幻方

幻方一般地说，在n×n的方格里，既不重复也不遗漏地填上n²个连续的自然数，每个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上n个自然数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方。

这个相等的和叫幻和。

奇数阶幻方奇数阶幻方的方法可以简单概括为方阵斜线对换法：（1）三阶幻方（九宫幻方）：具体可以概括为以下几步：第一步：将1——9九个整数如图1那样排列成方阵；第二步：如图2，画斜线；第三部：如图3，将图2中得到的正方形外四角的数字1、3、7、9，分别向斜线对面数三格，把数字填入空格内，即1和9交换，3和7交换入幻方格内。

便得到了图4的三阶幻方（九宫幻方），横排、数列，对角线上每三个数字的和都为15。

（2）五阶幻方：五阶幻方具体可以概括为以下几步：第一步：将1——25这二十五个整数如图5排列成方阵；第二步：如图6，画斜线；第三部：如图7，将图2中得到的正方形外四角的数字（1、2、6），（4、5、10）；（16、21、22），和（20、24、25）分别向斜线对面数五格，把数字填入空格内，即1 和25交换，2和20交换，6 和24交换，5和21交换，4和16交换，10和22交换填入幻方格内便得到了图8的五阶幻方，横排、数列，对角线上每三个数字的和都为65。

偶数阶幻方偶数阶幻方的方法可以简单概括为方阵对角线数字互换和对面数字互换的方法：比如四阶幻方四阶幻方比较简单，只需要交换对角线上的数字就能使横排、竖列、对角线上的和分别都等于34。

具体步骤为：第一步：将1——16十六个整数如图9排列成方阵；第二步：如图10那样画出对角线和方框；第三步：如图10—图11，将方阵中对角线上的数字1和16，4和13，6和12，以及7和10 对换，便得到了图12的四阶幻方，而六阶幻方就要复杂得多了，不仅仅需要交换对角线上的数字，还需要横排对面交换，竖列对面交换。

反幻方将1～9九个自然数，填在3×3正方形表格内，使其中每一横行、每一竖列及任一条对角线上的三数之和都不等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻。

这样的幻方称为“反幻方”。

据美国当代科普作家加德纳研究发现，符合上述条件的反幻方，只有两个，即：反幻方也很有趣，它的数字排列酷似个螺旋，前一个由外向内转，后一个由内向外转。

4.幻方问题主要方法幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。

主要方法：1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。

通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。

2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。

3、比较法利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。

注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。

4、掌握好3阶幻方中的规律。

【例1】下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于3倍的E 且D+F=2×E 。

「分析」 首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，是“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。

它是多少呢？如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和就是3倍的“幻和”。

「详解」首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述。

C FI首先，只考虑包含E 的四条直线，得到A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”， C+E+G=“幻和”， D+E+F=“幻和”。

然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I ）+3×E=4倍的“幻和”, 而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3倍的“幻和”。

所以，3×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F ，于是D+F=2×E 。

【例2】请完成下面的三阶幻方：「分析」本题需要综合利用上面的性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了。

「详解」（1）根据性质，A=100×2-19=181，B=100×2-95=105；“幻和”=100×3=300。

下面就只要根据幻方的概念填就可以了。

答案如下：111【例3】从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图3的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。

「分析」据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。

所以，能被12整除。

十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。

每列为（91—7）÷4=21而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图4所示。

三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。

经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5所示。

数阵图数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

1.辐射型数阵辐射型数阵是指从一个中心出发的几条线段状的数阵。

【例4】将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

「分析」图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

辐射型数阵三条线相交位置含有共同的的数。

中心数被重复使用了2次。

判断求出中心数。

再把剩下的数分为三组放入三条线段上。

「详解」设中心数为a。

即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。

（28＋2a）÷3＝整数，推得a只能是1、4、7三数。

当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。

同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。

【例5】如图5，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。

已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。

图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。

「分析」可先看竖格。

因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重复数字。

从而容易推出，竖格各数从上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。

同理可推导出横格各数，其中“x”=5。

【练习】把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线上3个圆内所填的和都相等。

如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。

「分析」将五条边上的和相加，得数一定是5的倍数，其中中间的数被重复计算了5次，而10+11+12+…+20=165.所以中间的数必须是5的倍数，才能使在中间的数多被计算了4次后，综合仍能被5整除。

所以中间的数只能是10、15、20.。

「详解」总结：填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解。

辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1，对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数⨯重叠次数=直线上各数之和⨯直线条数。

2. 封闭型数阵封闭型数阵是指首尾连接的数阵。

【例6】把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12。

「分析」三个角顶的数字都重复使用两次，所以有三角形各边上的数字和×3 –六个数字和= 三个顶角数字之和。

「详解」要使三角形每边上的数字和都是12，则三条边的数字和便是12×3＝36，而2＋3＋4＋5＋6＋7＝27，36与27相差9。

即三个顶角数字之和为9。

有9=2+3+4。

顶角数字分别为2、3、4。

再由各边上数字和为12求出各边上数字。

答案如图。

【练习】下图是四个互相联系的三角形。

把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数字的和都是15。

「分析」每个三角形数字和都是15，四个三角形的数字和是：15×4＝60，而1～9九个数字和为45。

60-45=15。

中间的一个三角形，每个顶角都连着其他三角形，每个数字都被重复使用两次。

因此，只要使中间的一个三角形数字和为15，便可以符合条件。

「详解」它的三个顶角数字，可以分别为：1、9、5，2、8、5 ，2、7、6 ，4、6、5及2、9、4，3、8、4 ，3、7、5，8、6、1。

把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。

总结：封闭型数阵图这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系方式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。

3.复合型数阵复合型数阵是指即封闭又辐射的数阵。

【例7】下图中有三个正三角形，将1~9填入它们顶点处的九个○种，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等。

【分析】每个正三角形顶点的三数之和为（1+2+…+9）÷3=15,每条直线上的三数之和为45÷3=15。

将1~9九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15只有如下两种分法：（1）1，5，9；2，6，7；3，4，8；（2）1，6，8；2，4，9；3，5，7；「详解」对于（1），中心小正三角形三个顶点数为1，5，9时，可得中间图的解；对于（2），中心小三角形三个顶点数为3，5，7时，可得右上图的解。

【练习】将1~9填入下图的九个○内，使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上。

【分析】每个圆周和每条直线上三数之和应为15，其中有9的只有9+1+5和9+2+4.分别对应右上图的两个解。

总结：我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键字。

4.其他类型的数阵图【例8】将1~10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上数字之和为图中所表示的数值。