2014考研数学二真题及答案解析-2
所以
lim n ⋅ 1 (1− ln(1+ n ) )
n→∞ n
n
= 1− lim ln(1+ n ) = 0
n→∞
n
（21）【答案】
（22）【答案】① (−1, 2, 3,1)T
−k1 + 2
②
B
=
2k1
−1
3k1
−1
k1
−k2 + 6 2k2 − 3 3k2 − 4
k2
−k3 −1
a
a
a
x
∫ 0 ≤ g( t )dt ≤ x − a 。 a
2）令
∫ ∫ F( x ) =
x
f ( t )g( t )dt −
x+∫axg( t )dt− f ( t )dt
a
a
F( a ) = 0
F′( x ) = f ( x )g( x ) − f [ a + ∫ax g( t )dt ] g( x ) = g( x ){ f ( x ) − f [ a + ∫ax g( t )dt ] }
2014 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. （1）B （2）B （3）D （4）C （5）D （6）A （7）B （8）A 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
π 20
=−3 4
（18）【答案】
∂E = f ′( ex cos y )ex cos y ∂x
∂2E = f ′′( ex cos y )e2x cos2 y + f ′( ex cos y )ex cos y ∂x 2 ∂E = f ′( ex cos y )ex( − sin y ) ∂y ∂2E = f ′′( ex cos y )e2x sin2 y + f ′( ex cos y )ex( − cos y ) ∂y 2
（16）【答案】 因为
x2 + y2 y′ = 1− y′ ，①
得到 x2 = 1,x = ±1
2x + 2 y( y′ )2 + y2 y′′ = − y′′ ，
2 + y2(1)y′′(1) = − y′′(1)
⇒ y′′(1) = − 2 < 0 − 2 + y2( −1)y′′( −1) = − y′′( −1)
∂2 E ∂x 2
+
∂2E ∂y 2
=
f ′′( ex cos y )e2x
= ( 4E + ex cos y )e2x
f ′′( ex cos y ) = 4 f ( ex cos y ) + ex cos y
令 ex cos y = u ，
则 f ′′( u ) = 4 f ( u ) + u ，
y2(1)+1
，
⇒
y′′( −1) =
2 y2( −1) +1
>0
。
所以 x = 1 时，取极大值 y(1) 。
x = −1 时，取极小值 y( −1) 。
由①可知，
( y2 +1)dy = (1− x2 )dx
y3 + y = x − x3 + C ，
3
3
因为 y( 2 ) = 0 ，所以 C = 2 ， y3 + y = x − x3 + 2 。
π 2
cosθ
2
dθ ρd cosπρ
π 0 cosθ + sinθ 1
∫ ∫ = − 1
π
π 2 0
cosθ cosθ + sinθ
dθ (
ρ
cos πρ
2 1
−
1 π
2
cosπρdπρ )
1
∫ = − 1
π 2
cosθ
dθ ⋅( 2 +1)
π 0 cosθ + sinθ
∫ = 8 （10） f ( −1) = 1
（11）
（12） y = − 2 x + π π2
11
（13）
20
（14）[-2,2]
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.
（15）【答案】
∫x
[
t2(
1
ex
−1)
−
t
33
33
所以 x = 1 时，取极大值 y(1) = 1。
x = −1 时，取极小值 y( −1) = 0 。
（17）【答案】
∫ ∫ π
2 dθ
2
ρ cosθ sinπρ
ρdρ
0 1 ρ cosθ + ρ sinθ
∫ ∫ π
=2
cosθ
2
dθ ρ sinπρdρ
0 cosθ + sinθ 1
∫ ∫ = − 1
x
∫ 由 1）可知 g( t )dt ≤ x − a ， a
x
∫ 所以 a + g( t )dt ≤ x 。 a
由 f ( x ) 是单调递增，可知
f ( x ) − f [ a + ∫ax g( t )dt ] ≥ 0
由因为 0 ≤ g( x ) ≤ 1，所以 F ′( x ) ≥ 0 ， F( x ) 单调递增，所以 F( b ) > F( a ) = 0 ，得证。
] dt
lim 1
x→+∞
x2 ln(1+ 1 )
x
∫ ∫ 1
(ex
−1)
x t 2dt −
x
tdt
= lim
1
1
x→+∞
x
= lim x2( e −1) − x x→+∞
令u = 1 , x
则 lim x2( e −1) − x x→+∞
=
lim
u→0+
eu
−1− u2
u
= lim eu −1 = 1 u→0+ 2u 2
故
f
(u
)
=
C1e2u
+ C2e−2u
−
u 4
,( C1 ,C2为任意常数)
由 f ( 0 ) = 0, f ′( 0 ) = 0, 得
f ( u ) = e2u − e−2u − u 16 16 4
（19）【答案】
x
x
x
∫ ∫ ∫ 证明：1）因为 0 ≤ g( x ) ≤ 1，所以有定积分比较定理可知， 0dt ≤ g( t )dt ≤ 1dt ，即
2k3 3k3
+ 1 +1
( k1 ,
k2 ,
k3
∈
R)
k3
（23）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。
（20）【答案】 因为
f1(
x
)
=
1
x +
x
,
x
∈
[
0,1]
x
f
2
(
x
)
=
1
1 +
+
x x
=x 1+ 2x
1+ x
f
n
(
x
)
=
1
x + nx
所以
∫ S = 1
11+ nx −1 dx
n 0 1+ nx
∫ = 1
1
(1−
1
)dx
n 0 1+ nx
=
1 n
(
x
−
1 n
ln( 1 +
nx
))01
= 1 (1− 1 ln(1+ n )) nn
2014年考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ， 313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂y ux u ，在这个点处x y u y x u B yu C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02<-BAC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上． 所以应该选（A ）．7．行列式dc dc ba b a 0000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c bd a - （D ）2222c b d a +-【详解】 应该选（B ）．8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ．【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．设),(y x z z=是由方程4722=+++z y x e yz 确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．【详解】设4722-+++=z y x ez y x F yz),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21==y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.22ππ+-=x y13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．【详解】质心坐标20113512111221021023101==++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dxx x x dx x dxx x x )()()()(ρρ． 14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a，所以a 的取值范围是[]22,-．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】16．（本题满分10分） 已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值．【详解】解：把方程化为标准形式得到2211x dxdyy -=+)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32=C ，即32313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3222222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ；当1-=x时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ．17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy yx y x x )sin(22π【详解】由对称性可得 18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222;y e u f y e u f y z y e u f y z x x xcos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程． 对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 19．（本题满分10分） 设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰x a dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa =-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ， []b a x ,∈ 也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=，ΛΛ)),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．【详解】x xxx x xx f x f x f x x x f 21111111121+=+++=+=+=)()()(,)(，Λ,)(x x x f 313+=， 利用数学归纳法可得.)(nxxx f n +=1))ln(()()(nn n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰1111111110101，111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．【详解】 由于函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数． 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21，得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222． 令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,．曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1） 求方程组0=AX的一个基础解系；（2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX同解方程组得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ． （2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下： 由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为 其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似． 【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ．分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)(ΛM M M ΛΛ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλΛ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00Λλ~A ； 所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλΛ,；对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00Λλ~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似．。
2014年考研数学二试题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）当x →0+时，若1ln (12),(1-cos )x x αα+均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ） （A ）），（∞+2 （B ）（1，2） （C ）），（121 （D ））（210， 【答案】B【解析】当x →0+时，∵()()ln12~2x x αα+，111211(1cos )~()()22x x ααα-=·2x α ，∴由2111 2.ααα>>⇔<<且（2）下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）.sin x x y += （B ）.sin 2x x y +=（C ）.1sin x x y += （D ）21sin .y x x=+【答案】C【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]lim sin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线注：渐近线有3种：水平、垂直、斜渐近线。
本题中(A)(B)(D)都没有渐近线，(C)只有一条斜渐近线。
（3）设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ）(A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f ''≥时，()()f x g x ≥.(D)当0f ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】方法1：（利用函数的凹凸性）当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数，而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()()f xg x ≤方法2：（利用函数的单调性）()()()h x g x f x =-令，则(0)(1)0h h ==，由洛尔定理知，(0,1)()0,h ξξ'∃∈=，使若()0f x ''≥，则()0,()h x h x '''≤单调递减， 当(0,)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≥=，()h x 单调递增，()(0)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即； 当(,1)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≤=，()h x 单调递减，()(1)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；注：当0f x '≥（）时，只能说明()f x 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，也可能是以凹的形式，若是前者，则()()f x g x ≥，此时(A)成立，如()f x x =；若是后者，则()()f x g x ≤，此时(B)成立，如2()f x x =.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧++=+=，t t y ，t x 14722上对应1t =的点处的曲率半径是（ ）（A ）.5010 （B ）.10010 （C ）.1010 （D ）.105 【答案】C【解析】令()27x t t ϕ==+ ()241y t t t ψ==++则2,()2t t t ϕϕ'''=（）=; ()24t t ψ'=+ ()2t ψ"=当t =1时，(1)2,(1)2(1)6,(1)2ϕϕψψ''''''====则332222|2226|811010(26)40K ⨯-⨯===+,曲率半径11010.K ρ== （5）设函数()arctan f x x =，若)()(ξf x x f '=，则22limx xξ→=（ ）（A ）1. （B ）.32 （C ）.21（D ）.31【答案】D【解析】由()()arctan , f x x f x ==()xf ξ'得21arctan 1x x ξ=⋅+ ()3322222|||()()()()|1[()()]y t t t t K y t t ϕψϕψϕψ''''''''-=='''++2arctan arctan x x x ξ-=,222232000011arctan arctan 11lim lim lim lim arctan 33x x x x x x x xx x x x xx ξ→→→→---+∴==== （6）设函数()u x y ，在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0022222=∂∂+∂∂≠∂∂∂yux u y x u 及，则（ ） （A ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的边界上取得. （B ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的内部取得.（C ）()u x y ，的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得. （D ）()u x y ，的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得. 【答案】A【解析】A=22u x ∂∂，B=2u x y∂∂∂，C=22u y ∂∂，22200 0B A C AC B A B ≠+=-=--<，，，∴D 内部无极值.（7）行列式=dc dc b a ba 00000000（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a dbc - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】41440000004(1)00(1)00000000a ba b a ba bc bd a c d c d c dc d++-+-按第行展开 32212(1)(1)()()()()()a b a b c b d a c dc dad bc bc ad ad bc ad bc bc ad ad bc ++=-⋅-+⋅⋅-=-⋅--=--=--注：此题按其它行或列展开计算都可以。
2014年数学二真题+答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞ (B) (1,2) (C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x=+ (D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(A)50(B)100(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x=，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ（ ）(A)1 (B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（ ）(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000aba bc d c d= （ ）(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc --(C) 2222a d b c - (D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.((9) 12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yz e x y z +++=确定的函数，则11(,)22dz=__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x x z zz y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明： (I)0(),[,]xa g t dt x a x ab ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分) 设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,L 1()(()),n n f x f f x -=L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.(21)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵. (I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭LLM M M M L与0010020n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题纸．．指定位置上.(1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞ (B) (1,2) (C) 1(,1)2 (D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α，故1>α.当0x +→时，211(1cos )~2x x -ααα是比x 的高阶无穷小，所以210->α，即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+(C) 1sin y x x =+ (D) 21sin y x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x→∞→∞→∞+=+=+=.11lim[sin ]limsin 0x x x x x x→∞→∞+-==，所以1sin y x x =+存在斜渐近线y x =. 故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(A)50(B)100(C) (D)【答案】C 【解析】 故选C(5) 设函数()arctan f x x=，若()()f x xf '=ξ，则22limx x →=ξ（ ）(A)1 (B)23 (C)12 (D)13【答案】D 【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2()()x f x f x -=ξ 故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则（ ）(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得(B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得 【答案】A【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数 则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得. 故选A(7) 行列式0000000aba bc d c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a d b c - (D)2222b c a d - 【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件. 故选A二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π 【解析】(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.【答案】1【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数 则()()[]'212,0f x x x =--∈-，又()22f x x x c =--+且为奇函数，故=0c 又()f x Q 的周期为4，()()711f f ∴=-=(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yz e x y z +++=确定的函数，则11(,)22dz=__________.【答案】1()2dx dy -+【解析】对2274yz e x y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导 当11,22x y ==时,0z =故1111(,)(,)222211,22z z xy∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ，于是(),,,22r ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________. 【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ (13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+ 由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)limlim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.【解析】 由221x y y y ''+=-，得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时，1x =±，且有：所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 即：()y x 的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则： (18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x x z zz y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,x z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x zf e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得，即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,x e y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+ 设特解*y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4t t y f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==，得1211,1616c c ==-, 则 ()22111=16164u u y f u e e u -=--. (19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）0(),[,]xa g t dt x a x ab ≤≤-∈⎰,（II ）()()d ()g()baa g t dtba af x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.【解析】（I ）由积分中值定理()()(),[,]xa g t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤Q ，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ（II ）直接由()01g x ≤≤，得到 （II ）令()()()()()ua u a g t dt a aF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰ 由（I ）知()()0ua g t dt u a ≤≤-⎰ ()ua a a g t dt u ∴≤+≤⎰ 又由于()f x 单增，所以()()()0ua f u f a g t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分) 设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===L L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x x f x f x f x f x x x x nx====++++L (21)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数. 又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ，从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为 (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵. (I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B . 【解析】123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭,(I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ(II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,T Tx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L L M M M M L 与0010020n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭MLLM ，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LM =，则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T L ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵=0n ⎛⎫⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭O .B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B . 2020-2-8。
2014年考研数学二真题及答案解析
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题
目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
1
(1) 当 x 0 时，若 ln (1 2x) ，(1 cos x) 均是比 x 高阶的无穷小，则 的取值范围是( )
(A) (2, )
（）10(A)50 Nhomakorabea10
(B)
100
(C)10 10
(D) 5 10
(5)
设函数
f (x)
arctan x ，若
f
(x)
xf
(
)
，则
lim
x0
x
2 2
（）
(A)1
(B) 2 3
(C) 1 2
(D) 1 3
(6) 设函数 u(x, y) 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 2u 0 xy
（）
(A) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x) (C) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x)
(B) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x) (D) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x)
(4)
曲线
x y
t2 t2
7 4t
1
上对应于
t
1的点处的曲率半径是
lim x0
1
1
1 x
2
3x2
1 3
故选 D.
(D) 1 3
（）
(6) 设函数 u(x, y) 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 2u 0 xy
及
2u x2
数2--14真题答案
2014年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）B （2）C （3）D （4）C （5）D （6）A （7）B （8）A 二、填空题（9）3π8 （10）1 （11）1(d d )2x y −+ （12）2ππ2y x =−+ （13）2011 （14）]2,2[−三、解答题 （15）21. （16）(1)1y =为极大值，(1)0y −=为极小值. （17）34−. （18）22111()e e 444u u y f u u −⎛⎫==−− ⎪⎝⎭.（19）略. （20）1. （21）5π2πln24−. （22）（Ⅰ）T(1,2,3,1)ξ=−.（Ⅱ）123123123123261123212134313k k k k k k k k k k k k −−−−⎛⎫⎪−+−++ ⎪=⎪−+−++⎪⎝⎭B ,123,,k k k 为任意常数.（23）略.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】B.【解答】由定义02lim )2(lim )21(ln lim 1000===+−→→→ααααx xx x x x x x ，所以10,1αα−>>.当+→0x 时，ααα1212~)cos 1(x x −是比x 的高阶无穷小，所以210,2αα−><.故选择B.（2）【答案】C.【解答】C 选项，11sinsinlimlim1lim 1,x x x x x x a x x→∞→∞→∞+==+= 11lim[sin ]limsin 0x x b x x x x→∞→∞=+−==，所以x x y 1sin +=存在斜渐近线y x =，故选择C.（3）【答案】D.【解答】令)()1()1)(0()()()(x f x f x f x f x g x F −+−=−=，则0)1()0(==F F ,)()(),()1()0()(x f x F x f f f x F ''−='''−+−='.若()0,f x ''则()0,()F x F x ''在]1,0[上是凸的，又0)1()0(==F F ，故当]1,0[∈x 上时，()0F x ，从而()()g x f x ，故选择D.（4）【答案】C.【解答】22111122d 24d 3,1d 2d 2t t t t y t y t x t x t ====−+====−, 10101,)91(1)1(23232==+='+''=KR y y K ,故选择C. (5)【答案】D. 【解答】因,11)()(2ξξ+='=f x x f 所以)()(2x f x f x −=ξ,313111limarctan arctan lim )()(limlim220202022=+−=−=−=→→→→x x x x xx x f x x f x x x x x x ξ,故选择D. （6）【答案】A.【解答】记C A B yuC y x u B x u A ,,0,,,22222≠∂∂=∂∂∂=∂∂=互为相反数，故20AC B −<. 由于闭区域上连续函数必有极值，所以),(y x u 在D 内无极值，则极值在边界上取得.故选择A. （7）【答案】B.【解答】00000000a b abc d cd=0000000000000000c d c d a b a b c d d c a b b a −=2()c d d cad bc a b b a=⋅=−−. 故选择B.（8）【答案】A.【解答】132312310()(,,)01k ,l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα，记1323()k ,l =++A αααα，123(,,)=B ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r r r ===A BC C ，故1323k ,l ++αααα线性无关，所以13k +αα，23l +αα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的必要条件；反之，未必成立，例如取3=α0，12,αα线性无关，虽然13k +αα，23l +αα线性无关，123,,ααα却线性相关，故选A.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】3π8. 【解答】1122111113πd d arctan 25(1)4228x x x x x x −∞−∞+===−∞++++⎰⎰. （10）【答案】1.【解答】由于]2,0[),1(2)(∈−='x x x f ，所以]2,0[,)1()(2∈+−=x C x x f ，又)(x f 为奇函数，故0)0(=f ，代入方程可得1−=C ,故]2,0[,1)1()(2∈−−=x x x f ，又)(x f 是周期为4的奇函数，则1)1()1()81()7(=−=−=+−=f f f f . （11）【答案】1(d d )2x y −+. 【解答】对方程两边同时对y x ,求偏导数得22e 210,e (22)20,yzyz z z y x x z z z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当21==y x 时，0=z ，故21,21)21,21()21,21(−=∂∂−=∂∂yz x z ,故11(,)221d (d d )2zx y =−+.（12）【答案】2ππ2y x =−+. 【解答】由直角坐标和极坐标的关系cos cos ,sin sin ,x r y r θθθθθθ==⎧⎨==⎩于是ππ(,)(,)22r θ=对应于π(,)(0,)2x y =，切线斜率d d cos sin d d d cos sin d yy x x θθθθθθθθ+==−, 所以π(0,)2d 2d πy x=−，从而切线方程为2ππ2y x =−+. （13）【答案】2011. 【解答】质心坐标为1010()d ()d x x x x x xρρ=⎰⎰,而11205()d (21)d 3x x x x x ρ=−++=⎰⎰,1120011()d (21)d 12x x x x x x x ρ=−++=⎰⎰,所以2011351211==x . （14）【答案】]2,2[−.【解答】3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++−==232232231)4()2()(x a x x ax x −+−−+,由于二次型的负惯性指数为1，故240a −，故22a −.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：11221122(e 1)d (e 1)d limlim 11ln(1)xx t tx x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12201e 1lim [(e 1)]limt xx t t t x x x t +→+∞→=−−=−−00e 11lim lim 222t t t t t t ++→→−===.（16）（本题满分10分）解：由y y y x '−='+122得，221)1(x y y −='+ ① 此时方程为可分离变量，通解为C x x y y +−=+333131,由0)2(=y 得32=C ； 由①可得2211)(y x x y +−='，当0)(='x y 时，1±=x ，且有 0)(,1;0)(,11;0)(,1<'>>'<<−<'−<x y x x y x x y x ，所以)(x y 在1−=x 处取得极小值，在1=x 取得极大值，且1)1(,0)1(==−y y ， 故)(x y 的极限值为0，极大值为1. （17）（本题满分10分）解：如图因为D 关于x y =对称，由轮换对称性质，则22sin(π)d d Dx x y x y x y ++⎰⎰22sin(π)d d D y x y x y x y +=+⎰⎰ 所以,22sin(π)d d Dx x y I x y x y +=+⎰⎰22()sin(π)1d d 2D x y x y x y x y++=+⎰⎰ yxO12221x y +=224x y +=221sin(π)d d 2D x y x y =+⎰⎰π220113d sin πd 24r r r θ=⋅=−⎰⎰.（18）（本题满分10分） 解：由(e cos )x z f y =可得(e cos )e cos ,(e cos )(e sin )x x x x z zf y y f y y x y∂∂''=⋅=⋅−∂∂， 22(e cos )e cos e cos (e cos )e cos x x x x xz f y y y f y y x ∂'''=⋅⋅+⋅∂，22(e cos )(e sin )(e sin )(e cos )(e cos )x x x x xz f y y y f y y y ∂'''=⋅−⋅−+⋅−∂.由22222(4e cos )e x xz z z y x y∂∂+=+∂∂，并把以上式子代入得 22(e cos )e[4(e cos )e cos ]e xxx x x f y f y y ''⋅=+，即 (e cos )4(e cos )e cos x x xf y f y y ''−=，令 e cos xu y =得 ()4()f u f u u ''−= ① 特征方程为 042=−λ，特征根为2λ=±，通解2212e e uu y C C −=+.设方程①的特解b au y +=*，代入方程 得1,04a b =−=，特解为*4u y =−， 则原方程的通解为22121()ee 4uu y f u C C u −==+−，由0)0(,0)0(='=f f 得1211,1616C C ==−,则方程为22111()e e 444u u y f u u −⎛⎫==−− ⎪⎝⎭.（19）（本题满分10分） 证：（Ⅰ)由积分中值定理()d ()(),[,]xag t t g x a a x ξξ=−∈⎰，因为0()1g x ，故0()(),0()d ()xag x a x a g t t x a ξ−−−⎰；（Ⅱ)()d ()()()d ()d ua ua g t t aaF u f x g x x f x x +⎰=−⎰⎰令，()()()(()d )()u aF u f u g u f a g t t g u '=−+⋅⎰()[()(()d )]uag u f u f a g t t =−+⎰，由（Ⅰ)知0()d (),()d uuaag t t u a a a g t t u −+⎰⎰，由于)(x f 单调增加，则()(()d )0uaf u f ag t t −+⎰，所以()0,()F u F u '单调不减，则()()0F u F a =， 取b u =得()0F b ，即所证结论成立.（20）（本题满分11分）解：因为12(),()112x xf x f x x x==++,3()13x f x x =+,…,由数学归纳法可得()1n xf x nx =+,所以1100()d d 1n n x S f x x x nx==+⎰⎰， 111000d 1()d d 11ln(1)11n n nx x nS n f x x x n nx nx n===−=−+++⎰⎰⎰，从而可知lim 1n n nS →∞=.（21）（本题满分11分） 解：因为)1(2+=∂∂y yf，所以)(),(2),(2x x y y y x f ϕϕ其中++=为待定函数. 又因为2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+−−，则()(2)ln y y y ϕ=−−，从而x x y x x y y y x f ln )2()1(ln )2(12),(22−−+=−−++=，所以0),(=y x f 对应的方程为2(1)(2)ln ,(12)y x x x +=−， 其所围图形绕直线1−=y 旋转所成旋转体的体积为222221111π(1)d π(2)ln d π2ln d πln d V y x x x x x x x x x =+=−=−⎰⎰⎰⎰π352π(2ln 21)(4ln 2)(2ln 2)π224=−−−=−.（22）（本题满分11分）解：(Ⅰ)对矩阵A 作初等行变换，可得123410010111010212030013−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A ，则方程组=Ax 0的一个基础解系为T)1,3,2,1(−=ξ. (Ⅱ)对矩阵()AE 作初等行变换，有12341001234100()0111010011101012030010431101−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A E123410010012610111010010213100131410013141−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→−→−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−⎝⎭⎝⎭. 记T3T 2T 1)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(===e e e ，则1e x A =的通解为T1111T1),31,21,2()0,1,1,2(k k k k ξk x +−+−−=−−+=， 2e x A =的通解为T2222T2),34,23,6()0,4,3,6(k k k k k x +−+−−=−−+=ξ， 3e x A =的通解为T3333T3),31,21,1()0,1,1,1(k k k k k x ++−−=−+=ξ，所以，123123123123261123212134313k k k k k k k k k k k k −−−−⎛⎫⎪−+−++ ⎪=⎪−+−++⎪⎝⎭B ，123,,k k k 为任意常数.（23）（本题满分11分）证：不妨设111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，00100200B n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则， ()()111...111...111...111 (1)..................11...111...1n n n λλλλλλλλλ−−−−−−−−−−−−==−=−−−−−−E A ，特征值为1210,n n n λλλλ−=====，()10...10 (2).........00...n n n λλλλλλ−−−−==−−E B ，特征值为1210,n n n λλλλ−=====，因为矩阵A 为对称阵，所以必可以对角化，相似于矩阵00n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ； 对于矩阵B ，当0λ=时，(0)()1r r −==E B B ，所以矩阵B 对应于特征值0有1n −个线性无关的特征向量，所以矩阵B 可以对角化为00n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ，所以二者相似.。
2014年考研数二真题及解析
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2014年考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ， 313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂y ux u ，在这个点处x y u y x u B yu C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．所以应该选（A ）．7．行列式dc dc ba b a 0000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-【详解】20000000000000000)(bc ad dc ba bc d cb a ad dc c ba b d c db a a dc d c ba b a --=+-=+-=应该选（B ）．8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ． 【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．【详解】设4722-+++=z y x ez y x F yz),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21==y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.22ππ+-=x y13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．【详解】质心坐标20113512111221021023101==++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dx x x x dx x dx x x x )()()()(ρρ． 14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t xx dt t e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】解：把方程化为标准形式得到2211x dxdyy -=+)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32=C ， 即32313133+-=+x x y y ．令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3222222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy yx y x x )sin(22π【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDD D dr r r d dxd y x dxdyy x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xadt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa =-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ， []b a x ,∈ 也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列)()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．【详解】x xxx x xx f x f x f x x x f 21111111121+=+++=+=+=)()()(,)(， ,)(x x x f 313+=， 利用数学归纳法可得.)(nxxx f n +=1))ln(()()(nn n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰1111111110101，111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 【详解】由于函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数． 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21， 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222．令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,． 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为πππ)ln (ln )()(45222121212-=-=+=⎰⎰dx x x dx y V22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)( ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ；1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；..对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00 λ~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 00200100 相似．。
2014年考研数学二真题
12．曲线 L 的极坐标方程为 r ，则 L 在点 (r, ) , 处的切线方程为
．
2 2
【详解】先把曲线方程化为参数方程
x
y
r( )cos r( )sin
cos sin
，于是在
2
处，
x
0,
y
2
，
dy dx
（B）充分而非必要条件 （D） 非充分非必要条件
【详解】若向量1,2 ,3 线性无关，则
1 （1 k3 ，2 l3 ） (1, 2 ,3 ) 0 k
0
1 (1, 2 ,3 )K ，对任意的常数 k, l ，矩阵 K 的秩都等 l
于 2，所以向量1 k3 ，2 l3 一定线性无关．
f ( x) x2 2x ； f ( x) 为周期为 4 奇函数，故 f (7) f (1) f (1) 1．
11．设 z
z( x,
y) 是由方程 e 2 yz
x
y2
z
7 4
确定的函数，则
dz
|
1
,
1
．
2 2
【详解】设 F ( x,
y, z)
e 2 yz
4x2 x3
( x1 ax3 )2 ( x2 2x3 )2 (4 a 2 )x32
由于负惯性指数为 1，故必须要求 4 a2 0 ，所以 a 的取值范围是 2,2．
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
1
x (t 2 (e t 1) t)dt
求极限 lim 1
2014年考研数学二真题与解析
推荐：考研数字题库与资料 2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ， 313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；。
2014年考研数学二真题(含解析)
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x +→时，若ln (12)x α+，1(1cos )x α-均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ）（A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2【答案】B【考点】等价无穷小、高阶无穷小 【详解】当0x +→时，ln (12)~(2)x x αα+，1121(1cos )~2x x αα⎛⎫-⎪⎝⎭因为它们都是比x 高阶的无穷小，故12,1>>αα，即21<<α2、下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+ 【答案】C【考点】函数的渐近线 【详解】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞+ 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinxlimlimx x y x x x→∞→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C 选项，1siny x x=+.由于1sin lim lim1x x x yx x x→∞→∞+==，又()1lim 1limsin0x x y x x →∞→∞-⋅==.所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =.故选C.（4）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性 【详解】 【解法一】令)()()(x f x g x F -=则)()1()0()(x f f f x F '-+-='由拉格朗日中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()01()0()1(ξξf f f f '='-=- 即0)(='ξF又因为)()(x f x F ''-=''若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，所以)(x F '单调递减， 当(0,),()0,()x F x F x ξ'∈>单调递增， 当(,1),()0,()x F x F x ξ'∈<单调递减，又0)1(.0)0(==F F ，所以()0F x ≥，即()()f x g x ≤，故选D 【解法二】令2()f x x =，则函数()f x 具有2阶导数，且()0f x ''≥所以()(0)(1)(1)g x f x f x x =-+= 当]1,0[∈x 时，()()f x g x ≤，故选D4、曲线227,41x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ） （A（B（C）（D）【答案】C【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径 【详解】2223212133222233222242222(24)8(2)2(2)3,1"1(1')(13)1(13)10t t dy dy t dt dx dx tdtt t d y t dx t t dy d y dx dx y k y R k==+==⋅-+-==∴==-∴==++∴==+==Q5、设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则22limx x ξ→=（ ）（A ）1 （B ）23 （C ）12（D ）13【答案】D【考点】函数求导、函数求极限 【详解】2()arctan 11f x x x x ξ==+Q.2arctan arctan x xx ξ-∴=.22230arctan arctan limlimlim rctan x x x x x x xx x a x x ξ→→→--∴==⋅22222001111limlim 33(1)3x x x x x x x →→-+===+. 6、设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则（ ） （A ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 （B ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部取得（C ）(,)u x y 的最大值在D 的内部取得，(,)u x y 的最小值在D 的边界上取得 （D ）(,)u x y 的最小值在D 的内部取得，(,)u x y 的最大值在D 的边界上取得 【答案】A【考点】二元函数极值的充分条件 【详解】因为22220u u x y ∂∂+=∂∂，故22u A x ∂=∂与22uC y∂=∂异号.又20u B x y ∂=≠∂∂， 则20AC B -<，所以函数(,)u x y 在区域D 内没有极值.又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在D 的边界点取到.7、行列式0000000ab a bcd c d=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d - 【答案】B【考点】分块矩阵的行列式运算、行列式的性质、行列式按行（列）展开定理 【详解】 【解法一】132320000000000000000000000()()()a b b a b a a b a b d c c c r r c dd c a b c dc dc db a a b bc ad ad bc ad bc d c c d↔-↔=⋅=--=--故选B 【解法二】2141332320a 0000000(1)0(1)00000(1)(1)()()b a b c d c d a ba ba c dc bd c d a b a ba d cbcd c da b a b adbc c d c da b bc ad c d ad bc ++++=⨯-+⨯-=-⨯⨯--⨯⨯-=-+=-=--8、设123,,ααα为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性相关性 【详解】1231132231122123121213231323123123+k )()0++k )00+k ++k +100=0=1=0000l l k l l l αααλααλααλαλαλλαλλλλαααααααααααααα++=+=⇒==+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭已知，，无关设（即（从而，无关反之，若，无关，不一定有，，无关例如，，，二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、12125dx x x -∞=++⎰ .【答案】π83【考点】无穷限的反常积分 【详解】()11221211125141111221()21113arctan |[()]222428dx dx x x x xd x x πππ-∞-∞-∞-∞=+++++=+++==--=⎰⎰⎰ 10、设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f【答案】1【考点】一阶微分方程、周期函数【详解】()22'2(1)[0,2]()2()(0)00()2[0,2]()4(7)(3)(1)(1)(12)1f x x x f x x x c f x f c f x x x x f x f f f f =-∈∴=-+∴=∴=∴=-∈∴==-=-=--=Q 又是奇函数的周期为11、设(,)z z x y =是由方程22274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz = . 【答案】)(21dy dx +-【考点】隐函数求偏导、全微分 【详解】221111(,)(,)222211(,)2211,022,(2)20(22)2011,221()2yzyz x y z x y z z e y x x x z z e z y y y y z z x y dz dx dy ===∂∂⎧⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩∂∂=-=-∂∂=-+当时，代入方程解得方程两边对分别求偏导得，解得：故12、曲线L 的极坐标方程是r θ=，则L 在点(,)(,)22r ππθ=处的切线的直角坐标方程是 . 【答案】22ππ+-=x y【考点】参数方程求导、极坐标与直角坐标的转化、切线方程 【详解】把极坐标方程化为直角坐标方程令cos cos sin sin x r y r θθθθθθ==⎧⎨==⎩2sin cos cos sin 1022012cos 02sin 22()(0)222dy dy d dx dx d dy dxx y y x y x πθθθθθθθθθπππθθπθπθθππππ=+==-+⋅==--⋅==⎧⎪=⎨==⎪⎩-=--=-+则当时，则切线方程为:化简为: 13、一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度2()21x x x ρ=-++，则该细棒的质心坐标x = . 【答案】2011 【考点】质心坐标 【详解】质心横坐标公式：⎰⎰=b aba dxx dx x x x )()(ρρ 所以：43212123201121()(21)4320111201(21)()30x x x x x x dx x x x dx x x x -++-++===-++-++⎰⎰14、设二次型22123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围是 .【答案】]2,2[-【考点】二次型的规范形、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0221001，记特征值为321,,λλλ则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 因二次型的负惯性指数为⇔1特征值1负2正或1负1正1零；0402210012≤+-=-⇔a aa ，即]2,2[-∈a【解法二】221231213232222221133223322221323322221232(,,)2424()(2)(4)(4)140[2,2]f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x x ax x x a x y y a y a a =-++=++-+-=+--+-=-+--≥∈-若负惯性指数为，则，三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）求极限1212[(1)]lim1ln(1)xtx t e t dt x x→+∞--+⎰【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】111221221122200((1))((1))(1)1limlimlim lim (1)111ln(1)1111lim lim 22xxttxx x x x x t t t t t e t dtt e t dtx e x x e xx x x xe t e t x t t ++→+∞→+∞→+∞→+∞→→------===--+⋅---===⎰⎰令16、（本题满分10分）已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且(2)0y =，求()y x 的极大值与极小值.【考点】微分方程、函数的极值 【详解】22222222333322'1'1'1(1)(1),(1)(1)11332(2)031123331'0,11(,1),'0,(11),'0,(1+),'0,x y y y x y y y dy x dx y dy x dx y y x x c y c y y x x x y x y x y x y x y +=--∴=+∴+=-+=-∴+=-+=∴=∴+=-+-===±+∈-∞-<∈->∈∞<⎰⎰Q 积分得又 令得时函数单调递减，时函数单调递增，时函数单调递减所以函11(1)0,(1)1()1,0x x y y y x =-=-==数在时取得极小值，在时取得极大值由函数方程解得：故：的极大值是极小值是17、（本题满分10分）设平面区域{}22(,)14,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥，计算D.【考点】二重积分的计算、轮换对称性 【详解】积分区域D 关于y x =对称，利用轮对称行，121sin(2D D D Ddxdy ==+=⎰⎰222011221111sin()d cos()2411cos()|cos()d 44113244d r r r rd r r r r r πθππππ==-=-+=--=-⎰⎰⎰⎰18、（本题满分10分）设函数()f u 具有2阶连续导数，(cos )xz f e y =满足22222(4cos )x x z z z e y e x y∂∂+=+∂∂.若(0)0f =，(0)0f '=，求()f u 的表达式.【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程【详解】 令y e u xcos =xx x xx x x xx x xe u uf y e u f y e u f e y e z yzx z y e u f y e u f y z y e u f y z y e u f y e u f x z y e u f x z 222222222222222222])(4[sin )(cos )()cos 4(cos )(sin )(),sin ()(cos )(cos )(,cos )(+=⋅''+⋅''∴+=∂∂+∂∂⋅'-⋅''=∂∂-⋅'=∂∂⋅'+⋅''=∂∂⋅'=∂∂∴Θ 即：u u f u f =-'')(4)(对应的齐次微分方程的特征方程为：042=-r 解得：2,221-==r r故齐次微分方程的通解为：u u e C e C u f 2221)(-+=设b au u f +=)(*，则0)(,)(**="='u f a u f ，代入微分方程解得：0,41=-=b a ，即u u f 41)(*-= 故u e C e C u f xx 41)(2221-+=-所以uu u u e C e C u f e C e C u f 2221222144)(,4122)(--+=''--='因为(0)0f =，(0)0f '=，代入解得：161,16121-==C C所以22111()16164x x f u e e u -=--19、（本题满分10分）设函数()f x ，()g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤. 证明：（Ⅰ）（I ）a x dt t g xa-≤≤⎰)(0，],[b a x ∈；（II ）⎰⎰⎰≤+badtt g a abadx x g x f dx x f )()()()(【考点】定积分中值定理、不等式的证明 【详解】（I ）【解法一】因为函数)(x g 在区间],[b a 上连续，且1)(0≤≤x g . 所以⎰⎰⎰≤≤xax axadt dt t g dt 1)(0即a x dt t g x a-≤≤⎰)(0【解法二】由定积分中值定理知：存在),(b a ∈ξ，使得)()()(ξg a x dt t g xa-=⎰，又因为],[b a x ∈时1)(0≤≤x g ， 所以)()()(0a x g a x -≤-≤ξ 即a x dt t g xa-≤≤⎰)(0【解法三】[][]11111222222()()()0'()()0(),()0()()'()()10()1'()0()()0,()0xaxa h x g t dth a h x g x h x x a b h x h x g t dt x ah x g x g x h x h x h a x a b h x ===≥∴∴∈≥=-+=-≤≤∴≤∴=∴∈≤⎰⎰Q 单调增加当时，单调减少，又当时，（II ）令()()()()()xa xa g t dt aaF x f u g u du f u du +⎰=-⎰⎰()'()()()[()]()()[()]()I (),()()[()]'()0()0()0()()()ba xxaa x axa ba g t dt a aF x f x g x f a g t dt g x f x f a g t dt g x a g t dt a x a x f x f x f a g t dt F x F x F a F b f x g x dx f x dx+⎡⎤∴=-+⋅=-+⎢⎥⎣⎦+≤+-=∴≥+∴≥∴=∴≥⎰≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰由（）知又单调增加单调增加又（）即20、（本题满分11分） 设函数()1xf x x=+，[0,1]x ∈.定义数列 1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，L ，1()(())n n f x f f x -=，L记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【考点】定积分求面积、函数求极限 【详解】1213222(),()()11()(())121112()(())13112(),[0,1]111()0(1)(1)()(0)=0()0[0,1]n n n n n xf x f x f x xxxx f x f f x x x x xxx f x f f x x x x xf x x nxnx nx f x nx nx f x f f x x ==++∴===++++∴===+++=∈++-'==>++∴∴≥∈Q Q Q 由归纳法知：单调递增，，1120021111=(1)=ln(1)1111ln(1)lim lim [ln(1)]1lim ln(1)11lim 1lim 11n n n n n x x x S dx dx n nx n nx n nn nS n n n n nx xx →∞→∞→∞→∞→∞∴=--++++=-+=-+=-=-=+⎰⎰21、（本题满分11分） 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+--.求曲线(,)0f x y =所围图形绕直线1y =-旋转所成旋转体的体积. 【考点】偏积分、隐函数、旋转体的体积 【详解】由函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂可知：)(2),(2x y y y x f ϕ++= 又22(,)2()(1)(2)ln f y y y y y y y y ϕ=++=+-- 所以()1(2)ln y y y ϕ=--所以x x y x x y y x y y y x f ln )2()1(ln )2(12)(2),(222--+=--++=++=ϕ 令1+=y z ，则(,)0f x y =对应的曲线方程为：x x z ln )2(2-=，定义域为]2,1[则曲线(,)0f x y =所围图形绕直线1y =-旋转，即x x z ln )2(2-=绕0=z 旋转，所成的旋转体体积πππππ)452ln 2()412(ln )212()212(ln ln )2(212221221212-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-==⎰⎰⎰x x x x x x x xd xdxx dx z V x22、（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B . 【考点】解线性方程组 【详解】1234100()011101012030011205412301021310013141100126101021310013141A E --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭--⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪--⎝⎭-⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭M M M M M M M M M M （I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=4443424132x x x x xx x x ，即基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1321（II ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=01312244434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011213211k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=04332644434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-043613212k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=--=01312144434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011113213k ，123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫⎪--+ ⎪∴= ⎪--+ ⎪⎝⎭，321,,k k k 为任意常数23、（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM O M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似. 【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】设⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L111111111A ，⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L0001000200n B 因为1)(,1)(==B r A r所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλΛB 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,0121λλλλΛ 关于A 的特征值0，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00O同理，关于B 的特征值0，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00O由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似.。