有限元法基础重点归纳(精)

29、常应变三角形单元:当单元确定后。矩阵B是常量,单元中任一点的应变分量也是常量的单元。
30、有限元法的任务:建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间的关系的平衡方程。31、单元刚度矩阵:表达了单元节点位移与节点力之间的转换关系。
32、单元刚度矩阵的性质:①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义②K e是对称矩阵③K e的每一行或每一列元素之和为零,因此K e为奇异矩阵④K e不随单元的平行移动或作n π角度的转动而改变。33、刚度集成法集成规律:①先对每个单元求出其单元刚度矩阵K e ,而且以分块形式按节点编号顺序排列②将单元刚度矩阵扩大阶数为2n*2n ,并将单元刚度矩阵中的子块按局部码与总码的对应关系,搬到扩大后的矩阵中,形成单元贡献矩阵K e。③将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中的一个子矩阵,各行各列都按以上步骤即形成总体刚度矩阵K。34、整体刚度矩阵的性质:①整体刚度矩阵是对称矩阵②整体刚度矩阵中每一元素的物理意义:整体刚度矩阵的第一列元素代表使第一个节点在x方向有一单元位移,而其余节点位移皆为零时必须在节点上施加的里。对于K的其余各列也有类似意义③整体刚度矩阵K的主对角线上的元素总是正的④整体刚度矩阵K是一个稀疏阵⑤整体刚度矩阵K是一个奇异阵。35、带形矩阵:整体刚度矩阵K的非零元素分布在以主对角线为中心的斜带形区域内的矩阵。
γxy
=E 1−μ
2∗
1−μ2
γxy
42、制造位移函数:{u (x,y =α1+α2x +α3y
v (x,y =α4+α5x +α6y
43、等参单元精度比四边形单元高,四边形精度比三角形精度高。
44、轴对称问题:很多工程物件,它们的几何形状承受的载荷以及约束条件都对称于其一固定轴,这即为对称轴,此时载荷作用下的位移、应变和应力也对称于该对称轴的问题。45、等参数单元:优点:①形状方位任意,适应性好,精度高,容易构造高阶单元②具有统一形式,规律性强,采用数值积分算,程序处理方便③高阶等参单元精度高,描述复杂边界,形状能力强,所需单元少。缺点:①单元各方向尺寸要尽量接近②单元边界不能过于曲折,不能有拐点折点,尽量接近直线或抛物线③边之间夹角要尽量接近直角④单元形状不能过度畸变,边中节点不能过于偏离中间。46、有限元法基础理论:弹性力学,材料力学
B r T DB s tA
=
Et 4(1−μ2A
[
b r b s +1−μ
2
c r c s μb r c s +1−μ
2c r b s
μc r b s +
1−μ2
b r
c s
c r c s +
1−μ2
b r b s
]
平面应变:k rs =B r T
DB s tA =E(1−μt
4(1+μ(1−2μA [
① 1 2 4 ② 4 2 3
第二步,单元的刚度矩阵
单元①[K]1=[K 111K 121K 14
1
K 21
1
K 221K 241K 34
1K 32
1K 331]单元②[K]2=[K 442K 422
K 432K 242K 222K 232K 34
2K 32
2K 33
2]第三步,整体单元刚度矩阵
[K ]=[ K 111
11、弹性力学假设所研究的物体是连续的、完全弹性的、均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的
12、外力:体力(分布在物体体积内的力---重力、惯性力、电磁力面力(分布在物体表面上的力---流体压力、接触力、风力
13、应力:物体受外力作用,或由于温度有所改变,其内部发生的内力。σ={ σx σy σz τx τy τz }
23、连续弹性体离散化:将连续体划分为有限个互不重叠、互不分离的三角形单元,这些三角形在其顶点处互相铰接。24、离散化的注意事项:(角度30-150,细长比不超3①对称性的利用②节点的选择和单元的划分③节点的编号。25、单元分析的主要任务:推导基本未知量单元节点位移与其对应量单元节点力之间的转换关系。
x
j −x i
N j (x,y =x−x i
x
j −x i
N m (x,y =0⑤形函数Ni在单元上的面积分和边界ij上的线积
分为∬N i dxdy =A
3A ∬N i dl =1
2ij
ij ̅ 28、位移函数所要满足的条件:①位移函数必须能反映单元的刚体位移②位移函数必须能反应单元的常量应变③位移函数应尽可能反应位移的连续性(完备单元:满足①②;协调单元:满足③;完备而非连续单元:满足①②不满足③
36、半带宽:在半个斜带形区域中,每行具有的元素个数。
37、半带存储:利用带形矩阵的特点,并利用矩阵的对称性,则在计算机中可以只存储上半带的元素的存储方法。
38、引用已知节点位移的方法:化1置0法、乘大数法
39、由计算结果推出弹性体内某一点接近实际的应力值的方法:绕节点平均法、两单元平均法。注意事项:①相连单元间的应力连续性只有当相连单元具有相同厚度和材料时才存在,平均法才有意义②位于结构边界或介质间断线上的应力点是无法用两单元平均法得到应力值的,若用绕节点平均法也因其相连单元太少而不能得到较佳的近似值。这种情况往往改用内部应力点外推的办法去求它的近似值。40、有限元法的具体解题过程:①将结构进行离散化,包括单元划分、节点编号、单元编号、节点坐标计算、位移约束条件的确定②等效节点力的计算③刚度矩阵的计算④建立整体平衡方程,引入约束条件,求解节点位移⑤应力计算。
}={F 1F 2F 3F 4}
其中
{δ1}={δ4}=0 [K 221+K 22
2
K 232K 322
K43;K 222K 232K 322K 332]{u 2v 2
u 3v 3
}={0−F
2−F 2
}第五步,求解例题2、推导平面三角形线性单元的形函数。
解:设单元坐标分别为(x i ,y i (x j ,y j (x m ,y m ,节点位移分别为(u i ,v i (u j ,v j (u m ,v m ,设三角形位移模式{u (x,y =α1+α2x +α3y
v (x,y =α4+α5x +α6y →{u i =α1+α2x i +α3y i
u j =α1+α2x j +α3y j u m =α1+α2x m +α3y
41、平面问题几何方程:{ε}={εx
εy γxy }={
ðu
ðx ðv ðy ðu ðy +ðv ðx }物理方程{εx =1
E (σx −uσy εy =1
E
(σy −uσx γxy =2(1+μE
τxy {
σx =E
1−μ2(εx +μεy
σy =
E 1−μ2
(μεx +εy
τxy =
E 2(1+μ
26、位移模式:将结构离散为许多小单元的集合体,用较简单的函数来描述单元內各点位移的变化规律。可影响有限元法的计算精度和收敛性。f =Nδe
27、形函数的性质:①形函数是坐标(x ,y的线性函数②形函数Ni在节点i处等于1,在其他节点上的值等于0;对于Nj ,Nm ,也有同样的表达式③单元内任意一点(x ,y有{x =N i x i +N j x j +N m x m y =N i y i +N j y j +N m y m ④在三角形单元边界ij上一点(x ,y ,有形函数公式N i (x,y =1−x−x i
1、有限元这种数值计算方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。
2、有限单元法的基本思想:在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定
大小的单元,这些单元仅在有限个节点上相连接,并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。
3、节点:网格间相互连接的点。
4、边界:网格与网格的交界线。
K 21
1 K 121 K 221 +K 22
2 0K 141 K 232 K 241 +K 242
0K 322 K 332 K 342 K 411 K 421 +K 422 K 432 K 441 +K 442 ]
第四步,平衡方程Kδ=F (整体刚度矩阵*位移列向量=力的列向量
K {δ1δ2δ3
δ4
m
联立求解α1=1
2A |u i
x i y i u j
x j y j u m
x m
y m |α2=1
2A
|1u i
y i 1u j
y j 1u m y m |α3=1
2A
|1x i
u i
1x j
u j 1x m u m
|→A =1
2
|1x i y i
1x j y j 1x m
y m
|为了使面积的值为正,节点i ,j ,m的次序必须逆时针转向。u =1
19、泛函:如果对某一类函数y(x它的每一个函数值都有一个Ⅱ值与之对应,则变量Ⅱ称为自变函数y(x的泛函。
20、李兹法的方法和步骤:①把所求泛函Ⅱ[y(x]的极值问题的解,表达成一系列可能解的线性组合y =∑a i ∅i n i=1②把这个线性组合式带入所讨论问题的泛函式Ⅱ[y(x]中去,
并计算出此泛函式的变分δⅡ③由泛函极值条件δⅡ=0,算出线性组合式中的待定系数a i ,使之满足基本微分方程④把算得的待定系数a i值代入设定的式,即求得所讨论问题的解。21、平面问题:指弹性体内一点的应力、应变或位移只和两个坐标方向的变量有关。22、弹性力学问题的有限元法主要步骤:离散化---单元分析---整体分析
5、有限元的优点:①理论基础简明,物理概念清晰,且可在不同的水平上建立起对该法的