2020-2021学年厦门一中九年级上学期期末数学模拟试卷(含答案解析)

2020-2021学年厦门一中九年级上学期期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列计算正确的是()A. 2√3−√3=2B. 2÷√2=√2C. √2+√3=√5D. (2√3)2=62.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中．下列说法：①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的有()个．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.以下四幅图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B.C. D.4.已知m是方程x2−2x−2019=0的一个根，则2m2−4m的值等于()A. 2019B. −2019C. 4038D. −40385.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为()A. 20°B. 40°C. 60°D. 80°6.两组数据：98，99，99，100和98.5，99，99，99.5，则关于以下统计量说法不正确的是()A. 平均数相等B. 中位数相等C. 众数相等D. 方差相等7.将抛物线y=−x2向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是()A. y=−(x+3)2B. y=−x2+3C. y=−(x−3)2D. y=−x2−38.已知一次函数y1=−2x，二次函数y2=x2+1，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1和y2，则下列关系正确的是()A. y1>y2B. y1≥y2C. y1<y2D. y1≤y29.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点C，点Q为AC上的动点，若∠P=40°，则∠CQA等于()A. 115°B. 110°C. 105°D. 100°10.若二次函数y=−2x2上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1>x2>0，则()A. y1=y2B. y1>y2C. y1<y2D. 无法比较二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.多项式−2x+3x2−4的最高次项是______ ．12.若关于x、y的方程组{3x−2y=152kx−(k−2)y=8+5k的解中，x、y互为相反数，则k=______．13.一次函数y=2x−6的函数值为0，则x=______．14.如图，扇形AOB的半径OA=OB=4厘米，∠AOB=90°，分别以OA，OB的中点C，D为圆心，OA，OB为直径做半圆，图中阴影部分面积是______ ．15.如图，大正方形的面积可以表示为______，又可以表示为______，由面积相等的等量关系，整理后可得______．16.如图，函数y=kx+b的图象经过点(−1,2)与(2,−1)，当函数值y>−1时，自变量x的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.已知：a是不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1=0．18.如图，在12×8的方格纸中，ABCD的四个顶点都在格点上．(1)在图中，画出线段AE，使AE平分∠BAD，其中E是格点；(2)在图中，画出线段CF，使CF⊥AB，其中F是格点．19.在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(−3,5)与(5,−3)是一对“互换点”．(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？(2)M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为(m,n)，求直线MN的表达式(用含m、n的代数式表示)；(3)在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=−2x的图象上，直线AB经过点P(12,12)，求此抛物线的表达式．20.请看示意图：AB=AC=10，BC=8√5，D为AB中点，E为BC边上一动点．将△DBE沿DE折叠至△DB′E，点B的对称点为点B′．(1)如图，当点B′与点A重合时，求BE长；(2)求线段B′C长度的最小值．(画出图形，直接写出结果)21.如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？(3)、当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？22.已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF=DC，AB//DE，AB=DE，求证：BC//EF．23.某校组织1000名学生参加“展示我美丽祖国”庆国庆的自拍照片的评比活动．随机机取一些学生在评比中的成绩制成的统计图表如下：频数分布表根据以上图表提供的信息，解答下列问题：(1)写出表中a、b的数值：a=，b=；(2)补全频数分布表和频数分布直方图；(3)如果评比成绩在95分以上的可以获得一等奖，试估计该校参加此次活动获得一等奖的人数．24.如图，在△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．(1)求证：OD//AC；(2)若∠A=45°，求DE的长．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于点A(−4,0)和点B(2,0)，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；(2)如果点D的坐标为(−8,0)，联结AC、DC，求∠ACD的正切值；(3)在(2)的条件下，点P为抛物线上一点，当∠OCP=∠DCA时，直接写出点P的坐标．参考答案及解析1.答案：B解析：解：A.2√3−√3=√3，故此选项不合题意；B.2÷√2=√2，故此选项符合题意；C.√2与√3不是同类二次根式无法合并，故此选项不合题意；D.(2√3)2=12，故此选项不合题意；故选：B．直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的性质、二次根式的乘除运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的性质、二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．2.答案：D解析：解：①若a+b+c=0，方程ax2+bx+c=0有一根为1，又a≠0，则b2−4ac≥0，正确；②由两根关系可知，−1×2=ca，整理得：2a+c=0，正确；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则−ac>0，可知b2−4ac>0，故方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确；④由b=2a+3c，b2−4ac=(2a+3c)2−4ac=4(a+c)2+5c2>0，所以④正确．故选：D．①a+b+c=0，即系数和为0，说明原方程有一根是1，a≠0，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△≥0；②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；③判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2−4ac的值的符号就可以了；④把b=2a+3c代入b2−4ac得到b2−4ac=(2a+3c)2−4ac=4(a+c)2+5c2>0，根据判别式的意义可得到方程有两个不相等的实根．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了一元二次方程根的判别式．3.答案：B解析：解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．4.答案：C解析：把x=m代入方程求出m2−2m=2019，把2m2−4m化成2(m2−2m)代入求出即可．本题考查了代数式求值，一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把m2−2m当作一个整体来代入．解：根据题意，将x=m代入方程，得：m2−2m−2019=0，则m2−2m=2019，∴2m2−4m=2(m2−2m)=2×2019=4038，故选：C．5.答案：D解析：解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选：D．由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6.答案：D解析：解：14(98+99+99+100)=99，14(98.5+99+99+99.5)=99，平均数相等，A不合题意；两组数据：98，99，99，100和98.5，99，99，99.5的中位数都是99，众数是99，则中位数相等，众数相等，B、C不合题意；14[(98−99)2+(99−99)2+(99−99)2+[100−99)2]=12, 14[(98.5−99)2+(99−99)2+(99−99)2+[99.5−99)2]=18, 方差不相等，D 符合题意，故选：D ．根据平均数的计算公式、众数和中位数的概念以及方差的计算公式计算，判断即可．本题考查的是平均数、众数、中位数和方差，掌握它们的概念以及计算公式是解题的关键． 7.答案：A解析：解：抛物线y =−x 2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)先向左平移3个单位所得对应点的坐标为(−3,0)，所以平移后的抛物线的表达式为y =−(x +3)2．故选：A ．先利用顶点式y =−x 2得到顶点坐标为(0,0)，再利用点平移的坐标规律得到点(0,0)平移后的对应点的坐标为(−3,0)，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的表达式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8.答案：D解析：解：由{y =−2x y =x 2+1，消去y 得到：x 2+2x +1=0， ∵△=0，∴直线y =−2x 与抛物线y =x 2+1只有一个交点，如图所示，观察图象可知：y 1≤y 2，故选：D ．首先判断数y 1=−2x ，二次函数y 2=x 2+1，只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题． 本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是判断出直线与抛物线只有一个交点，学会利用图象法解决问题．9.答案：A解析：解：在优弧AC 上任取一点D(不与A 、C 重合)，连接AD ，CD ，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°，∵∠P=40°，∴∠AOP=50°，∴∠AOC=180°−50°=130°，∠AOC=65°，∴∠D=12∵四边形AQCD是圆内接四边形，∴∠CQA+∠D=180°，∴∠CQA=115°，故选：A．在优弧AC上任取一点D(不与A、C重合)，连接AD，CD，根据切线的性质求出∠AOP=50°，则∠AOC=∠AOC=65°，最后根据圆内接四边形的性质即可180°−50°=130°，根据圆周角定理得到∠D=12得解．此题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．10.答案：C解析：解：∵二次函数y=−2x2，∴当x<0时，y随x的增大增大，当x>0时，y随x的增大而减小，∵二次函数y=−2x2上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1>x2>0，∴y1<y2，故选C．根据二次函数的解析式和二次函数的性质可以判断y1与y2的大小关系，从而可以解答本题．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11.答案：3x2解析：解：−2x 的次数为1，+3x 2的次数为2，−4的次数为0．故其中最高次项是3x 2．故答案为：3x 2．此类问题可以一项一项的计算其次数，然后比较可得出最高次项，注意符号问题．本题考查的是多项式中最高项的判断问题，此类问题需要注意的是最高次项需要带上前面的符号． 12.答案：3.5解析：解：∵关于x 、y 的方程组{3x −2y =152kx −(k −2)y =8+5k的解中，x 、y 互为相反数， ∴把y =−x 代入方程3x −2y =15得：3x +2x =15，解得：x =3，即y =−3，代入方程2kx −(k −2)y =8+5k 得：6k +3(k −2)=8+5k ，解得：k =3.5，故答案为：3.5．根据相反数得出y =−x ，代入方程组中的第一个方程，能求出x 、y 的值，再代入第二个方程，即可求出k ．本题考查了解二元一次方程组的解和解一元一次方程、相反数等知识点，能求出x 、y 的值是解此题的关键．13.答案：3解析：解：∵y =2x −6，∴当y =0时，x =3，故答案为：3．将y =0代入题目中的函数解析式，即可求得x 的值，本题得以解决．本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．14.答案：(4π−8)平方厘米解析：解：如图，连接AB 交半圆于点E ，连接OE ，则阴影部分的面积等于扇形AOB 的面积减去三角形AOB 的面积，即S 阴影=S 扇形AOB −S △AOB=90π×42360−12×4×4 =4π−8(平方厘米)．故答案为(4π−8)平方厘米．根据割补法连接AB 交半圆于点E ，连接OE ，则阴影部分的面积等于扇形AOB 的面积减去三角形AOB 的面积即可求解．本题考查了扇形的面积计算、解决本题的关键是利用割补法求面积．15.答案：(a +b)2 ；2ab +c 2 ；a 2+b 2=c 2解析：解：大正方形的面积=(a +b)2，大正方形的面积=2ab +c 2，则(a +b)2=2ab +c 2， ∴a 2+2ab +b 2=2ab +c 2．∴a 2+b 2=c 2．故答案为：(a +b)2；2ab +c 2；a 2+b 2=c 2．先求得大正方形的边长，然后依据面积公式可求得大正方形的面积，然后依据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积可得到大正方形的面积，然后依据大正方形的面积列出等式，然后可得到a 、b 、c 之间的关系．本题主要考查的是勾股定理的证明，利用不同的方法表示出大正方形的面积是解题的关键． 16.答案：x <2解析：解：根据题意，得{−k +b =22k +b =−1， 解得，{k =−1b =1， ∴函数y =kx +b 的解析式是函数y =−x +1；∴当y >−1时，−x +1>−1，解得，x <2；故答案是：x <2．将点(−1,2)与(2,−1)分别代入函数解析式y =kx +b ，即利用待定系数法求得函数y =kx +b ；然后根据y >−1列出关于x 的不等式，解不等式即可．本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的性质．要注意利用一次函数的性质，列出方程组，求出k、b值，从而求得其解析式．17.答案：解：解不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7，得a>−3，∴最小整数解为−2，将a=−2代入方程x2+2ax+a+1=0，得x2−4x−1=0，配方，得(x−2)2=5．直接开平方，得x−2=±√5．解得x1=2+√5，x2=2−√5．解析：解不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7，得a>−3，所以最小整数解为−2，于是将a=−2代入方程x2−4x−1=0.利用配方法解方程即可．本题主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整数解．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18.答案：解：(1)如图1，线段AE即为所求：(2)如图2，线段AF即为所求．解析：本题主要考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握平行四边形和等腰三角形的判定与性质．(1)根据平行四边形的性质和角平分线定义，当点E在BC上时，只需满足∠DAE=∠BEA=∠BAE，得出AB=BE，进而确定E点即可；(2)由平行四边形的性质，只需CF ⊥CD 即可，如图2，CD =5，CF =5，DF =√72+12=5√2，根据勾股定理逆定理可知CF ⊥CD ，在图中找出点F 即可．19.答案：解：(1)不一定，设这一对“互换点”的坐标为(a,b)和(b,a)．①当ab =0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab ≠0时，由b =k a 可得a =k b ，即(a,b)和(b,a)都在反比例函数y =k x (k ≠0)的图象上；(2)由M(m,n)得N(n,m)，设直线MN 的表达式为y =cx +d(c ≠0)．则有{mc +d =n nc +d =m解得{c =−1d =m +n ， ∴直线MN 的表达式为y =−x +m +n ；(3)设点A(p,q)，则q =−2p ，∵直线AB 经过点P(12,12)，由(2)得12=−12+p +q ，∴p +q =1，∴p −2p =1，解并检验得：p =2或p =−1，∴q =−1或q =2，∴这一对“互换点”是(2,−1)和(−1,2)，将这一对“互换点”代入y =x 2+bx +c 得，∴{1−b +c =24+2b +c =−1解得{b =−2c =−1， ∴此抛物线的表达式为y =x 2−2x −1．解析：(1)设这一对“互换点”的坐标为(a,b)和(b,a).①当ab =0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab ≠0时，由b =k a 可得a =k b ，于是得到结论；(2)把M(m,n)，N(n,m)代入y =cx +d ，即可得到结论；(3)设点A(p,q)，则q =−2p ，由直线AB 经过点P(12,12)，得到p +q =1，得到q =−1或q =2，将这一对“互换点”代入y =x 2+bx +c 得，于是得到结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键． 20.答案：解：(1)如图1中，过点A 作AG ⊥BC 于G ．∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=GC=4√5，∴AG=√AB2−BG2=√102−(4√5)2=2√5，由翻折的性质可知，EB=EA，设EB=EA=x，在Rt△AEG中，则有x2=(4√5−x)2+(2√5)2，∴x=5√5，2∴BE=5√5．2(2)如图2中，过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥BC于H．∵DH⊥BC，AG⊥BC，∴DH//AG，∵BD=AD，∴BH=HG，AG=√5，∴DH=12∴CH=HG+CH=6√5，在Rt△CDH中，∵∠CHD=90°，∴CD=√CH2+DH2=√(6√5)2+(√5)2=√185，∵DB=DB′=5，CB′≥CD−DB′，∴CB′≥√185−5，∴CB′的最小值为√185−5．解析：(1)如图1中，过点A作AG⊥BC于G.利用勾股定理求出AG，设BE=EA=x，在Rt△AEG中，利用勾股定理，构建方程求解即可．(2)如图2中，过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥BC于H.解直角三角形求出CD，DB′，即可解决问题．本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.答案：解：(1)根据题意，得S=x(24−3x)，即所求的函数解析式为：S=−3x2+24x，又∵0<24−3x≤10，∴143≤x<8，(2)根据题意，设AB长为xm，则BC长为(24−3x)m，∴−3x2+24x=45．整理，得x2−8x+15=0，解得x=3或5，当x=3时，BC=24−9=15>10不成立，当x=5时，BC=24−15=9<10成立，∴AB长为5m；(3)S=24x−3x2=−3(x−4)2+48∵墙的最大可用长度为10m，0≤BC=24−3x≤10，∴143≤x<8，∵对称轴x=4，开口向下，∴当x=143m，有最大面积的花圃．即：x=143m，最大面积为：=24×143−3×(143)2=46.67m2解析：(1)根据AB为xm，BC就为(24−3x)，利用长方体的面积公式，可求出关系式．(2)将s=45m代入(1)中关系式，可求出x即AB的长．(3)当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．此故可求．主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．22.答案：证明：∵AB//DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AC=DF，在△ABC和△DEF中{AB=DE ∠A=∠D AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠BCA=∠EFD，∴BC//EF．解析：直接利用全等三角形的判定方法得出△ABC≌△DEF(SAS)，进而得出答案．此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．23.答案：(1)∵抽查的学生总数为：60÷30%=200人，∴a=200−80−60−20=40；b=×100%=40%(2)频数分布表(3)1000×10%=100答：该校参加此次活动获得一等奖的人数是100人．解析：试题分析：(1)首先求得抽取的样本总数，然后用样本容量减去其他小组的人数即可求得a值，用80除以样本容量即可求得b值；(2)根据上题求得的数据不全统计图即可；(3)用总人数乘以获得一等奖的百分率即可求得获得一等奖的人数．(1)∵抽查的学生总数为：60÷30%=200人，∴a=200−80−60−20=40；b=×100%=40%(2)频数分布表(3)1000×10%=100答：该校参加此次活动获得一等奖的人数是100人．24.答案：(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠C=∠ODB，∴OD//AC；(2)解：过点O作OF⊥AC于点F，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD．∵OD//AC，∴DE⊥AC．∴四边形OFED是矩形．∴OF=DE．在Rt△AOF中，∠A=45°，∴OF=√22OA=2√2，∴DE=2√2．解析：(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B=∠ODB，等量代换得到∠C=∠ODB，根据平行线的判定定理证明结论；(2)过点O作OF⊥AC于点F，根据切线的性质得到DE⊥OD，证明四边形OFED是矩形．得到OF=DE，根据等腰直角三角形的性质计算即可．本题考查的是切线的性质、平行线的判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．25.答案：解：(1)将A(−4,0)和B(2,0)代入y=ax2+bx−4得：{16 a−4b−4=04a+2b−4=0，解得{a=12b=1，∴抛物线y=12x2+x−4，当x=0时，y=−4，∴C(0,−4)，(2)过D作DE⊥AC交CA延长线于E，∵A(−4,0)，C(0,−4)， ∴OA =OC =4， ∴AC =4√2，∠CAO =45°， ∵D(−8,0)，∴AD =4，∴DE =AE =sin45°×4=2√2， ∴tan∠ACD =2√26√2=13， (3)当P 在y 轴右侧时，如图：设P(m,12m 2+m −4)， ∴PE =m ，EC =12m 2+m ， ∵∠OCP =∠DCA ， ∴tan∠OCP =tan∠DCA ， ∴m 12m 2+m =13， 解得m 1=4，m 2=0(舍)， ∴P(4,8)，当P 在y 轴右侧时，如图：设P(m,12m2+m−4)，∴PE=−m，EC=12m2+m，同理可得：−m1 2m2+m=13，解得m1=−8，m2=0(舍)，∴P(−8,20)，综上所述：P(4,8)或P(−8,20)．解析：(1)将A(−4,0)和B(2,0)代入y=ax2+bx−4即可求解；(2)过D作DE⊥AC交CA延长线于E，求出DE、CE的长即可解决；(3)根据∠OCP=∠DCA，则tan∠OCP=tan∠DCA，分P在y轴右侧和左侧两种情况分别计算．本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、锐角三角函数值、以及角的存在性等知识，由两个角相等，则这两个角的正切值也相等进行转化，是解决问题的关键．。