常见的五种幂函数
常见的五种幂函数
常见的五种幂函数是指指数函数的五种特殊形式，它们分别是常数函数、线性函数、二次函数、立方函数和倒数函数。
1. 常数函数：常数函数的形式为f(x) = c，其中c是一个实数常数。这种函数的特点是对于任何x值，函数的输出始终为常数c。因为指数为零，所以在幂函数的图像上，这种函数对应于一条水平线。
2. 线性函数：线性函数的形式为f(x) = ax + b，其中a和b都是实数常数且a不等于零。线性函数的图像为一条直线，斜率为a，截距为b。线性函数的指数为一，因此它是幂函数中最简单的形式之一。
3. 二次函数：二次函数的形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b 和c都是实数常数且a不等于零。二次函数的图像为一个开口向上或向下的抛物线。指数为二，所以它在幂函数中的位置相对较高。
4. 立方函数：立方函数的形式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数常数且a不等于零。立方函数的图像为一个更加陡峭的抛物线。指数为三，因此它在幂函数中的位置相对较高。
5. 倒数函数：倒数函数的形式为f(x) = 1/x。对于正数x，倒数函数的输出与输入的比率为1/x，而对于负数x，倒数函数的输出为负
数。倒数函数在x轴和y轴上都有一个垂直渐近线。它的指数为-1，因此它在幂函数中的位置相对较低。
这些常见的幂函数在数学和科学中都有广泛的应用。它们的特点和性质在学习和解决各种问题时都是必须掌握的基础知识。
幂函数知识点总结
幂函数知识点总结 幂函数是数学中常见的一类函数，主要应用于数据分析和物理学中。它有着独特的数学性质，并且能够解释一系列规律性的现象，因此在各个领域中都有着广泛的应用。本文将综合介绍幂函数的基本性质、作用机制和表达方式，以及其在实际应用中的各种特性。 一、基本性质 幂函数（Power Function）是一类函数，通常定义为 y=x^n，其中x为变量，n为常数。它同样也是一种一元函数，因为它只有一个变量X，表示函数值由变量X决定。 二、作用机制 幂函数的作用机制主要体现在它的图象与数轴上。因为x的增大会使得y的值也会加大，所以函数的图象通常是一条上凸的曲线。这条曲线在原点处发散无限，而且具有明显的拐点，即抛物线的最高点。 此外，幂函数的作用机制还表现出了其“加速增长”的性质。从图象上看，在抛物线最高点处，x增大时，y值会比较稳定，但是在x值增大之后，y值会变化得越来越快，这也是函数的最显著特征。 三、表达方式 幂函数的表达方式很简单，一般情况下，以n来表示其幂的值，并且幂的值可以是整数、实数或负数，但必须保证x的值不等于0，这里说明由于x不等于0才有意义，因为若x等于0时，n为任意值，y都等于0. 例如：
y=x^2，即平方函数，n=2； y=x^3，即立方函数，n=3； y=x^2，即倒数平方函数，n=2. 四、实际应用 1、数据分析：幂函数在数据分析中应用十分广泛，其特有的“加速增长”性质，让数据分析者能够以规律的路径追求特定的结果。例如，可以利用幂函数进行回归分析，以拟合给定数据；此外，可以利用幂函数构建概率模型，更好地研究联系型数据间的关系； 2、物理学：幂函数在物理学中也有着广泛应用，可以用来模拟夸克的衰变过程，更好地理解物质的衰变规律；另外，也可以利用幂函数，研究物体受力的加速度变化，以及质量变化对物体运动的影响等。 综上所述，幂函数是一类重要的函数，它的基本性质、作用机制和表达方式构成了幂函数的基本框架，而在实际应用中，幂函数又有着广泛的用途，能够用于数据分析和物理学等领域，从而帮助人们更好地理解客观事物的变化规律。
数学幂函数与指数函数公式整理
数学幂函数与指数函数公式整理在数学中，幂函数与指数函数是常见的数学函数类型，它们在数学运算和解决实际问题中具有重要的作用。在本文中，将对数学幂函数与指数函数常用的公式进行整理和总结。 一、幂函数公式 幂函数是形如y = x^n的函数，其中x为底数，n为指数。幂函数公式如下： 1. 幂函数的定义： y = x^n 2. 幂函数的性质： (a) 当指数n为正数时，幂函数是递增函数，即x₁ < x₂，则 x₁^n < x₂^n。 (b) 当指数n为负数时，幂函数是递减函数，即x₁ < x₂，则 x₁^n > x₂^n。 (c) 当指数n为零时，幂函数为常函数，即y = 1。 3. 幂函数的运算规则： (a) 幂函数的乘法：x^m * x^n = x^(m+n) (b) 幂函数的除法：(x^m) / (x^n) = x^(m-n) (c) 幂函数的幂次运算：(x^m)^n = x^(m*n)
(d) 幂函数的倒数：(1 / x)^n = 1 / (x^n) 二、指数函数公式 指数函数是形如y = a^x的函数，其中a为底数，x为指数。指数函 数公式如下： 1. 指数函数的定义： y = a^x 2. 指数函数的性质： (a) 当底数a大于1时，指数函数是递增函数，即x₁ < x₂，则 a^(x₁) < a^(x₂)。 (b) 当底数a在0和1之间时，指数函数是递减函数，即x₁< x₂，则a^(x₁) > a^(x₂)。 (c) 当底数a为1时，指数函数为常函数，即y = 1。 (d) 当底数a为0时，指数函数为不满足定义的函数。 3. 指数函数的运算规则： (a) 指数函数的乘法：a^m * a^n = a^(m+n) (b) 指数函数的除法：(a^m) / (a^n) = a^(m-n) (c) 指数函数的幂次运算：(a^m)^n = a^(m*n) (d) 指数函数的倒数：(1 / a)^x = a^(-x)
幂函数考点和题型归纳
幂函数考点和题型归纳 一、基础知识 1．幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征 (1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数； (2)xα的系数为1； (3)只有一项． 2．五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性 质y＝x y＝x2y＝x3y＝x 1 2y＝x －1 图象 定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增 (－∞，0) 减， (0，＋∞)增 增增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减 公共点(1,1)二、常用结论 对于形如f(x)＝x n m(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
考点一 幂函数的图象与性质 [典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3 3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23－n n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是 减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或2 [解析] (1)设f (x )＝x α，将点(3，3 3)代入f (x )＝x α，解得α＝1 3，所以f (x )＝x 1 3，可知函 数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C. (2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23－n n 在(0，＋∞)上是减函数， ∴????? n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0， ∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1. [答案] (1)C (2)B [解题技法] 幂函数y ＝x α的主要性质及解题策略 (1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减． (3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． (4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等． [题组训练] 1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( ) A ．y ＝x － 4 B ．y ＝x － 1 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x 1 3
高中数学幂函数知识点
高中数学幂函数知识点 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如演讲稿、总结报告、合同协议、方案大全、工作计划、学习计划、条据书信、致辞讲话、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as speech drafts, summary reports, contract agreements, project plans, work plans, study plans, letter letters, speeches, teaching materials, essays, other sample essays, etc. Want to know the format and writing of different sample essays, so stay tuned!
七年级幂函数知识点
七年级幂函数知识点 幂函数是一种常见的函数类型，以 x 的某个次幂作为自变量，常数作为系数，形如 y=a*x^n。在初中七年级的数学学习中，幂函数也是一个重要的知识点，本文将从以下三个方面介绍幂函数的相关知识点。 一、幂函数的表示方法 幂函数是一类比较基础的函数类型，其表达式一般可以用 y=a*x^n 的形式表示，其中 a 和 n 分别是常数，x 是自变量，y 是因变量。当 n=1 时，函数 y=a*x 的图象为一条直线，称为一次函数。当 n=-1 时，函数 y=a/x 的图象为一个双曲线，称为反比例函数。当 n=2 时，函数 y=a*x^2 的图象为一个开口朝上的抛物线，称为二次函数。当 n=3 时，函数 y=a*x^3 的图象为一个类似于开口朝上的标志的图形，称为三次函数。以此类推，可以得到幂函数的不同表达形式。 二、幂函数的性质 幂函数具有一些独特的性质，其中包括：
1. 当 n 是奇数时，函数图象以原点为对称中心，当 n 是偶数时，函数图象关于 y 轴对称。 2. 当 n>0 时，函数图象过第一象限，当 n<0 时，函数图象过第 二象限。 3. 当 a>0 时，函数图象上升，当 a<0 时，函数图象下降。 4. 当 |a|<1 时，函数图象横轴方向收缩，当 |a|>1 时，函数图象 横轴方向拉长。 5. 函数图象的斜率大小与 n 相关，当 n>1 时，函数图象在 x>0 的区间上单调递增，当0
1. 幂函数常用于表达某些现象或规律，如人口增长、社会经济 发展等。 2. 幂函数常用于数学建模和解决实际问题，如路程、速度、时 间等。 3. 幂函数在物理学中也有应用，如物体的自由落体、天体的运动、物体的振动等。 4. 幂函数在化学中也具有重要的应用价值，如化学平衡等。 总之，七年级的幂函数知识点不仅仅是一个基础而重要的数学 概念，还具有广泛的应用场景。通过对幂函数的深入理解和应用，能够帮助我们更好地理解和解决与之相关的问题，提高我们的数 学素养和创新能力。
高等数学中的基本初等函数
高等数学中的基本初等函数 数学历来都是科学研究的主要工具，数学函数也可以将研究物理、化学、经济、工程等方面的问题分析和求解。其中，初等数学函数又是数学函数中的重要内容。初等数学函数是指由若干种变量的运算表达式组成的函数，它以常见的幂、对数、三角、双曲等函数体系为基础，经过一定变换形成了一个完整的函数系统。这些函数在学科研究中都有广泛的应用。 初等数学函数是指一些基本的函数，如常见的幂函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。常见的幂函数是指将变量x记作一个数字的函数，将x的数字改变乘以一个常数，并称之为幂函数。例如， f(x)=x^2表示x的平方，f(x)=x^3表示x的立方。对数函数是指将 变量x记作一个数字的函数，将x的数字改变求以一个常数为底的对数，称之为对数函数。例如，f(x)=log2x表示以2为底的x的对数，f(x)=logax表示以a为底的x的对数。 三角函数是由经典三角几何中的三角大小关系推出的函数，并在广泛的数学研究中得到了广泛的应用。例如，sin(x)表示x弧度的正弦值，cos(x)表示x弧度的余弦值，tan(x)表示x弧度的正切值，cot(x)表示x弧度的余切值，sec(x)表示x弧度的正割值，和csc(x)表示x 弧度的余割值。 双曲函数是双曲线在数学研究中极为重要的初等函数，用以表示椭圆形、双曲线形势场和椎体形等几何体的曲率、旋转、延长等形态变化。例如，sinh(x)表示x的双曲正弦值，cosh(x)表示x的双曲余
弦值，tanh(x)表示x的双曲正切值，coth(x)表示x的双曲余切值，sech(x)表示x的双曲正割值，和csch(x)表示x的双曲余割值。 以上就是高等数学中的基本初等函数的简要介绍。无论是在理论数学方面，还是在实际应用中，这些函数都可以说是研究高等数学的重要工具。它们不仅可以解决各种实际问题，而且可以用来帮助人们深入理解数学课题，推动高等数学的发展。因此，学习和掌握这些函数，对于高等数学学习者来说，十分重要和必要。
五大基本初等函数性质及其图像
五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当 时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2
图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加 的；当时为单调减少的，曲线过点。高等 数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数
函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当 时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面 内。与互为反函数。当时的对数 函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函 数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6 正弦函数图形 图1-1-7 余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为 ，为无界函数，周期在定义域为奇函 数，图形如图1-1-11。
专题9 幂函数与二次函数-重难点题型精讲(新高考地区专用)(解析版)
专题2.9 幂函数与二次函数-重难点题型精讲 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝1 2 x y ＝x － 1 图象 性质 定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R 上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R 上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 R R 值域 [4ac −b 24a ，+∞) (−∞，4ac −b 2 4a ]
单调性 在x ∈(−∞，− b 2a ]上单调递减；在x ∈[− b 2a ，+∞)上单调递增 在x ∈(−∞，−b 2a ]上单调递增；在 x ∈[− b 2a ，+∞)上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b 2a 对称 【题型1 求幂函数的解析式】 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. (2)对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y ＝x α(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式. 【例1】（2021秋•临渭区期末）已知幂函数y ＝f （x ）的图像过点（2，8），则f （﹣2）的值为（ ） A ．8 B ．﹣8 C ．4 D ．﹣4 【解题思路】设所求的幂函数为f （x ）＝x a ，由幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，8），解得f （x ）＝x 3，由此能求出f （﹣2）的值． 【解答过程】解：设所求的幂函数为f （x ）＝x a ， ∵幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，8）， ∴f （2）＝2a ＝8，解得a ＝3， ∴f （x ）＝x 3， ∴f （﹣2）＝（﹣2）3＝﹣8， 故选：B ． 【变式1-1】（2021秋•阳春市校级月考）已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点(3，√3)，则f （4）的值为（ ） A ．﹣2 B ．1 C ．2 D ．4 【解题思路】设幂函数的解析式为f （x ）＝x α，代入点可求α的值，从而可求f （4）的值． 【解答过程】解：设幂函数的解析式为f （x ）＝ x α， 因为幂函数y ＝f （x ）的图象过点(3，√3)，所以3α=√3，解得α=1 2． 所以f （x ）=√x ，f （4）=√4=2． 故选：C ． 【变式1-2】（2022春•无锡期末）已知幂函数y ＝f （x ）的图像过点(2，√2 2)，则f （16）＝（ ）
不同幂函数
不同幂函数 幂函数（Power Function）是数学中一类以幂次位参数（Power）决 定函数值的函数。下面我们先来了解一下几种常见的幂函数： 1、平方函数： 平方函数（square function）是指以平方为指数的函数。它的一般式为：f(x)=x²，其图象如下： 2、立方函数： 立方函数（cube function）是指以立方为指数的函数。它的一般式为： f(x)=x³，其图象如下： 3、平方根函数： 平方根函数（square root function）是指以平方根为指数的函数。它的 一般式为：f(x)=√x，其图象如下： 4、立方根函数： 立方根函数（cube root function）是指以立方根为指数的函数。它的一 般式为：f(x)=∛x，其图象如下： 5、自然对数函数： 自然对数函数（natural logarithm function）是指以自然对数为指数的函数。它的一般式为：f(x)=lnx，其图象如下：
6、指数函数： 指数函数（exponential function）是指以指数为指数的函数。它的一般式为：f(x)=ex，其图象如下： 7、调和函数： 调和函数（harmonic function）是指以n次调和为指数的函数。它的一般式为：f(x)=h(x)，其图象如下： 8、指数对数函数： 指数对数函数（Exponential-logarithmic function）是指以指数对数为指数的函数。它的一般式为：f(x)=exlnx，其图象如下： 以上就是8种常见的幂函数，它们都有着示意图，可以帮助我们更好的理解这些函数。 幂函数在日常生活和学习中都有着重要的作用。它可以用来解决很多实际的数学问题，同时也可以帮助我们掌握知识点有效性探究和解决实际问题。 幂函数的使用不仅仅限于解决数学问题，它也是软件开发中的重要手段，可以用来设计游戏、开发软件、分析统计数据等等。
常见函数的幂级数展开
常见函数的幂级数展开 1. 指数函数 (Exponential Function) 定义 指数函数是指以常数e为底数的幂函数，通常表示为e^x。其中e是一个常数，约等于2.71828。 用途 指数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用。它的幂级数展开形式可以用于近似计算指数函数的值，特别是当指数函数无法直接计算时。 工作方式 指数函数的幂级数展开中，每一项的系数都是x的幂次与常数e的幂次之比。通过将幂级数的前n项相加，可以近似计算指数函数的值。 指数函数的幂级数展开如下所示： e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + … + x^n/n! + … 其中n!表示n的阶乘（n的所有正整数乘积），定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。 通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的结果。然而，幂级数展开通常在x的绝对值较小的范围内有效，当x的绝对值较大时，需要使用其他方法来计算指数函数的值。 指数函数的幂级数展开可以通过计算机程序来实现，例如使用Python编写以下代码： import math def exponential_series(x, n): result = 0 for i in range(n): result += x**i / math.factorial(i)
return result x = 2.0 n = 10 print(exponential_series(x, n)) 上述代码计算了指数函数e^2的近似值，使用了前10项的幂级数展开。 2. 正弦函数 (Sine Function) 定义 正弦函数是一个周期函数，常用于描述周期性的波动现象。它的幂级数展开可以用于近似计算正弦函数的值。 用途 正弦函数在物理、工程等领域中广泛应用，例如描述振动、波动、电磁波等现象。通过正弦函数的幂级数展开，可以计算正弦函数在给定角度处的近似值。 工作方式 正弦函数的幂级数展开中，每一项的系数都与角度的幂次相关。通过将幂级数的前n项相加，可以近似计算正弦函数在给定角度处的值。 正弦函数的幂级数展开如下所示： sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + … + (-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)! + … 其中(-1)^n表示(-1)的幂次为n次。 通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的结果。然而，幂级数展开通常在角度较小的范围内有效，当角度较大时，需要使用其他方法来计算正弦函数的值。 正弦函数的幂级数展开可以通过计算机程序来实现，例如使用Python编写以下代码： import math def sine_series(x, n): result = 0
幂函数
幂函数 1．五种常见幂函数的图象与性质 R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 注意：幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 幂函数的指数与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，2)，则函数的解析式为________________． 答案：f(x)＝x 1 2(x≥0) 2．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋1为偶函数，则m＝( ) A．1 B．2 C．1或2 D．3 解析：选A ∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋1为偶函数， ∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2. 当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件． 当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A. 图像 1．函数y＝x 1 3的图象是( ) 解析：选B 由幂函数y＝xα，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A、D，又其图象上凸，则排除C，故选B. 2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( ) 解析：选C 令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝1 2 ，∴f(x)＝x 1 2.
幂函数与二次函数讲义
幂函数与二次函数讲义 一、知识梳理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝x α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 单调性 对称性函数的图象关于x＝－b 2a对称
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性． (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数． 2．若 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨ ⎪⎧ a >0，Δ<0 时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧ a <0， Δ<0 时，恒有f (x )<0. 二、基础检验 题组一：思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是 4ac －b 2 4a .( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) (4)函数y ＝212 x 是幂函数．( ) (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) 题组二：教材改编 2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点)2 2 , 21(，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.3 2 D ．2 3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3 题组三：易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023 a a x －＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( ) 6．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为_____． 三、典型例题
高中人教B版辽宁数学必修1 第5章 5.3 幂函数
5．3 幂函数 1．幂函数的概念 一般地，函数y ＝x α(α∈R )叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 思考：幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)有什么样的区别？ [提示] 幂函数y ＝x α的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x 中，底数是常数，指数是自变量． 2．幂函数的图象与性质 (1)五个常见幂函数的图象： (2)五个常见幂函数的性质：
1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝2x D ．y ＝x －1 C [形如y ＝x α的函数为幂函数，只有C 不是．] 2．设 α∈⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有 α的值为( ) A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3 A [y ＝x －1的定义域不是R ，即 B 、 C 、 D 都排除，只有y ＝x 与y ＝x 3的定义域为R ，且为奇函数．] 3．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝x 2 C ．y ＝1 x D ．y ＝x 3 2 A [结合函数图象，易知y ＝x 3在(－∞，0)上为增函数，故选A.]
4．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，则f (4)＝______. 2 [设f (x )＝x α，∵图象过点(2，2)，∴α＝1 2，∴f (4)＝412 ＝ 2.] 【例1】 函数 是幂函数， 且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． [解] 根据幂函数定义得， m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数，当m ＝－1时，f (x )＝x －3，在(0，＋ ∞)上是减函数，不合要求． ∴f (x )的解析式为f (x )＝x 3. 1．只有形如y ＝x α(其中α为任意实数，x 为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数． 2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y ＝(3x )α， y ＝2x α，y ＝x α＋5，…，形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式． 1．已知f (x )＝(m 2＋2m ) ，m 为何值时，f (x )是： (1)正比例函数？ (2)反比例函数？ (3)二次函数？ (4)幂函数？
第11讲 幂函数(讲义)
第11讲 幂函数（讲义） 1.10.0 幂指对函数的算术背景 让我们从乘方运算谈起，设变量r q p ,,满足等式r p q =（例如8,2,3===r q p ），则称“r 是p 的q 次方”. 若其中一个变量的值确定，则另外两个变量之间可能具有函数关系. 所谓“可能具有”，是指某些情况下一个变量的值不足以唯一确定另外一个值，例如当确定变量2=q 时，变量p 的值可以唯一确定变量r 的值，因此r 是p 的函数，即2p r =；但是反过来，变量r 的值不足以唯一确定p 的值. 在后一种情况下，我们可以通过引入某种“单值化”条件来保证函数关系成立，例如，引入算术平方根的概念（也就是要求变量p 只能取非负值），就可以使p 是r 的函数，即r p =. 现在，我们设三个变量中已确定具体值的为a ，另外两个分别称为y x ,，则这样的表达式总共有6种形式：①y a x =，②x a y =，③y x a =，④x y a =，⑤a x y =，⑥a y x =. 我们认为其中三种是重要的（①②③），因此为它们赋予专门的名称并加以研究： （A ）幂函数：R a x y a ∈=,①； （B ）指数函数：R a a y x ∈=,； （C ）对数函数：*∈=R a x a y ,②； 你可能会好奇另外三种为什么会被认为是不重要的？简单的代数变形可以帮我们看清楚上述选择的理由：④a a x y x y 1=⇒=与③本质上是一样的，⑤y y a x a x 1=⇒=与②本质上是一样的，⑥x x a y a y 1=⇒=本质上是一样的. 补充：有理指数的乘方运算 初中阶段我们已经学习过正整数指数的乘方运算，并给出了最重要的运算规则： ()*+∈∈=⋅N n m R a a a a n m n m ,, 下面我们将看到，如果保留这条基本性质并假设它对于指数不是正整数的情况也成立，就可以顺利地导出指数为任意有理数情况的意义. （1）整数指数 考虑到n n n a a a a ==⋅+00，因此应该定义10=a ，同时保证除法运算n n n n a a a a ==-0的有效性，约定()010≠=a a . 接着，由于10==⋅-a a a n n ，定义()01≠=-a a a n n . 例如， ① 不过在中学阶段，我们实际上只研究有理指数即Q a ∈的情况. 在各种场合下，如果没有特别加以说明，我们总是对Q a ∈的情况进行具体研究（并不加论证地假设研究结果可以推广到R a ∈的情况）. ② 关于每一种函数对a 的取值范围以及定义域的要求，我们会在后继内容中详细讨论.
考点16 高中数学二次函数与幂函数(解析版)
考点16 二次函数与幂函数 【命题解读】 二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查； 【基础知识回顾】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质
[常用结论与微点提醒] 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧a>0， Δ<0时恒有f(x)>0；当⎩⎪ ⎨ ⎪⎧a<0， Δ<0时，恒有f(x)<0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 1、幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是() 【答案】C 【解析】(1)设幂函数的解析式为y＝xα， 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝ 1 2. 所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0 第4讲 幂函数与二次函数 基础知识整合 1．幂函数 (1)定义：形如□01y ＝x α的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常 见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝x 1 2 ，y ＝x －1. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 □02⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ □ 03⎝ ⎛ ⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性 在x ∈⎝ ⎛ ⎦ ⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在x ∈□05⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在x ∈□ 04⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫ －b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于x ＝－b 2a 对称 1．幂函数图象特征 (1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x 轴(简记为“指大图低”)； (2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0且Δ<0”． 4．二次函数的对称轴 二次函数y ＝f (x )对定义域内的所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 5．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，则二次函数在闭区间[m ，n ]上的最大、最小值的分布情况 (1)若－b 2a ∈[m ，n ]，则f (x )max ＝max{f (m )，f (n )}，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a . (2)若－b 2a ∉[m ，n ]，则f (x )max ＝max{f (m )，f (n )}，f (x )min ＝min{f (m )，f (n )}． 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小．第4讲 幂函数与二次函数