研究生概率论复习题

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[考研数学]概率论考试复习题

概率论与数理统计练习1一、选择题：1、设随机事件A 与B 满足A B ⊃，则（）成立。

A.()()P A B P A +=B.()()P AB P A =C.()()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=-2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为（ B ）。

A.0.5B.0.8C.0.55D.0.63、连续型随机变量X 的密度函数()f x 必满足条件（ D ）。

A.0()1f x ≤≤B.()f x 为偶函数C.()f x 单调不减D. ()1f x dx +∞-∞=⎰4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本，则22μσ+的矩估计量是（ D ）。

A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X X n =--∑ C. 221()n i i X n X =-∑ D. 211n i i X n =∑ 5、设总体(,1)X N μ ，123,,X X X 为总体X 的一个样本，若^1231123X X CX μ=++为未知参数μ的无偏估计量，则常数C =（） A.12 B. 13 C. 15 D. 16二、填空题：1、袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.42、设A ，B 为两个随机事件，()0.6P A =，()0.2P A B -=，则()P AB = 0.63、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为则= 0.34、设总体X 服从正态分布2(2,)N σ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑，则48X σ-服从 5、若(,)X Y 服从区域22{(,)4}G x y x y =+≤上的均匀分布，则(,)X Y 的联合密度函数为三、计算题：1、设A ，B 为随机事件，且()P A p =，()()P AB P A B =，求()P B 。

概率论考研题

布的概率密度函数，因此函数值是1/3。
(100104)
(100104)
立即想到这是泊松分布当l=1时的分布率函数，记忆起泊松分布的均值和方差都是l，
因此X2的均值等于方差加上均值的平方，因此是2, 填2。
(100111)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 f (x, y) Ae2x2 2xy y2 , x , y
8. 设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正
态分布N(0,1),
Y的概率分布为P{Y
0}
P{Y
1}
1 2
.
记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数, 则函数 FZ(z)的间断点个数为( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 解 FZ(z)=P{Zz}=P{XYz}= P{Y=0}P{XYz|Y=0}+P{Y=1}P{XYz|Y=1} =[F1(z)+F2(z)]/2, 因为F1(z)是在0处单点分布的分布函数,而F2(z)是标准正态分布函数,因此 F1(z)造成一个间断点, 应填(B)
解 (2) P{Y1}=1e1, 再求P{X1,Y1}:
P{X 1,Y 1} 1 x ex d y d x 00
y 1
1 x ex d x x ex 1 1ex d x
0
00
e1 ex
1
O e1 e1 1 1 2 e1
1
x
0
0.735
22.(本题满分11分) 设二维随机变量(X,Y)的概
(1)求P{X=1|Z=0};
(2)求二维随机变量(X,Y)的概率分布.
解: (1) Z=0表示两次取到的球都不是白球, 此条件相当于将样本空间压缩为袋中只有一个红球两个黑球, 因此有

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计考研复习资料概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果.随机事件(事件):样本空间S的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.二.事件间的关系和运算1.AB(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.2.A∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.5. AB= (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.6. AB=且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则交换律结合律分配律德?摩根律三.概率的定义与性质1.定义对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.(1)非负性P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A i A j=φ, i≠j, i,j=1,2,…),P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+…2.性质(1) P() = 0 , 注意: A为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,A n ,P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若AB, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) .对于任意n个事件A1,A2,…,A n…+(-1)n-1P(A1A2…A n)四.等可能(古典)概型1.定义如果试验E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,e n};(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e1)=P(e2)=…= P(e n ).则称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)=P(AB) /P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1) (n≥2, P(A1A2…A n-1) > 0)3. B1,B2,…,B n是样本空间S的一个划分(B i B j=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n, B1∪B2∪…∪B n=S) ,则当P(B i)>0时,有全概率公式 P(A)=当P(A)>0, P(B i)>0时,有贝叶斯公式P (B i|A)= .六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B为相互独立的事件.(1)两个事件A,B相互独立 P(B)= P (B|A) .(2)若A与B,A与,与B, ,与中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C三事件相互独立.3.n个事件A1,A2,…,A n,如果对任意k (1<k≤n),任意1≤i1<i2<…</k≤n),任意1≤i1<i2<…有,则称这n个事件A1,A2,…,A n相互独立.第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x} , x是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x1<="" bdsfid="118" p="">(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x1< bdsfid="120" p=""><>二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律P{X= x k}= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为:(1)非负性0≤P k≤1 ; (2)归一性 .2.离散型随机变量的分布函数F(x)=为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k=P{X=x k} .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<="" bdsfid="127" p=""></p(2)X~b(n,p)参数为n,p的二项分布P{X=k}=(k=0,1,2,…,n) (0<p<1)< bdsfid="129" p=""></p<1)<>(3))X~()参数为的泊松分布P{X=k}= (k=0,1,2,…) (>0)三.连续型随机变量1.定义如果随机变量X的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=,-∞<=""2.概率密度的性质(1)非负性f(x)≥0 ; (2)归一性 =1 ;(3) P{x 1<="" 2}=";" bdsfid="137" p="">注意：连续型随机变量X取任一指定实数值a的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 .(2)X服从参数为的指数分布.(>0).(3)X~N (,2 )参数为,的正态分布 -<x0.</x特别, =0, 2 =1时,称X服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度, 标准正态分布函数 , (-x)=1-Φ(x) .若X～N ((,2), 则Z=~N (0,1), P{x1< bdsfid="147" p=""><> 若P{Z>z }= P{Z<-z }= P{|Z|>z /2}= ,则点z ,-z , z / 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点. 注意：(z )=1- , z 1- = -z .四.随机变量X的函数Y= g (X)的分布1.离散型随机变量的函数X x 1 x2 … x k …p k p 1 p2 … p k …Y=g(X)g(x1) g(x2) … g(x k) …若g(x k) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.2.连续型随机变量的函数若X的概率密度为f X(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y(y)常用两种方法：(1)分布函数法先求Y的分布函数F Y(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=其中Δk(y)是与g(X)≤y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得f Y(y)=F Y /(y) .(2)公式法若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g/ (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为其中h(y)是g(x)的反函数 , = min (g (-),g ()) = max (g (-),g ()) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则= min (g (a),g (b)) = max (g (a),g (b)) .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x和y单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- )=0, F(-,y)=0, F(-,-)=0, F(,)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) .(4)对于任意实数x 1<x 2="" ,="" y="" 1<y="" 2<="" p="" bdsfid="172">。

概率论考研真题

概率论考研真题概率论是数学的一个分支，研究的是事件发生的可能性。

概率论在现实生活和科学研究中具有广泛应用。

考研概率论真题是考生备战考研的重要资料，通过研究和解答真题，可以提高对概率论知识的理解和应用能力。

下面将简要介绍几道考研概率论真题，并给出相应的解答。

【真题一】设 X 和 Y 为两个相互独立的随机变量，它们的数学期望和方差均为 1，则随机变量 Z = 2X + 3Y 的方差为多少？【解答一】由于 X 和 Y 是相互独立的随机变量，所以可以使用方差的性质进行计算。

首先计算 Z = 2X + 3Y 的数学期望：E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 × 1 + 3 × 1 = 5接下来计算 Z 的方差：Var(Z) = Var(2X + 3Y) = Var(2X) + Var(3Y) （由于 X 和 Y 相互独立，所以协方差为 0）= 4Var(X) + 9Var(Y) = 4 × 1 + 9 × 1 = 13因此，随机变量 Z = 2X + 3Y 的方差为 13。

【真题二】设 X 与 Y 为两个相互独立的随机变量，它们都服从正态分布 N(0, 1)，试求随机变量 Z = X + Y 的概率密度函数。

【解答二】首先，由于 X 和 Y 是相互独立的随机变量，所以可以考虑它们的特征函数。

对于正态分布N(μ, σ^2)，其特征函数为exp(ιtx - (σ^2t^2)/2)。

所以，X 和 Y 的特征函数分别为 exp(-t^2/2)。

设随机变量 Z = X + Y，则其特征函数为 exp(-t^2)。

由特征函数和概率密度函数的关系，可知 Z 的概率密度函数为标准正态分布的密度函数，即f(z) = (1/√(2π)) × exp(-z^2/2)。

【真题三】某电视节目的收视率符合泊松分布，已知每分钟收视人数的平均值为 10。

山西省考研数学复习资料概率论与数理统计必备习题

山西省考研数学复习资料概率论与数理统计必备习题概率论与数理统计是数学中的一门重要分支，被广泛应用于各个领域。

对于考研学生来说，掌握概率论与数理统计的基本理论和方法，解决相关习题是提高数学能力的重要途径。

本篇文章将为山西省考研数学复习提供概率论与数理统计的必备习题，帮助学生更好地备战考试。

一、概论部分1. 概率的定义和性质习题- 题目一：已知事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.5，求事件A与事件B的交集的概率。

- 题目二：设A、B为两个独立事件，已知P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，求P(A并B)的概率。

2. 随机变量和概率分布习题- 题目一：设随机变量X服从正态分布N(5, 4)，求P(X < 3)的概率。

- 题目二：设随机变量X服从泊松分布P(2)，求P(X ≥ 3)的概率。

二、概率习题1. 条件概率和独立性习题- 题目一：已知甲、乙两袋各装有12只红球和8只白球，从甲袋中任取一球放入乙袋，然后从乙袋中任取一球，为红球的概率是多少？- 题目二：一批产品共有100个，其中10个次品。

每次从中随机取一件，若不放回，则取到2个次品的概率是多少？2. 事件的独立性和完备性习题- 题目一：记A、B、C三个事件的概率分别为P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(C) = 0.5，其中P(A并B)是事件C的充要条件，求P(A并C)。

- 题目二：设A、B为两个独立事件，已知P(A) = 0.5，P(B) = 0.4，求P(A或B)。

三、数理统计习题1. 统计量的分布习题- 题目一：设X1、X2、X3为来自总体N(0, 1)的一组样本，求样本平均值X的分布。

- 题目二：设样本容量为n的样本均值Xn服从正态分布N(μ, σ^2/n)，求样本方差S^2的分布。

2. 参数估计习题- 题目一：设X1、X2、...、Xn为来自总体N(μ, σ^2)的样本，求样本均值X的无偏估计。

- 题目二：设X1、X2、...、Xn为来自总体泊松分布P(λ)的样本，求样本方差S^2的极大似然估计。

考研概率论试题（数一,数三）（2）

考研概率论试题（数一,数三）（2）考研概率论试题（数一，数三）题目：(87,2分)设在一次试验中A 发生的概率为p ,现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为1(1);n p --而事件A 至多发生一次的概率为。

知识点：伯努利概型解答：根据伯努利概型的概率计算公式，A 至少发生一次的概率1-P{A 发生0次}=11111553353238120+?+?= 而P{A 至多发生1次}= P{A 发生0次}+P{A 恰发生1次}= 000111(1)(1)n n n n C p p C p p ---+-= 1(1)(1)n n p np p --+-题目：(87,2) 三个箱子,第一个箱子中有4个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出1个球,这个球为白000111(1)(1)n n n n C p p C p p ---+-球的概率等于53120，已知取出的球是白球,此球属于第二个箱子的概率为2053.知识点：全概率公式和贝叶斯公式的应用解答：记i A ={取的是第i 个箱子)(i=1，2，3)，B={从箱子中取出的是白球)，那么1231()()()3P A P A P A ===112233()()()()()()()P B P A P B A P A P B A P A P B A =++,22()()()P A B P A B P B =,35()8P B A =第一问由全概率公式，得112233()()()()()()()P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ =11111553353238120+?+?=第二问由贝叶斯公式，得22()()()P A B P A B P B ==22112233()()()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A ++=1120325353120?= 1120325353120=题目：(87,6分)设随机变量X,Y 相互独立,其概率密度函数分别为1,01()0,X x f x ≤≤?=?其他 ,0()0,y Y e y f y y -?>=?≤?求随机变量Z=2X+Y 的概率密度函数.知识点：二维随机变量（连续型）函数的分布答案：2001()(1)0221(1)22z Z ZZ f Z e Z e e Z --??∞-∞-∞+?=11202(2)()yz x xdx h x y e dy dx h z e e dz +∞+∞--+==2122202(())(())z zx z x h z ee dx dz h z e e dx dz +∞--+??=2202(()(1)()(1)22z z ze e h z e dz h z e dz --+∞--+-?? 所以2001()(1)0221(1)22z Z Z Z f Z e Z e e Z --??<-≥??题目：(87,2分) 已知连续型随机变量X的概率密度为221()xx f x -+-=,则EX =1,DX =12知识点：正态分布的密度，期望和方差解答：因2(1)1221()()1x f x e x R --=∈ , 可见1(1,)2X N ,故1()1,()2E X D X == .题目：(88,2分)设三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于1927,则事件A 在一次试验中出现的概率为1 3.知识点：伯努利概型解答：设在每次试验中A 出现的概率为户．则1927= 1927=P{A 至少出现1次)= 1一P{A 出现0次}=0030331(1)1(1)C p p p ---=--，解答：得13p =。

考研概率论与数理统计章节训练题

第一章随机事件与概率一、选择题。

1、设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（）（A ）()()P A B P A > （B ）()()P A B P B > （C ）()()P AB P A = （D ）()()P A B P B =2、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}3A ={正、反面各出现一次}， 4A ={正面出现两次}，则事件有（）（A ）123,,A A A 相互独立（B ）234,,A A A 相互独立（C ）123,,A A A 两两独立（D ）234,,A A A 两两独立 3、对于任意二事件A 和B ，则（）（A ）若AB ≠Φ，则,A B 一定独立（B ）若AB ≠Φ，则,A B 有可能独立（C ）若AB =Φ，则,A B 一定独立（D ）若AB =Φ，则,A B 一定不独立 4、A ，B 是两随机事件，当A ，B 发生时事件C 发生，则以下正确的是（）A ）、)()(C P AB P ≥ B ）、)()()(AB PC P AB C P -=- C ）、)()(C P B A P ≤⋃D ）、)()(C P B A P ≥⋃5、A ，B ，C 是三个随机事件，其中1)(),(),(0<<C P B P A P ，且已知)|()|()|(C B P C A P C B A P +=⋃，则以下正确的是（）A ）、)|()|()|(CB PC A P C B A P +=⋃ B ）、)()()(AB P AC P AB AC P +=⋃ C ）、)()()(B P A P B A P +=⋃D ）、)|()()|()()(B C P B P A C P A P C P += 6、A ，B ，C 是三个随机事件，设以下条件概率均有意义，则以下不正确的是（）A ）、)|(1)|(C A P C A P -=B ）、1)|()|(=+C A P C A P C ）、)|()|()|()|(C AB P C B P C A P C B A P -+=⋃D ）、)|()|()|()|()|(C B A P C B P BC A P C B P C A P +=7、A ，B 是两个随机事件，其中0)(,0)(≠≠B P A P ，则以下正确的是（）A ）、φ≠AB ，A ，B 一定独立 B ）、φ≠AB ，A ，B 不一定独立C ）、φ=AB ，A ，B 一定独立D ）、φ=AB ，A ，B 不一定独立8、甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率()A 15 ()B 25()C35()D459、10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为()A 310()B28 ()C 210()D3810、若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()P AB P A P B ≤ (B) ()()()PAB P A P B ≥(C) ()()()2P A P B P AB +≤ (D) ()()()2P A P B P AB +≥11、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）(A)(B)(C)(D)12、设是两个随机事件,且则必有（）(A)(B) (C) (D)二、填空题1、A ，B 是两随机事件，5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，则 ≤≤)(AB P 。

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解：
P( A2 | A1)
设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3
1 P( A2 | A1) 1 0.8 0.2
A={ 这人通过考核 }， A A1 A1A2 A1A2 A3
P( A) P( A1) P( A1A2 ) P( A1A2 A3)
P( A1) P( A1) P( A2 | A1) P( A1) P( A2 | A1)P( A3 | A1A2)
p2
p
当p
1 2
9
下列给出的是不是某个随机变量的分布列？
(1)
1 0.5
3 0.3
6
例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被击中的概率。
解：设 A={甲击中},B={乙击中} C={目标被击中}
则：C A B，P(C) P(A) P(B) P(AB)
∵ 甲、乙同时射击，其结果互不影响， ∴ A，B相互独立
P(C) 0.7 0.8 0.56 0.94
亦可： 0.60＋0.40.8 0.40.20.9 0.992
P( A) 1 P( A) 1 P( A1A2 A3) 1 P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
1 0.40.20.1 0.992
3
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放
回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产
品的报废率。解：设 A={生产的产品要报废}
∵AB与 AB 不相容
B={生产的产品要调试}
已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2， P( A | B) 0
P( A) P( AB AB) P(AB) P(AB)
利用乘法公式
P(B) P(A | B) P(B) P(A | B)
0.30.2 0.70 6%
另解：A B, A AB,
P(A) P(AB) P(B)P(A B) 0.3 0.2 6% 2
例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为 80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。
P(B) P(AB) P(AB) 34 17
5
例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%
的假阳性及5%的假阴性：若设A={试验反应是阳性}， C={被诊断患有癌症}
则有：P( A | C) 5%, P( A | C) 5%, 已知某一群体 P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？
P(B)
1 2
1 2
1 2
1 2
C21
(
1 2
)1
(
1 2
)1
1 2
P(B)
26 52
26 51
26 52
26 51
C216C216
/
C522
26 51
4
例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%，若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差，则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。解：设A={甲出差}，B={乙出差}
再设A 甲胜
1 三局二胜制：
P A P A1A2 A1A2 A3 A1A2 A3 p2 2 p2 1 p &p1
2 五局三胜制：
P A P A1A2 A3 前三次有一次输 A4 前四次有两次输 A5
p3 C31 1 p p3 C42 1 p2 p3 &p2
P2 P1 3P2 P 12 2P 1
解：考察P(C|A)的值
P(C | A) P(AC) P( A)
若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8 推出P(C|A)=0.987
说明这种试验方法可在医院用
P(C) P( A | C)
0.087
P(C)P( A | C) P(C)P( A | C)
若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。
另解，P( A) P( A1A2 A3 U A1A4 ) p3 p2 p5，对吗？
2
3
1
4
注意：这里系统的概念与电路中的系统概念不同 8
例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p,
p
1 2
,
对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？
设各局胜负相互独立。
解：设Ai 第i局甲胜 P Ai p, i 1,2,L ,5
AB与AB不相容已知 P( A) 0.80, P(B | A) 0.20, P(B | A) 0.90
1 P(B) P(AB U AB) P(AB) P(AB)
P( A ) P( B | A ) P(A)P( B | A )
0.80.2 0.20.9 34 %
2 P(A | B) P(AB) P(AB) 16 8
一单位有5个员工，一星期共七天，老板让每位员工独立地挑一天休息，求不出现至少有2人在同一天休息的
概率。解：将5为员工看成5个不同的球，
7天看成7个不同的盒子，记A={ 无2人在同一天休息 }，
则由上例知：
P
A
C75 5! 75
3.7%
1
例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下
的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%
解：
设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
A1 A2 与 A1 A2
不相容
P(B) P( A1A2 A1A2 ) P( A1A2 ) P( A1A2 )
P( A1) P( A2 | A1) P( A1) P( A2 | A1)
利用乘法公式
（1）若为放回抽样：（2）若为不放回抽样：
7
例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件能正常运行的概率为p，求系统正常运
行的
解：概设率Ai 。第i个元件运行正常,i 1, 2,3, 4 A 系统运行正常
则：A A1 A2 A3 A4
由题意知，A1, A2 , A3, A4相互独立
P( A) P( A1) P( A2 A3 A 4 ) p( p2 p p3)