文科数学高考压轴题圆锥曲线解题策略
攸县高考数学(文科)研究材料(二):
高考数学压轴题-——圆锥曲线
解题策略及常考题型
圆锥曲线问题将几何与代数知识有机结合在一起,较好地考察了学生的数学思维和创新,灵活处理问题的能力,是高考命题的热点之一.高考中要做好圆锥曲线这道大题,我们还需要一定的解题策略 ,并通过自己不断地领悟和练习提高自己的解题能力。
一、圆锥曲线知识要点及解题方法
圆锥曲线解题的本质就是将题干中的条件和图形中隐含的几何特征转化成等式或不等式,最后通过代数运算解决问题,而其中的关键是怎样转化或构造不等式。其常考查的知识点可以归纳如下:
1、抓住定义构造等式,定义是圆锥曲线的核心和根本,涉及焦点时,优先利用定义解决问题。
2、抓住题中特殊几何关系来构造等式或应用几何关系使解题简化,运用“重几何,轻代数”观念处理问题。
①内心:1、三条角平分线交点; 2、角平分线上的点到两边距离相等;
3、切线长定理;
4、面积法(S
△ABI +S
△ACI
+S
△BCI
=S
△ABC
)
②重心:1、中线交点; 2、AH=2HD,H为重心;
③垂心:三条高线交点(可用垂直构造等式)
④外心:垂直平分线交点(垂直平分线的性质构造等式)
⑤三角形两边之和大于第三边(焦点三角形)
⑥直线与圆锥曲线相交:
(1)两不同交点△>0
(2)交于双曲线的左右两支X
1X
2
<0
(3)交于双曲线的同一支X
1X
2
>0
⑦用点与椭圆圆的位置关系来构造等式或不等式
(1)在椭圆上
22
00
22
1
x y
a b
+=
;(2 )在椭圆外
22
00
22
1
x y
a b
+>
;(3 )右椭圆内
22
00
22
1
x y
a b
+<
;
⑧用曲线本身的一些坐标限制(在椭圆中,-a≤x≤a,—b≤y≤b);
⑨用k相等(三点共线);注:条件已用完,当缺少等式时,且无明显几何特征时,考虑用⑦、⑧、⑨
3.用其它条件构造等式或不等式
①用非负数k2R x|大于0构造
②问题中的要求与条件中的范围相联系;
③结合参数方程,利用参数的几何意义或三角函数的有界性,构造不等式。
4.与平面几何的联系
①圆直径所对的圆周角为90度(可用垂直构造等式)相交弦,割线长定理
②中位线(坐标原点为中点,往往考虑不到)
5.点差法①直线与曲线相交,且出现中点时,常常使用。
②抛物线涉及k时,常使用.
二、圆锥曲线常见题型及分类
题型一:轨迹问题:
例1、已知椭圆C 的对称中心为原点O ,焦点在x 轴上,左、右焦点分别为F 1和F 2,且|F 1F 2|=2,点(1,错误!)在该椭圆上.
(1)求椭圆C 的方程;(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,若△AF 2B 的面积为错误!.求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程.
题型二:直线与圆满锥曲线的位置关系问题
例2、已知椭圆C :22
24x y +=。 (1)求椭圆C 的离心率; (2)设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,
点B 在直线2y =上,且OA OB ⊥,试判断直线AB 与圆22
2x y +=的位置关系,并证明你的结论.
题型三:离心率范围问题
例3、在平面直角坐标系中,已知点(2,2)F 及直线:20l x y +-=,曲线1C 是满足下列两个条件的动点
(,)P x y 的轨迹:①2,PF d =其中d 是P 到直线l 的距离;②0
.225x y x y >??
>??+
(1) 求曲线1C 的方程; (2) 若存在直线m 与曲线1C 、椭圆22
222:1(0)x y C a b a b
+=>>均相切于同一点,求2C 离心率e 的取值范围.
题型四:最值问题
例4、已知椭圆C :错误!+错误!=1(a >b >0)的离心率为错误!,短轴一个端点到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为错误!,求△AOB 面积的最大值。
题型五:定值问题 例
5、设()()
1122,,,A x y B x y 是椭圆()22
2
21y x a b o a b
+=>>上的两点,已知向量
1122,,,x y x y m n b a b a ????
== ? ?????
,若0m n ?=且椭圆的离心率2e =,短轴长为2,O 为坐标原点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线AB 过椭圆的焦点F (0,c ),(c 为半焦距),求直线AB 的斜率k 的值; (Ⅲ)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由。
题型六:定点问题
例6、已知直线1y x =+被圆2
2
3
2
x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等,椭
圆C 的离心率e =
. (1)求椭圆C 的方程;
(2)已知过点1(0,)3
M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T ,使得无论l 如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T ?若存在,求出点T 的坐标,若不存在,请说明理由.
网]题型七:参数范围问题
例7、设F 1,F 2分别是椭圆错误!+y 2
=1的左、右焦点.(1)若P 是该椭圆上的一个动点,求错误!·错误!的最大值和最小值;(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ,B ,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率的取值范围.
题型八:存在性问题
例8、已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上,若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在斜率为(0)k k ≠,且过定点(0,2)Q 的直线l ,使l 与椭圆交于两个不同的点M N ,,且
AN AM =?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.
附例题参考解答: 1、【解析】:
化简得:17k 4
+k 2
-18=0,得k =±1, ∴r =2,圆的方程为(x -1)2
+y 2
=2.
2、【分析】(1)把椭圆C :2224x y +=化为标准方程,确定2a ,2
b ,利用a
c
e =
求得离心率;(2)设点),(00y x A ,)2,(t B ,其中00≠x ,由OB OA ⊥,即0=?,用0x 、0y 表示t ,当t x =0或t x ≠0分别根据点到直
线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判断直线AB 与圆22
2x y +=的位置关系。
【解析】(1)由题意椭圆C 的标准方程为12
42
2=+y x ,所以42=a ,22=b ,从而224222=-=-=b a c ,
所以2
2
=
=
a c e . (2)直线AB 与圆22
2=+y x 相切,证明如下:设点),(00y x A ,)2,(t B ,其中00≠x ,
因为OB OA ⊥,所以0=?,即0200=+y tx ,解得0
2x y t -
=,
3、【解析】
(2)(解法一)由题意,直线m 与曲线1C 相切,设切点为1
(,)M t t , 1
2.2
t << 则直线m 的方程为2
111
()()()
y x t x t x t
t x
t '
-=?-=-
-=,即212.y x t t =-+ [来源:学科网]
将2
12
y x t t
=-
+代入椭圆2C 的方程222222b x a y a b +=,并整理得: 242222222()4(4)0.b t a x a tx a b t t +-+-=
(2)(解法二)设直线m 与曲线111
:(2)2
C y x x =<<、椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>> 均相切于同一点
1
(,),M t t
则22221 1.t a b t +=
由1
y x
=
知21y x '=-;
由2
2
221(0)x y y a b +=>知221x y a =-22222222
2.211x
b x a y a y x x a a a
-
'===--- 故22
24221,.1b t a b t t a t
-=-=
联解2222224
1
1t a b t
a b t ?+=???=?
,得22222,2.b a t t == 由
1
2,2
t <<及22a b >得1 2.t << 故222
24
1
1a b e a t
-==-,
得2
150,16e <
<
又01,e <<故150.4
e << 所以椭圆2C 离心率e 的取值范围是15
(0,
).4
4、【分析】第2问,在设直线l 方程时要考虑斜率存在与不存在两种情况。 【解析】
当且仅当9k 2
=1k
2,即k =±错误!时等号成立.当k =0时,|AB |=错误!。综上所述:|AB |max =2。
∴当|AB |最大时,△AOB 的面积取得最大值S =错误!×|AB |max ×错误!=错误!
5、【答案】(Ⅰ)2
214
y x +=;(Ⅱ)2k =±;(Ⅲ)三角形的面积为定值1. 【解析】
(Ⅱ)由题意,设AB 的方程为3y kx =,所以()222
2
34231014
y kx k x kx y x ?=+?
?++-=?+=??, 所以121222
231
,44
k x x x x k k +=-
=-++,
由已知0m n ?=得:()()
()212121212121222133
3314444x x y y k k x x kx kx x x x x b a ??+=+++=++
++ ??
? 222413233
044444
k k k k k +-??=-+?+= ?
++??,解得2k =±. (Ⅲ)
6、【答案】(1)2
212
x y +=;
(2)存在且定点为(0,1)T . 【解析】
(2)假设存在点(,)T u v ,若直线l 的斜率存在,设其方程为1
3
y kx =-
,将它代入椭圆方程,并整理得2
2(189)12160k x k +--=.
设点A B 、的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则12212212189
16189k x x k x x k ?
+=??+?-?=?+?
,
因为111222(),()TA x u y v TB x u y v =--=--及11221
1,33
y kx y kx =-=-, 所以22212121212121()()()()(1)()()339
v TA TB x u x u y v y v k x x u k kv x x u v ?=--+--=+-+
++++++ =222222
(666)4(3325)
62
u v k ku u v v k +--+++-+. 当且仅当0TA TB =恒成立时,以AB 为直径的圆恒过定点T ,
所以2222666040
33250u v u u v v ?+-=?=??++-=?
,解得0,1u v ==, 此时以AB 为直径的圆恒过定点(0,1)T .
当直线l 的斜率不存在,l 与y 轴重合,以AB 为直径的圆为221x y +=也过点(0,1)T . 综上可知,在坐标平面上存在一个定点(0,1)T ,满足条件.
7、解:
(2)由题意可知,过点M (0,2)的直线l 的斜率存在. 设l 的方程为y =kx +2, 由错误!消去y ,化简整理得
(1+4k 2)x 2
+16kx +12=0,
Δ=(16k )2-48(1+4k 2)>0,解得k 2
>错误!. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则x 1+x 2=-错误!,x 1x 2=错误!,
又∠AOB 为锐角,所以错误!·错误!>0,
即x 1x 2+y 1y 2>0,
即x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)[来源:学#科#网Z#X #X#K ]
=(1+k 2
)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4>0,
所以(1+k 2)·错误!+2k ·错误!+4>0,解得k 2
<4,
所以错误!<k 2
<4,即k ∈(-2,-错误!)∪(错误!,2).
【点评】本题第2问,如忽视条件Δ>0,会得到k ∈(-2,2)的错误结论。[来源:学科
8、【解析】
(II )设存在直线符合题意,直线方程为2y kx =+,代入椭圆方程得:
22(31)1290k x kx +++=,
设1122(,),(,)M x y N x y ,00(,)P x y 为弦MN 的中点,则
由韦达定理得:22122
14436(31)0
1231k k k
x x k ??=-+>?
?+=-?+?
,21k ∴> 00022
62
,23131
k x y kx k k ∴=-
=+=++, 因为MN
AP AN AM ⊥∴=,
00
1
1y k x +∴
?=- 1k ∴=±
不符合0?>,所以不存在直线符合题意.
(完整)高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=0 lim x ?→f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )=0 lim x ?→f (x +Δx )-f (x ) Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x ),g ′(x )存在,则有: 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数: (1)y =e x ln x ;(2)y =x ? ?? ??x 2+1x +1x 3; 解 (1)y ′=(e x )′ln x +e x (ln x )′=e x ln x +e x 1x =? ?? ??ln x +1x e x .(2)因为y =x 3 +1+1x 2, 所以y ′=(x 3)′+(1)′+? ?? ??1x 2′=3x 2 -2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2x ·f ′(1)+ln x ,则f ′(1)等于( ) A.-e B.-1 C.1 D.e 解析 由f (x )=2xf ′(1)+ln x ,得f ′(x )=2f ′(1)+1 x ,∴f ′(1)=2f ′(1)+1,则f ′(1)=-1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)=3,则a 的值为________. (2)f ′(x )=a ? ?? ??ln x +x ·1x =a (1+ln x ).由于f ′(1)=a (1+ln 1)=a ,又f ′(1)=3,所以a =3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x -1 -x ,则曲线y =f (x )在点(1,2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0,则-x <0,f (-x )=e x -1 +x .又f (x )为偶函数,f (x )=f (-x )=e x -1 +x , 所以当x >0时,f (x )=e x -1 +x .因此,当x >0时,f ′(x )=e x -1 +1,f ′(1)=e 0 +1=2.则曲线y =f (x )在点(1, 2)处的切线的斜率为f ′(1)=2,所以切线方程为y -2=2(x -1),即2x -y =0. 答案 2x -y =0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为( )A.x +y -1=0 B.x -y -1=0 C.x +y +1=0 D.x -y +1=0
高考文科数学核心考点总结
高考文科数学核心考点总结 导读:本文高考文科数学核心考点总结,仅供参考,如果觉得很不错,欢迎点评和分享。 高考文科数学核心考点 考点一:集合与简易逻辑 集合部分一般以选择题出现,属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力。在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式:一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。 考点二:函数与导数 函数是高考的重点内容,以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数(一次和二次函数、指数、对数、幂函数)的应用等,分值约为10分,解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义,另一方面考查导数的简单应用,如求函数的单调区间、极值与最值等,通常以客观题的形式出现,属于容易题和中档题,三是导数的综合应用,主要是和函数、不等式、方程等联
系在一起以解答题的形式出现,如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。 考点三:三角函数与平面向量 一般是2道小题,1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等,另一道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用,可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目,也可能是考查平面向量为主的试题,要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概念及应用,向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合,解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型. 考点四:数列与不等式 不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等,通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用,一道解答题大多凸显以数列知识为工具,综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力,它们都属于中、高档题目. 考点五:立体几何与空间向量 一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图;二是考查空间点、线、面之间的位置关系;三是考查利用空间向量解决立体几何问题:利用空间向量证明线面平行与垂直、求空间角等(文科不
高考数学中的放缩技巧
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k Λ 奇巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-++?+ ?++<+n n n n Λ (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+