合可求得k ；（3）把 MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 用坐标表示出来，代入韦达定理的结论，得出关于t 的方程，由一元二次方程根的分布可得t 的正数解的个数．【解答】：解：（1）根据抛物线定义，|AF|= 32 ，|BF|=3， ∴|AB|= 92；（2）设直线l 的方程为y=k （x-1）， 由 {y =k (x −1)y 2=4x ，可得：k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0，Δ=（2k 2+4）2-4k 4=16k 2+16＞0， ∴x 1+x 2=2+ 4k 2 ，x 1x 2=1，|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，|AB|=x 1+x 2+2， 又∵|AF|+|AB|=2|BF|，∴（x 1+1）+（x 1+x 2+2）=2（x 2+1）， ∴x 2-2x 1=1， ∴x 1=k 2+43k 2 ，x 2= 5k 2+83k 2， 代入x 1x 2=1得： k 2+43k 2 • 5k 2+83k 2 =1， ∴k 4-7k 2-8=0，∴k 2=-1（舎）或k 2=8， ∴k= ±2√2 ；（3）∵△AMB 是以AB 为斜边的直角三角形， ∴MA⊥MB ， MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ， 即（x 1-t ，y 1）（x 2-t ，y 2）=0， ∴（x 1-t ）（x 2-t ）+y 1y 2=0， 即x 1x 2-t （x 1+x 2）+t 2+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2（x 1x 2-x 1-x 2+1）=-4， ∴1-t （2+ 4k 2 ）+t 2-4=0， 即t 2-（2+ 4k 2 ）t-3=0， ∵ Δ=(2+4k 2)2+12＞0 ，t 1t 2=-3＜0，∴方程仅有一个正实数解， 存在一个满足条件的点M ．【点评】：本题考查了直线和圆锥曲线（抛物线）的相关计算，属于综合性较强的题目，解决此类题的一个基本思路就是要联立直线方程和圆锥曲线方程，再用设而不解的方法来进行相关解答，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n}，若存在A∈R使得数列{|a n-A|}是递减数列，则称数列{a n}是“A型数列”．（1）判断数列π、- √3、-1、12是否为“A型数列”；（2）若等比数列{a n}的通项公式为a n=q n（n∈N*），q＞0，其前n项和为S n，且{S n}是“A型数列”，求A的值和q的取值范围；（3）已知k＞0，数列{a n}满足a1=0，a n+1=k|a n|-1（n∈N*），若存在A∈R，使得{a n}是“A型数列”，求k的取值范围，并求出所有满足条件的A（用k表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据A型数列的新定义直接判断即可；（2）分q=1，q＞1和0＜q＜1分别求出{a n}的前n项和为S n，再判断是否存在A满足|S n-A|递减即可求解；（3）分k≥1和0＜k＜1两种情况讨论，首先判断k≥1不符合题意，当0＜k＜1时，先证明a n≤0，进而可得a n以及符合题意的A的值，再证明A是唯一的即可．【解答】：解：（1）因为|π−0|＞|−√3−0|＞|−1−0|＞|−12−0|，“A型数列“的定义可知该数列是“A型数列“．（2）若q=1，|S n-A|=|n-A|，不存在A∈R使得数列{|n-A|}是递减数列，此时{S n}不是“A型数列“；若q＞1，S n=q(1−q n)1−q =q(q n−1)q−1，因为{S n}为递增数列，对于任意A，存在N，当n＞N时，|S n-A|=S n-A，递增，因此不存在A，此时{S n}不是“A型数列“；若0＜q＜1，S n=−q1−q q n+q1−q，取A=q1−q，|S n−A|=q1−qq n，递减，此时符合题意；综上所述A=q1−q，q的取值范围{q|0＜q＜1}．（3）（i）若k≥1，则a1=0，a2=-1，a3=k-1．此时若存在A∈R使得{a n}是A型数列，则|A|＞|A+1|＞|k-1-A|，从而A＜−12且k＜1，矛盾；（ii）当0＜k＜1时，首先证明a n≤0（n∈N*）．用反证法．由题意，此时a1=0，a2=-1，a3=k-1．因此，若存在n∈N*，使得a n＞0，则n≥4．假设n=m为使得a n＞0的最小正整数，则a m＞0≥a m-1，故a m=−ka m−1−1＞0⇒a m−1＜−1k，而a m−1=−ka m−2−1＜−1k ⇒a m−2＞1−kk2＞0，与m的最小性矛盾．故a n≤0（n∈N*），从而a n+1=-ka n-1对一切n∈N*成立．据此，可解得a n=(−k)n−1−1k+1．故当α=−1k+1时，|a n−α|=k n−1k+1，即：{|a n-α|}为递减数列．于是{a n}为α型数列．再证明α是唯一解．用反证法．假设存在A≠α使得{a n}是A型数列．若A＞α，则由a2m−1=α+k2m−2k+1得，当m＞log k2[(A−α)(k+1)]+1时，a2m-1＜A．故|a2m−1−A|=A−α−k2m−2k+1＜A−α−k2mk+1=|a2m+1−A|，{|a n-A|}不是递减数列，从而{a n}不是A型数列．同理可证A＜α时，{a n}也不是A型数列，综上，k∈（0，1），相应的A=−1k+1．【点评】：本题主要考查数列中的新定义问题，数列知识的综合运用等知识，属于中等题．。
2023届上海市松江区高三年级上册学期期末数学试卷(一模)【含答案】
上海市松江区2022-2023学年高三上学期期末数学试卷（一模）解析版一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，12题第1空分，第2空3分，共54分）1．已知集合A＝（﹣2，1]，B＝Z，则A∩B＝ ．2．函数y＝sin x cos x的最小正周期是 ．3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝ ．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝ ．5．已知函数y＝a﹣为奇函数，则实数a＝ ．6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为 ．7．已知向量＝（5，3），＝（﹣1，2），则在上的投影向量的坐标为 ．8．对任意x∈R，不等式|x﹣2|+|x﹣3|≥2a2+a恒成立，则实数a的取值范围为 ．9．已知集合．设函数的值域为B，若B⊆A，则实数a的取值范围为 ．10．已知F1，F2是双曲线Γ：的左、右焦点，点M是双曲线Γ上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2的角一部分线的垂线，垂足为N，线段F1N的延长线交MF2于点Q，O是坐标原点，若，则双曲线Γ的渐近线方程为 ．11．动点P的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上运动，且与点A的距离是，点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 ．12．已知数列{a n}的各项都是正数，a n+12﹣a n+1＝a n（n∈N*，n≥1），若数列{a n}为严格增数列，则首项a1的取值范围是 ，当a1＝时，记b n＝，若k＜b1+b2+…+b2022＜k+1，则整数k＝ ．二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分）13．下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（ ）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b314．函数y＝（x2﹣1）e x的图象可能是（ ）A．B．C．D．15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.116．已知函数，g（x）＝kx+1，若函数y＝f（x）﹣g（x）的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为（ ）A．B．C．（﹣2，+∞）D．三、解答题（共78分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；（2）若AB＝1，CD＝BC＝2，求直线AD与平面ABC所成角的大小；18．（14分）在三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知；（1）求角B的大小；（2）若c＝2a，三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周长．19．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO'的距离a（米）之间满足关系式h1＝；山谷右侧的轮廓曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO'的距离b（米）之间满足关系式h2＝﹣+6b；已知点B到OO'的距离为40米；（1）求谷底O到桥面AB的距离和桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点），桥墩EF每米造价为k万元（k＞0）；问：O'E为多少米时，桥墩CD和EF的总造价最低？20．（18分）已知椭圆Γ：的长轴长为2，离心率为，直线l与椭圆Γ有两个不同的交点A，B（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l的方程为：y＝x+t，椭圆上点关于直线l的对称点N（与M 不重合）在椭圆Γ上，求t的值；（3）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值．21．（18分）已知定义在R上的函数f（x）＝e kx+b（e是自然对数的底数）满足f（x）＝f'（x），且f（﹣1）＝1，删除无穷数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…中的第3项，第6项，…，第3n项，…（n∈N，n≥1），余下的项按原来顺序组成一个新数列{t n}，记数列{t n}前n项和为T n；（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知数列{t n}的通项公式是t n＝f（g（n）），n∈N，n≥1，求函数g（n）的解析式；（3）设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数a满足：对任意x1，x2∈X，都有|x1﹣x2|≤a，设称a为集合X的一个“阈度”；记集合，试问集合H存在“阈度”吗？若存在，求出集合H“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；参考答案与试题解析一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，12题第1空分，第2空3分，共54分）1．已知集合A＝（﹣2，1]，B＝Z，则A∩B＝ {﹣1，0，1} ．【分析】直接利用集合的交集运算求解即可．【解答】解：∵集合A＝（﹣2，1]，B＝Z，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2．函数y＝sin x cos x的最小正周期是 π ．【分析】把函数y＝sin x cos x化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】解：函数y＝sin x cos x＝sin2x，它的最小正周期是：＝π．故答案为：π．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝ 3+4i ．【分析】直接利用复数是共轭复数，求出ab，即可求解（a+bi）2．【解答】解：因为a，b∈R，i是虚数单位．若a﹣i与2+bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1．（a+bi）2＝（2+i）2＝3+4i．故答案为：3+4i．【点评】本题考查复数的基本概念的应用，复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝ 2 ．【分析】根据已知条件，可得2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，再结合等差中项的性质，即可求解．【解答】解：∵2S3＝3S2+6，∴2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，∵{a n}为等差数列，∴6a2＝3a1+3a2+6，∴3（a2﹣a1）＝3d＝6，解得d＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，考查转化能力，属于基础题．5．已知函数y＝a﹣为奇函数，则实数a＝ 1 ．【分析】由题意可得f（0）＝0，解出a再验证即可．【解答】解：∵函数f（x）＝a﹣为奇函数，∴f（0）＝a﹣＝0，解得，a＝1，经验证，函数f（x）＝1﹣为奇函数．故答案为：1．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为 16π ．【分析】根据侧面积公式计算底面半径，再计算圆锥的高，代入体积公式计算体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则S侧＝πr×5＝20π，∴r＝4，∴圆锥的高h＝＝3，∴圆锥的体积V＝＝＝16π．故答案为：16π．【点评】本题考查了圆锥的侧面积和体积公式，属于基础题．7．已知向量＝（5，3），＝（﹣1，2），则在上的投影向量的坐标为 ．【分析】利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可．【解答】解：向量＝（5，3），＝（﹣1，2），∴在上的投影向量的坐标为：＝＝（﹣1，2）＝．故答案为：（，）．【点评】本题考查了投影和投影向量的定义及求法，向量坐标的数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．8．对任意x∈R，不等式|x﹣2|+|x﹣3|≥2a2+a恒成立，则实数a的取值范围为 [﹣1，] ．【分析】由不等式性质可知，|x﹣2|+|x﹣3|≥|（x﹣2）+（3﹣x）|＝1，即2a2+a≤1，求解即可．【解答】解：|x﹣2|+|x﹣3|＝|x﹣2|+|3﹣x|≥|（x﹣2）+（3﹣x）|＝1，即2a2+a≤1，（2a﹣1）（a+1）≤0，解得a∈[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，是中档题．9．已知集合．设函数的值域为B，若B⊆A，则实数a的取值范围为 （4，5] ．【分析】先求出集合A，再结合对数函数的性质求出集合B，再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出a的取值范围即可．【解答】解：不等式，等价于，等价于（x﹣2）（x﹣4）≤0且x﹣2≠0，解得2＜x≤4，即A＝{x|2＜x≤4}，函数y＝+a，x∈（2，4]，∴y∈[﹣2+a，﹣1+a），即B＝[﹣2+a，﹣1+a），显然B≠∅，∵B⊆A，∴，解得4＜a≤5，即实数a的取值范围为（4，5]．故答案为：（4，5]．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了对数函数的性质，以及集合间的包含关系，属于中档题．10．已知F1，F2是双曲线Γ：的左、右焦点，点M是双曲线Γ上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2的角一部分线的垂线，垂足为N，线段F1N的延长线交MF2于点Q，O是坐标原点，若，则双曲线Γ的渐近线方程为 y＝±2x ．【分析】延长F1N交MF2的延长线于Q，因为MN是∠F1MF2角平分线，F1N⊥MN，可得△F1MQ为等腰三角形，再由题意可得|F1F2|＝3|F2Q|，结合双曲线的定义可得a，c 的关系，得到a，b的关系，求出双曲线的渐近线的方程．【解答】解：延长F1N交MF2的延长线于Q，因为MN是∠F1MF2角平分线，F1N⊥MN，如图所示：所以△F1MQ为等腰三角形，|F1M|＝|MQ|，N为F1Q的中点，O为F1F2的中点，所以ON是△F1F2Q的中位线，所以|ON|＝|F2Q|，若，则|F1F2|＝3|F2Q|＝3（|MQ|﹣|MF2|）＝3（|MF1|﹣|MF2|）＝6a，即c＝3a，可得b2＝c2﹣a2＝9a2﹣a2＝8a2，所以＝2，所以双曲线的渐近线的方程为y＝±x＝±2x．故答案为：y＝±2x．【点评】本题考查双曲线的性质的应用，角平分线的性质的应用，属于中档题．11．动点P的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上运动，且与点A的距离是，点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 ．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．【解答】解：由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r＝，故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••＝故答案为：．【点评】本题以正方体为载体，考查轨迹，考查曲线的周长，有一定的难度．12．已知数列{a n}的各项都是正数，a n+12﹣a n+1＝a n（n∈N*，n≥1），若数列{a n}为严格增数列，则首项a1的取值范围是 （0，2） ，当a1＝时，记b n＝，若k＜b1+b2+…+b2022＜k+1，则整数k＝ ﹣6 ．【分析】本题根据正数数列{a n}是单调递增数列，可列出a n﹣a n+1＝﹣2a n+1＜0，通过求出a n+1的取值范围，得到a2的取值范围，逆推出a1的取值范围；第二空采用裂项相消法求出b1+b2+…+b2022的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果．【解答】解：因为正数数列{a n}是单调递增数列，且a n+12﹣a n+1＝a n（n∈N*），所以a n﹣a n+1＝﹣2a n+1＜0，解得a n+1∈（1，2），所以a2∈（1，2）．所以a1＝﹣a2∈[﹣，2），又因为a1＞0，所以0＜a1＜2，由﹣a n+1＝a n，可得：＝＝﹣，所以＝+，因为b n＝，所以b1+b2......+b2022＝﹣+﹣...+﹣＝﹣（+）+（+）﹣...﹣（+）+（+）﹣（）＝﹣﹣++﹣...﹣﹣++﹣﹣＝﹣﹣＝﹣3﹣﹣＝﹣﹣．又因为a1＝，且数列{a n}是递增数列，所以a2022∈（，2），即∈（，），所以﹣6＜﹣﹣＜﹣5．所以整数k＝﹣6．故答案为：（0，2）；﹣6．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项相消法的应用，数列的周期性，考查了推理能力与不等式的计算能力，是难题．二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分）13．下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（ ）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】分别判断四个选项与a＞b的关系．【解答】解：A．若a＞b，则a＞b+1不一定成立．B．若a＞b，则a＞b﹣1一定成立，但若a＞﹣1b，则a＞b不一定成立．C．若a＞b，则a2＞b2不一定成立，反之也不成立．D．因为函数f（x）＝x3在R上是单调递增函数，所以若a＞b，则一定有a3＞b3，故D正确．故选：D．【点评】本题考查充分条件和必要条件的判断，要求掌握判断充分条件和必要条件的方法：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．14．函数y＝（x2﹣1）e x的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】由函数值f（±1）＝0的可排除选项A，B，再由x→∞排除D．【解答】解：函数y＝（x2﹣1）e x，当x＝±1时，y＝0，故可排除A，B，当x→﹣∞时，y＝（x2﹣1）e x＞0，故可排除D，故选项C正确．故选：C．【点评】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.1【分析】把已知数据代入m2﹣m1＝lg，化简后利用对数的运算性质求解．【解答】解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，由题意可得：，∴，则．故选：A．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．16．已知函数，g（x）＝kx+1，若函数y＝f（x）﹣g（x）的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为（ ）A．B．C．（﹣2，+∞）D．【分析】问题转化为函数y＝f（x）与y＝g（x）在x轴的正负半轴都有两个交点，作出函数y＝f（x）的图象，而直线g（x）＝kx+1，过定点P（0，1），利用导数的几何意义求出直线y＝kx+1与函数y＝x2﹣4x+2（x≥0）相切时的切线斜率，再求出直线y＝kx+1过点（﹣2，0）的斜率，数形结合即可求出k的取值范围．【解答】解：直线g（x）＝kx+1，过定点P（0，1），函数y＝f（x）﹣g（x）的图像经过四个象限，等价于函数y＝f（x）与y＝g（x）在x 轴的正负半轴都有两个交点，过点P（0，1）作y＝x2﹣4x+2（x≥0）的切线，切点设为M（x0，），∵y'＝2x﹣4，∴k＝2x0﹣4，∴切线方程为y﹣（）＝（2x0﹣4）（x﹣x0），把点P（0，1）代入上述切线方程得，1﹣+4x0﹣2＝﹣x0（2x0﹣4），解得x0＝1，∴k＝﹣2，易知f（x）＝|x+2|（x＜0）与x轴交于点N（﹣2，0），∴k PN＝，∴﹣2＜k＜，∴实数k的取值范围为（﹣2，）．故选：A．【点评】本题主要考查了分段函数的图象和零点个数问题，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题（共78分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；（2）若AB＝1，CD＝BC＝2，求直线AD与平面ABC所成角的大小；【分析】（1）由已知结合线线，线面与面面垂直的相互转化即可证明；（2）先作出直线AD与平面ABC所成的角，然后解三角形可求．【解答】（1）证明：因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，由三垂线定理可知，CD⊥AC，因为BC⊥CD且AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC，因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC；（2）因为CD⊥平面ABC，所以∠CAD为直线AD与平面ABC所成的角，因为BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，所以BD＝2，因为AB＝1，所以AD＝3，Rt△ACD中，sin∠CAD＝＝，即直线AD与平面ABC所成的角为arcsin．【点评】本题主要考查了面面垂直的判定及线面角的求解，属于中档题．18．（14分）在三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知；（1）求角B的大小；（2）若c＝2a，三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan B，进而可求B；（2）由已知结合三角形面积公式可求a，c，然后结合余弦定理可求b，进而可求三角形的周长．【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得，a sin B＝b sin A，所以a cos（B﹣）＝a sin B，即sin B＝cos（B﹣）＝，化简得tan B＝，由B为三角形内角得B＝60°；（2）因为c＝2a，三角形ABC的面积为，所以＝＝，所以a＝，c＝，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（）2+（）2﹣2×＝4，所以b＝2，故三角形的周长为2+2．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO'的距离a（米）之间满足关系式h1＝；山谷右侧的轮廓曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO'的距离b（米）之间满足关系式h2＝﹣+6b；已知点B到OO'的距离为40米；（1）求谷底O到桥面AB的距离和桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点），桥墩EF每米造价为k万元（k＞0）；问：O'E为多少米时，桥墩CD和EF的总造价最低？【分析】（1）设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．结合已知条件，转化求解AB即可．（2）以O为原点，OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．设F（x，y2），x∈（0，40），推出EF，CD，CD和EF的总造价为f（x），得到函数的解析式，利用函数的导数转化求解最小值即可．【解答】解：（1）设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．由条件知，当O'B＝40时，，则AA1＝160．由，得O'A＝80．所以AB＝O'A+O'B＝80+40＝120（米）．（2）以O为原点，OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．设F（x，y2），x∈（0，40），则，．因为CE＝80，所以O'C＝80﹣x．设D（x﹣80，y1），则，所以．记桥墩CD和EF的总造价为f（x），则＝．，令f'（x）＝0，得x＝20．x（0，20）20（20，40）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以当x＝20时，f（x）取得最小值．∴当O'E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数求解函数的最值，是中档题．20．（18分）已知椭圆Γ：的长轴长为2，离心率为，直线l与椭圆Γ有两个不同的交点A，B（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l的方程为：y＝x+t，椭圆上点关于直线l的对称点N（与M 不重合）在椭圆Γ上，求t的值；（3）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值．【分析】（1）由椭圆的长轴长和离心率，可得a，c的值，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆的方程；（2）联立直线l的方程与椭圆方程，运用判别式大于0，可得t的范围，再由点关于直线的对称的知识，求得N的坐标，代入椭圆方程求得t的值；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），结合椭圆方程，求得直线PA的方程，与椭圆方程联立，解得C的坐标，同理可得D的坐标，由向量共线的坐标表示，化简整理，结合直线的斜率公式，可得所求值．【解答】解：（1）由椭圆Γ：的长轴长为2，离心率为，可得2a＝2，即a＝，又e＝＝，解得c＝，则b＝＝1，则椭圆Γ的方程为+y2＝1：（2）联立可得4x2+6tx+3t2﹣3＝0，由Δ＝36t2﹣16（3t2﹣3）＞0，可得﹣2＜t＜2．设N（x0，y0），则＝﹣1，（+y0）＝（x0﹣）+t，解得x0＝﹣t，y0＝t﹣，即N（﹣t，t﹣），又N在椭圆上，可得（﹣t）2+（t﹣）2＝1，解得t＝2（舍去）或t＝，则t＝；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x12+3y12＝3，x22+3y22＝3，又P（﹣2，0），则直线PA的方程为y＝（x+2），与椭圆方程x2+3y2＝3联立，可得（7+4x1）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）＝0，则x1x C＝﹣，即有x C＝﹣，y C＝（x C+2）＝，即C（﹣，），同理可得D（﹣，），又Q（﹣，），所以＝（，），＝（，），由题意可得∥，则•＝•，化简可得y1﹣y2＝2（x1﹣x2），则k＝＝2，即有k的值为2．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于难题．21．（18分）已知定义在R上的函数f（x）＝e kx+b（e是自然对数的底数）满足f（x）＝f'（x），且f（﹣1）＝1，删除无穷数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…中的第3项，第6项，…，第3n项，…（n∈N，n≥1），余下的项按原来顺序组成一个新数列{t n}，记数列{t n}前n项和为T n；（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知数列{t n}的通项公式是t n＝f（g（n）），n∈N，n≥1，求函数g（n）的解析式；（3）设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数a满足：对任意x1，x2∈X，都有|x1﹣x2|≤a，设称a为集合X的一个“阈度”；记集合，试问集合H存在“阈度”吗？若存在，求出集合H“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；【分析】（1）求出导函数，结合已知条件即可求解结论，（2）分n为奇数和偶数分别求解数列{t n}的通项公式，进而求解结论，（3）令w（n）＝，分n为奇数和偶数分别求解表达式，进而求解结论．【解答】解：（1）由定义在R上的函数f（x）＝e kx+b（e是自然对数的底数）满足f（x）＝f'（x），且f（﹣1）＝1，可得e kx+b＝ke kx+b恒成立，可得k＝1，又由f（﹣1）＝1，可得e﹣1+b＝1，解得b＝1，故函数f（x）＝e x+1；（2）由题可得数列{t n}的奇数项依次构成首项为e2，公比为e3的等比数列，偶数项依次构成首项为e3，公比为e3的等比数列，所以：t n＝＝；所以g（n）＝＝﹣；（3）令w（n）＝，当n为偶数时，T n＝（e2+e3），所以w（n）＝＝（1﹣），此时w（n）关于n是递增的，其函数值在区间[（1﹣），）内，即在区间[1+，）内，当n为奇数时，T n＝T n+1﹣t n+1＝•（e﹣1）﹣e，所以w（n）＝＝（1﹣）﹣1，此时w（n）关于n是递增的，其函数值在区间[（1﹣）﹣1，）内，即在区间[，）内，所以，n∈N，n≥1时，w的取值在区间[，）内，又﹣＝，所以，集合H“阈度”的取值范围为：[，+∞）．【点评】本题主要考查函数性质以及数列性质的应用，考查新定义的理解，考查学生的推理能力和计算能力，属于难题．。
上海市松江区2022届高三一模数学试题(1)
一、单选题1. 如图，长方体中，，点为线段的中点，，，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为（）A．B ．5C．D ．22. 记函数（）的最小正周期为，且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．53. 半圆的直径AB ＝4, O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则的最小值是A ．2B ．0C．D．4.如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（）A ．存在平面和点，使得平面B ．存在平面和点，使得平面C ．对任意的平面，线段平分线段D ．对任意的平面，线段平分线段5. 在公比为等比数列中，是数列的前n 项和，若，则下列说法不正确的是（ ）A．B ．数列不是等比数列C．D．6. 如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是( )上海市松江区2022届高三一模数学试题(1)上海市松江区2022届高三一模数学试题(1)二、多选题A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13℃D ．这天21时的温度是30℃7.已知数列满足，且，则（ ）A ．-3B ．3C．D．8.若圆与轴相切，则（ ）A ．1B．C ．2D ．49. 已知，且，则下列不等式正确的（ ）A．B．C．D．10. 某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A．图中的B ．成绩不低于80分的职工约80人C ．200名职工的平均成绩是80分D ．若单位要表扬成绩由高到低前25%职工，则成绩87分的职工A 肯定能受到表扬11. 记A ，B 为随机事件，下列说法正确的是（ ）A ．若事件A ，B互斥，，，则B ．若事件A ，B 相互独立，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则12. 以下说法正确的是（ ）三、填空题四、解答题A ．数据1，2，4，5，6，8，9的60%分位数为5B ．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性C．决定系数越小，模型的拟合效果越差D ．若，则13. 设，则______．14. 若过定点恰好可作曲线的两条切线，则实数a 的取值范围是__________．15. 在三棱锥中，，，，二面角的平面角大小为，则此三棱锥的外接球表面积为________.16. 已知数列{a n }对任意的n ∈N *都满足．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝，求数列{b n }的前n 项和为T n ．17. 在中，角的对边分别是，，，且(1)求角A ；(2)若，且面积为，求的周长．18. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当，是方程的两根，，证明：．19.如图，点在以为直径的圆上，垂直于圆所在的平面，为的重心.(1)求证：平面平面；(2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20. 法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.（1）求椭圆和其“伴随圆”的方程；（2）若点是椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围；（3）在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线､，使得､与椭圆都只有一个交点，试判断､是否垂直?并说明理由.21. 已知椭圆C：，右焦点为F(，0) ，且离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设M，N是椭圆C上不同的两点，且直线MN与圆O：相切，若T为弦MN的中点，求|OT||MN|的取值范围．。
2021-2022学年上海市松江区第一中学高三数学文联考试题含解析
2021-2022学年上海市松江区第一中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知抛物线的焦点为是抛物线上横坐标不相等的两点，若的垂直平分线与轴的交点是，则的最大值为（）A.2B.4C.10D.6参考答案：D2. 某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为（）A. 20B. 16C. 14D. 12参考答案：B【分析】利用总人数乘以高二学生所占的比例可求得结果.【详解】由题意可知，高二学生所占的比例为，所以，高二年级应抽取人数为. 故选：B.【点睛】本题考查利用扇形统计图计算频数，考查计算能力，属于基础题.3. 已知函数是定义域为的偶函数. 当时，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（）A． B．C. D．参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】C 依题意在和上递增，在和上递减，当时，函数取得极大值；当时，取得极小值。
要使关于的方程，有且只有6个不同实数根，设，则必有两个根、，则有两种情况符合题意：（1），且，此时，则；（2），，此时同理可得，综上可得的范围是.故选C.【思路点拨】根据导数的单调性求出根的情况极大值极小值可得跟的情况。
4. 已知函数f（x）=sin2ωx﹣（ω＞0）的周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a 的最小值．【解答】解：∵f（x）=sin2（ωx）﹣=﹣=﹣cos2ωx，∴=，解得：ω=2，∴f（x）=﹣cos4x，∵将函数f（x）图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），得到的新函数为g（x）=﹣cos（4x﹣4a），∴cos4a=0，∴4a=kπ+，k∈Z，当k=0时，a的最小值为．故选：D．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．5. △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2， =2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C． ?=1 D．（4+）⊥参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，知道，，根据已知三角形为等边三角形解之．【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2， =2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4， =4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．6. 数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+1?a n=nλ（λ为常数，n∈N*），则a4等于( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】根据题中已知条件先求出λ的值，然后根据a n+1?a n=2n求出a3的值，即可求得a4的值．【解答】解：由题意可知；a1=1，a2=2，a n+1?a n=nλ，则：a2?a1=2×1=λ，∴a n+1?a n=2n，故a3?a2=2×2=4，解得a3=2，a4?a3=2×3=6，解得a4=3，故选C．【点评】本题主要考查了由递推公式推导数列的通项公式，是高考的热点，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，属于基础题．7. 直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C8. 如图，单位正方体中，下列说法错误的是（A）（B）若，则（C）若点在球心为的球面上，则点在该球面上的球面距离为（D ）若，则三线共点参考答案： C9. 函数的零点个数为 （ ）A ． 个B ．个C ．个D ．个参考答案：C 略10. 函数在处不连续是因为（ ）A 、在处无定义 B 、不存在C 、D 、参考答案： D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直角△ABC 中, AB=2，AC=1，D 为斜边BC 的中点，则向量在上的投影为 。
2022-2023学年上海市松江区 高三数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）． A ．()ln f x x x = B ．()x x f x e e -=- C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =-2．已知函数13()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 3．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．452，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A 25B 45C ．3D ．45．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ）A ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥nB ．若m //α，n //α，则m //nC ．若l ⊥α，l //β，则α⊥βD ．若α//β，l ⊄β，且l //α，则l //β6．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48B ．72C ．90D ．967．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ） A ．16B ．17C ．18D ．198．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-9．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ）A ．523+B ．523-C ．2133+D ．2133-10．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A ．(625,)+∞B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)11．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元12．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ）A ．168B ．249C ．411D ．561二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市松江区2021届高三上学期期末(一模)数学试题(wd无答案)
上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）数学试题一、填空题(★★) 1. ________ .(★★) 2. 若集合，，则 ____ .(★) 3. 已知复数满足( i为虚数单位)，则 ____ .(★★) 4. 若，则 ____ .(★★) 5. 抛物线的准线方程为 _____________ .(★★) 6. 已知函数图像与函数的图像关于对称，则 ____ .(★★★) 7. 从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率 ___ .(★) 8. 在的二项展开式中，常数项等于 ____ .(★★) 9. 在中，角 A， B， C对的边分别为 a， b， c，且，则角____ .(★★) 10. 从以下七个函数：中选取两个函数记为和，构成函数，若的图像如图所示，则 ____ .(★★) 11. 已知向量| ，若，且，则的最大值为 ____ .(★★★) 12. 对于定义域为 D的函数，若存在且，使得，则称函数具有性质 M，若函数且有性质 M，则实数 a的最小值为 _____ .二、单选题(★★) 13. 已知两条直线，的方程为和，则是“直线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 14. 在正方体中，下列四个结论中错误的是（）A．直线与直线所成的角为B．直线与平面所成的角为C．直线与直线所成的角为D．直线与直线所成的角为(★★) 15. 设，，若，则的（）A．最小值为8B．最大值为8C．最小值为2D．最大值为2(★★★) 16. 记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数 n满足，则实数 k的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题(★★) 17. 如图1在三棱柱中，已知，且平面，过三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图2).（1）求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数表示)；（2）求四棱锥的体积和表面积.(★★★) 18. 已知函数.（1）求的最小正周期和值域；（2）若对任意，的恒成立，求实数的取值范围.(★★) 19. 某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品 x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量与促销费 t之间的关系为(其中 k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费 t至少为多少(万元)？（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费 t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？(★★★) 20. 已知椭圆Γ：的右焦点坐标为，且长轴长为短轴长的倍，直线 l交Γ椭圆于不同的两点和，（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线 l经过点，且的面积为，求直线 l的方程；（3）若直线 l的方程为，点关于 x轴的对称点为，直线，分别与 x轴相交于 P､ Q两点，求证：为定值.(★★★★★) 21. 对于由 m个正整数构成的有限集，记，特别规定，若集合 M满足：对任意的正整数，都存在集合 M的两个子集 A､ B，使得成立，则称集合 M为“满集”，（1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；（2）若由小到大能排列成公差为 d( )的等差数列，求证：集合 M为“满集”的必要条件是或2；（3）若由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合 M是“满集”。
上海市松江区2022届高三一模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1.设有一个回归方程为，变量增加一个单位时，则（ ）A ．平均增加1.5个单位B ．平均增加0.5个单位C ．平均减少1.5个单位D ．平均减少0.5个单位2.设等差数列与等差数列的前n 项和分别为，.若对于任意的正整数n 都有，则（ ）A．B．C．D．3.已知函数，若，且，则的取值范围是A．B．C．D．4. （ ）A．B．C．D．5. 已知向量夹角为，且，则A．B．C．D．6. ，，则（ ）A．B．C．D．7. 已知集合，则的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数8. 已知全集，集合，，如图阴影部分所表示的集合为A．B．C．D．9. 如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（）A．B．当时，有且仅有一个点，使得平面C ．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，三棱锥的体积为定值10.如图，为圆锥的顶点，为底面圆的直径，圆锥的侧面展开图为半圆，且半圆的面积为，为的中点，为弧的中点，下列说法正确的是（ ）上海市松江区2022届高三一模数学试题(1)上海市松江区2022届高三一模数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．底面半径为1B．母线与底面所成的角为C．D．11. 已知直四棱柱，底面是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，则下列说法正确（ ）A ．当平面时，B．当时，的最小值为C ．若，则的轨迹长度为D ．当时，若点为三棱锥的外接球的球心，则的取值范围为12. 已知函数，则（ ）A．若的最小正周期为，则B．若，则在上的最小值为C ．若在上单调递增，则D ．若在上恰有2个零点，则13. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，若三点共线，且的外接圆交于点的外接圆交于点，则___________.14. 函数在区间上的最大值是7，则实数a 的值为________．15. 已知sin α＋cos α＝，则cos4α＝________.16. 如图，在平面四边形ABCD 中，，，，.（1）求的大小；（2）求BC 的长.17.已知，分别为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，.且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程.(2)若过的直线与椭圆交于，两点，且与以为直径的圆交于，两点，试问是否存在常数，使为常数?若存在，求的值；若不存在，说明理由.18. 已知椭圆C ：（）的左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，直线l ：与C 的两个交点和O ，B构成一个面积为的菱形．（1）求C的方程；（2）圆E过O，B，交于点M，N，直线，分别交C于另一点P，Q，点S，T满足，，求O到直线和直线的距离之和的最大值．19. 在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做每一道题的概率均为.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布及数学期望.20. 某小区物业从某供应商购进定量小包装果蔬，供本小区居民扫码自行购买，每份成本20元，售价25元，若当天没有售出，供应商以每份15元回收．（1）若某天物业购进21份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式．（2）物业对20天该小区对这种小包装果蔬的日需求量（单位：份）进行统计，得到条形图如图：①若这20天物业每天购进21份，求这20天的日平均利润；②从日需求量为20与21的6天中任取1天、日需求量为23与24的6天中任取1天，若抽取的2天的日需求量之和为，求的分布列与数学期望．21. 如图1，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,现将梯形沿CB、DA折起，使且，得一简单组合体如图2示，已知分别为的中点．图1 图2（1）求证：平面；（2）求证：；（3）当多长时，平面与平面所成的锐二面角为？。
上海市松江区2022-2022学年高三一模数学(理)试卷Word版含解析
上海市松江区2022-2022学年高三一模数学(理)试卷Word版含解析最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
2．已知f（某）=loga某（a＞0，a≠1），且f（﹣1）=2，则f（某）=__________．3．在等差数列{an}中，a2=6，a5=15，则a2+a4+a6+a8+a10=__________．4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则5．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为__________（结果用反三角函数表示）．=__________．﹣1﹣1|=0，则z的值为__________．6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4某﹣3y=0和某轴都相切，则该圆的标准方程是__________．7．按如图所示的流程图运算，则输出的S=__________．8．已知函数f（某）=in（ω某+平移φ个单位长度（0＜φ＜9．已知双曲线）（某∈R，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（某）图象向左）所得图象关于y轴对称，则φ=__________．的右焦点与抛物线y=12某的焦点重合，则该双曲线的焦点到其2渐近线的距离等于__________．10．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为__________．11．已知函数f（某）=in2某﹣围为__________．12．某同学为研究函数的性质，构造了如co2某+1，若f（某）≥log2t对某∈R恒成立，则t的取值范图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=某，则AP+PF=f（某）．请你参考这些信息，推知函数f （某）的值域是__________．13．设f（某）是定义在R上的偶函数，对任意某∈R，都有f（某﹣2）=f（某+2），且当某∈[﹣2，0]时，f（某）=．若函数g（某）=f（某）﹣loga（某+2）（a＞1）在区间（﹣2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是__________．14．在正项等比数列{an}中，已知a1＜a2022=1，若集A={t|（a1﹣﹣）≤0，t∈N}，则A中元素个数为__________．某）+（a2﹣）+…+（atB．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件16．若二项式()A．5展开式中含有常数项，则n的最小取值是B．6C．7D．817．设P是△ABC所在平面内的一点，A．2，则()C．D．22B．218．已知满足条件某+y≤1的点（某，y）构成的平面区域面积为S1，满足条件[某]+[y]≤1的点（某，y）构成的平面区域的面积为S2，其中[某]、[y]分别表示不大于某，y的最大整数，例如：[﹣0.4]=﹣1，[1.6]=1，则S1与S2的关系是()A．S1＜S2B．S1=S2C．S1＞S2D．S1+S2=π+319．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b=2ainB．（1）求A的大小；（2）若a=2，b=2，求△ABC的面积．20．已知函数f（某）=a（a＞0，a≠1，b∈R）．（1）若f（某）为偶函数，求b的值；（2）若f（某）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a、b应满足的条件．21．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．3|某+b|22．（16分）已知数列{an}的首项为1，设f（n）=a1Cn+a2Cn+…+akCn+…+anCn（n∈N）．（1）若{an}为常数列，求f（4）的值；（2）若{an}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；n某（3）数列{an}能否成等差数列，使得f（n）﹣1=2（n﹣1）对一切n∈N都成立？若能，求出数列{an}的通项公式；若不能，试说明理由．23．（18分）对于曲线C：f（某，y）=0，若存在最小的非负实数m 和n，使得曲线C上任意一点P（某，y），|某|≤m，|y|≤n恒成立，则称曲线C为有界曲线，且称点集{（某，y）||某|≤m，|y|≤n}为曲线C 的界域．22（1）写出曲线（某﹣1）+y=4的界域；（2）已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线某=1的距离之和等于3，曲线M是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；（3）已知曲线C上任意一点P（某，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线的界域．2kn某|=0，则z的值为±2i．考点：二阶行列式的定义；复数代数形式的乘除运算．专题：矩阵和变换．2分析：由已知得z+4=0，由此能求出z=±2i．．解答：解：∵2=0，∴z+4=0，解得z=±2i．故答案为：±2i．点评：本题考查复数的求法，是基础题，解题时要注意二阶行列式性质的合理运用．2．已知f（某）=loga某（a＞0，a≠1），且f（﹣1）=2，则f（某）=考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；函数的性质及应用．﹣1﹣1．分析：由题意可得f（2）=loga2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．解答：解：由题意，∵f（﹣1）=2，∴f（2）=loga2=﹣1；故a=；故f（某）=故答案为：﹣1﹣1；．点评：本题考查了反函数的应用及指数对数函数的应用，属于基础题．3．在等差数列{an}中，a2=6，a5=15，则a2+a4+a6+a8+a10=90．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，利用等差数列的前n项和公式求出首项和公差，由此能求出结果．解答：解：∵在等差数列{an}中，a2=6，a5=15，∴，解得a1=3，d=3，∴a2+a4+a6+a8+a10=5a1+25d=90．故答案为：90．点评：本题考查数列的若干项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．=2．分析：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．=0，﹣+）解答：解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则故﹣=（=4+0﹣0﹣）（=2，）=（）（）=故答案为2．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．。
2021届上海市松江区高三高考数学一模试题及答案
绝密★启用前2021届上海市松江区高三高考数学一模试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知两条直线1l ，2l 的方程为1:10l ax y +-=和2:210l x y -+=，则2a =是“直线12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案C【分析】根据充分必要条件的定义，分别判断其充分性和必要性即可． 解：解：若2a =，则1:10l ax y +-=和2:210l x y -+=，121212k k ⋅=-⨯=-， 所以直线12l l ⊥，满足充分性；若直线12l l ⊥，则11(2)0a ⨯+⨯-=，解得2a =，满足必要性． 所以2a =是“直线12l l ⊥”的充要条件． 故选：C ．2．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列四个结论中错误的是（ ）A ．直线1BC 与直线AC 所成的角为60︒ B ．直线1B C 与平面1AD C 所成的角为60︒ C ．直线1B C 与直线1AD 所成的角为90︒ D ．直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒答案B【分析】连接1AB ，求出1ACB ∠可判断选项A ；连接11B D 找出点1B 在平面1AD C ⊥的投影O ，设直线1B C 与平面1AD C 所成的角为θ，由1cos OCB Cθ=可判断选项B ；利用平移法找出选项C 和D 涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．解：连接1AB ∵1AB C 为等边三角形，∴160ACB ∠=︒，即直线1B C 与AC 所成的角为60°，故选项A 正确；连接11B D ，∵1111AB B C CD AD ===，∴四面体11AB CD 是正四面体，∴点1B 在平面1AD C 上的投影为1AD C 的中心，设为点O ，连接1B O ，OC ，则63OC BC =， 设直线1B C 与平面1AD C 所成的角为θ，则16313cos 22BCBCOC B C θ===≠，故选项B 错误； 连接1BC ，∵11AD BC ，且11B C BC ⊥，∴直线1B C 与1AD 所成的角为90°，故选项C 正确；∵AB ⊥平面11BCC B ，∴1AB B C ⊥，即直线1B C 与AB 所成的角为90°，故选项D 正确． 故选：B ．3．设0x >，0y >，若121x y +=，则yx的（ ） A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为2 D ．最大值为2答案A【分析】本题首先可根据题意得出0y x >，然后根据121x y +=得出112y x=-，并将y x 转化为2111248x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，最后取14x =，即可得出结果. 解：因为0x >，0y >，所以0yx>， 因为121x y +=，所以112y x=-，12x ≠，则22111(12)211248y x x x x x x ===--+⎛⎫--+⎪⎝⎭， 故当14x =时，yx 最小，min 8y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：A.4．记n S 为数列{}n a 的前项和，已知点(,)n n a 在直线102y x =-上，若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(8,14]B ．(14,18]C ．(18,20]D ．81(18,]4答案C【分析】由已知可得数列{}n a 为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n 项和公式可得29n S n n =-+，由二次函数的性质可得4n =或5时，n S 取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k 的取值范围． 解：解：由已知可得102n a n =-，由12n n a a --=-，所以数列{}n a 为等差数列，首项为8，公差为-2， 所以2(1)8(2)92n n n S n n n -=+⨯-=-+， 当n=4或5时， n S 取得最大值为20， 因为有且只有两个正整数n 满足n S k ≥， 所以满足条件的4n =和5n =，因为3618S S ==，所以实数k 的取值范围是(]18,20． 故选：C ．点评：方法点睛：最值范围问题常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知灵活选择合适的方法求解.二、填空题5．3lim 32nn nn →∞=+________.答案1【分析】利用数列极限的运算法则化简求解即可．解：解：311lim lim 13210213nnn n n n →∞→∞===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭故答案为：1． 【点评】本题考查数列极限的运算法则的应用，解题的关键是在分式的分子分母上同时除以3n ,属于基础题．6．若集合{|13}A x x =-<<，{1,2,3,4}B =，则A B =____.答案{1,2}【分析】根据交集定义的运算即可． 解：解：{}|13A x x =-<<，{}1,2,3,4B =，∴{1,2}AB =．故答案为：{1,2}．点评：集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 7．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =____. 答案1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：解：由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+， ∴1z =． 故答案为：1． 8．若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____. 答案79-【分析】原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sin α的值代入计算即可求出值． 解：因为1sin 3α=， 所以()2227cos(2)cos 212sin 12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-． 故答案为： 79-9．抛物线24y x =-的准线方程为_____________. 答案1试题分析：抛物线24y x =-的焦点在x 轴上，且开口向左，24,12pp == ∴抛物线24y x =-的准线方程为x=1，故答案为x=1. 抛物线的性质.10．已知函数()f x 图像与函数()2x g x =的图像关于y x =对称，则(3)f =____. 答案2log 3【分析】由函数()f x 的图象与函数()2xg x =的图象关于直线y x =对称，可得：函数()f x 与函数()2xg x =互为反函数，求出函数解析式，可得答案．解：解：∵函数()f x 的图象与函数()2xg x =的图象关于直线y x =对称，∴函数()f x 与函数()2xg x =互为反函数，∴2()log f x x =，∴2(3)log 3f =.故答案为：2log 3．点评：本题考查的知识点是反函数，熟练掌握同底的指数函数和对数函数互为反函数，是解答的关键．11．从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___. 答案115【分析】基本事件总数801200n C =，学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，由此能求出学生甲被抽到的概率．解：解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本， 基本事件总数801200n C =，学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，∴学生甲被抽到的概率79111991801200115C C m P n C ===． 故答案为：115． 点评：方法点睛：求概率常用的方法是：先定性（六种概率：古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率）,再定量.12．在262()x x+的二项展开式中，常数项等于____.答案240【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解：解：在622 x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，通项公式为 123162r r r r T C x -+=⋅⋅，令1230r -=，求得4r =，可得展开式的常数项为 4462240C ⋅=，故答案为：240．点评：方法点睛：求二项展开式的某一项，一般利用二项展开式的通项研究求解. 13．在ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，2201c a B+=，则角A =____.答案56π【分析】利用行列式的运算法则以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数化简求解即可．解：在ABC 中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且3220cos 1b c a B+=，可得322cos b c a B +=，由正弦定理可得3sin 2sin 2sin cos B C A B +=， 即()3sin 2sin 2sin cos B A B A B ++=，可得3cos 2A =-， 因为(0,)A π∈,所以56A π=． 故答案为：56π． 14．从以下七个函数：221,,,2,log ,sin ,cos x y x y y x y y x y x y x x=======中选取两个函数记为()f x 和()g x ，构成函数()()()F x f x g x =+，若()F x 的图像如图所示，则()F x =____.答案2sin x x +【分析】由函数()F x 的定义域排除1y x=，2log y x =，再由()F x 的图象过定点(0,1)及图象的变化情况，分析2xy =与cos y x =，或2xy =与sin y x =是否经过(0,1)得结论．解：由图象可知，函数()F x 的定义域为R ，故排除1y x=，2log y x =， 又由()F x 的图象过定点(0,1)，由函数()F x 图象，可得当0x >时，()1F x >且为增函数，当0x <时， ()F x 大于0与小于0交替出现，若()2F x x x =+时，此时函数()F x 的图象不过定点(0,1)，因为2xy =过(0,1)，且当0x >时，1y >，当0x <时，01y <<，若包含cos y x =，当0x =时，1y =，2cos xy x =+不满足过点(0,1)，若包含y x =，此时函数()2xF x x =+不满足0x <时，()F x 大于0与小于0交替出现， 若包含2y x ，此时函数()22x F x x =+不满足0x <时，()F x 大于0与小于0交替出现，所以只有()2sin xF x x =+满足条件．故答案为：2sin x x +．15．已知向量||||||1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为____.【分析】易知a 与b 的夹角为60°，不妨设(1,0)a =，写出b 与c 的坐标，再由||1c =和基本不等式，即可得解． 解：解：∵||||a b =，且12a b ⋅=， ∴a 与b 的夹角为60︒， 设(1,0)a =，则13(,2b =， ∵c xa yb =+，∴12c x y y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，又||1c =，∴221122x y y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得221x xy y ++=，∴22()()14x y x y xy ++-=，当且仅当x y ==时，等号成立，∴233x y+．． 16．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在12,x x D ∈且12,x x ≠，使得221212()()2()f x f x f x x ==+，则称函数()f x 具有性质M ，若函数2()|log 1|,g x x =-且(0,]x a ∈有性质M ，则实数a 的最小值为_____.【分析】设12x x <，由()()2212f x f x =，可得22124x x =，结合()()()21221221222log 2log 2f x x x x x x +=+-=+-可得4211448x x ++=，进而求得1x ，2x ，由此得解． 解：解：设12x x <，由()()2212f x f x =得，222122log1log 1x x -=-，则2221221log log 1x x -=-，故22212log 2x x =，∴()222212122,42x x x x =<>，又()()()21221221222log 2log 2f x x x x x x +=+-=+-，∴()2221221log 21log x x x +-=-，∵21224x x =，∴222121214log 421log x x x ⎛⎫++-=- ⎪⎝⎭， 则()42211log 443x x ++=，∴4211448x x ++=，1x ∴=2x =a ∴≥a故答案为：点评：本题以新定义为载体考查函数性质的运用，旨在考查学生分析问题，解决问题的能力，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，属于中档题．三、解答题17．如图1在三棱柱111ABC A B C -中，已知1,1,2AB AC AB AC AA ⊥===，且1AA ⊥平面ABC ，过11,,A C B 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图2).（1）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小(结果用反三角函数表示)； （2）求四棱锥11B ACC A -的体积和表面积. 答案（1）2arctan；（2）7522+. 【分析】（1）利用棱柱的几何性质，结合异面直线所成角的定义进行求解即可； （2）利用棱锥的体积公式、表面积公式进行求解即可. 解：（1）∵11AA CC ∴1BC C ∠即为异面直线1BC 与1AA 所成的角，∵1AA ⊥平面ABC ，∴1CC ⊥平面ABC ， ∴190C CB ∠=︒， ∵22112AB AC CB +=+==，12CC =∴12tan 2C CB ∠=∴12arctan 2C CB ∠= 即异面直线1BC 与1AA 所成的角为2arctan. （2）四棱锥11B ACC A -的体积为：112141233B ACC A V -=⋅⋅=， 四棱锥11B ACC A -的表面积111111BACBAA BA C BC CCAA C S SSS SS =++++111115111215221212222222=⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅=+++ 7522=+18．已知函数2()cos cos 1f x x x x =++.（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围. 答案（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥. 【分析】（1）利用三角恒等变换进行化简，即可求得周期与值域；（2）设()f x t =，由（1）得15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为二次不等式恒成立问题，分离参数，求取值范围.解：解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++cos21133212cos2sin 222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的为最小正周期22T ππ==， 值域为15(),22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）记()f x t =，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立，即22kt t ≥-恒成立， ∵0t >∴222t t t k t-=-≥. ∵2()g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增 max 55417()22510g t g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ∴k 的取值范围是1710k ≥ 19．某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31k x t -=+(其中k 为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t 至少为多少(万元)？（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为332x+(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？答案（1）19(万元)；（2）当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).【分析】（1）可得当0t =时，1x=，解得2k =，则可列不等式求出；（2）根据题意可列出y 关于t 的函数关系，再利用基本不等式可求出.解：解：（1）由31k x t -=+，当0t =时，1x=，得2k =，∴231x t -=+， 由20.11t ≤+，解得19t ≥， 所以促销费至少为19万元；（2）网店的利润y(万元)，由题意可得：332 1.52(332)x t x x y x x t +⎛⎫⋅+-+ ⎪⎭+⎝= 99323215021212t t t t +⎛⎫=--=-+ ⎪++⎝⎭50≤-42=， 当且仅当32112t t +=+，即7t =时取等号，此时30.25x -=； 所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).20．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长的l 交Γ椭圆于不同的两点M 和N ，（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 经过点(0,4)P ，且OMN 的面积为22l 的方程；（3）若直线l 的方程为(0)y kx t k =+≠，点M 关于x 轴的对称点为M '，直线MN ，M N '分别与x 轴相交于P ､Q 两点，求证：||||OP OQ ⋅为定值.答案（1）22184x y +=；（2）1442y x =±+；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，结合,,a b c 的关系即可求得椭圆的方程；（2）设出直线l 的方程为4y kx =+，与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出OMN 的面积并等于22k 的值，即可得直线l 的方程；（3）由已知得M '的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线M N '的方程，令0y =，求出x ，即可得||OQ ，并根据直线方程求出||OP ，然后相乘代入化简即可.解：解：（1）由题意得2a b =，224a b -=， 解得22a =2b =，所以椭圆Γ的方程为22184x y +=. （2）设点M ，N 的坐标为11(,)M x y ､22(,)N x y ，由题意可知，直线l 的斜率存在 设直线l 的方程为4y kx =+. 由方程组224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(12)16240k x kx +++= 所以1221612k x x k +=-+，1222412x x k=+ ()221212122122342422212OMN k S x x x x x x k-=⋅⋅-=+-==+△解得2k =±.∴直线l的方程为42y x =±+ （3）由题意知M '点的坐标为11(,)M x y '-将y kx t =+，代入22184x y += 得：222(21)4280k x ktx t +++-=， ∴122421kt x x k +=-+，21222821t x x k -=+ 12122()221t y y k x x t k 2+=++=+ 对于直线y kx t =+，令0y =得t x k=-∴||t OP k =- 对于直线M N '：212221()y y y y x x x x +-=--，令0y = 得()()()221122112212212121y x x x kx t x kx t x y x y x x y y y y y y --++++=+==+++ ()12122128kx x t x x k y y t++==-+，∴8||k OQ t =- 88t k k t OP OQ -⋅-⋅==. 点评：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．对于由m 个正整数构成的有限集123{,,,,}m M a a a a =，记12()m P M a a a =+++，特别规定()0P ∅=，若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A ､B ，使得()()k P A P B =-成立，则称集合M 为“满集”，（1）分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否为“满集”，请说明理由；（2）若12,,,m a a a 由小到大能排列成公差为d(*d ∈N )的等差数列，求证：集合M 为“满集”的必要条件是11,a =1d =或2；（3）若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M 是“满集”答案（1）集合1M 是“满集”，集合2M 不是“满集”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）分别求出1M 和2M 的子集，根据满集的定义说明即可；（2）012()m k P M a a a ==+++，对任意的正整数0k k ≤，都存在集合M 的两个子集A ，B ，使得()()k P A P B =-成立，当01k k =-时，可得0()P A k =或0()1P A k =-，可得11a =，又3d ≥时，不存在M 的子集A ，B ，使得03()()k k P A P B =-=-，可得1,2d =；（3）可以数学归纳法证明.解：（1）集合1M 是“满集”，集合2M 不是“满集”.对于集合1M ，1()123P M =+=，且1M 共有4个子集：∅，{1}，{2}，{1,2} 当k 分别取1，2，3时，由1({1})()P P =-∅；2({2})()P P =-∅；3({1,2})()P P =-∅；故1M 是“满集”；对于集合2M ，1()145P M =+=，且1M 共有4个子集：∅，{1}，{4}，{1,4} 当2k =时，不存在{1,4}的两个子集A ，B ，使得()()2P A P B -=，故2M 不是“满集”；（2）∵1a ，2a ，…，m a 由小到大能排列成公差为d(*d ∈N )的等差数列，∴12m a a a <<<，记012()m k P M a a a ==+++∵M 为“满集”，∴对任意的正整数0k k ≤，都存在集合M 的两个子集A ，B ，使得()()k P A P B =-成立， 当01k k =-时，由01()()k P A P B -=-，及()0P B ≥知0()P A k =或0()1P A k =-， 若0()P A k =，则()1P B =，∴11a =，此时123{,,,,}m A a a a a =⋯，1{}B a =若0()1P A k =-，则A M ⊂，在M 的真子集中，23()m P A a a a =+++最大，必有11a =，此时23,,,m A a a a =，B =∅. 综上可得：∴11a =若3d ≥，当03k k =-时，∵0000(0)(1)((1)1)((1))k k k k k d ->->-->>-+>， ∴不存在M 的子集A ，B ，使得03()()k k P A P B =-=-，∴1,2d =，综合得：集合M 为“满集”的必要条件是，d=1或2；（3）可得12,1,2,,n n a n m -==，下面用数学归纳法证明：任意m N *∈，任意0()k P M ，存在M 的一个子集A ，使得()P A k =， 当1m =时显然成立，设m n =时结论也成立，那么当1m n =+时，任意的121()n k P M a a a +=+++， 如果12n k a a a +++，根据归纳假设，存在{}12,,,n a a a ⋯的一个子集A 使得()P A k =，此时A 也是M 的一个子集，结论成立，如果111212221n n n k a a a ->+++=+++=-，那么11n k a +->-，又112121n n k a a a ++≤+++=-， 所以1122121n n n n k a ++---=-，所以11210n n k a a a a ++-+++，根据归纳假设，存在{}12,,,n a a a ⋯的子集0A 使得()01n P A k a +=-，再令{}10,()n A a A P A k +=⋃=，结论成立，所以任意0()k P M ，存在M 的一个子集A ，使得()P A k =，再令B =∅，则()()P A P B k -=，所以集合M 是“满集”.点评：本题考查集合的新定义问题和数列的应用，解题的关键是正确理解满集的定义.。
2022学年松江高三数学一模答案
2022学年松江高三数学一模答案2022年学年松江高三数学一模，在学习过程中不断提升自己，把握好时间，把握精神，把化学掌握，在考点中胜任！2022年松江高三数学一模考试答案：一、选择题1. A2. B3. C4. A5. C6. B7. A8. C9. B10. D二、填空题11. 1/312. -513. 5倍14. 5个半径15. 36三、解答题16. i 四边形ABCD中，AD⊥BC，AD=2，BC=3，故∵AD=2，AB=AD+DC=2+3=5，∴AC=AB+BC=5+3=8ii 由平行四边形ADCB所绘图形可知，由AD⊥BC，AD=2，BC=3，故DC=2，AC=8，∴四边形ADCB的周长L=AD+DC+BC+AC=2+2+3+8=1517. 设三角形ABC的边长分别为a,b,c，∵∠B=90°，故ABC为等腰直角三角形，根据勾股定理有：c2 =a2 +b2i 设∠C=θ，则∠A=180°-90°-θ=90°-θ，取90°-θ 代入勾股定理c2=a2 +b2c2 =(90°-θ)2+ b2ii设生成的三角形ABC的边a,b,c的长度分别为m cm,5 cm,n cm，则根据勾股定理有 :n2=m2+(5)2⇒ n2=m2+25iv 根据i, ii式子，令 n2=m2+25=(90°-θ)2+b2=8100,两式相等，解得b2=8100-(90°-θ)2，所以θ=45°，b=90.18. 三角形ABC 中，∠A、∠C分别为a、b度，设BC=x，AC=yi由余弦定理得：cos A= x2+y2-AB2/2xy解得： x2+y2-ABcosA=2xy∴由 x2+y2-2AB cosA＝2xy 式知，三角形ABC 为等腰三角形时，ABcosA的最大值是2ABii 在等腰三角形ABC 中，有AB=2AC，cos A= -1/2，由余弦定理有：x2+y2-2ACcosA=2xy⇒3y2=4xy+4AC（-1/2）解得：y＝2AC/3以上就是关于2022学年松江高三数学一模考试答案的具体介绍，希望能为大家提供一定的帮助。
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2021-2022学年上海市松江区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|2x-6＜0}，则A∩B=___ ．2.（填空题，4分）计算：n→∞n 2+2n (n−1)=___ ．3.（填空题，4分）已知复数z=1+i （其中i 是虚数单位），则z 2+z=___ ．4.（填空题，4分）关于x ，y 的方程组 {x −2y =13x +y =−1的增广矩阵为 ___ ．5.（填空题，4分）二项式（x 2+ 1x ）5的展开式中含x 4的项的系数是 ___ （用数字作答）． 6.（填空题，4分）若抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ___ ．7.（填空题，5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的体积为 ___ ． 8.（填空题，5分）第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 ___ 种．9.（填空题，5分）已知函数f （x ）= √3 sinωx+cosωx （ω＞0），若f （x ）≤f （ π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ___ ．10.（填空题，5分）已知a ＞0，b ＞0，且 1a+2 + 2b = 23 ，则2a+b 的最小值为 ___ ．11.（填空题，5分）已知等差数列{a n }的首项a 1=2，且对任意m ，n∈N *（m≠n ），存在k∈N *，使得a m +a n =a k 成立，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的最小值为 ___ ．12.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x −8x x ＜0|x −a |x ≥0 ，若对任意的x 1∈[2，+∞），都存在x 2∈[-2，-1]，使得f （x 1）•f （x 2）≥a ，则实数a 的取值范围为 ___ ．13.（单选题，5分）已知角α的终边经过点P （3，4），将角α的终边绕原点O 逆时针旋转π2得到角β的终边，则tanβ等于（ ）A. −43 B. −34 C. 45 D. −5414.（单选题，5分）某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本．若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为（ ） A.高一学生26人、高三学生23人 B.高一学生28人、高三学生21人C.高一学车多于24人、高三学生少于24人即可D.高一、高三学生人数都不限15.（单选题，5分）如图，已知点A∈平面α，点O∈α，直线a⊂α，点P∉α且PO⊥α，则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.（单选题，5分）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当λi ∈{-1，1}（i=1，2，3，4，5）时，|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为（ ） A.6 B.12 C.18 D. 8+4√317.（问答题，14分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=BC=BB 1=2，AB⊥BC ，D 为AB 的中点．（1）求异面直线BC 1与DC 所成角的大小（用反三角函数表示）； （2）求证：BC 1 || 平面A 1CD ．18.（问答题，14分）在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知csinC-bsinB=a（sinA-sinB）．（1）求角C的值；（2）若c=3，求△ABC周长的最大值．19.（问答题，14分）以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽、零碳排放等优点．近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》．年份传统能源发电新能源发电总装机容量火力发电水力发电核能发电太阳能发电风能发电2015 10.06 3.20 0.27 0.43 1.31 15.27 2016 10.60 3.32 0.34 0.76 1.47 16.49 2017 11.10 3.44 0.36 1.30 1.64 17.84 2018 11.44 3.53 0.45 1.74 1.84 19.00 2019 11.90 3.56 0.49 2.10 2.05 20.10 2020 12.45 3.70 0.50 2.53 2.82 22.00 （1）2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？（2）假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为20%，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%？20.（问答题，16分）已知双曲线Γ： x 2a 2 - y 2b 2 =1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2 √3 ，渐近线方程为y=± √22 x ．（1）求双曲线Γ的方程；（2）若对任意的m∈R ，直线y=kx+m 与双曲线Γ总有公共点，求实数k 的取值范围； （3）若过点（1，0）的直线l 与双曲线Γ交于M 、N 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得 PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数k 和A ，对任意的x∈R ，都有|f （x ）-kx|≤A 成立，则称函数f （x ）为“拟线性函数”，其中数组（k ，A ）称为函数f （x ）的拟合系数．（1）数组（2，1）是否是函数g （x ）= 2x 31+x 2 的拟合系数？（2）判断函数s （x ）=xsinx 是否是“拟线性函数”，并说明理由；（3）若奇函数h （x ）在区间[0，p]（p ＞0）上单调递增，且h （x ）的图像关于点（p ，q ）成中心对称（其中p ，q 为常数），证明：h （x ）是“拟线性函数”．2021-2022学年上海市松江区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|2x-6＜0}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{1，2}【解析】：先求出集合B，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】：解：A={1，2，3，4，5}，B={x|2x-6＜0}={x|x＜3}，则A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】：本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.（填空题，4分）计算：n→∞n2+2n(n−1)=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：n→∞n2+2n(n−1)= limn→∞1+2n1−1n，可求．【解答】：解：n→∞n2+2n(n−1)= limn→∞1+2n1−1n=1．故答案为：1．【点评】：本题主要考查了∞∞型极限的求解，属于基础题．3.（填空题，4分）已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=___ ．【正确答案】：[1]1+3i【解析】：把复数z=1+i直接代入z2+z，然后利用复数的平方和加法运算求解．【解答】：解：由z=1+i，得z2+z=（1+i）2+（1+i）=1+2i+i2+1+i=1+3i．故答案为：1+3i．【点评】：本题考查复数的基本概念，复数代数表达式及其几何意义，是基础题． 4.（填空题，4分）关于x ，y 的方程组 {x −2y =13x +y =−1 的增广矩阵为 ___ ．【正确答案】：[1] (1−2131−1)【解析】：直接由增广矩阵的定义得答案．【解答】：解：由增广矩阵的定义可知，关于x ，y 的方程组 {x −2y =13x +y =−1的增广矩阵为(1−2131−1) ， 故答案为： (1−2131−1) ．【点评】：本题考查增广矩阵的概念，属于基础题．5.（填空题，4分）二项式（x 2+ 1x ）5的展开式中含x 4的项的系数是 ___ （用数字作答）． 【正确答案】：[1]10【解析】：先求出二项式（x 2+ 1x ）5的展开式中通项公式，令x 的系数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中含x 4的项的系数．【解答】：解：二项式（x 2+ 1x ）5的展开式中通项公式为 T r+1= C 5r x 10-2r x -r = C 5r x 10-3r．令 10-3r=4，可得 r=2，∴展开式中含x 4的项的系数是 C 52=10，故答案为10．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．6.（填空题，4分）若抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由题意得到点P 的横坐标，从而求出点P 到抛物线准线的距离，由抛物线的定义求解即可．【解答】：解：因为抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4， 则点P 的横坐标为4，又抛物线的准线为x=-1，所以点P到抛物线准线的距离为4+1=5，由抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是5．故答案为：5．【点评】：本题考查了抛物线标准方程的理解与应用，抛物线定义的理解与应用，属于基础题．7.（填空题，5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的体积为 ___ ．【正确答案】：[1] √33π【解析】：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，利用轴截面，求出底面半径和圆锥的高，由锥体的体积公式求解即可．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以r=1，l=2，h= √22−12=√3，则这个圆锥的体积为V=13Sℎ=13×π×12×√3 = √33π．故答案为：√33π．【点评】：本题考查了圆锥的体积的求解，涉及了圆锥轴截面的理解与应用，锥体体积公式的应用，属于基础题．8.（填空题，5分）第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 ___ 种．【正确答案】：[1]840【解析】：显然，这是一个从7个不同元素中任意选出4个不同元素的排列数问题，结合公式容易求解．【解答】：解：由已知得：不同的选派方案共有A74 =840（种）．故答案为：840．【点评】：本题考查排列数公式的应用，属于基础题．9.（填空题，5分）已知函数f（x）= √3sinωx+cosωx（ω＞0），若f（x）≤f（π4）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1] 43【解析】：由已知条件可得， f (π4) 是函数f （x ）的最大值，再结合正弦函数的性质，即可求解．【解答】：解：∵f （x ）= √3 sinωx+cosωx= 2sin (ωx +π6) ， ∵f （x ）≤f （ π4 ）对任意的实数x 都成立， ∴ f (π4) 是函数f （x ）的最大值， ∴ π4ω+π6=π2+2kπ ，k∈Z ， ∴ω= 43+8k ，k ∈Z ， ∵ω＞0，∴ω的最小值为 43 ． 故答案为： 43．【点评】：本题主要考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，属于基础题． 10.（填空题，5分）已知a ＞0，b ＞0，且 1a+2 + 2b = 23 ，则2a+b 的最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]8【解析】：2a+b=2a+4+b-4= 32（2a+4+b ）（ 1a+2+2b ）-4，展开后利用基本不等式即可求解．【解答】：解：因为a ＞0，b ＞0，且 1a+2 + 2b = 23 ，则2a+b=2a+4+b-4= 32 （2a+4+b ）（ 1a+2+2b ）-4= 32 （4+ ba+2+4(a+2)b ）-4 ≥32(4+2√ba+2•4a+8b ) -4=8， 当且仅当 ba+2=4a+8b 且 1a+2 + 2b = 23，即a=1，b=6时取等号，此时2a+b 取得最小值8．故答案为：8．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用乘1法配凑基本不等式的应用条件，属于基础题．11.（填空题，5分）已知等差数列{a n }的首项a 1=2，且对任意m ，n∈N *（m≠n ），存在k∈N *，使得a m +a n =a k 成立，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]-10【解析】：由条件可令m=1，n=5，得a k =a 1+a 5，进一步代入化简可得d= 2k−5 ，分析k 的取值范围，可得d 的最小值，而a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=10+10d ，故d 最小时，S 5最小．【解答】：解：对任意m ，n∈N *（m≠n ），存在k∈N *，使得a m +a n =a k 成立， 所以令m=1，n=5， 则a k =a 1+a 5，又a k =a 1+（k-1）d=2+（k-1）d ， a 1+a 5=2+2+4d=4+4d ， 所以2+（k-1）d=4+4d ， 所以（k-5）d=2， 显然k≠5， 所以d=2k−5， 当1≤k≤4时，d=2k−5单调递减， 所以当k=4时，d min =-2， 当k≥6时，d= 2k−5 ＞0， 所以d min =-2， 因为a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=5(a 1+a 5)2=10+10d ， 所以当d 最小时，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5有最小值10-20=-10， 故答案为：-10．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，属于基础题．12.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x −8x x ＜0|x −a |x ≥0 ，若对任意的x 1∈[2，+∞），都存在x 2∈[-2，-1]，使得f （x 1）•f （x 2）≥a ，则实数a 的取值范围为 ___ ． 【正确答案】：[1] (−∞，74]【解析】：问题可转化为 |x 1−a |min ≥(ax 2−8x 2)min=a 7，分类讨论结合x 1∈[2，+∞） 即可得出结论．【解答】：解：∵x1∈[2，+∞），x2∈[-2，-1]，f（x2）＞0，∴ (x2−8x2)⋅|x1−a|≥a，即对任意的x1∈[2，+∞），都存在x2∈[-2，-1]，使|x1−a|≥ax2−8x2恒成立，∴有|x1−a|min≥(ax2−8x2)min=a7，当a≤0 时，显然不等式恒成立；当0＜a＜2时，2−a≥a7，解得0＜a≤74；当a≥2时，|x1-a|∈[0，+∞），此时不成立．综上，a≤74．故答案为：(−∞，74]【点评】：本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．13.（单选题，5分）已知角α的终边经过点P（3，4），将角α的终边绕原点O逆时针旋转π2得到角β的终边，则tanβ等于（）A. −43B. −34C. 45D. −54【正确答案】：B【解析】：直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的诱导公式的应用求出结果．【解答】：解：角α的终边经过点P（3，4），所以tan α=43，cot α=34将角α的终边绕原点O逆时针旋转π2得到角β的终边，所以tan β=tan(π2+α)=−cotα = −34．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.（单选题，5分）某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本．若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为（）A.高一学生26人、高三学生23人B.高一学生28人、高三学生21人C.高一学车多于24人、高三学生少于24人即可D.高一、高三学生人数都不限【正确答案】：A【解析】：根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．【解答】：解：∵高二学生360人，抽取人数为24人，360÷24=15，∴高一学生抽取人数为390÷15=26人，高三学生抽取人数为345÷15=23人．故选：A．【点评】：本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．15.（单选题，5分）如图，已知点A∈平面α，点O∈α，直线a⊂α，点P∉α且PO⊥α，则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：利用直线与平面垂直的判断定理，推出结果，即可判断选项．【解答】：解：已知点A∈平面α，点O∈α，直线a⊂α，点P∉α且PO⊥α，直线a⊥直线OA，PO∩OA=O，可知直线a⊥平面POA，PO⊂平面POA，所以直线a⊥直线PA；直线a⊥直线PA，PA∩OA=A ，可知直线a⊥平面POA ，OA⊂平面POA ，所以直线a⊥直线OA ， 所以“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的充要条件． 故选：C ．【点评】：本题考查直线与平面的位置关系的判断，三垂线定理与逆定理的应用，充要条件的判断，是中档题．16.（单选题，5分）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当λi ∈{-1，1}（i=1，2，3，4，5）时，|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为（ ） A.6 B.12 C.18 D. 8+4√3 【正确答案】：B【解析】：建立平面直角坐标系，由坐标法表示出|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，并利用列举法求得最大值．【解答】：解：以A 为原点，AD 为x 轴建立如图所示平面直角坐标系，正六边形的边长为2，所以：B （1，- √3 ），F （1， √3 ），C （3，- √3 ），E （3， √3 ），D （4，0）， |λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF⃗⃗⃗⃗⃗ | =|λ1（1，- √3 ）+|λ2（3，- √3 ）+λ3（4，0）+λ4（3， √3 ）+λ5（1， √3 ）| = |(λ1，−√3λ1)+(3λ2，−√3λ2)+(4λ3，0)+(3λ4，√3λ4)+(λ5，√3λ5)| = |(λ1+3λ2+4λ3+3λ4+λ5，−√3λ1−√3λ2+√3λ4+√3λ5)| = √(λ1+3λ2+4λ3+3λ4+λ5)2+(−√3λ1−√3λ2+√3λ4+√3λ5)2=√4λ12+12λ22+16λ32+12λ42+4λ52+2(6λ1λ2+4λ1λ3−2λ1λ5+12λ2λ3+6λ2λ4+12λ3λ4+4λ3λ5+6λ4λ5) =√4+12+16+12+4+2(6λ1λ2+4λ1λ3−2λ1λ5+12λ2λ3+6λ2λ4+12λ3λ4+4λ3λ5+6λ4λ5)= √48+4(3λ1λ2+2λ1λ3−λ1λ5+2λ3λ5+6λ2λ3+6λ3λ4+3λ2λ4+3λ4λ5)令t=3λ1λ2+2λ1λ3-λ1λ5+2λ3λ5+6λ2λ3+6λ3λ4+3λ2λ4+3λ4λ5，下用例举法求得t的所有可能取值．由表格数据可知t 的最大值为24，所以|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为 √48+4×24 =12， 故选：B ．【点评】：本题考查平面向量的数量积运算及坐标表示，考查学生的运算能力，属于难题． 17.（问答题，14分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=BC=BB 1=2，AB⊥BC ，D 为AB 的中点．（1）求异面直线BC 1与DC 所成角的大小（用反三角函数表示）； （2）求证：BC 1 || 平面A 1CD ．【正确答案】：【解析】：（1）根据异面直线所成角的定义进行求解即可； （2）根据线面平行的判定定理即可证明BC 1 || 平面A 1CD ．【解答】：解：（1）连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结OD ，因为D 是AB 的中点，所以BC 1 || OD ， 易知∠CDO 即为异面直线BC 1与DC 所成角， 因为AB=BC=BB 1=2，AB⊥BC ，D 为AB 的中点， CD= √12+22 = √5 ，OD= 12 BC 1= 12 × √22+22 = √2 ， 又因为该三棱柱是直三棱柱， A 1C= √22+(2√2)2=2 √3 ， OC= 12 A 1C= √3 ， ∴在△ODC中，cos∠CDO= √2)2√5)2√3)22×√2×√5=√105， ∴∠CDO=arccos√105； （2）证明：连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结OD ， 因为D 是AB 的中点，所以BC 1 || OD ， 因为BC 1⊄平面A 1CD ，OD⊂平面A 1CD ， 所以BC 1 || 平面A 1CD ．【点评】：本题主要考查线面平行的判定以及异面直线所成角的求解，利用相应的判定定理以及异面直线所成角的定义是解决本题的关键．18.（问答题，14分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知csinC-bsinB=a （sinA-sinB ）． （1）求角C 的值；（2）若c=3，求△ABC 周长的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出C 的值； （2）利用余弦定理和基本不等式的应用求出三角形周长的最大值．【解答】：解：（1）已知csinC-bsinB=a （sinA-sinB ）， 利用正弦定理：c 2-b 2=a 2-ab ， 整理得 cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，由于C∈（0，π），故C= π3；（2）由于c=3，C= π3，利用余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC，所以9=（a+b）2-3ab，利用基本不等式的应用：3×(a+b2)2≥3ab=(a+b)2−9，整理得：（a+b）2≤36，（当且仅当a=b=3时，等号成立）所以3＜a+b≤6，故三角形的周长的最大值为3+6=9．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.（问答题，14分）以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽、零碳排放等优点．近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》．（1）2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？（2）假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为20%，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%？【正确答案】：【解析】：（1）由题意直接求2015～2020年平均每年增加的容量即可，再设出平均增长率，列出指数形的方程，再求解即可；（2）设n 年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%，列出不等式6.05(1+0.2)n23.35+2n＞0.6，代入n=7与n=8时，验证即可．【解答】：解：（1）由表可知，我国2015年发电总装机容量为15.27万万千瓦，2020年发电总装机容量为22.00万万千瓦， 则2015～2020年平均每年增加22.00−15.275=1.35万万千瓦，且2015年新能源装机容量为（0.43+1.31）=1.74万万千瓦， 2020年新能源装机容量为（2.53+2.82）=5.35万万千瓦， 设年平均增长率为x ， ∴1.74（1+x ）5=5.35， ∴（1+x ）5≈3.075， 解得x=0.252，故同期新能源发电装机容量年平均增长率为0.252，（2）由（1）可知，我国2021年发电总装机容量为：22.00+1.35=23.35万万千瓦， 新能源发电装机容量为：5.35+0.7=6.05万万千瓦，设n 年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%， ∴6.05(1+0.2)n23.35+2n＞0.6，其中当n=7时， 6.05(1+0.2)n23.35+2n=0.580＜0.6，当n=8时， 6.05(1+0.2)n23.35+2n =0.661＞0.6，∴n≥8， ∴2021+8=2029即2029年我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%．【点评】：本题考查函数的实际应用，考查学生的综合能力，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知双曲线Γ： x 2a 2 - y 2b2 =1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2 √3 ，渐近线方程为y=± √22 x ．（1）求双曲线Γ的方程；（2）若对任意的m∈R ，直线y=kx+m 与双曲线Γ总有公共点，求实数k 的取值范围；（3）若过点（1，0）的直线l 与双曲线Γ交于M 、N 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）利用焦距以及渐近线方程，结合c 2=a 2+b 2，求出a ，b 的值，即可得到答案； （2）当k=时不合题意，当k≠0时，将直线与双曲线联立方程，则Δ=16k 2m 2-4（1-2k 2）（-2m 2-2）≥0对于任意的m 恒成立，求解即可；（3）设存在点P （a ，0），设直线l 的方程与双曲线方程联立，得到韦达定理，利用向量的坐标运算表示出 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，分析求解即可．【解答】：解：（1）因为2c= 2√3 ，所以c= √3 ， 又渐近线方程为y=± √22 x ， 则 ba =√22， 又c 2=a 2+b 2， 解得a 2=2，b 2=1，所以双曲线的方程为 x 22−y 2=1 ；（2）当k=0时，y=m 对于任意的实数m 与双曲线不是总有公共点，不符合题意； 当k≠0时，直线y=kx+m 与双曲线方程联立，可得（1-2k 2）x 2-4kmx-2m 2-2=0， 则Δ=16k 2m 2-4（1-2k 2）（-2m 2-2）≥0对于任意的m 恒成立， 即2k 2≤（m 2+1）min ， 所以2k 2≤1，解得 −√22≤k ≤√22， 故实数k 的取值范围为 [−√22，√22] ； （3）设存在点P （a ，0），设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则 PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a ，y 1)，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−a ，y 2) ， 所以 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a )(x 2−a )+y 1y 2 = x 1x 2−a (x 1+x 2)+y 1y 2+a 2 ， 设直线l 的方程为y=k （x-1），将直线l 的方程与双曲线的方程联立，可得（1-2k 2）x 2+4k 2x-2k 2-2=0，所以 x 1+x 2=4k 22k 2−1，x 1x 2=2k 2+22k 2−1 ，故 y 1y 2=k 2(x 1−1)(x 2−1) =k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]= k 21−2k 2 ， 故 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a 2−4a+3)k 2+2−a 2)2k 2−1，若 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数， 则2a 2−4a+32=a 2−21，解得 a =74，故存在点 P (74，0) ，使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数 1716．【点评】：本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数k 和A ，对任意的x∈R ，都有|f （x ）-kx|≤A 成立，则称函数f （x ）为“拟线性函数”，其中数组（k ，A ）称为函数f （x ）的拟合系数．（1）数组（2，1）是否是函数g （x ）= 2x 31+x 2 的拟合系数？（2）判断函数s （x ）=xsinx 是否是“拟线性函数”，并说明理由；（3）若奇函数h （x ）在区间[0，p]（p ＞0）上单调递增，且h （x ）的图像关于点（p ，q ）成中心对称（其中p ，q 为常数），证明：h （x ）是“拟线性函数”．【正确答案】：【解析】：（1）根据所给新定义推出|g （x ）-2x|≤1即可得出结论；（2）根据新定义，利用特例法可知不存在（k ，A ）使|s （x ）-kx|≤A 成立，即可得出结论； （3）根据所给函数的性质可构造函数H （x ）=h （x ）- qp x ，利用周期定义可得H （x ）为周期函数，先证明H （x ）在x∈[-p ，p]时，|H （x ）|≤q ，再利用周期证明对一切x∈R ，都有|H （x ）|≤q 即可得证．【解答】：解：（1）因为g （x ）-2x= 2x 31+x 2−2x =−2x1+x 2 ，所以当x=0时，g （x ）-2x=0，当x≠0时，g （x ）-2x= −2x1+x 2 = −21x+x，因为1x +x≥2或1x+x≤−2，所以|g（x）-2x|≤1，所以数组（2，1）是函数g（x）= 2x 31+x2的拟合系数；（2）① 当x=π/2+2nπ（n∈N*）时，|s（x）-kx|=| π2+2nπ−k(π2+2nπ)|≤A对于n∈N*恒成立，所以k=1成立，② 当x=2nπ（n∈N*）时，|s（x）-kx|=|2nkπ|≤A恒成立，所以k=0成立，由① ② 可知，k不能同时满足，所以函数s（x）=xsinx不是“拟线性函数”；（3）∵h（x）的图像关于点（p，q）成中心对称，∴h（p+x）+h（p-x）=2q，令x=0，得：h（p）=q，由于h（x）在区间[0，p]（p＞0）上单调递增，∴h（p）＞h（0），∴q＞0，又∵h（x）为奇函数，∴h（0）=0，∴x∈[0，p]时，h（x）∈[0，q]，记H（x）=h（x）- qpx，下面证明对一切x∈R，都有|H（x）|≤q，∵h（x）为奇函数，∴h（-x）=-h（x），∴h（p+x）+h（p-x）=h（x+p）-h（x-p）=2q，即h（x+2p）=h（x）+2q，由于H（x+2p）=h（x+2p）- qp （x+2p）=[h（x）+2q]- qpx-2q=h（x）- qpx =H（x），∴H（x）是周期函数，且一个周期为T=2p，因为当x∈[0，p]时，0 ≤qpx≤q，∴-q ≤−qpx≤0，又因此时0≤h（x）≤q，∴当x∈[0，p]时，H（x）=h（x）- qpx∈[-q，q]，∴|H（x）|≤q，由于y=h（x），y= qpx均为奇函数，∴H（x）也为奇函数，当x∈[-p，0]时，-x∈[0，p]，∴|H（x）|=|H（-x）|≤q也成立，综合得：当x∈[-p，p]时，|H（x）|≤q，当x∈[（2n-1）p，（2n+1）p]（n∈Z）时，x-2np∈[-p，p]，∴|H（x）|=|H（x-2np）|≤q，x|≤q恒成立，因此，对一切x∈R，都有|H（x）|≤q，即|h（x）- qp所以h（x）是“拟线性函数”．【点评】：根据所给新定义，理解“拟线性函数”，并选取恰当的拟合系数是解题的关键所在，证明h（x）是“拟线性函数”，需要根据所给函数的奇偶性，单调性，对称性进行充分推理，，q），是解决问题的难点，探求出拟合系数为探求拟合系数准备，找到合适的拟合系数（qp后根据定义推导即可，属于难题．。