江西省景德镇市2019届高三第一次质检数学试卷(理)

景德镇市2019届高三第一次质检数学试卷(理)

叶柔涌（昌江一中） 许 敏（乐平中学）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 2)=（ ） A ．1

B ．-1

C ．i

D ．-i

2. 函数(21)y f x =-的定义域为[0,1]

，则()y f x =的定义域为（ ） A ．[1,1]

-

B ．1

[,1]

2

C ．[0,1]

D ．[1,

0]- 3. 若函数2

()sin 22sin sin 2f x x x x =-?，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数

C ．最小正周期为2π的偶函数

D ．最小正周期为

2

π

的奇函数

4. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均 为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（ ）

A ．8π

B ．12π

C ．14π

D ．16π 5. 若7

1()x ax

-

的展开式中x 项的系数为280，则a = A ．2- B ．2 C ．12- D ．1

2

6. 已知等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3

q 等于（ ）

A ．12-

B ．1

C ．12-或1

D ．1

12

-或

7. 设()1F x =,若()()F x f x '=，则

2

(2)f x dx ?

的值为（ ）

A

．

B

C ．2

D ．1

8. 甲、乙两名棋手比赛正在进行中，甲必须再胜2盘才最后获胜，乙必须再胜3盘才最后获胜，

若甲、乙两人每盘取胜的概率都是

1

2

，则甲最后获胜的概率是（ ） A ． 34 B ． 1116 C ．58 D ．916

9. 已知双曲线C ：22

221x y a b

-=，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A B 、两点且

3AF BF = ，则双曲线离心率的最小值为（ ）

A

B

C ．2 D

．

10. 如图，已知正方体1111D C B A ABCD -上、下底面中心分别为21,O O ，将正方体绕直线21O O 旋转一

周，其中由线段1BC 旋转所得图形是（ ）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11. 设(2,4)a = ，(1,1)

b = ，若()b a mb ⊥+，则 实数m =________．

12. 执行如右图所示的程序框图所表示的程序，则所得的结

果为 ．

13. 记不等式2y x x

y x

?≥-?≤?所表示的平面区域为D ，直线

1

()3

y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是________．

14. 工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，

第一阶段，首先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上（距离它最远的， 下同）螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上螺丝，第五个和 第六个以此类推，但每个螺丝都不要拧死;

第二阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧相邻的2个螺丝。则不同的 固定方式有________．

D

C B A

A

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分． 15. （1）在极坐标系中，圆4cos ρθ=

的圆心到直线sin()4

π

ρθ+

=的距离为 ．

（2）若关于实数x 的不等式2

|1||2|3x x a a ---≤--的解集是空集, 则实数a 的取值 范围是____________．

四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）已知函数()4cos sin()6

f x x x a π

=++的最大值为2.

（1）求a 的值及()f x 的最小正周期； （2）在坐标纸上做出()f x 在[0,]π 上的图像．

17. （本小题满分12分）如图，从A 到B 有6条网线，数字表示该网线单位时间内 可以通过的最大信息量，现从中任取3条网线且使每条网线通 过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息之和为ξ. （1）当14ξ≥时，线路信息畅通，求线路信息畅通的概率； （2）求ξ的分布列和数学期望．

18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 各项为非负实数，前n 项和为n S ，且222

(1)0n n S n S n --+

=

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当2n ≥时，求234111

1

222

2

n S S S S ++++

---- ．

19.（本小题满分12分）如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ?

是等腰直角三角形，

B

A

4AB BC ==，四边形ABDE 是直角梯形，//BD AE ，BD BA ⊥，1

22

BD AE =

=，点O 、M 分别为CE 、AB 的中点。

（1） 求证：//OD 平面ABC ；

（2） 求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值；

（3） 能否在EM 上找到一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加

以证明；若不能，请说明理由 .

20.（本小题满分13分）已知直线

:(1)(32)3)0l x y λλ+---= ()R λ∈，一定经过椭圆C(中心在原点，焦点在x 轴上)的焦点F ，且椭圆C 上的点到焦点F

的最大距离为2+. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若斜率为k (0)k ≠的直线n 交椭圆C 与A 、B 两点，且OA k 、k 、OB k 成等差数列， 点M （1,1），求ABM S ?的最大值.

21.（本小题满分14分）设2

1()(1)()2

f x x ax bx c =+++，1

2()|ln(1)|x g x e x k -+=--++

（1）若()f x 的图像关于1x =-对称，且(1)2f =，求()f x 的解析式； （2）对于（1）中的()f x ，讨论()f x 与()g x 的图像的交点个数.

A

M E O D C

景德镇市2019届高三第一次质检试卷（理科）数学

参考答案 一、选择题

二、填空题

11. 3- 12. 43- 13. 16

[]37

- , 14. 2880 三、选做题

15. （1）

（2） 12a -<< 四、解答题

16. 解：（1）()2sin(2)16

f x x a π

=+++ 最大值为2

∴1a =- T π= （2）如右图

17. 解：（1）三条网线共有20种选择，其中14ξ≥的有5种 ∴1

4

P =

（2）1(10)10P ξ== 3(11)20P ξ== 1(12)4P ξ== 1(13)4P ξ== 3(14)20

P ξ== 1

(15)10

P ξ== 分布列：

1311312510111213141510204420102

E ξ=?

+?+?+?+?+?=. 18. 解： （1）∵ 222(1)0n n S n S n --+= ? 2

(1)[(1)]0

n n S S n +-+= 又 ∵ 数列{}n a 各项为非负实数 ∴ 2

1n S n =+

∴ 当 2n ≥ 时 121n n n a S S n -=-=- 当 1n = 时 112a S ==

（2）当2n ≥时

234111

1

222

2

n S S S S ++++

---- 22221111

2131411n =

++++

---- 1111111111111

[()()()()(

)()]213243546

211

n n n n =-+-+-+-++-+---+ 11111321

()212142(1)

n n n n n +=+--=-++ 19.解：以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BD 为z 轴，建立空间直角坐标系 (4,0,0)C ，(0,,0)A 4 ，(0,0,)D 2，(0,,)E 4 4，(2,,)O 2 2，(0,,0)M 2 （1）平面ABC 的法向量1(0,0,)n = 1，(2,,)DO = 2 0，10DO n ?= ∴ OD//平面ABC

（2）设平面ODM 法向量为2n ，直线CD 与平面ODM 所成角为θ

(2,,)DO = 2 0，(0,,)DM = 2 -2，∴ 2(1,1,1)

n =- (4,,)CD =- 0 2

∴ 2215

sin ||||

CD n CD n θ?=

=?

（3）设EM 上一点N 满足，(1)(0,,)BN BM BE λλλλ=+-= 4-2 4-4 平面ABDE 法向量3(1,,)n = 0 0，(2,,)ON BN BO λλ=-=- 2-2 2-4 不存在λ使3//n ON ∴ 不存在满足题意的点N (传统方法参照给分) 20.解答 1)

14

22

=+y x ……………………(4分)

2) 由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为

m

kx y +=

1122(,),(,)P x y Q x y 满足22

440

y kx m

x y =++-=??? ，

消去y 得222

(14)84(1)0k x kmx m +++-=．

2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m ?=-+-=-+>，

且122

814km x x k

-+=

+，．

因为直线OB AB oA ,,的斜率依次成等差数列，

所以，k x y x y 22

2

11=+，即2112212x kx y x y x =+，

又

m kx y +=，所以0)(21=+x x m ，

即m=0． ……………………(9分)

联立kx y y x ==+???1422 易得弦AB 的长为2

24141k k ++

又点M 到kx y =的距离112

+-=k k d

所以11414121222

+-++=k k k k s 2

4112k

k +-=

平方再化简求导易得4

1

-=k 时S 取最大值5……………………(13分)

21.解：（1）∵ 21

()(1)()2

f x x ax bx c =

+++的图像关于1x =-对称 ∴ ()f x 为二次函数且对称轴为1x =- ∴0a = b c =

又 ∵ (1)2f = ∴ 1b c == ∴ 21

()(1)2

f x x =

+ （2）()()f x g x = 即 1

2

21(1)|l n

(1)|2

x x e x k -++=--++

即 12

21(1)|ln(1)|2x k x e x -+=++++

令12

21()(1)|ln(1)|2

x h x x e x -+=++++

① 当0x >时 l n (1)0

x +> 1

2

1()(1)1x h x x e x

-+

'=+-+

+ ∵ 1

(1)21x x

++≥+ 11222x e e -+≤< ∴()0h x '>

即()h x 在(0,) +∞递增

② 当10x -<≤时 l n (1)0x +≤ 12

1()(1)1x h x x e x

-+

'=+

--

+ ∵ 1

(1)01x x

+-<+ 1

20x e -+> ∴()0h x '<

即()h x 在(1,0]- 递减

∵1

21(0)2

h e =+

当1x →-时 12

21()(1)|l n (1)|2

x h x x e x -+=++++ → +∞

当x →+∞时 12

21()(1)|l n (1)|2

x h x x e x -+=++++ → +∞

∴① 当1

21

2k e <+时，()f x 与()g x 的图像无交点；

② 当1

21

2k e =+时，()f x 与()g x 的图像有一个交点；

③ 当1

21

2

k e >+时，()f x 与()g x 的图像有两个交点.