高中数学：概率的意义 (28)
概率的意义和计算
概率的意义和计算概率是数学中的一个重要概念，用以描述事件发生的可能性。
无论是在日常生活中还是在科学研究中，概率都扮演着至关重要的角色。
本文将探讨概率的意义以及如何进行概率计算。
一、概率的意义概率可以理解为事件在相同条件下发生的可能性大小。
通常用0到1之间的数值表示，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。
对于其他事件，概率介于0和1之间。
概率可以通过频率来进行估计。
频率指的是在一系列重复实验中，某一事件发生的次数与实验总次数之比。
随着实验次数的增加，频率趋近于概率。
二、概率计算方法1. 经典概率：对于一系列等可能事件，可以使用经典概率进行计算。
假设有n个等可能事件，其中有m个事件满足特定条件，那么特定条件下事件发生的概率为m/n。
2. 条件概率：条件概率是指在已知某一条件下，另一事件发生的概率。
假设A和B是两个事件，且P(B)大于0，则A在B发生的条件下的概率可以表示为P(A|B)，计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
3. 加法法则：加法法则适用于互斥事件。
互斥事件指的是两个事件不可能同时发生。
假设A和B是互斥事件，那么事件A或事件B发生的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 乘法法则：乘法法则用于计算多个独立事件同时发生的概率。
假设A和B是相互独立的事件，那么事件A和事件B同时发生的概率为P(A∩B) = P(A) * P(B)。
三、实际应用概率的概念和计算方法在许多领域都有广泛应用。
以下是几个常见的实际应用示例：1. 赌博和彩票：概率用于计算赌博和彩票中中奖的可能性。
购买彩票时，人们可以根据概率计算出中奖的可能性，从而做出是否购买的决策。
2. 金融风险评估：概率被用于金融领域的风险评估。
根据历史数据和统计模型，可以计算股票、债券等金融工具未来价格的概率分布，进而评估风险。
3. 医学诊断：概率用于医学领域的疾病诊断。
概率及其意义ppt课件
当堂巩固
2、如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形 构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都在 游戏板上)，击中黑色区域的概率是_______.
当堂巩固
想一想：投掷一枚正方体骰子，掷得“6”的概率 是 1 ，它表示什么意义？
6
如果投掷很多很多次，那么平均每6次有1次掷得 的点数是“6”。
例：彩票的中奖概率是 1 ，它的意义是什么？
投掷一 个正方 体骰子
偶数
所有机会均等 关注的结
的结果
果发生的
概率
“1”“2”“3”
1
“4”“5”“6”
2
频率的 稳定值
探索新知
小组实验探究
小组内两人为一组，做投掷骰子的实验，要求： （1）1个同学投掷骰子，1个同学记录； （2）投掷骰子的同学每次投完骰子后，由记录 的同学记下每次掷得的点数； （3）保证每次投掷骰子的随机性； （4）一直掷骰子直到听到结束指令。
缺点：需要大量的重复试验；无法预测。
思考：在简单的问题情境下，可不可以不实验，用分析 的方法预测概率？
探索新知
试验1：投掷一枚质地均匀的硬币 （1）会出现几种结果？ （2）每种结果出现的机会相等吗？
试验2：投掷一枚质地均匀的正方体骰子，落下后： （1）向上的点数会出现几种结果？ （2）每种结果出现的机会相等吗？
概率的计算公式：
关注的结果的个数 P(关注的结果）= 所有机会均等的结果的个数
前提条件
各种结果出现的机会均等 可能出现的结果只有有限个
关键点：（1）清楚关注的结果是什么，个数有多少 （2）清楚机会均等的结果的个数
当堂巩固
1、一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两 种球除了颜色以外没有任何其他区别.布袋中的 球已经搅匀.从布袋中任意取1个球，取出黑球 与取出红球的概率分别是多少？
概率的意义
概率的意义◎ 概率的意义的定义概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P（A）=p，概率从某种数量上刻画一个不确定事件发生的可能性的大小。
事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P。
事件的概率：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件A的概率为0<P（A）<1。
注：（1）在n试验中，事件A发生的频率m满足0≤m≤n，所以0≤≤1，故0≤P（A）≤1；（2）P（A）=0表示事件A是不可能发生的事件，P（A）=1表示事件A是必然发生的事件；（3）概率越大，表示事件发生的可能性越大；概率越小，表示事件发生的可能性越小；（4）人们通常对随机事件进行大量的反复试验来研究概率，一般大量试验事件发生的频率可作为概率的估计值。
◎ 概率的意义的知识扩展1、事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P。
2、事件的概率：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件A的概率为0<P（A）<1。
3、概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P（A）=p，概率从某种数量上刻画一个不确定事件发生的可能性的大小。
注：（1）在n试验中，事件A发生的频率m满足0≤m≤n，所以0≤≤1，故0≤P（A）≤1；（2）P（A）=0表示事件A是不可能发生的事件，P（A）=1表示事件A是必然发生的事件；（3）概率越大，表示事件发生的可能性越大；概率越小，表示事件发生的可能性越小；（4）人们通常对随机事件进行大量的反复试验来研究概率，一般大量试验事件发生的频率可作为概率的估计值。
◎ 概率的意义的教学目标1、从稳定性的角度，了解概率的意义。
课件高中数学人教A版必修概率的意义PPT课件_优秀版
意吗？
1点 2点 3点 4点 5点 6点 1点 2 3 4 5 6 7 2点 3 4 5 6 7 8 3点 4 5 6 7 8 9 4点 5 6 7 8 9 10 5点 6 7 8 9 10 11 6点 7 8 9 10 11 12
这样的规 则你们同
意吗？
结论: 在各类游戏中,如果每人
（2）明天本地有90%的时间会下雨，其他时间不下雨； （C）1 000人中，999人说不发生，1人说发生
大只能表示在一次试验中发生
规则：连续投掷一颗骰子10次，结果都是出现1点，哪一组最先完成以上操作，则该组加3分。
（C）1 000人中，999人说不发生，1人说发生 现随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取1球，
豌豆杂交试验的子二代结果 000000016538
臣妾办不
到呀！
掷看难骰骰我道子的绝独我是？技门的假！
如果我们面临的是从多个 可选答案中挑选正确答案的决 策任务,“使得样本出现的可 能性最大”可以作为决策的准 则.
68瓶蓝色药水+2瓶红色药水
28瓶红色药水+2瓶蓝色药水
小贼 别跑！
你觉得小偷是在哪个药水 架上偷的药水比较合理呢？
明天本地降水概 率为90%，请大家 出门注意携带雨具。
你认为下面两个解释中哪一个能代表 气象局的观点？
（1）明天本地有90%的区域下雨， 10%的区域不下雨；
（2）明天本地有90%的时间会下雨， 其他时间不下雨；
（3）明天本地下雨的机会是90%。
结果取得白球，则这个球从 ______（填“甲”
这样的规则你们同意吗？
3.设有外观完全相同的两个箱子，甲箱中有99个 于是有人说以后出门走路，要时时仰头看天，否则就会被陨石砸中.
高一数学概率的意义知识点
高一数学概率的意义知识点概率是数学中一个非常重要的概念，它不仅仅存在于数学领域，还广泛应用于生活和各个领域中。
在高一数学学习中，我们将接触到一些基本的概率知识点，这些知识点的掌握对于我们理解和应用概率的意义非常重要。
1. 概率的基本定义和意义概率是指某一事件在所有可能事件中发生的可能性大小，它的取值范围在0到1之间。
当概率为0时，表示该事件不可能发生；当概率为1时，表示该事件一定会发生。
在生活中，我们经常使用概率来衡量一些事件发生的可能性，比如天气预报中说有80%的概率下雨，我们可以明确这种可能性的大小。
2. 试验和样本空间在概率计算中，我们需要进行一系列的试验，而试验的所有可能结果的集合称为样本空间。
比如掷硬币的试验，可能的结果为正面和反面，样本空间为{正面，反面}。
概率的计算需要基于清晰定义的样本空间，只有明确了试验的所有可能结果，才能计算出各个事件发生的概率。
3. 事件和事件的概率事件是指样本空间中的某个子集，表示我们感兴趣的某种结果。
比如在掷硬币的试验中，正面朝上可以看做一个事件。
概率可以通过计算事件中的元素个数与样本空间中元素个数的比值得到。
例如，正常掷一枚硬币出现正面的概率为1/2。
4. 互斥事件和包含事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况，例如掷一枚硬币出现正面和反面是互斥事件。
对于互斥事件A和B，它们的概率可以简单地相加得到总概率。
包含事件是指一个事件包含于另一个事件的情况，比如在一个班级中，A同学是数学课代表，B同学是班长，那么A同学也是班长这个事件包含了他是数学课代表这个事件。
对于包含事件A和B，它们的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
5. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
表示为P(B|A)，读作在事件A已经发生的情况下，事件B发生的概率。
条件概率的计算公式为P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。
条件概率的概念在实际生活中有非常重要的应用，比如根据某人某个特定症状的发生概率来判断他是否患有某种疾病。
高一数学人必修课件概率的意义
分布函数$F(x)$是单调不减的，且$F(-infty)=0$，$F(+infty)=1$。
求解方法
根据随机试验的条件和概率的定义，通过积分等方法求出随机变量在某个区间内取值的概 率，从而得到分布函数。同时，也可以通过求导得到概率密度函数$f(x)$，描述随机变量 在某一点的取值概率。
05
数学期望与方差
在几何概型中，事件A发生的概率P(A)可以通过以下公式计算 ：P(A) = 事件A的几何度量 / 样本空间的几何度量。
两种概型的比较与联系
比较
古典概型和几何概型的主要区别在于基本事件的定义和概率的计算方式。古典概型关注等可能性的基本事件，而 几何概型关注基本事件的几何度量。
联系
两种概型都是概率论的基础模型，用于描述随机现象的可能性。在实际应用中，可以根据问题的具体特点选择合 适的概型进行建模和分析。同时，两种概型之间也存在一定的联系和转化关系，如在某些情况下可以通过对古典 概型的推广得到几何概型。
在机器学习和数据挖掘中，条件概率 和独立性可以用来构建分类器和预测 模型，对数据进行有效的分析和预测 。
04
随机变量及其分布
随机变量的定义与分类Fra bibliotek定义随机变量是描述随机试验结果的变量 ，常用大写字母$X, Y, Z$等表示。
分类
随机变量可分为离散型随机变量和连 续型随机变量两类。离散型随机变量 只能取有限个或可列个值，而连续型 随机变量可以取某一区间内的任何值 。
上和反面朝上是两个独立事件。
条件概率与独立性的应用
条件概率和独立性在概率论中占有重 要地位，它们在实际问题中有广泛的 应用。
在金融风险评估中，条件概率可以用 来计算某个投资组合在给定市场条件 下的收益和风险水平。
概率的意义 课件
“正面向上”的次数m
251 249 256 253 251 246 244 258 262 247
“正面向上”出现的频率
【解题提示】 估计概率.
nA 先由公式fn（A）＝ n 分别求出各项试验对应的频率，然后
nA 【解】 由fn（A）＝ n ，可分别得出这10次试验中“正面向上”这一事件 出现的频率依次为0.502，0.498，0.512，0.506，0.502，0.492，0.488，0.516， 0.524，0.494.这些数在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得“正面向上”的 概率为0.5.
确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A，B，C……表示.
二 . 频率与概率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次
试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的
比例fn（A）＝
nA n
为事件A出现的频率.
必然事件出现的频率为1，不可能事件出现的频率为0.
准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们 判断一些事件，指出试验结果，这是正确求概率的基础. 随机事件是在条件S下，可能发生也可能不发生的事件.
题型二 随机试验结果的判断 例2.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码 的3个黑球，从中摸出2个球，问： （1）共有多少种不同结果？ （2）摸出2个黑球有多少种不同的结果
题型三 由频率估计随机事件的概率
例3.下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果，n为 抛掷硬币的次数，m为硬币“正面向上”的次数.计 算每次试验中“正面向上”这一事件的频率，并观 察它的概率.
试验序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
抛掷的次数n
500 500 500 500 500 500 500 500 500 500
《概率的意义》PPT课件
杂
交
纯黄色 豌豆YY
黄色Yy
纯绿色 豌豆yy
概率
1
1
1
4
2
4
h
13
练习：
P111 1、2、3
h
14
h
7
例2 如果一个袋中或者有99个红球，1个白球， 或者有99个白球，1个红球，事先不知道到底 是哪种情况。一个人从袋中随机摸出1球，结 果发现是红球，你认为这个袋中是有99个红 球，1个白球，还是99个白球，1个红球呢？
h
8
如果我们面临的是从多个可选答案中 挑选正确答案的决策任务，那么“使得样 本出现的可能性最大”可以作为决策的准 则，这种判断问题的方法称为极大似然法。
这种想法是错误的。因为连续两次抛掷一 枚质地均匀的硬币仅仅是做两次重复抛掷硬币 的试验，试验的结果仍然是随机的，当然可以 两次均出现正面朝上或两次均出现反面朝上。
随机事件在一次试验中发生与否是随机
的，但随机中含有规律h性。
3
思考：
如果某种彩票的中奖概率为1/1000，那么买 1000张这种彩票一定能中奖吗？（假设该彩票 有足够多的张数。）
如果我们的判断结论能够使得样本出现 的可能性最大，那么判断正确的可能性也最 大。这种判断问题的方法称为似然法。
极大似然法、似然法是统计中重要的统计 思想方法之一。
h
9
4、天气预报的概率解释
思考
某地气象局预报说，明天本地降水概率 为70%。你认为下面两个解释哪一个能代表 气象局的观点？
（1）明天本地有70%的区域下雨，30%的 区域不下雨；
豌豆杂交试验的子二代结果
性状
显性
隐性 显性：隐性
子叶的颜色 黄色 6022 绿色 2001 3.01：1
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第三章 3.1 3.1.2
一、选择题
1．某事件发生的概率是万分之一，说明了( A ) A ．概率太小，该事件几乎不可能发生 B ．10 000次中一定发生1次
C ．10 000人中，9 999人说不发生，1人说发生
D ．10 000次中不可能发生10 000次
[解析] 万分之一的概率很小，属于小概率事件，发生的可能性很小，故选A ．其他的说法均是错误的．
2．手表实际上是个转盘，一天二十四小时，分针指到哪个数字的概率最大( D ) A ．12 B ．6
C ．1
D ．12个数字概率相等
[解析] 手表设计者设计的转盘是等分的，即分针指到1,2,3，…，12中每个数字的机会都一样，故选D ．
3．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( B )
A ．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜
B ．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜
C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜
D ．甲、乙两人各写一个数字1或2，如果两人写的数字相同则甲获胜，否则乙获胜 [解析] B 中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为1
2，两枚都正面向上的概率
为1
4
，所以对乙不公平． 4．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6)，若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是( C )
A ．一定出现“6点朝上”
B ．出现“6点朝上”的概率大于16
C ．出现“6点朝上”的概率等于1
6
D ．无法预测“6点朝上”的概率
[解析] 随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关．由于正方体骰子的质地是均匀的，所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的．
5．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔
纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而聊城市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理( B )
A ．甲公司
B ．乙公司
C ．甲与乙公司
D ．以上都对
[解析] 根据极大似然法可知认为肇事车来自乙公司较合理．
6．为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面朝上，就回答问题(1)；否则就回答问题(2)．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是\”或“不是\”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都会如实回答．如果被调查者中的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是\”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是( B )
A ．30
B ．60
C ．120
D ．150
[解析] 因为掷硬币时，出现正面朝上和反面朝上的概率都是1
2，被调查者中大约有300
人回答了问题(1)，有300人回答了问题(2)；又因为学号为奇数或偶数的概率也是1
2，故在回答
问题(1)的300人中，大约有150人回答“是\”，在回答问题(2)的300人中，大约有180－150＝30(人)回答了“是\”，即有30
300的被调查者闯红灯，则被调查者中的600人中大约有60人闯
过红灯．故选B ．
二、填空题
7．利用简单随机抽样的方法抽取某校200名学生，其中戴眼镜的学生有123人，若在这个学校随机调查一名学生，则他戴眼镜的概率约是__0.615__.
[解析] 由概率的定义可得，在这个学校中，随机调查一名学生，他戴眼镜的概率约为
123
200＝0.615.
8．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏是__公平__的．(“公平”或“不公平”)
[解析] 向空中同时抛两枚同样的一元硬币，落地后的结果有“正正”“反正”“正反”“反反”四种情况，其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是1
2
，因此游戏是公平的．
三、解答题
9．元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一(2)班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定．机灵的小强给小华出主意，
要小华先抽，说先抽的机会大．你是怎样认为的？说说看．
[解析]其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的．我们取三张卡片，上面标上1,2,3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：
第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况，丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先恐后．10．某种彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码；也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
[解析]体育彩票中标有36个号码的36个球大小、重量是一致的，严格地说，为了保证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形．因此，当把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．。