山东省高考数学(理)冲刺卷及答案(二)

绝密★启用前 试卷类型A

山东省2015年高考模拟冲刺卷（二）

理科数学

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120

分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1、已知i 为虚数单位，R a ∈，若

i

a i

+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ）

A ．

2

B ．3

C ．

11

D ．6

2、在ABC ?中，设命题

B

c

A b C a p sin sin sin :

==，命题ABC q ?:是等边三角形，那么命题p 是命题q 的

（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 3、已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝

（ ）

A ．2

2

B ． 2

C ．－ 2

2

D ．－ 2

4、如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的

平均成绩超过乙的平均成绩的概率为

（ ）

A ．5

2

B ．107

C ．

5

4

D ．

10

9 5、在ABC ?中，c ,b ,a 分别为C ,B ,A 的对边，如果c ,b ,a 成等差数列，?=30B ，ABC ?的面积为2

3

，

那么=b

（ ）

A ．

13

+

B ．13

C 23

+ D ．236、直线L 过抛物线()2

:20C y px p =>的焦点F 且与C 相交于A 、B 两点，且AB 的中点M

的坐标为

()3,2，则抛物线C 的方程为

（ ）

A ．2224y x y x ==或

B ．2248y x y x ==或

C ．2268y x y x ==或

D ．2228y x y x ==或

7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

A ．

3

160

B ．160

C ．23264+

D ．2888+

8、．如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线

OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[0,]π上的图象大致为

（ ）

9、设）为整数（0,,>m m b a ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记作

)(mod m b a ≡，已知),10(mod ,222120

20202202120b a C C C a ≡++++=且 则b 的值可为

（ ）

A ．2011

B ．2012

C ．2009

D ．2010

10、若定义在R 上的函数

()f x 满足()()()(),2,f x f x f x f x -=-=且当[]0,1x ∈时，

()21f x x =-()()x

H x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为（ ）

A ．4

B ．8

C ．6

D ．10

x

O

1

π y x

O

B 1 π y

x O

1

π y

x O

1

π y

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11、已知2

1

k π-=

?

，直线1y kx =+交圆

22:1P x y +=于

,A B 两点，则

AB = ．

12、已知()f x 为定义在（0，+∞）上的可导函数，且()'()f x xf x >，则不等式2

1

()()0

x f f x x

-<的解集为 ． 13、已知集合}9|4||3|

{≤-++∈=x x R x A ，)},0(,61

4{+∞∈-+=∈=t t

t x R x B ，则

集合B A ?= ． 14、若等比数列

{}

n a 的各项均为正数,且

512911102e a a a a =+,则

1220ln ln ln a a a ++

+= ．

15、给出定义：若2

1

21+≤<-

m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即m x =}{．在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题：

①函数)(x f y =定义域是R ，值域是???

???21,0；

②函数)(x f y =的图像关于直线)(2

Z k k

x ∈=

对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1； ④函数)(x f y =在??

?

???-

21,21上是增函数． 则其中真命题的序号为 ．

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）

已知)1,sin 32

cos 2(x x +=，),(cos y x -=，且m n ⊥．

（Ⅰ）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的单调增区间；

（Ⅱ）已知c b a ,,分别为ABC ?的三个内角C B A ,,对应的边长，若(

)32

A

f =，且2=a ，4b c +=，求ABC ?的面积．

17、（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥

底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=1

2

AD=1，CD=3．

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为30。，设PM=tMC，试确定t的值

在平面xoy 内，不等式2

2

4+≤x y 确定的平面区域为U ，不等式组20

30-≥??

+≥?

x y x y 确定的平

面区域为V ．

（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”．在区域U 中任取3个“整点”，求这些“整点”中

恰好有2个“整点”落在区域V 中的概率；

（Ⅱ）在区域U 中每次任取一个点，连续取3次，得到3个点，记这3个点落在区域V 中的

个数为X ，求X 的分布列和数学期望．

在数列}{n a 中,任意相邻两项为坐标的点),(1+n n a a P 均在直线k x y +=2上,数列}{n b 满足条件:)(,211*+∈-==N n a a b b n n n ． （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式; （Ⅱ）若,,1

log 212

n n n

n n c c c S b b c +++== 求26021+>-+n S n n 成立的正整数n 的最小值．

已知椭圆C: 2

3

，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长

为半径的圆与直线02=++y x 相切．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设斜率不为零的直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），

点0D(0,)y 在线段AB 的垂直平分线上，且D D 4A B ?=，求0y 的值

（Ⅲ）若过点M （1,0）的直线与椭圆C 相交于P, Q 两点，如果9

2

53-≤?≤-

（0为坐标原点），且满足t ?=+||||，求实数t 的取值范围．

已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R)，211

()() (0)2g x x m x m m

=

-+>，且()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y --=．

（Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0,2)内有且仅有一个极值点，求m 的取值范围； （Ⅲ）设1

(,) ()M x y x m m

>+

为两曲线() ()y f x c c =+∈R ，()y g x =的交点，且两曲线在交点M 处的切线分别为12,l l ．若取1m =，试判断当直线12,l l 与x 轴围成等腰三角形时

c 值的个数并说明理由．

山东省2015年高考模拟冲刺卷参考答案

文科数学（二）

1---5B D D A C 6--10 C D D A B 11．(0,1) 12．70 13

．14．3

16

-

15．①②④ 16．解：

（Ⅰ）

2

()cos

1)8

8

8

f x x x x π

π

π

=-

2sin()4444

x x x ππππ

=+=+，…2分

所以，函数)(x f 的最小正周期为284

T π

π

==． ………………3分

由222442

k x k π

π

π

π

π

π-

≤

+

≤+

（Z ∈k ）得8381k x k -≤≤+（Z ∈k ），

∴函数)(x f 的单调递增区间是[]83,81k k -+（Z ∈k ）………………………………5分

（Ⅱ）(2)2sin()2cos 244

f πππ

=+==

(4)2sin()2sin 44

f ππ

π=+=-=

， (4,P Q ∴……………7分

|| ||

23, ||OP PQ OQ

∴===

从而2cos ||||OP OQ POQ OP OQ ?

∠

=

==

?sin 3

POQ ∴∠==

，………………………………………………10分 设OPQ ?的外接圆的半径为R ，

由

||2sin PQ R POQ =∠||2sin 2PQ R POQ ?===

∠ ∴OPQ ?的外接圆的面积29

2

S R ππ==………………………………………………12分

17．解：（Ⅰ）函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点，

∴()20f x -=，即2240ax x -+=有两个不同的正根1x 和2x

1212020

40

4160a x x a

x x a

a ≠??

?+=>?∴??=>???=->?

104a ?<<…4分 114()416P A ∴== …………………6分

（Ⅱ）由已知：0,0a x >>

，所以

()f x ≥

()f x ≥

min ()f x ∴=

()2b x f >在()0,x ∈+∞恒成立

2b ∴>……()* ……………………………8分

当1a =时，1b =适合()*； 当2,3,4,5a =时，1,2b =均适合()*； 当6a =时，1,2,3b =均适合()*； 满足()*的基本事件个数为18312++=．…10分 而基本事件总数为6636?=，…………11分 121

()363

P B ∴=

=． …………12分 18．证明：（Ⅰ） 连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，…………………………………………1分

ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，

BE OF //∴， ………4分

BE ?平面ACF ，OF ?平面ACF

//BE ∴平面ACF ．……………………………5分

（Ⅱ） 作EG AD ⊥于G

⊥AE 平面CDE ，?CD 平面CDE ，CD AE ⊥∴，

ABCD 为正方形，CD AD

∴⊥，,,AE AD A AD AE =?平面DAE ，

⊥∴CD 平面DAE ，……………7分 CD EG ∴⊥，

AD CD D =，

EG ∴⊥平面ABCD ………8分

⊥AE 平面CDE ，DE ?平面CDE ，AE DE ∴⊥，2AE DE ==，

AD ∴=

，EG = …10分

∴四棱锥ABCD E -

的体积211333

ABCD V S EG =?=?= ………12分

19．解：（Ⅰ）

2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--= 21212121[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a --+-∴+--+--=

即21212n n a a +--=…………4分

21n n b a -=，121212n n n n b b a a ++-∴-=-=

{}n b ∴是以111b a ==为首项，以2为公差的等差数列 ……5分

1(1)221n b n n =+-?=-…………6分

（Ⅱ）对于2[3(1)]22[(1)1]0,n

n

n n a a ++--+--=

O A

C B

E

F G

当n 为偶数时，可得2(31)22(11)0,n n a a ++-+-=即

21

2

n n a a +=， 246 , , , a a a ∴是以21

2

a =

为首项，以12为公比的等比数列；………………………8分

当n 为奇数时，可得2(31)22(11)0,n n a a +--+--=即22n n a a +-=，

135 , , ,

a a a ∴是以11a =为首项，以2为公差的等差数列…………………………10分

21321242()()

n n n T a a a a a a -∴=+++++++11[(1()]

122[1(1)2]1212

n n n n -=?+-?+-2112n

n =+- …12分 20．解：（Ⅰ）()ln g x ax x =-，(1)g a ∴=，1

()g x a x

'=-

()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，1

(1)13

g '∴?=-

1

(1)123

a a ?-?=-?=-………3分

（Ⅱ）()f x 的定义域为R ，且 ()e x

f x a '=+．令()0f x '=，得ln()x a =-． …4分 若ln()0a -≤，即10a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[0,2]x ∈上为增函数，∴min ()(0)1f x f ==；…………5分

若ln()2a -≥，即2

a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[0,2]x ∈上为减函数，

∴2min ()(2)2f x f e a ==+；……6分

若

0ln()2a <-<，即21e a -<<-时，由于[0,ln())x a ∈-时，()0f x '<；(ln(),2]x a ∈-时，()0f x '>，所以min ()(ln())ln()f x f a a a a =-=--

综上可知22min 21, 10()2, ln(),1a f x e a a e a a a e a -≤

?

=+≤-?

?---<<-?

………8分 （Ⅲ）()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11

()ax g x a x x

-'=-=． 0a <时，

()0g x '∴<，()g x ∴在(0,)+∞上单调递减．………9分

令()0f x '=，得ln()x a =-

①若10a -≤<时，ln()0a -≤，在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x ∴单调递增，由于

()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有

相同的单调性；……………10分

②若1a <-时，ln()0a ->，在(,ln())a -∞-上

()0f x '<，()f x 单调递减；

在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x 单调递增．由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴存

在区间(0,ln()]M a ?-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数． 综上，当10a -≤≤时，不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单

调性；当1a <-时，存在区间(0,ln()]M a ?-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函

数．………………13分

21解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R 由于动圆P 与圆2

2

1:(3)81F x y ++=相切，

且与圆2

2

2:(3)1F x y -+=相内切，所以动圆

P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切

1

2

||9||1PF R

PF R =-?∴?=-?1212||||8||6PF PF F F ?+=>=……2分 ∴圆心P 的轨迹为以12, F F 为焦点的椭圆，其中28, 26a c ==，

2

2

2

4, 3, 7a c b a c ∴===-=故圆心P 的轨迹C ：22

1167

x y +=……………………4分

（II ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+

由221167x my x y

=???+=??可得：22222112716112716m x m y m ?=??+??=?+?， 2

232

23

2112716112716m

x m y m ?=??+∴??=?+? 22222

3322

2112112112(1)||716716716

m m OQ x y m m m +∴=+=+=+++ ……………………………6分 由2231167

x my x y =+???+

=??可得：22(716)42490m y my ++-=

121222

4249

,716716

m y y y y m m ∴+=-=-++

∴||MN ==

21|y y =

-=

2256(1)

716m m +==+…8分

∴2222256(1)

||1716112(1)||2

716

m MN m m OQ m ++=

=++ ||MN 和2

||OQ 的比值为一个常数，这个常数为12

………9分

（III ）//MN OQ ，∴QMN ?的面积OMN =?的面积 O 到直线:3MN x my =+的距离

d =

221156(1)||22716m S MN d m +∴=?=?=+…11分

t =，则221m t =-(1)t ≥ 22848484

9

7(1)16797t t S t t t t

=

==

-+++

97t t +≥

=9

7t t =

，即t =

m =时取等号）

∴

当m =时，S 取最大值…………14分